小学三年级数学下册《解决问题：乘法模型建构》数形结合衔接课教案

小学三年级数学下册《解决问题：乘法模型建构》数形结合衔接课教案

一、课程基础与设计理念

（一）【课程背景与定位】

本课是针对小学三年级学生设计的一节数学概念建构与思维提升课，位于学生已经初步掌握表内乘法、两位数乘一位数（不进位）以及初步认识除法意义的基础之上，旨在为学生后续学习两位数乘两位数、多位数乘法以及更复杂的数学模型奠定坚实的思维基础。本课以“解决问题”为核心载体，深度融合“数形结合”的思想方法，引导学生经历从具体情境中抽象出数学模型、并运用模型解释和预测现实问题的全过程，实现从“经验型理解”向“观念化建构”的跨越。

（二）【核心素养聚焦】

1.数感与量感：在具体情境中理解乘法运算的实际意义，能根据问题情境灵活选择估算或精算，感受大数的实际大小。

2.几何直观：通过画点子图、方格图、线段图等方式，将抽象的乘法数量关系可视化，借助图形直观理解运算意义、发现运算规律、分析数量关系。

3.模型意识：经历从现实情境中提炼出“每份数×份数=总数”这一基本乘法模型的过程，并能运用此模型解决同类问题，初步感知模型的普适性。

4.运算能力：在理解算理的基础上，掌握两位数乘两位数（不进位）的笔算方法，并能正确进行计算，理解每一步运算的几何意义。

5.推理意识：通过观察、比较、归纳，能够基于图形进行合情推理，发现计算方法与图形分割之间的内在联系，发展演绎推理的雏形。

（三）【【核心难点】与【教学关键点】】

1.【核心难点】：如何引导学生深刻理解两位数乘两位数（如14×12）的算理，特别是理解用第二个乘数的十位去乘第一个乘数时，所得积的末位为什么要与十位对齐（即定位问题），并能够将抽象的竖式步骤与直观的图形模型建立一一对应的关系。

2.【教学关键点】：以数形结合为主线，通过“以形助数”（借助图形理解抽象的乘法运算）和“以数解形”（用算式刻画图形的结构）的双向互动，搭建从直观思维到抽象思维的桥梁，帮助学生完成乘法模型的深度建构。

二、教学目标与评价设计

（一）【【三维目标体系】】

1.知识与技能目标：

1.2.学生能够结合具体情境，运用“每份数×份数=总数”的模型解决实际问题。

2.3.学生能够掌握两位数乘两位数（不进位）的笔算方法，理解每一步计算的道理，并能正确、熟练地计算。

3.4.学生能够初步学会画线段图或点子图分析数量关系。

5.过程与方法目标：

1.6.通过自主探究与合作交流，经历将“14×12”这一抽象算式与“点子图”等直观模型进行匹配、拆分、组合的过程，感悟数形结合的思想。

2.7.在观察、比较、归纳中，发现不同算法（口算、竖式）之间的联系，体会算法多样化与优化的过程。

3.8.能够运用所建构的乘法模型，尝试解决生活中的简单实际问题，进行初步的模型应用。

9.情感态度与价值观目标：

1.10.在探索数学问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

2.11.感受数学与生活的紧密联系，体会数学模型的简洁与美妙，激发进一步探究数学问题的兴趣。

3.12.培养认真计算、书写工整、自觉检验的良好学习习惯。

（二）【【教学评价任务】】

1.【过程性评价】：

1.2.课堂观察：观察学生在小组合作中能否积极参与讨论，能否清晰地表达自己的想法，能否倾听他人的意见。重点关注学生能否在点子图上进行合理的拆分，并用算式记录自己的思路。

2.3.提问与对话：通过追问“为什么这样分？”“你的算式对应了图中的哪一部分？”“竖式中这一步求的是什么？在图中在哪里？”，评估学生对算理的理解深度。

4.【终结性评价】：

1.5.基础性练习：完成教材或练习纸上若干道两位数乘两位数的竖式计算，考察计算的正确率和书写规范性。

2.6.应用性练习：呈现一个新的生活情境（如铺地砖、买文具），要求学生先画图分析数量关系，再列式解答，并解释每一步的含义，考察模型应用能力。

3.7.拓展性练习：提供一道如“24×13”的算式，要求学生不通过计算，而是通过画图来说明计算结果的道理，考察数形结合的迁移能力。

三、教学准备

（一）教师准备：多媒体课件（包含动态演示的点子图分割与组合过程、竖式书写动画）、学习任务单（每人一份）、大尺寸磁性点子图贴片（用于黑板演示）。

（二）学生准备：每人一张印有12行14列的点子图（或方格图）的作业纸、彩笔、练习本。

四、【【教学实施过程】】（核心环节）

（一）【激活经验，引入模型】（约5分钟）

1.情境创设：课件呈现“学校图书室新买来一批书，每包14本，买了3包，一共买了多少本？”的画面。

2.问题解决：请学生口头列式（14×3=42），并追问为什么用乘法？引导学生回顾乘法模型：求几个相同加数的和，用乘法计算，即“每包本数（每份数）×包数（份数）=总本数（总数）”。

3.模型变式：将情境稍作改动：“还是每包14本，这次买了10包，一共买了多少本？”学生快速口算（14×10=140），再次强化“每份数×份数=总数”的模型。

4.揭示课题：将两个问题合并：“学校图书室新买来一批书，每包14本，买了12包，一共买了多少本？”你能列式吗？（14×12）这就是我们今天要研究的“解决问题”，我们将用一种神奇的方法——“数形结合”（板书），来帮助我们理解和计算。

（设计意图：通过复习简单的一步乘法问题，唤醒学生对乘法基本模型的已有认知，为后续将新知纳入旧知体系做好铺垫。同时，通过情境的连续变化，自然引出本课的核心问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望。）

（二）【自主探究，建构模型】（约20分钟）

1.独立尝试，数形初遇：

1.2.任务驱动：14×12等于多少呢？学生可能根据已有经验口算出168。教师追问：“168这个结果对吗？为什么可以这样算？你能不能用老师给大家准备的点子图（每行14个点，有12行）来验证一下，并且让别人一眼就能看出你的想法？”

2.3.操作要求：请在点子图上分一分、画一画、圈一圈，然后用算式把自己的分法记录下来，看看你能想出几种不同的方法。

3.4.【重点关注】：学生独立思考与操作，教师巡视，寻找有价值的生成性资源。重点关注学生是如何分割点子图的，以及分割后的部分是否便于用已学的乘法计算。

5.小组交流，数形对话：

1.6.交流要求：在小组内轮流说一说自己是怎么分的，每一步算式求的是图中的哪一部分，最后怎么得到总数。

2.7.【重要】教师参与：深入小组，引导学生将“形”的描述与“数”的表达式精确对应起来。例如，当一个学生说“我先算10行，再算2行”时，教师可以追问：“10行是哪一部分？你能指出来吗？用算式怎么表示？14×10=140，这140个点在图上是哪些点？”

8.全班展示，模型提炼：

1.9.请不同思路的小组代表上台，利用大磁性点子图展示自己的方法，并讲解。

2.10.预设方法一（拆分行数）：

1.3.11.展示：将点子图横着分成上面10行和下面2行。

2.4.12.讲解：先算10行有多少个点？14×10=140。再算2行有多少个点？14×2=28。然后把两部分的点数加起来：140+28=168。

3.5.13.教师点拨：这位同学是把12行拆成了我们熟悉的10行和2行，分别乘14，再相加。这实际上就是把新知识（14×12）转化成了旧知识（14×10和14×2）。【板书：14×12=14×(10+2)=14×10+14×2】

6.14.预设方法二（拆分数列）：

1.7.15.展示：将点子图竖着分成左边10列和右边4列。

2.8.16.讲解：先算左边10列有多少个点？12×10=120。再算右边4列有多少个点？12×4=48。最后相加：120+48=168。

3.9.17.教师点拨：真棒！你们是从列的角度思考的，把14列拆成10列和4列，同样把新知识转化成了旧知识。【板书：14×12=12×14=12×(10+4)=12×10+12×4】这里我们用到了乘法交换律，虽然形式不同，但本质都是把其中一个乘数拆成整十数和一位数。

10.18.预设方法三（拆分成四个部分）：

1.11.19.展示：将点子图既分行又分列，分成左上、右上、左下、右下四个小长方形。例如，横着分成10行和2行，竖着分成10列和4列，得到四个部分：10行10列（10×10=100），10行4列（10×4=40），2行10列（2×10=20），2行4列（2×4=8）。

2.12.20.讲解：把这四部分的点数都加起来：100+40+20+8=168。

3.13.21.教师点拨：这是一种非常全面、深刻的思考方式！它把14和12都拆开了，然后用四个小长方形的面积之和来表示整个大长方形的点数。这为我们后面学习竖式打下了非常重要的基础。【板书：14×12=(10+4)×(10+2)=10×10+10×4+2×10+2×4】

22.沟通联系，初建模型：

1.23.对比分析：引导学生观察黑板上三种方法的板书。提问：“这些方法有什么共同的地方？”（都是把新问题转化成旧知识；都是把大的长方形分割成几个小的、会算的长方形；最后都要把几部分的积加起来）。

2.24.提炼本质：无论怎么分，我们其实都是在求这个由14行12列组成的点阵的总数。这种将一个复杂的乘法，通过图形分割，分解成几个简单乘法，再把结果合并的思路，就是“数形结合”的魅力。它帮助我们建立了一个处理复杂乘法问题的基本模型——“先分后合”。

（三）【模型进阶，数形归一】（约12分钟）

1.引发冲突，寻求统一：

1.2.“同学们想出了这么多巧妙的方法，真了不起！在数学上，我们通常用一种更简洁、更通用的方式来记录‘先分后合’的过程，这就是竖式计算。我们今天就来研究14×12的竖式写法。”

2.3.板书竖式，并引导学生回顾刚才的拆分过程，重点是理解“分”与“合”的顺序。

4.【【难点突破】】以形解数，理解算理：

1.5.第一步：计算2行的情况。

1.2.6.在竖式上写出：先算14×2。教师边写边问：“这一步算的是什么？”引导学生看图，对应点子图下面那2行。

2.3.7.得出28。追问：“28表示什么？”（表示2行共有28个点）。

4.8.第二步：计算10行的情况（【【重中之重】】）。

1.5.9.关键提问：“接下来我们该算什么？是算哪一部分？”引导学生回答算10行。

2.6.10.教师书写：在竖式下面一行，写14×1。

3.7.11.制造认知冲突：“14×1=14，我们直接在这里写14吗？”很多学生可能会说“是”。

4.8.12.图形反击：“别急，我们回到点子图看看。这个‘1’在乘数12里面，它表示的是1吗？”引导学生观察乘数12，其中的“1”在十位上，表示1个十。那么14×1，实际上是14×1个十，也就是14个十，即140。

5.9.13.数形结合：“140在点子图上是哪一部分？请大家在图上指一指。”学生指出是上面10行的那一大片。“对，这10行，每行14个点，10行就是140个点。如果我们在这里写‘14’，就变成了只有1行的点数了，显然不对。”

6.10.14.位置决定意义：“那140在竖式里应该怎么写呢？为了简洁，我们通常把个位的0省略不写，但‘4’要写在十位上，表示4个十；‘1’要写在百位上，表示1个百。这样写，就暗暗地告诉我们，这其实是14×10的结果。”教师边讲解边示范书写，强调“4”对齐十位。

11.15.第三步：合并求和。

1.12.16.“最后，我们把2行的28个点和10行的140个点加起来，得到总数168。”完成竖式最后的加法。

17.回顾对比，模型升华：

1.18.多媒体验证：课件动态演示，将点子图的分割过程与竖式的每一步计算同步播放。每播放一步，就暂停，让学生对照竖式和图形，说清“这一步在算什么？用的是哪种分法？”（引导学生关注到竖式实际上是“预设方法一”的标准化记录）。

2.19.总结模型：现在我们可以完整地说，14×12这个乘法模型，用竖式解决时，就是分了两个步骤：第一步，用个位上的2乘14，得到28个一；第二步，用十位上的1乘14，得到14个十（即140）；最后把两个部分积加起来。这个过程的每一步，都能在我们的点子图中找到对应的“形”。这就是数形结合的强大之处——用图帮助我们理解算理，用算式精确地记录计算过程。

（四）【巩固应用，内化模型】（约8分钟）

1.【基础演练】：

1.2.完成学习任务单上的“试一试”：23×13。要求学生先不计算，在点子图（或自己画的简单示意图）上分一分，圈出先算什么，再算什么，然后在旁边用竖式进行计算。

2.3.同桌互相检查，指着图向对方解释竖式中每一步的含义。

4.【变式应用】：

1.5.呈现生活情境题：“王叔叔家有一块长22米，宽13米的长方形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？”

2.6.引导学生分析：这是求长方形的面积，其实也可以用“每份数×份数”的模型来理解（每行22平方米，有13行）。

3.7.要求学生独立画图（画一个长方形草图即可，不必精确），并列竖式计算。

4.8.展示学生作业，重点评价其是否能将面积问题与乘法模型建立联系，以及竖式计算是否正确。

9.【【高频考点】诊断】：

1.10.出示一道有典型错误的竖式（如：计算32×12时，部分积的数位没有对齐），让学生当“小医生”进行诊断和修改。

2.11.让学生利用数形结合的思想，说明为什么这样写是错的，正确的应该怎么写，并对照图形指出错误所在。

（五）【课堂总结，拓展模型】（约5分钟）

1.回顾梳理：引导学生从知识、方法和思想三个层面总结本课的收获。

1.2.“今天我们学习了什么新知识？”（两位数乘两位数的笔算）

2.3.“我们是怎样学习的？”（通过画点子图，把新知识转化成旧知识）

3.4.“你印象最深的是什么？”（数形结合的方法，竖式中部分积的定位问题）

5.【模型拓展】：

1.6.横向拓展：教师提问：“今天我们借助了长方形点阵图来理解乘法。想一想，生活中还有哪些问题也可以用这个‘每份数×份数=总数’的模型来解决？”（例如：求总价——单价×数量；求路程——速度×时间；求工作总量——工作效率×工作时间等）

2.7.纵向延伸：“我们今天学的是14×12，如果以后遇到三位数乘两位数，比如123×23，还能不能用这样的数形结合的方法来思考？竖式又会怎么写呢？大家课后可以大胆地猜想一下。”

8.思想升华：教师总结：“同学们，今天我们用‘形’这把钥匙，打开了‘数’的大门，不仅学会了计算，更重要的是掌握了一种重要的数学思想——数形结合。希望同