第九讲 数列求和归类（学生版）

第九讲数列求和归类【知识梳理】一、分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，或者是“奇偶式”，可采用分组分别求和法求数列的前n项和．二、并项求和法“并项求和”一般包括两类问题：①同一数列的相邻两项(三项或多项)并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的求和得出结果；②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的和得出结果．三、倒序相加法如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．四、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.五、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）题型01等差等比的前n项和【例1】若数列的前项积为，则的前项和.【例2】在等差数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【变式1-1】在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【变式1-2】已知在等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．【变式1-3】记数列的前n项和为，已知．(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和．题型02分组求和法（等差+等比型及绝对值型）【例3】在数列中，，则等于（

）A．445 B．765 C．1080 D．3105【例4】已知公比为3的等比数列与首项为1的等差数列，满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列，数列的前和为，求．【变式2-1】已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为.【变式2-2】已知等差数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【变式2-3】己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和.题型03奇偶项求和【例5】已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．(1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【例6】已知数列满足，且(1)若，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【变式3-1】已知等比数列的公比为2，且是与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前项和．【变式3-2】已知数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【变式3-3】已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求的前n项和．题型04并项求和法【例7】已知等差数列中，，则数列的前2024项和.【例8】已知数列满足，当时，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【变式4-1】已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，，是数列的前项和.求【变式4-2】已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前29项和.【变式4-3】已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前100项和.题型05倒序相加法【例9】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（

）A．2018 B．4036 C．2019 D．4038【例10】已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【变式5-1】设，为数列的前n项和，求的值是（

）A． B．0 C．59 D．【变式5-2】设函数，，．则数列的前n项和．【变式5-3】已知数列满足：（），数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求.题型06裂项相消法（等差型及根号型）【例11】等差数列中，若，数列的前项和为，则.【例12】数列中，，，则（

）A．51 B．40 C．41 D．50【变式6-1】已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【变式6-2】已知等差数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【变式6-3】已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．(1)求与通项公式；(2)设，求的前项和．题型07裂项相消法（指数型及“＋”型）【例13】在正项数列中，，且．(1)求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求证：．【例14】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．【变式7-1】设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，数列的前项和为，求证：．【变式7-2】已知等差数列的前n项和为，，，，成等差数列，，，成等比数列．(1)求及；(2)若，求数列的前n项和．【变式7-3】已知数列是等比数列，．(1)求数列的通项公式；(2)，记数列的前n项和为，若对于任意，都有，求实数的取值范围．题型08错位相减法【例15】已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和满足关系式．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【例16】已知正项数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【变式8-1】已知数列的前项和为，且为定值．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【变式8-2】已知数列，其前项和为.数列满足，.(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足，求数列前项和.【变式8-3】已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.题型09数列求和与放缩【例17】（多选）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（

）A． B．C． D．【例18】（多选）已知数列，，且满足，，则（

）A． B．的最大值为C． D．【变式9-1】已知数列的首项，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.（i）求数列的通项公式；（ii）证明.【变式9-2】已知数列的前项和为，，是与的等差中项．(1)求的通项公式；(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．(3)设，且数列的前项和为，求证：．【变式9-3】已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．课后作业一、单选题1．已知数列满足，若，则的前2022项和为（

）A． B． C． D．2．数列满足，前12项和为158，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．对于实数x，表示不超过x的最大整数.已知数列的前n项和为，且，，则数列的前1000项和为（

）A．1890 B．1891 C．1893 D．1896二、多选题4．已知数列满足，则下列结论成立的有（

）A．数列为等差数列 B．数列为递增数列C． D．数列的前项和为5．已知数列的前n项积为，，则（

）A． B．为递增数列C． D．的前n项和为6．已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（

）A．B．当为奇数时，C．当为偶数时，D．数列的前项和等于三、填空题7．若数列{an}满足a1=1，a2n+1-a2n-1=0，a2n+2+a2n=-2n，则数列{an}的前61项和为.8．已知在数列中，，且，设，若，则正整数的最大值为.9．若数列的通项公式，则数列的前2023项的和＝.四、解答题10．已知数列满足：，.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，，求数列的前n项和.11．已知数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．12．已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.13．已知数列