初中数学七年级下册《平方差公式》教案（北师大版）

初中数学七年级下册《平方差公式》教案（北师大版）

一、教材分析

  《平方差公式》是北师大版初中数学七年级下册第一章“整式的乘除”中的核心内容。它在整式乘法与因式分解的知识体系中，扮演着承前启后的关键角色。在此之前，学生已经系统学习了同底数幂的运算、幂的乘方、积的乘方以及整式的乘法法则，能够进行单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算。平方差公式本质上是多项式乘法中一种特殊形式的高度概括与简化，是从一般到特殊的数学思想方法的典型体现。掌握平方差公式，不仅能够极大提升特定类型整式乘法的运算效率，更是后续学习因式分解（特别是公式法）、分式运算、二次根式运算乃至高中阶段更复杂代数变形的重要基石。教材通过“想一想”中的具体算式计算，引导学生观察、归纳规律，进而从代数推理和几何验证（面积模型）两个角度阐释公式的正确性与几何意义，充分体现了数形结合思想。本节课的教学，不仅在于让学生记忆并应用一个数学公式，更在于引导他们经历公式的探索与发现过程，理解其本质，发展符号意识、推理能力、几何直观和模型思想，提升数学核心素养。

二、学情分析

  七年级下学期的学生，正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已具备一定的代数运算能力和初步的探究意识，能够进行简单的归纳与类比。对于多项式乘法法则，学生已经掌握，但计算复杂多项式乘积（如(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)）时，仍需依赖法则逐步展开，过程较为繁琐，对运算简便性的需求客观存在。这为本节课引入公式的必要性提供了心理动机。然而，学生的抽象概括能力、对公式结构特征的深度辨识能力以及数形结合的应用能力仍显薄弱。他们可能容易记住公式的符号表达式(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2，但在面对形式多样的代数式时，往往难以准确识别出公式中的“a”和“b”所代表的具体代数结构，即“相同项”与“相反项”。此外，将抽象的代数公式与直观的几何图形相联系，对他们来说是一种重要的思维跨越，需要教师搭建合适的脚手架。因此，教学设计需通过丰富的、有梯度的实例，引导学生多角度辨析公式结构，并通过动手拼图等活动，使几何验证过程直观化、操作化，从而化解难点，深化理解。

三、教学目标

（一）知识与技能

  1.经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，理解平方差公式的本质。

  2.能准确推导平方差公式，并能用文字语言和符号语言进行表述。

  3.掌握平方差公式的结构特征，能准确识别符合公式条件的式子，并正确运用公式进行计算和简单的推理。

（二）过程与方法

  1.在探索公式的过程中，发展观察、归纳、概括的能力，体验从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思想方法。

  2.通过用几何图形面积说明公式的正确性，体会数形结合的思想方法。

  3.通过辨析和变式练习，提高对公式本质的理解和应用能力，培养符号意识和运算能力。

（三）情感、态度与价值观

  1.在探索与发现公式的活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

  2.感受数学公式的简洁美、对称美与和谐美，体会数学来源于生活又服务于生活的价值。

  3.在小组合作探究中，学会倾听、表达与交流，培养合作精神和严谨求实的科学态度。

四、教学重点与难点

（一）教学重点

  平方差公式的推导过程、结构特征及其初步应用。

（二）教学难点

  1.理解平方差公式的本质，即从多项式的乘法中抽象出“两数和与这两数差的积等于这两数的平方差”这一规律。

  2.准确识别公式中的“a”和“b”，特别是当它们代表一个单项式、多项式或带符号的式子的情况，并能灵活应用公式进行计算。

五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（包含探究问题、动画演示、分层练习题）、几何拼图板（或交互式白板绘图工具）。

  学生准备：复习多项式乘法法则、课前预习教材相关内容、准备方格纸、剪刀（用于可能的课堂动手操作环节）。

六、教学过程设计

（一）创设情境，设疑激趣（预计用时：5分钟）

  师：同学们，我们已经熟练掌握了多项式乘法的法则。现在，老师想和大家比一比计算速度。请计算以下三道题目：（1）(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

(x+2)(x-2)

(x+2)(x−2)；（2）(

1

+

3

a

)

(

1

−

3

a

)

(1+3a)(1-3a)

(1+3a)(1−3a)；（3）(

2

m

+

3

n

)

(

2

m

−

3

n

)

(2m+3n)(2m-3n)

(2m+3n)(2m−3n)。大家用多项式乘法法则计算，老师用“心算”。

  （学生动笔计算，教师迅速报出答案：x

2

−

4

x^2-4

x2−4，1

−

9

a

2

1-9a^2

1−9a2，4

m

2

−

9

n

2

4m^2-9n^2

4m2−9n2。学生核对后，发现教师速度极快且准确。）

  师：老师为什么能算得这么快？是不是这些算式藏着什么共同的秘密？今天，我们就一起来揭开这个秘密，学习一个能够让我们也拥有“神算”本领的公式——平方差公式。

  设计意图：通过设置师生竞赛的情境，制造认知冲突，激发学生的好奇心和求知欲。选取结构典型且易于计算的例子，为后续的观察归纳埋下伏笔，自然引出课题。

（二）合作探究，发现规律（预计用时：15分钟）

活动一：计算观察，归纳猜想

  师：请同学们以小组为单位，计算下列多项式乘积，并仔细观察每个算式及其结果，寻找它们之间的联系与规律。

    1.(

m

+

2

)

(

m

−

2

)

(m+2)(m-2)

(m+2)(m−2)

    2.(

2

x

+

1

)

(

2

x

−

1

)

(2x+1)(2x-1)

(2x+1)(2x−1)

    3.(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)（用多项式乘法法则推导）

    4.(

3

y

+

4

z

)

(

3

y

−

4

z

)

(3y+4z)(3y-4z)

(3y+4z)(3y−4z)

  （学生分组计算、讨论。教师巡视指导，关注学生的计算过程和对规律的表述。）

  师：请小组代表分享你们的发现。这些算式在结构上有什么共同点？运算结果有什么共同特征？

  生1：我们发现，相乘的两个二项式中，有一项完全相同（如m,2x,a,3y），另一项互为相反数（如+2与-2，+1与-1，+b与-b，+4z与-4z）。

  生2：运算结果看起来都是“相同项的平方”减去“相反项的平方”。比如第一题是m

2

−

2

2

m^2-2^2

m2−22，第二题是(

2

x

)

2

−

1

2

(2x)^2-1^2

(2x)2−12。

  师：概括得非常到位！那么，对于一般情况(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)，结果如何？

  生3：根据多项式乘法法则：(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

⋅

a

+

a

⋅

(

−

b

)

+

b

⋅

a

+

b

⋅

(

−

b

)

=

a

2

−

a

b

+

a

b

−

b

2

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a\cdota+a\cdot(-b)+b\cdota+b\cdot(-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2。

  师：很好！这样我们就从具体的数字例子，归纳并推导出了一个一般的结论。谁能用最精炼的语言把这个结论表述出来？

  生4：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

  师：完美！这就是我们今天要学习的平方差公式。我们可以用符号语言将它表示为：

    (

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2

    其中，a

a

a和b

b

b可以是任意的数、单项式或多项式。

  设计意图：让学生亲历“计算—观察—归纳—猜想—验证（推导）”的完整探究过程。从特殊到一般，逐步抽象出数学模型。小组合作有利于思维碰撞，培养学生的归纳概括能力和合作交流能力。强调对算式结构（“相同项”与“相反项”）的观察，是突破难点的关键第一步。

活动二：几何验证，深化理解

  师：这个代数的公式，能否用我们熟悉的几何图形来直观地解释呢？请大家思考：a

2

a^2

a2可以看作边长为a

a

a的正方形面积，b

2

b^2

b2可以看作边长为b

b

b的正方形面积。那么a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2表示什么？

  生：表示从边长为a

a

a的大正方形中，挖去一个边长为b

b

b的小正方形后，剩下部分的面积。

  师：没错。那么剩下的这部分面积，是否正好等于一个长为(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)、宽为(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)的长方形的面积呢？请大家利用手中的方格纸或跟随课件动画，一起进行“拼图验证”。

  （教师通过课件动态演示，或引导学生动手操作：先画一个边长为a

a

a的大正方形，在其一角画一个边长为b

b

b的小正方形。将剩余部分（L形区域）剪切下来，通过平移和旋转，拼成一个长方形。）

  师：通过动画/操作，我们看到，剩余部分恰好可以拼成一个长方形。这个长方形的长是多少？宽是多少？

  生：长是a

+

b

a+b

a+b，宽是a

−

b

a-b

a−b。

  师：所以，这个长方形的面积是(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)。而它正是由原来面积为a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2的图形拼成的。因此，从几何意义上，我们再次验证了：

    (

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2

  设计意图：利用几何直观验证代数公式，是数形结合思想的生动体现。动态演示或动手操作，将抽象的代数关系转化为直观的图形变换，帮助学生从另一角度深刻理解公式的本质，建立牢固的认知联系，同时发展几何直观素养。

（三）剖析公式，辨析结构（预计用时：10分钟）

  师：现在我们已经得到了平方差公式。要熟练运用它，我们必须像认识一位新朋友一样，透彻地了解它的“相貌特征”。请同学们思考并讨论：

  1.公式的左边有什么特征？（相乘的两个二项式在结构上必须满足什么条件？）

  2.公式的右边有什么特征？（结果由几项组成？符号如何？）

  3.公式中的a

a

a和b

b

b分别指代什么？

  （学生讨论后回答，教师提炼并板书）

  公式左边特征：

    -相乘的两部分都是二项式。

    -这两部分中，有一项完全相同（即公式中的a

a

a），另一项互为相反数（即公式中的b

b

b与−

b

-b

−b）。

  公式右边特征：

    -结果是两项的差。

    -这两项分别是“相同项a

a

a的平方”和“相反项b

b

b的平方”，即a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2。

  师：关键是要找准公式中的a

a

a和b

b

b。它们可以是正数、负数，也可以是单项式或多项式。下面我们进行“火眼金睛”辨析练习。判断下列各式能否运用平方差公式计算？如果能，请指出公式中的a

a

a和b

b

b分别是什么。

    1.(

−

x

+

y

)

(

−

x

−

y

)

(-x+y)(-x-y)

(−x+y)(−x−y)（能，a

=

−

x

,

b

=

y

a=-x,b=y

a=−x,b=y）

    2.(

m

−

n

)

(

−

m

+

n

)

(m-n)(-m+n)

(m−n)(−m+n)（不能，两项均互为相反数，不符合“一项相同，一项相反”）

    3.(

2

a

+

3

b

)

(

3

b

−

2

a

)

(2a+3b)(3b-2a)

(2a+3b)(3b−2a)（能，需调整顺序为(

3

b

+

2

a

)

(

3

b

−

2

a

)

(3b+2a)(3b-2a)

(3b+2a)(3b−2a)，则a

=

3

b

,

b

=

2

a

a=3b,b=2a

a=3b,b=2a）

    4.(

x

+

2

)

(

x

−

3

)

(x+2)(x-3)

(x+2)(x−3)（不能，第二项不是相反数，是不同数）

    5.(

y

2

+

1

)

(

y

2

−

1

)

(y^2+1)(y^2-1)

(y2+1)(y2−1)（能，a

=

y

2

,

b

=

1

a=y^2,b=1

a=y2,b=1）

    6.[

x

+

(

y

−

z

)

]

[

x

−

(

y

−

z

)

]

[x+(y-z)][x-(y-z)]

[x+(y−z)][x−(y−z)]（能，把(

y

−

z

)

(y-z)

(y−z)看成一个整体，a

=

x

,

b

=

(

y

−

z

)

a=x,b=(y-z)

a=x,b=(y−z)）

  设计意图：此环节是教学的重中之重，旨在引导学生深度剖析公式的结构特征，特别是理解“a”和“b”的广泛含义。通过辨析正反例子，尤其是包含符号变化、需调整顺序、含多项式整体作为“项”的复杂情况，帮助学生突破识别公式适用条件的难点，为正确应用扫清障碍。

（四）范例导学，初步应用（预计用时：15分钟）

  师：掌握了公式的结构，我们来看看如何应用它进行计算。请同学们看例题，注意解题的规范步骤。

  例1：运用平方差公式计算：

    (1)(

3

x

+

2

)

(

3

x

−

2

)

(3x+2)(3x-2)

(3x+2)(3x−2)

    (2)(

−

x

+

2

y

)

(

−

x

−

2

y

)

(-x+2y)(-x-2y)

(−x+2y)(−x−2y)

    (3)(

b

+

2

a

)

(

2

a

−

b

)

(b+2a)(2a-b)

(b+2a)(2a−b)

    (4)(

−

4

a

−

1

)

(

4

a

−

1

)

(-4a-1)(4a-1)

(−4a−1)(4a−1)

  解：(1)(

3

x

+

2

)

(

3

x

−

2

)

=

(

3

x

)

2

−

2

2

=

9

x

2

−

4

(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4

(3x+2)(3x−2)=(3x)2−22=9x2−4

    (2)(

−

x

+

2

y

)

(

−

x

−

2

y

)

=

(

−

x

)

2

−

(

2

y

)

2

=

x

2

−

4

y

2

(-x+2y)(-x-2y)=(-x)^2-(2y)^2=x^2-4y^2

(−x+2y)(−x−2y)=(−x)2−(2y)2=x2−4y2

    （教师强调：此处a

=

−

x

a=-x

a=−x，其平方为(

−

x

)

2

=

x

2

(-x)^2=x^2

(−x)2=x2，符号问题易错。）

    (3)(

b

+

2

a

)

(

2

a

−

b

)

=

(

2

a

+

b

)

(

2

a

−

b

)

=

(

2

a

)

2

−

b

2

=

4

a

2

−

b

2

(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2

(b+2a)(2a−b)=(2a+b)(2a−b)=(2a)2−b2=4a2−b2

    （教师强调：当顺序不标准时，可运用加法交换律调整，使之符合(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)的形式。）

    (4)(

−

4

a

−

1

)

(

4

a

−

1

)

=

[

(

−

1

)

−

4

a

]

[

(

−

1

)

+

4

a

]

=

(

−

1

)

2

−

(

4

a

)

2

=

1

−

16

a

2

(-4a-1)(4a-1)=[(-1)-4a][(-1)+4a]=(-1)^2-(4a)^2=1-16a^2

(−4a−1)(4a−1)=[(−1)−4a][(−1)+4a]=(−1)2−(4a)2=1−16a2

    （教师引导：观察两个因式，发现都有“-1”，可将“-1”视为相同项a

a

a，将“4a”视为相反项b

b

b，需灵活处理。）

  师：通过例1，我们总结一下运用平方差公式计算的步骤：一“找”，找出相同项a

a

a和相反项b

b

b；二“套”，准确套用公式a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2；三“算”，计算出a

2

a^2

a2和b

2

b^2

b2的值并最终化简。

  例2：计算：

    (1)102

×

98

102\times98

102×98

    (2)(

y

+

2

)

(

y

−

2

)

(

y

2

+

4

)

(y+2)(y-2)(y^2+4)

(y+2)(y−2)(y2+4)

  解：(1)102

×

98

=

(

100

+

2

)

(

100

−

2

)

=

100

2

−

2

2

=

10000

−

4

=

9996

102\times98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2=10000-4=9996

102×98=(100+2)(100−2)=1002−22=10000−4=9996

    （教师强调：平方差公式在简化数值计算中的应用，体现数学的实用价值。）

    (2)(

y

+

2

)

(

y

−

2

)

(

y

2

+

4

)

=

(

y

2

−

4

)

(

y

2

+

4

)

=

(

y

2

)

2

−

4

2

=

y

4

−

16

(y+2)(y-2)(y^2+4)=(y^2-4)(y^2+4)=(y^2)^2-4^2=y^4-16

(y+2)(y−2)(y2+4)=(y2−4)(y2+4)=(y2)2−42=y4−16

    （教师强调：连续运用平方差公式，注意每一步找准新的a

a

a和b

b

b。）

  设计意图：通过例题讲解，示范应用公式的规范步骤和书写格式。例1涵盖基本类型及常见变式（符号、顺序、整体），巩固对公式结构的理解。例2拓展公式的应用范围，体现其在简算和多重运算中的价值，培养学生灵活应用的能力和综合思维。

（五）分层练习，巩固提升（预计用时：12分钟）

A组（基础巩固）

  1.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

    A.(

a

+

b

)

(

−

a

−

b

)

(a+b)(-a-b)

(a+b)(−a−b) B.(

a

−

b

)

(

b

−

a

)

(a-b)(b-a)

(a−b)(b−a) C.(

a

+

b

)

(

a

−

c

)

(a+b)(a-c)

(a+b)(a−c) D.(

−

a

+

b

)

(

−

a

−

b

)

(-a+b)(-a-b)

(−a+b)(−a−b)

  2.运用平方差公式计算：

    (1)(

p

+

5

)

(

p

−

5

)

(p+5)(p-5)

(p+5)(p−5) (2)(

4

x

−

7

y

)

(

4

x

+

7

y

)

(4x-7y)(4x+7y)

(4x−7y)(4x+7y) (3)(

−

2

m

−

3

n

)

(

3

n

−

2

m

)

(-2m-3n)(3n-2m)

(−2m−3n)(3n−2m)

  3.计算：201

×

199

201\times199

201×199（利用平方差公式简算）。

B组（能力提升）

  4.填空：

    (1)(

_

_

_

+

3

a

)

(

_

_

_

−

3

a

)

=

4

b

2

−

9

a

2

(\_\_\_+3a)(\_\_\_-3a)=4b^2-9a^2

(___+3a)(___−3a)=4b2−9a2

    (2)(

2

m

−

_

_

_

)

(

_

_

_

+

5

n

)

=

4

m

2

−

25

n

2

(2m-\_\_\_)(\_\_\_+5n)=4m^2-25n^2

(2m−___)(___+5n)=4m2−25n2

  5.计算：

    (1)(

2

+

1

)

(

2

2

+

1

)

(

2

4

+

1

)

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)

(2+1)(22+1)(24+1)（提示：可构造使用平方差公式的条件）

    (2)(

x

−

1

)

(

x

+

1

)

(

x

2

+

1

)

(

x

4

+

1

)

(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

C组（拓展探究）

  6.已知a

2

−

b

2

=

12

a^2-b^2=12

a2−b2=12，a

−

b

=

2

a-b=2

a−b=2，求a

+

b

a+b

a+b和a

b

ab

ab的值。

  7.一个正方形的边长增加3厘米，它的面积就增加39平方厘米，求这个正方形原来的边长。（列方程求解，体会平方差公式在解方程中的应用）

  （学生独立或小组合作完成练习，教师巡视，针对不同层次学生进行个别指导。完成后，选取有代表性的解答进行讲评，特别是B、C组题目的思路点拨。）

  设计意图：设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求。A组题夯实基础，确保全体学生掌握公式的基本应用。B组题注重公式的逆用和变形，以及构造使用公式的策略，发展逆向思维和灵活应变能力。C组题联系代数求值与实际问题，提升综合应用能力和数学建模意识。分层设计有助于实现“让不同的人在数学上得到不同的发展”。

（六）课堂小结，反思升华（预计用时：3分钟）

  师：同学们，这节课即将结束，请大家静心回顾，分享你的收获与体会。（引导学生从知识、方法、思想、情感等多方面进行总结）

  生1：我学会了平方差公式(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2，知道了它的结构特征和应用方法。

  生2：我经历了从特殊例子归纳出一般公式的过程，还知道了可以用图形的面积来验证它。

  生3：我体会到数学公式的简洁和有用，比如可以快速计算像102×98这样的题目。

  生4：我觉得找准公式里的a

a

a和b

b

b很重要，有时候它们是一个整体。

  师：总结得非常好！今天我们不仅学习了一个重要的数学工具——平方差公式，更体验了“观察—猜想—验证—应用”的数学探索之旅，感受了数形结合的威力。公式的左边是“和与差的积”，右边是“平方的差”，这体现了数学的一种对称美。记住公式的外形很重要，但理解它的内涵和来龙去脉更重要。

  设计意图：引导学生自主梳理本节课的知识脉络、探究方法和核心思想，将零散的知识点系统化、结构化。通过反思学习过程，深化对数学思想方法的认识，提升元认知能力，实现情感态度价值观的升华。

（七）布置作业，延伸学习

  必做题：

  1.教材课后练习对应部分。

  2.完成练习册本节基础习题。

  选做题：

  3.探究：(

a

+

b

+

c

)

(

a

+

b

−

c