第六讲 直线与圆锥曲线的综合归类（解析版）

第六讲直线与圆锥曲线的综合归类【知识梳理】一、直线与圆锥曲线的位置关系设直线方程为,与圆锥曲线联立消去一个变量,得到关于另一个变量的一元方程,则有下列结论：①当时,直线与圆锥曲线只有一个公共点；②当时直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离．二、弦长问题设直线交圆锥曲线于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：三、中点弦问题点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率；四、定点定值问题解题步骤：（1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；（2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；（3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；（4）由所得等式恒成立可整理得到定点或定值五、切线问题若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为；若在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为；若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为；题型01直线与圆锥曲线的位置关系【例1】过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先验证点在抛物线外，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．【详解】解：由题意可知点在抛物线外故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是：①过点且与抛物线相切，此时有两条直线；②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线；则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条.故选：C．【例2】已知双曲线：，直线过．“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，得到关于的一元二次方程，根据方程解的情况，即可判断充分性和必要性.【详解】根据题意，直线的斜率显然存在，故设直线方程为：，联立可得：，即；直线平行于双曲线的渐近线，即或，此时，方程为关于的一次方程，只有一个解，此时直线与双曲线只有一个交点，满足充分性；若直线与双曲线恰有一个公共点：则，即；或当时，，即，即；故必要性不满足.综上，“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】B【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.【详解】，即，令，解得，则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B.【变式1-2】已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件的定义先判断充分性，再利用必要性的定义判断必要性.【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件；当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件.综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件.故选：B【变式1-3】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解.【详解】联立方程组，整理得，因为直线和双曲线没有公共点，所以，可得，解得或，所以实数的取值范围为.故选：C.题型02弦长问题【例3】斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值.【详解】设点和，设直线方程为，联立方程：，可得：，，线段的长为：，得，故选：C.【例4】已知是椭圆的左顶点，且经过点.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件列式计算得解；（2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解.【详解】（1）依题意可得，解得，所以的方程为.（2）联立，消去得，则，.因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立.由，解得.所以，所以.

【变式2-1】已知椭圆的左焦点为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）解法1：根据题意，得到的方程为，联立方程组得到，利用弦长公式求得弦长，及点到直线的距离，利用三角形的面积公式，即可求解；法二：根据题意，得到的方程为，联立方程组，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：由椭圆的左焦点为，且经过点，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）解法1：由过点作倾斜角为的直线，可得直线的方程为，联立方程组，整理得设，可得且，所以=，又由点到直线的距离为，所以.法二：由题意，可得直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得且，所以.【变式2-2】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的定义确定出的值，由此可求，则的方程可求；（2）设出直线的方程，通过联立思想结合韦达定理求得，再结合三角形面积公式可求结果.【详解】（1）因为，所以的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在且不为，因为渐近线的斜率为，所以，，联立可得，所以，所以，又因为到直线的距离，所以，化简可得，即，解得，经检验符合条件，综上可知，直线的斜率为.【变式2-3】已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．(1)求C的方程；(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线的焦半径公式列出等式，即可求出的值；（2）设出直线的方程，讨论斜率存在和不存在的情况，联立直线方程和抛物线方程，利用焦点弦长公式即可得到结果.【详解】（1）由题意得：，解得，所以抛物线的方程为（2）因为，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，当时，，此时，不合题意，舍去；则直线l的斜率存在，设直线方程为，，与抛物线方程联立，消去得，因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，由韦达定理得，所以弦长，解得，即，所以直线l的方程为：.题型03中点弦问题【例5】已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】设，利用点差法即可求解.【详解】设，则①，②，联立①②整理得，又，，所以，即直线的斜率为.故选：D.【例6】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案.【详解】设，，则直线l的斜率为代入，得，两式相减得：.又线段AB的中点为点，则.则.经检验满足题意.故选：D【变式3-1】（多选）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，所以当直线AB的方程为时，线段AB的中点为，故A正确；当直线AB的斜率存在且不为0时，设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项B：可得，则，即，双曲线的渐近线方程为，由于与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B错误；对于选项C：可得，则，即，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，即，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：AD.【变式3-2】已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为．【答案】【分析】先根据题设设出两点，求出直线的斜率和方程，继而得到直线与轴的交点，从而将的面积转化成的形式，计算即得.【详解】设，，因为线段AB的中点，则，．由题意，得直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，即，它与x轴的交点坐标为．因，，则．故△AOB的面积为．故答案为：.【变式3-3】过点作直线交抛物线于，两点，且点恰为线段中点，则.【答案】【分析】利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程，与抛物线联立方程，根据弦长公式，即可求得.【详解】设的坐标分别为，则两式相减可得，∵点恰为线段中点，∴，∴，∴，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即，联立抛物线与直线的方程：消去，得，∴，，，∴.故答案为：.题型04圆锥曲线中的参数范围问题【例7】已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是．【答案】【分析】先求出抛物线方程，将其与直线方程联立写出韦达定理，由题意求出点的坐标，推理计算出，从而将求的范围问题转化成求的取值范围即得.【详解】如图，因为直线过的焦点，令，解得：，即，故由可得，即．把代入的方程整理得：，设，则，，于是，，故得：，则，，所以，由，得．故答案为:.【例8】在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线．(1)求的顶点C的轨迹方程；(2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设顶点C的坐标为，由，知．由且向量与共线，知N在边的中垂线上，由此能求出的顶点C的轨迹方程．（2）设，，过点的直线方程为，代入，得．再由根的判别式和韦达定理能求出的取值范围．【详解】（1）设顶点C的坐标为，因为，．又且向量与共线，∴N在边的中垂线上，．而，即，化简并整理得顶点C的轨迹方程为．（2）设，过点的直线方程为，代入，得，，得，而是方程的两根，，．，即，故的取值范围为.【变式4-1】已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组消元，根据方程在上有两解求出的范围，得出线段的中垂线方程，从而得出截距关于的函数，得出的范围．【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以．可得双曲线．可得双曲线的渐近线方程为：．（2）设经过点的直线方程为，，，，，联立方程组，消去得：，，解得．的中点为，线段的中垂线方程为：，令得截距．即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是．【变式4-2】已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率和过点，得到方程组，求出，，得到椭圆方程；（2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据为钝角得到，得到不等式，求出，舍去，得到答案.【详解】（1）由题意得，又，且，解得，故椭圆的方程为；（2）由题意得，，直线的方程为，联立得，，恒成立，设，则，，因为为钝角，所以，即，即，解得，又时，三点共线，此时不是钝角，舍去，故的取值范围是.【变式4-3】已知椭圆C：点，分别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，O为坐标原点，且的最小值为1，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作直线l与椭圆C交于不同两点P，Q，点M是线段PQ的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N．求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，再由椭圆的定义可知即可求得，即得椭圆的方程；（2）分两种情况讨论，当直线l倾斜角为0时，；当直线l倾斜角不为0时，设直线l的方程为并联立椭圆方程，根据韦达定理法结合条件即得直线MN的方程及的坐标，再由弦长公式求得，根据的取值范围即可求得的取值范围.【详解】（1）由题即的最小值为1，故，由题可得，，所以椭圆的标准方程为：；（2）①设直线l的方程为：，，，联立得，由得，，，∴，，，直线MN的方程：，令，，∴，令，∴，在单调递增，∴，∴；②若直线l倾斜角为0时，则直线l方程为，此时M，N重合，，综上：.题型05圆锥曲线中的最值问题【例9】如图，椭圆的一个焦点为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值.【答案】(1)(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点建立方程，求出即可得解；（2）（ⅰ）求出点的坐标，证明点的坐标满足椭圆方程即可；（ⅱ）设出的方程为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，据此求出的表达式，换元后求最值即可.【详解】（1）因为椭圆一个焦点为，所以，点代入椭圆方程可得，又，解得，所以椭圆方程为.（2）(i)由题意得，，设，则，且①，则的方程分别为：，.设，则有②，③由②，③得，由①得，因为，所以点M恒在椭圆上.(ⅱ)设的方程为，代入，得，设，则有，，所以，令，则，因为，所以，故当，即，时，有最大值3，此时过点.所以，即的面积的最大值为.【例10】双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程；(2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由双曲线方程可得椭圆方程中的，再由离心率公式可得，从而得到椭圆方程；（2）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，再由弦长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.（2）因为，所以直线的斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得.因为，所以.设，，根据根与系数的关系得，..因为，即.整理得.令，则.所以.等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为【变式5-1】已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.(1)求双曲线的标准方程.(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的离心率为，得到，再根据，得到求解.（2）设，则，求得，再利用双曲线的定义得到，，再由，求解.【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，所以，又过点的直线PA的斜率不存在时，，所以.解得，所以双曲线的方程为：；（2）设，则，且，所以，，，由双曲线定义得，所以，则，所以，，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值.【变式5-2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．(1)求双曲线E的标准方程；(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】(1)；(2)24．【分析】（1）利用双曲线的标准方程与性质即可求解.（2）通过直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理，代入，求解双曲线中的最值问题．【详解】（1）由双曲线E的离心率为2，得①．因为双曲线E过点，所以②．又③，联立①②③式，解得，．故双曲线E的标准方程为．（2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以．由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为．联立消去x，得．，设，，则，．因为A，D均在双曲线右支，所以所以解得．所以，．令，则．所以．令函数，易得在区间上单调递减，所以当时，．所以四边形ABCD面积的最小值为24．【变式5-3】已知圆，定点，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN交于点P．(1)证明：为定值，并求出点P的轨迹的方程；(2)若曲线上一点Q，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】(1)根据双曲线的定义求轨迹方程；(2)利用表示出，,再结合点在双曲线上可得，从而表示出，根据双勾函数的单调性求取值范围.【详解】（1）证明：由题意，圆C的圆心，半径，由点N与M关于PQ对称，则，，且，由双曲线定义知，点P的轨迹为以C，M为焦点，实轴长为的双曲线，

设双曲线方程为：，，，，，所以双曲线方程为.（2）由题意知，，分别为双曲线的渐近线,设，，由，设．，，,

由于P点在双曲线上，，,又，同理，设OA的倾斜角为，则．,函数，，在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；．题型06切线问题【例11】已知定圆，动圆过点且与圆A相切，记动圆圆心的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点．(3)由(2)你能否得到一个更一般的结论？并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明)．【答案】(1)(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】(1)根据题意中的几何关系得到，根据椭圆的定义即可判断M的轨迹为椭圆，从而得到曲线C的方程；(2)由题意，分直线斜率存在和不存在进行分类讨论，直线与椭圆联立，得到交点坐标.(3)类比推理，得到结论.【详解】（1）由题知圆A圆心为，半径为，设动圆的圆心为，半径为，，由，可知点在圆A内，故圆A与圆M内切，故，∵，∴根据椭圆定义可知M的轨迹是以为焦点的椭圆，故c＝1，a＝2，b＝，故曲线的方程为；（2）当时，由可得，当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点；当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点；当时得，代入，消去整理得：①由点为曲线上一点，故．即，于是方程①可以化简为：，解得．将代入，得，说明直线与曲线有且只有一个交点．综上，不论点在何位置，直线：与曲线恒有且只有一个交点，交点即；（3）更一般的结论：对椭圆，过其上任意一点的切线方程为；在双曲线中的类似的结论是：过双曲线上任意一点的切线方程为：．【例12】已知抛物线：.(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解.（2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证.【详解】（1）设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：，联立，得，所以，所以.（2）设，，由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为，则过点且与抛物线相切的直线方程为，①联立，得，所以，代入，得，解得，带入①式即得，即过点且与抛物线相切的直线方程为，同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为，联立，可得，由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为，联立，得，所以，即得，所以点在定直线上.【变式6-1】已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，根据已知有，化简整理得轨迹；（2）设，，，写出切线、并将点代入得直线为，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与，应用韦达定理、弦长公式求的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形面积的最小值.【详解】（1）设，则，化简得：，所以点M的轨迹E的方程为.（2）设，，，则切线为，切线为，将点分别代入得，所以直线为，点到的距离，当时，．另一方面，联立直线与得，所以，则，当时，．所以．故时，最小值为.

【变式6-2】已知抛物线与双曲线有共同的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出双曲线焦点坐标即可得，可求出的方程为；（2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理可得，再求得过两点的切线方程并求出交点坐标为，由弦长公式和点到直线距离公式写出面积的表达式为，可得面积最小值.【详解】（1）由题意，抛物线的焦点为，由双曲线可得，即可得，解得，所以的方程为（2）如图所示，

设，则，联立方程组整理得，所以，且，所以由，可得，则，所以抛物线的过点的切线方程是，将代入上式整理得，同理可得抛物线的过点的切线方程为，由解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，当时，，所以面积的最小值为.【变式6-3】已知椭圆：，椭圆：，动点在上运动，过作的两条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C：上一点与C相切的直线方程为）(1)求直线AB的方程（用，表示）；(2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求切线方程，进而可得直线AB的方程；（2）分和两种情况，根据弦长公式求面积，结合韦达定理分析求解.【详解】（1）不妨设，，：，：，由题知A，B处的切线方程分别为，，因为这两条直线均过，则，所以：.（2）当时，联立方程，消去y得，因为，则代入上式，化简得，则，且，所以，到直线的距离，O到直线的距离，所以；当时，则，直线：，由，解得，可得；所以综上：四边形OAPB的面积为定值.题型07定值问题【例13】设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)证明：（为原点）为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先根据定义求出，再将点代入椭圆方程求出，则椭圆方程可求；（2）设，表示出直线的方程，与椭圆联立，求出，同理可得，代入计算即可证明.【详解】（1）根据椭圆的定义可得，解得，椭圆的方程为，将代入可得，解得，椭圆的方程为：；（2）证明：由（1）知，设，则直线的方程为，且，联立，消去得，则，，同理可得，．为定值7．【例14】已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍．(1)求双曲线的标准方程；(2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值；(3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．【答案】(1)(2)(3)证明见解析，定值为【分析】（1）根据题意确定，求出，即可得双曲线的方程；（2）设，，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案；（3）延长、分别交渐近线于、两点，设，，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案．【详解】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，即，故双曲线的标准方程为；（2）不妨设，则设，

联立，可得，联立可得，联立可得，从而；（3）证明：如图，延长，分别交渐近线于，两点，

由（2）可知，则，设,，则，联立，解得，而，联立，解得，从而，设的倾斜角为，则，而，故，则，因此．故的面积为定值.【变式7-1】已知点为椭圆C：的左焦点，在C上．(1)求C的方程；(2)已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)为定值，4【分析】（1）根据椭圆交点以及椭圆定义求标准方程；（2）由，可得，直线与椭圆方程联立，解方程，得到答案.【详解】（1）由已知可得，且C的另一焦点坐标为，设为，所以有，所以，所以，所以C的方程为（2）

设l：，代入C整理可得：，设，，则①，②，由，可得，③，由①②③可得：，恒成立，所以，为定值．【变式7-2】在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意由求解；（2）易知当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，不符合题意．设，则，与双曲线方程联立，求得，求解．【详解】（1）设动点P的坐标为,因为动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，所以，化简，得，即曲线C的方程为．（2）当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线C不相交，所以不符合题意．设，则，联立方程解得，则．用替换上式中的k即得．因此，即是定值．【变式7-3】已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；(3)已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由题意代入坐标可得的值，从而得到抛物线方程（2）然后再依据定义求得线段的中点到轴的距离．（3）设过点的直线的方程为，代入利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求的值．【详解】（1）由题知，又，所以，解得.所以抛物线的方程为．（2）．线段的中点到轴的距离为．（3）证明：设过点的直线的方程为，即，代入，得，设，，则，，所以，，所以为定值．题型08直线过定点问题【例15】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为．【答案】【分析】根据离心率即可求解椭圆方程，即可联立直线与椭圆方程，根据点斜式求解直线方程，即可化简求解.【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点，椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在，设直线，则，联立直线与椭圆方程得，则，，所以，整理得，又，所以直线QM的方程为，故直线QM过定点．故答案为：【例16】已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）利用焦半径的定义可得的值，进而即可得到答案；（2）设，，，则根据直线方程及题意可得到①，同理可得到②，同理也可得到QT的直线方程为，进而即可证明直线QT过定点，并得出定点坐标．【详解】（1）因为为抛物线上一点，所以，又因为，所以，即，解得，所以抛物线C的标准方程为．（2）设，，，则PQ的直线方程为，化简得，又，在抛物线上，得，，代入PQ直线得，化简得，代入点，得，则①，同理的PT的直线方程为，代入点，得②，由①②得，即③，同理可得QT的直线方程为，代入③得，即，故直线QT过定点．【变式8-1】已知椭圆经过点，左焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据焦点坐标和经过的点的坐标，列方程组求解即可；（2）当直线不是轴时，可设，将直线方程与椭圆方程联立、消元，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理代入，求解得到，验证当直线是轴时也成立，从而求解.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，又因为椭圆经过点，所以，又，所以，，所以椭圆的方程为；（2）假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为，设，，①当直线不是轴时，可设，与联立，并整理得，，即，，，依题意有，即，，，代入上式得，，解得，即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为；②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为.综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0.【变式8-2】已知圆，一动圆P与直线相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)已知过的直线与曲线T交于A，B两点，点，直线，分别与曲线T交于C，D两点，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程；（2）由题意设直线，直线，直线CD：联立抛物线方程，结合韦达定理即可证明．【详解】（1）由题意知圆的圆心，半径；设，易知点在直线右侧，所以到直线的距离为，又，由相切可得，即，化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为；（2）设，，直线，设，，与抛物线联立，得，因此，．设直线，与抛物线联立，得，因此，，则．同理可得．设直线CD：，与抛物线联立，得，因此，由，得，，所以，即所以直线的方程为，即直线CD过定点．【变式8-3】在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件可得出，设点，则，计算出的值，即可得出曲线的方程；（2）设点在点的左侧，则由题意得、，设、、，写出直线的直线方程，与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可得出直线的方程，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）因为点在反比例函数的图象上，所以，设点，因为点是线段的中点，所以，可得，所以，整理得．所以曲线的方程为．（2）证明：不妨设点在点的左侧，则由题意得、，设、、，则直线的方程为，直线的方程为，联立得：，当时，，由韦达定理得：，解得：，，同理得：，，当的斜率存在时，即时，，直线的方程为，即，此时恒过点；当时，、，此时直线的方程为，过点；当时，、，此时直线的方程为，过点．综上，直线过定点．题型09圆过定点问题【例17】已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.【例18】已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解；（2）可设直线为，，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得过定点再由直角三角形的性质可得结论，.【详解】（1）因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；（2）显然直线的斜率不为零，设直线为，，联立，消整理得，依题意得且，即且，，直线的方程为，令，得.所以直线过定点.过Q点作QN⊥AD于N，设的中点为R，若N和M不重合，则△为直角三角形，所以，若N和M重合，，所以点N在以QM为直径的圆上．【变式9-1】已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，直线l与抛物线C相交于A，B两点（A，B均异于原点）．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明：直线l恒过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有，结合已知求参数，即可得抛物线方程；（2）由题意设直线，联立抛物线消去y得到，应用韦达定理，弦长公式求中点坐标、，再由已知列方程求参数m，即可证结论.【详解】（1）由抛物线定义知：，则.（2）由题设，直线斜率一定存在，设直线，联立抛物线可得，即，则，，，故，故中点坐标为，以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，其半径，而，所以，两边平方得，整理得，即或，当，则，此时A，B必有一个点与原点重合，不合题意；当，则，此时直线必过定点.所以直线l恒过定点.【变式9-2】已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由．【答案】(1)(2)以为直径的圆恒过定点【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，结合的关系，列方程求解即可；（2）假设以为直径的圆恒过定点，当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，结合韦达定理求得，由题意恒成立时，以为直径的圆恒过定点，由此可求得定点；当直线的斜率不存在时，验证即可.【详解】（1）由题意可得，则，得，又椭圆经过点，则，联立解得，则椭圆的方程是.（2）假设以为直径的圆恒过定点，点在椭圆内，则直线必与椭圆相交，当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，并整理得，设点的坐标分别为，则，因为，及，所以当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点，所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点，当直线的斜率不存在，其方程为，可得，以为直径的圆的方程为，也过，综上可知，以为直径的圆恒过定点.【变式9-3】已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为，(1)求点的轨迹方程(2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是过定点，和【分析】（1）利用坐标表示出斜率可得，整理可得；（2）设直线方程为，并与椭圆方程联立可得，利用韦达定理可解得，由垂直关系的向量表示可得以为直径的圆过轴上的定点和.【详解】（1）设，则且所以整理可得，即点的轨迹方程（2）如下图所示：设直线方程为，，，联立可得可得，所以，；直线的方程为，可得，即；直线的方程为，可得，即；所以假设过定点，则，即，即可得，解得，所以定点为和．【点睛】关键点睛：本题的第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算出的值，最后根据，代入计算即可.题型10定直线问题【例19】已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，抛物线经过点，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，且的最大值为．(1)求椭圆和抛物线的标准方程；(2)过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于两点，线段的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线交于点，求证：点在定直线上．【答案】(1)椭圆，抛物线(2)证明见解析【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程可求得，进而得到抛物线标准方程和焦点坐标，进而得到；根据椭圆性质可知当为椭圆的短轴端点时，由此可由求得，进而得到椭圆方程；（2）设点，结合导数几何意义可求得直线方程，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；利用中点坐标公式可得点坐标，进而得到直线，将其与直线联立可求得点纵坐标，进而得到定直线方程.【详解】（1）由抛物线经过点得：，抛物线的标准方程为．，则为椭圆的上顶点，．由题意知：当为椭圆的短轴端点时，取得最大值，此时在中，，，，则，，椭圆的标准方程为：.（2）设点，对求导得，直线的斜率，直线的方程为，即．设，由得：，由得：，，，，，，则直线的方程为．又过点且垂直于轴的直线的方程为，则由得：，点在定直线上．【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的动点在定直线上的问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，通过已知等量关系求得动点的坐标；④根据动点坐标中变量间的关系可化简得到定直线方程.【例20】已知椭圆C：（，）过点，且离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程；（2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论．【详解】（1）依题意有，解得，所以椭圆C的标准方程为．（2）设，，联立，消整理得，则，解得，可得，，所以，所以，所以，又，所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴，所以的内心在定直线上．

【变式10-1】双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点H在定直线上【分析】（1）由，，结合双曲线定义表示，结合的周长为32求出，即可求出双曲线的标准方程；（2）设，则，设，则有及，所以，即可得出结论．【详解】（1）由，，则，所以，解得，，所以双曲线的标准方程为．

（2）因为，设，则，设，则有，由，得，即，可化为，由，得，即，可化为，所以，所以，即，所以点H在定直线上．

【变式10-2】已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点.(1)若，求的面积；(2)若直线与交于点，证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）联立抛物线与直线，消去得，设，由韦达定理得出，即可根据抛物线弦长公式得出，再由点到直线的距离公式得出点到直线的距离，即可根据三角形面积公式得出答案；（2）设，，分别联立抛物线与直线和抛物线与直线，消去根据韦达定理得出，，根据直线的点斜式化简得出直线与的方程，即可联立两直线方程消去，再代入，，化解得出定直线.【详解】（1）

依题意，，联立，得.设，故，故，，点到直线的距离，故.（2）

设，，联立得，则.同理可得，.则直线，化简得，，同理可得，直线，联立①②消去可得，故点在直线上.【变式10-3】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件： ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)点在直线上【分析】（1）选 ①②直接得出即可求出，得抛物线方程；选③联立方程求出弦端点横坐标表示出弦长，即可解出，得出抛物线方程；（2）令，，，利用导数求出切线方程,由点坐标适合方程，可得出直线的方程，代入点可证.【详解】（1）即为，若选①，抛物线方程为，选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为.选③，代入，解得，所以弦长为，解得，所以抛物线方程为.（2）令，，，则，,，,即为，又即，同理，，，而过点即点在直线上课后作业一、单选题1．已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（

）A． B．4 C． D．9【答案】A【分析】利用两点间距离公式，通过解方程组、三角形面积公式进行求解即可.【详解】由，根据抛物线的对称性，设，因为，所以，而点在抛物线上，所以，则有，或舍去，即，，又因为的面积为，所以有，舍去.故选：A.2．已知椭圆M：，点在其上，直线l交椭圆于A，B两点，的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入椭圆方程求出，设，利用点差法得到，结合的重心是坐标原点，得到，求出直线l的斜率.【详解】将代入椭圆方程得，，令，则，解得，即，设，则，，故，又，两式相减得，，变形得到，即，故，，解得.故选：B3．已知直线和双曲线，若与的上支交于不同的两点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设直线与双曲线的上支交于两点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系结合二次方程首项系数不为零、判别式可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.【详解】设直线与双曲线的上支交于两点、，联立，消去可得，则，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D.二、多选题4．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．的最大值为4C．的最大值为3 D．的最大值为【答案】BCD【分析】由椭圆方程求出离心率可判断A；由基本不等式可判断B；由向量数量积的坐标运算可判断C；当点为短轴的端点时，取得最大值，求出可判断D.【详解】由椭圆方程得，，，因此，，选项A中，，，故，A错误；选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；选项C中，令，则，故C正确；选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时，则，，的最大值为，D正确.故选：BCD.

5．过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为，若的最小值为8，则（

）A．的坐标为B．若，则C．的中点到的准线的最小距离为4D．当时，为的一个四等分点【答案】BCD【分析】根据给定条件，结合抛物线定义求出及抛物线方程，再逐项计算判断即得.【详解】抛物线：的焦点，准线，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，由消去并整理得，则，，，因此，当且仅当时取等号，即，，抛物线：，焦点，A错误；显然，，则，解得，即的斜率为，于是或，，B正确；的中点到准线的距离，当且仅当时取等号，C正确；当时，直线的方程为，由消去y得：，不妨令，，于是，因此为的一个四等分点，D正确．故选：BCD三、填空题6．已知双曲线（，）的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，，则.【答案】【分析】先利用双曲线的离心率得到，写出直线的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.【详解】由于双曲线的离心率为，故，所以直线的方程为，设，，又焦点坐标为，则，，所以，由于，故当时取得最小值，此时，当时取得最大值，此时，则.故答案为：7．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为．【答案】【分析】设直线MN的解析式为，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．【详解】设．设直线MN的解析式为，联立得到：，整理，得，则设则即存在时，，即存在，使得为定值故答案为：．四、解答题8．已知双曲线：，点的坐标为．(1)设直线过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）直线的方程为．由方程组得．设,则，．（2）设点，则点的坐标为．，，．因为，所以．9．给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．(1)求椭圆和其“准圆”的方程；(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．【答案】(1)椭圆的方程为，其“准圆”方程为；(2).【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；（2）设，写出，坐标，应用向量数量积的坐标表示得，结合是椭圆上及其有界性，即可求范围.【详解】（1）由题意知，且，可得，故椭圆的方程为，其“准圆”方程为．（2）由题意，设，则有，不妨设，，所以，，所以，又，则，所以的取值范围是．

10．过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交于两点．(1)求；(2)若为上的动点，设（为坐标原点），求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）写出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；（2）设，利用表示出，然后代入椭圆方程，利用韦达定理整理化简，然后利用基本不等式可得最值.【详解】（1）由题可知点，设，直线，联立方程得，消去并整理得，，；（2）设，由，得，在上，，．．由（1）知，．．，当且仅当时取等号，，即的最大值为．11．已知点为椭圆C：上一点，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）若为直线上的一点，过点作椭圆C的两条切线，切点分别为，，，．①判断直线与椭圆C的位置关系（只给出判断不写理由）；②直线上是否存在一点，使为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2