第十讲 导数的概念及其意义（学生版）

第十讲导数的概念及其意义【知识梳理】一、平均速度与瞬时速度（1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度（2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即二、割线的斜率和切线的斜率（1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率.（2）切线与切线的斜率①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即.三、导数（1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率.（2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即.（3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即.（4）导函数当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即.说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢.②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值.四、求切线方程1.求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2.求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.题型01平均变化率【解题思路】（1）求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的变化量;第二步,求函数值的变化量;第三步,求平均变化率.（2）求点附近的平均变化率,可用的形式.【例1】已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且.(1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度.【例2】下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（

）A． B．C． D．【变式1-1】函数，当自变量由改变到时，的变化为（

）A． B．C． D．【变式1-2】若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于．【变式1-3】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)之间的函数关系式为.(1)求运动员在第一个内的平均速度；(2)求运动员在这段时间内的平均速度.题型02瞬时变化率【解题思路】求瞬时速度的步骤：（1）求位移增量,;（2）求平均速度,;（3）取极限,;（4）若极限存在,则时刻的瞬时速度为.【例3】某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【例4】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（

）A．10.9 B．0.1 C．6 D．5【变式2-1】枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.【变式2-2】物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为．【变式2-3】某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：

①在时高度关于时间的瞬时变化率为；②曲线在附近比在附近下降得慢；③曲线在附近比在附近上升得快；④设在和时该运动员的瞬时速度分别为和，则．其中所有正确结论的序号是．题型03导数的概念【解题思路】（1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有:【例5】已知函数在处的导数为，则（

）A． B． C． D．【例6】用导数的定义求函数的导数．【变式3-1】若函数在处的瞬时变化率为，且，则（

）A．2 B．4 C． D．【变式3-2】设，则（

）A． B． C．3 D．12【变式3-3】设函数，若，则．题型04利用导数的定义求切线斜率【解题思路】用导数定义求函数在某一点处的切线斜率的步骤：①求函数的增量;②求平均变化率;③求极限.【例7】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【例8】曲线在点处的切线的斜率为（

）A． B．C． D．【变式4-1】若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为．【变式4-2】函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为．【变式4-3】设是曲线上一点，求曲线在点P处切线的斜率.题型05利用导数的概念求切线方程【解题思路】利用导数定义求函数在某一点处的切线斜率之后，然后用点斜式方程进行求切线方程即可【例9】函数在点处的切线方程为.【例10】已知函数图象上两点、.（1）若割线的斜率不大于，求的范围；（2）求函数的图象在点处切线的方程.【变式5-1】已知曲线，，过两条曲线的交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴围成的三角形的面积．（请用导数的定义求切线的斜率，否则只得结论分）【变式5-2】已知函数.(1)利用导数的定义求导函数；(2)求曲线在点处的切线的方程.【变式5-3】已知曲线.(1)利用导数的定义求的导函数；(2)求曲线上横坐标为的点处的切线方程.题型06已知切线（斜率）求参数【例11】若函数在处的切线方程为，则（

）A．2 B．3 C． D．【例12】（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（）A． B．C． D．【变式6-1】如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．1【变式6-2】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是．【变式6-3】已知直线和曲线相切，则切点坐标为，实数a的值为．课后作业一、单选题1．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s2．函数，则自变量从变到时函数值的增量为（

）A． B．C． D．3．已知函数，则的大小关系为（

）A． B．C． D．4．已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A．B．C．D．5．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（

）A．-1 B．-3 C．1 D．6．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（

）A．1 B．2 C．4 D．6二、多选题7．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（

）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同8．若当，满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．曲线上点处的切线斜率为D．曲线上点处的切线斜率为9．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（

）

A． B．C． D．三、填空题10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象

A．

B．