四年级下册数学《租船问题》优化策略教学设计

四年级下册数学《租船问题》优化策略教学设计

一、教学内容解析

【基础】本课教学内容隶属于人教版小学数学四年级下册第一单元“四则运算”中的解决问题拓展板块，也常作为“数学广角”优化思想的渗透内容出现。其核心载体为“租船问题”，即给定两种或多种不同类型的船只（或车辆），每种类型有限乘人数和租金单价，要求在满足总人数运输需求的前提下，通过合理搭配船只类型，使得总租金最省。

【难点】本课的教学难点在于帮助学生突破“单价便宜不一定总价最省”的思维定式。学生往往能迅速通过计算发现大船的人均单价更便宜，从而得出“尽量租大船”的初步结论。然而，当总人数除以大船限乘人数出现余数时，如何调整方案（是继续租大船还是用小船替换）成为思维的关键转折点。学生需要理解“空位”也是成本，调整的本质是用“增加的空位成本”去置换“减少的单价成本”，这是一个涉及多变量、需要统筹思想的复杂思维过程。

【重要】本课在整个小学数学课程体系中具有承上启下的关键地位。“承上”体现在它直接应用了四年级上册所学的除数是两位数的除法计算以及三年级积累的列表枚举经验；“启下”则体现在它是对五年级上册“可能性”中优化思想的初步感知，更是六年级“最值问题”和初中线性规划思想的雏形。因此，本课不仅仅是解决一道题，更是培养学生模型意识、应用意识和优化意识的重要载体。

【非常重要】从核心素养角度审视，本课聚焦于以下几个方面：一是“模型意识”，引导学生将生活情境中的租船问题抽象为数学问题，建立“总价=单价×数量”的基本模型，并进一步构建“调整余数”的优化模型；二是“运算能力”，在多次试算和方案对比中，要求学生能够进行准确、快速的计算，特别是涉及到多步乘加混合运算；三是“推理意识”，学生在列举方案、分析数据、调整策略的过程中，需要不断进行有理有据的推理，例如“因为大船人均便宜，所以先考虑大船，但因为有空位，所以要考虑调整，这样调整后总价降低了，说明调整是合理的”；四是“应用意识”，让学生深刻体会到数学是解决现实生活问题的有力工具，从“春游租船”到“购物打包”、“车队派车”，生活中处处有优化。

二、教学目标定位

（一）【基础】知识与技能目标

学生能够结合生活情境，理解“租船问题”的实际背景和数学结构，即已知总人数、两种船的限乘人数和租金，求最省钱的租船方案。

学生能够运用列表法、计算法等多种策略，有序地列举不同的租船方案，并能通过计算总价进行方案优劣的比较。

学生能够熟练掌握“先计算人均单价，再根据余数进行调整”的解题模型，并能正确列式解答。

（二）【过程与方法】核心目标

通过自主探究和小组合作，经历“发现问题——分析问题——提出假设——验证调整——得出结论”的完整解决问题过程，培养逻辑思维能力和优化思想。

通过对比不同租船方案（如全大船、全小船、混合租船）的总价与空座率，学会用数据分析的方法解决实际问题，培养数据意识。

（三）【情感态度与价值观】高阶目标

在解决实际问题的过程中，感受数学的严谨性和趣味性，体会数学优化思想在生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和信心。

通过小组合作交流，培养倾听他人意见、反思自己策略的良好学习品质，养成精打细算、合理消费的生活习惯。

三、学情分析与教学策略

【基础】四年级学生已经具备了一定的生活经验，对于“租船”这一情境并不陌生。在知识储备上，他们已经掌握了两位数乘除法的计算，具备初步的分析问题和解决问题的能力。然而，他们的思维仍以具体形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展中。面对“租船问题”这类信息量较大、条件关系较为复杂的问题，学生往往会出现以下几种典型的认知障碍：

【高频考点】一是“信息遗漏或混淆”，不能准确提取“人数”、“限乘”、“租金”三个关键信息及其对应关系；二是【难点】“思维直线化”，往往找到单价最便宜的船型后就一租到底，忽略余数处理，造成“空位浪费”，从而并非最优解；三是“无序枚举”，在尝试列举混合方案时，想到哪算哪，缺乏条理性，容易遗漏方案或重复计算；四是“算理不清”，在调整阶段，不理解为什么要把大船换成小船，或者不知道如何确定调整的数量。

【重要】针对上述学情，本课教学设计将采用以下应对策略：

情境驱动策略：创设真实且富有吸引力的“班级春游租船”情境，将抽象的数学问题嵌入具体的生活背景中，激发学生的探究内驱力。

问题链导学策略：设计层层递进的问题串，引导学生思维不断深入。例如：“哪种船单价更便宜？”、“如果全部租大船，需要几条？有空位吗？”、“有空位的情况下，怎么调整可能更省钱？”、“调整后真的省钱了吗？为什么？”

可视化思维策略：鼓励学生运用表格、算式、图示（如画圆圈表示船和人）等方式将自己的思维过程外显出来，便于交流和反思。特别是运用表格列举不同方案，能清晰地呈现数据的对比。

化错为教策略：将学生可能出现的典型错误（如全租大船有空位不调整）作为重要的课堂生成资源，引导全班进行分析、辩论，让学生在思维的碰撞中自己发现错误、修正模型，从而对优化思想的理解更加深刻。

【热点】差异化教学策略：根据学生认知水平的差异，设计弹性任务。对于基础薄弱的学生，重点引导其掌握列表枚举的基本方法；对于学有余力的学生，鼓励其探索更简捷的“调整法”，并能用语言解释其背后的数学原理，甚至可以尝试进行变式练习，如改变船型数量或单价，探索一般规律。

四、教学准备与课前预设

教师准备：多媒体课件（包含清晰的租船情境图、可动态演示的船只模型、可填充的表格）、小组合作探究单（含核心问题及记录表格）、彩色磁扣或教具贴片（用于在黑板上模拟租船过程）。

学生准备：练习本、笔。

五、教学实施过程

（一）【基础】创设情境，激活经验——引出“优化”需求

课堂伊始，多媒体课件出示一幅生机勃勃的春游画面：阳光明媚，湖水荡漾，岸边停靠着两种船型。教师用富有感染力的语言导入：“同学们，春暖花开，咱们四年级（1）班要组织一次难忘的春游活动，大家想不想去划船呀？”学生们顿时兴致高涨。教师接着出示核心信息：我们班一共有32名同学要划船，外加1名带队老师，所以总人数是33人。湖边有两种船可以租：一种是大船，限乘5人，每条船的租金是30元；另一种是小船，限乘3人，每条船的租金是21元。问题是：我们该怎么租船最省钱呢？

【重要】教师引导学生共同审题，明确三个关键数据：总人数（33人）、大船信息（限乘5人，租金30元）、小船信息（限乘3人，租金21元）。通过追问“最省钱是什么意思？”引导学生明确“省钱”就是在满足所有人都有船坐的前提下，花的总租金最少。此时，学生初步感受到这是一个需要“算一算”、“比一比”才能解决的问题，课堂自然地进入了下一个环节。

（二）【重要】自主探究，初步建模——尝试“枚举”与“发现”

教师给每个学习小组发放探究单，并提出探究要求：“请同学们以小组为单位，开动脑筋，想一想可以怎么租船？你能想出几种不同的租船方案？并计算出每种方案的总租金。看看哪个小组能找到最省钱的方案。”教师巡视指导，鼓励学生用多种方式表达自己的思路，比如写算式、画图、列表。

在巡视中，教师密切关注学生的思维状态，捕捉典型的资源。大约五分钟后，组织全班交流。学生的方案通常可以分为三个层次：

第一层次：无序的、零星的方案。有的小组可能只想到一种或两种租法，如“全部租小船，需要11条，因为33÷3=11条，租金是11×21=231元”或“全部租大船，33÷5=6（条）……3（人），需要7条大船，租金是7×30=210元”。教师将这两种方案板书在黑板上。

第二层次：有意识的混合租船方案。有的小组可能会提出：“因为大船便宜，我们想尽量租大船，租6条大船，可以坐30人，还剩3人，正好再租1条小船，这样总租金是6×30+1×21=180+21=201元。”

【难点】第三层次：基于余数进行深度调整的方案。极少数小组可能会发现，租6大1小虽然比全大船（7大）便宜，但小船坐满了，大船却有空位吗？再仔细算算：6条大船坐了30人，还剩3人，租1条小船刚好坐下，没有空位，总价201元。这个方案看起来已经很好了。但有没有可能更省？教师可以引导：“6大1小没有空位，是不是就一定最省了？还有没有别的混合方案？”这时可能会有学生提出“租5条大船能坐25人，剩下8人，需要租几条小船？8÷3=2（条）……2（人），所以需要3条小船，总共能坐5×5+3×3=25+9=34人，空2个座位，总租金是5×30+3×21=150+63=213元，比201元贵。”还有学生提出“租4条大船坐20人，剩下13人，13÷3=4（条）……1（人），需要5条小船，共坐4×5+5×3=20+15=35人，空2个座位，租金4×30+5×21=120+105=225元。”

【重要】教师将这些方案（全大船7条、全小船11条、6大1小、5大3小、4大5小等）按照一定的顺序整理成一张完整的表格呈现在黑板上：

租船方案 大船条数 小船条数 可坐总人数 空座位数 总租金（元）

方案一 7 0 35 2 210

方案二 6 1 33 0 201

方案三 5 3 34 1 213

方案四 4 5 35 2 225

方案五 0 11 33 0 231

（三）【核心】对比分析，深度建模——建构“调整”策略

表格呈现出来后，教师引导学生进行观察对比：“同学们，请大家仔细观察这张表格，从方案一到方案五，你们发现了什么？”学生很快发现，方案二（6大1小）的总租金201元是最低的。但此时，教学的关键不在于得出这个结论，而在于引导学生理解“为什么方案二最省钱”。

教师抛出核心问题串，引导学生思维向纵深发展：

【热点】问题一：“为什么全租大船（方案一）看起来大船单价便宜，却不是最省钱的？”引导学生分析：全租大船虽然单价低，但产生了2个空位，这2个空位是花了钱却没坐人的，相当于浪费了。这2个空位的成本是30×7=210元，但实际上只服务了33人。

问题二：【非常重要】“对比方案一和方案二，方案二是如何从方案一调整过来的？调整之后为什么省钱了？”这个问题是突破本课难点的关键。教师可以借助教具演示：先摆出7条大船（用磁扣表示），总租金210元。现在要把其中的一条大船换成小船。拿走一条大船（去掉30元），拿掉后总人数减少5人，为了补上这5人，需要加小船。但注意，此时剩余人数是33-30=3人（如果原来6条大船坐30人），或者用另一种思路：从7大里拿掉1大，剩下6大，可坐30人，还需3人，这3人正好需要1条小船。这样一换，租金变化是：减掉1条大船的30元，加上1条小船的21元，净减少9元！同时，空位从2个变为0个。通过这样直观的动态演示，学生清晰地看到：“调整”的本质是用“单价稍贵但容量刚好合适”的小船，去替换“单价便宜但容量过剩”的大船，从而消除空位，节省开支。

【难点】问题三：“那为什么我们不继续调整，把6大1小再换成5大3小？那样调整后为什么租金反而又变贵了？”引导学生继续分析：如果把6大1小中的又一条大船换成小船，会是什么情况？拿走一条大船（-30元），减少5个座位，为了补足这5个座位，需要加几条小船？5÷3=1（条）……2（人），所以需要加2条小船（+42元），这样租金净增加12元，而且还会产生新的空位（可引导学生计算5大3小空1位）。所以，调整不是无休止的，而是有一个“最佳点”，这个点就是当调整带来的“空位成本节约”与“单价成本增加”达到最优平衡时。

通过这一番抽丝剥茧般的分析，学生不仅知道了“6大1小”是最优方案，更深刻理解了“为什么”它是最优的。此时，教师引导学生归纳总结解决“租船问题”的一般策略：

【高频考点】第一步：算单价，比贵贱。分别计算大船和小船每人要花多少钱（30÷5=6元/人，21÷3=7元/人），发现大船便宜，初步确定“尽量租大船”的大方向。

第二步：假设全租大船，看余数。33÷5=6（条）……3（人），全租大船需要7条，有空位。

第三步：【重要】根据余数，进行调整。核心原则是“调整余数，消除空位”。思考：剩下的3个人，是再租一条大船（会产生2个空位），还是租一条小船（刚好坐下）？显然是租一条小船更省。如果余数不凑巧，比如余1人或2人，就要考虑减少一条大船，把由此多出来的人（5+余数）拿去租小船，看看是否更省钱。这一步可能需要多次尝试和对比。

第四步：检验验证，得出结论。计算出调整后方案的总价，并与全大船、全小船等方案进行对比，验证其是否真的是最优解。

（四）【拓展】变式练习，内化策略——实现“建模”到“用模”

为了检验学生对优化策略的掌握程度，并进一步提升其灵活应用能力，教师设计了有梯度的变式练习。

1.【基础】模仿练习：出示题目“我校共有老师14人，学生326人，一起去春游。大车限乘40人，租金900元；小车限乘20人，租金500元。怎样租车最省钱？”此题是“租船问题”的翻版，数据更大，但结构相同。要求学生先独立完成，再小组交流。重点让学生说说自己的调整过程，巩固“先算单价，再根据余数调整”的策略模型。

2.【重要】变式练习（改变数据）：将原题中的数据稍作修改。“一共有30人，大船限乘6人，租金30元；小船限乘4人，租金24元。怎样租船最省钱？”这道题的设计意图在于打破学生的思维惯性。因为此时大船单价（30÷6=5元）依然比小船（24÷4=6元）便宜，但全租大船30÷6=5条，刚好坐满，没有空位！那么显然5条大船就是最优方案，总租金150元。通过此题，让学生明白：优化策略的核心是根据具体情况灵活处理，当“尽量租大船”能刚好坐满时，它就是最优解，不需要调整。

3.【难点】逆向变式练习（改变单价关系）：“一共有28人，大船限乘6人，租金36元；小船限乘4人，租金28元。怎样租船最省钱？”计算单价会发现，大船36÷6=6元/人，小船28÷4=7元/人，还是大船便宜。全租大船：28÷6=4（条）……4（人），需要5条大船，可坐30人，空2位，租金180元。调整：租4条大船（坐24人），剩下4人正好租1条小船，刚好坐满，租金4×36+28=144+28=172元，比全租大船便宜。结论依然是调整方案优。

4.【拓展】开放练习：“如果大船和小船的租金不变（大船30元，小船21元），但总人数变成了34人，你还能找到最省钱的方案吗？如果变成了35人呢？”引导学生通过计算发现，当人数是5的倍数时，全租大船最省钱；当人数除以5余数较少时，可能调整成混合租船；当人数很多时，要灵活运用策略。这个练习旨在让学生明白，最优方案不是固定的，它随着总人数的变化而变化，从而进一步强化“具体问题具体分析”的优化思想。

（五）【总结】回顾反思，升华认知——实现“策略”的内化

课堂尾声，教师引导学生对本节课的学习进行回顾与反思。

“同学们，今天我们通过解决租船问题，学习了一种非常重要的数学思想——优化思想。谁能用自己的话说一说，我们是怎样一步步找到最省钱方案的？”

学生畅所欲言，教师帮助学生梳理出完整的解决问题路径：理解题意（明确条件和问题）——分析数据（计算单价，初步判断）——制定方案（尝试枚举，或先假设再调整）——检验对比（计算总价，比较优劣）——反思优化（思考为什么这个方案好，有没有更好的）。

【非常重要】最后，教师将视野拓展到课外：“其实，在我们的生活中，像这样需要进行优化决策的问题还有很多很多。比如，商场里怎样购买商品最划算？旅行社设计怎样的旅游