广东省2026届高三一模数学试题（学生版+解析版）

广东省2026届高三一模数学试题1.已知集合A={2,a},B={-2,b},若A=B,则a+b=()A.—2B.02.在(1-x)⁴+(1-x)⁵的展开式中，含x²的项的系数是()A.-4B.43.已知i为虚数单位，复数z=(cos75°+isinA.1B.√24.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=√3x的图象上，则这个正三角形的边A.√3B.35.已知数据x₁,x₂,x₃的平均数为1,方差为2,则数据x₁,x₂,x3,2x₁-1,2x₂-1,2x₃-1的方差为()A.46.已知下图是一个边长为3九宫格(由9个边长为1的小正方形构成),九宫格中有16个节点(如图加黑的16个点),从这16个点中任选互不相同的三个点A,B,C,则AB·AC的最大值为()A.12B.13C.157.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4,P为正方形BCC₁B₁的中心，Q为棱DD₁的中点，过点A,P,Q的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为()A.16B.188.已知曲线C:(x²-y)·3²->=81,AACC,则曲线C上的点到原点距离的最小值为()C.2√29.下列四个函数中，以2π为最小正周期，且在区间上单调递减的有()A.y=-sinxB.y=1+cosxC.y=-tanx.张同学每天运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为,选择户外运动的概率为·.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为;如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学A.第二天去室内健身的概率为C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为∠COD的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体ABCD存在的情况下，使得四面体ABCD体积有唯一值的条件可以是()B.∠BCD的大小C.CD与平面ABC所成角的大小D.二面角C-AB-D的大小12.已知等差数列{a}的前n项和为Sₙ,若a₅=3,则S₉=_13.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C,月牙尖的坐标分别为A(-1,2),B(2,-1),则圆C的标准方程为14.如图，0为坐标原点，F₁,F₂为椭圆的两个焦点，过F₁,F₂分别作椭圆C的切线I的垂分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，16.设函数f(x)=eˣ-a,(2)设函数=1,求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值.已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.,证明：g(x)>-1.17.设VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(1)若A,B,C成等差数列，求m最小值；(2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围.18.设双曲线C:的离心率为2,其左、右焦点分别是F₁,F₂,过F₂的直线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，|MN|=6.(1)求双曲线C的标准方程；(3)记△F₁MN的内切圆◎P与双曲线19.甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生81,8₂,…,8n和2n-1个男生b,b₂,…,2n-1,其中女生g(i=1,2,…,n)认识男生b;(j=1,2,…,2i-1),但不认识其他男生.现从甲社区和乙社区分别选出m(m=1,2,…,n)队选手参加社区比赛，每队选手均2人.(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的广东省2026届高三一模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知集合A={2,a},B={-2,b},若A=B,则a+b=()A.—2B.0【解析】则a=-2,b=2,故a+b=0A.-4B.4【解析】含x²的项为C²(-x)²+C²(-x)²=16x²,故该项的系数为16.A.1B.√2【解析】【详解】因z=(cos75°+isin75°)(cos15°+isin15°)=cos(75°+15°)+isin(75°+15°)=i,4.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=√3x的图象上，则这个正三角形的边A.√3B.3C.2√3【答案】D【解析】【分析】先设正三角形的边长为2a,根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】设正三角形的边长为2a,由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为(√3a,又另外两个顶点抛物线y²=√3x上，所以这个正三角形的边长为6.5.已知数据x₁,x₂,x3的平均数为1,方差为2,则数据x₁,x₂,x3,2x₁-1,2x₂-1,2x₃-1的方差为()A.4B.5【解析】【详解】因x₁,x₂,x₃的平均数为1,方差为2,则x₁+x₂+x₃=3,于是数据x,x₂,x₃,2x₁-1,2x₂-1,2x₃-1的平均数于是数据x,x₂,x2,2x-1,2x,-1(x-1)²+(,-1)²+(3-1)²+(2x-1-16.已知下图是一个边长为3的九宫格(由9个边长为1的小正方形构成),九宫格中有16个节点(如图加黑的16个点),从这16个点中任选互不相同的三个点A,B,C,则AB·AC的最大值为()A.12B.13C.15【解析】【详解】建立如图所示的直角坐标系，16个点的坐标为若A点在原点，任取两点作为向量坐标，发现(2,3)(3,3)=15或(3,2)()3,3取得最大值，故AB·AC的最大值为15.经检验可知，当AB,AC取其他坐标时，AB·AC的值均不会超过15.7.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4,P为正方形BCC₁B₁的中心，Q为棱DD₁的中点，过点A,P,Q的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为()A.16B.18【解析】【分析】取CC₁的中点R,连接BR,QR,过点P作直线EF//BR,分别交BB₁,CC₁于点E,F,先证明AQ//EF,推得平面AEFQ即过点A,P,Q的截面，所求即为多面体ADQ-BEFC的体积，利用棱柱的体积公式计算即得.【详解】如图，取CC₁的中点R,连接BR,QR,过点P作直线EF//BR,分别交BB₁,CC₁于点E,F,连接BC₁,QF,AE,因P为正方形BCC₁B₁的中心，则BC₁∩EF=P,又因Q为棱DD₁的中点，则易得QR//DC//AB,QR=DC=AB,即四边形ABRQ为平行四边形，则得BR//AQ,故AQ//EF,于是，平面AEFQ即过点A,P,Q截面，显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体ADQ-BEFC,记其体积为V,8.已知曲线C:(x²-y)·3²->=81,则曲线C上的点到原点距离的最小值为()A.B.2【答案】A【解析】利用两点之间距离公式与二次函数的性质即可求得答案.【详解】设t=x²-y,则得t·3=81,显然t>0,则二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.y=-sinxB.y=1+cosxC.y=-tan【答案】BD【解析】【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可.【详解】对于A,因函数y=sinx在上单调递减，故上单调递增，故A对于B,函数y=1+cosx的最小正周期为2π,且在上单调递减，故B正确；对于C,函数y=-tanx的最小正周期为π,故C错误；对于D,因函数的最小正周期为4π,则函数的最小正周期为2π,在在10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯定理，随机事件A,B存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为,选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学【解析】【详解】设A₁表示张同学第一天选择室内健身，A₂表示张同学第二天选择室内健身，B₁表示张同学第一天选择户外运动，B₂表示张同学第二天选择户外运动.则对于C,因为,故D正确.11.在半径为定值的球O的表面上有四个不共面的点A,B,C,D,且AB为球O的直径，已知∠AOC和∠COD的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体ABCD存在的情况下，使得四面体ABCD体积有唯一值的条件可以是()C.CD与平面ABC所成角的大小D.二面角C-AB-D的大小【答案】ABC【解析】【分析】根据题意判断哪些边是唯一值，结合四面体的体积计算公式，判断四面体体积唯一解的决定条件.【详解】如图，因AB是球O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90,又∠AOC的大小已知，从而AC为定值，从而BC=√AB²-AC²也为定值，由∠COD的大小已知，所以CD为定值(OCD唯一确定),由(其中h为点D到平面ABC的距离),要使四面体ABCD的体积有唯一值(即为定值)只需点D到平面ABC的距离h为定值即可.对于选项A,当AD的长为已知时，由∠ADB=90°,那么BD=√AB²-AD²也为定值，四面体ABCD的6条边均可以唯一确定，四面体ABCD的体积为唯一值，满足题意.对于选项B,当∠BCD的大小已知时，那么BD为定值(△BCD唯一确定),同理，由∠ADB=90°,AD=√AB²-BD²也为定值，四面体ABCD的6条边均可以唯一确定，四面体ABCD的体积为唯一值，满足题意.对于选项C,当CD与平面ABC所成角已知时，不妨设为θ,那么h=CDsinθ,为定值，四面体ABCD的体积为唯一值，满足题意.对于选项D,二面角C-AB-D为已知时，可以确定点C到平面ABD的距离为定值，由于CD为定值，不能唯一确定点D,△ABD不能唯一确定，不合题意.12.已知等差数列{a}的前n项和为Sₙ,若a₅=3,则S₉=·【答案】27【解析】【详解】依题意，13.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点0和点C,月牙尖的坐标分别为A(-1,2),B(2,-1),则圆C的标准方程为【解析】【详解】由题易知，圆O的半径为|OA|=√(0+1)²+(0-2)²=√5,又AB的斜率则直线OC的方程为y=x,所以圆C的方程为(x-1)²+(y-1)²=5.解得a=1,14.如图，0为坐标原点，F₁,F₂为椭圆的两个焦点，过F₁,F₂分别作椭圆C的切线I的垂【答案】2【解析】【分析】切线1:y=kx+m,与椭圆方程联立，由△=0得m²=4k²+1,求出直线F₁H₁,F₂H₂方程，进【详解】由题意可知直线l的斜率存在，设切线l:y=kx+m,联立,解得,所以四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设AB=a,BC=b,BE=c,通过向(2)分别求出平面ADE与平面CDE的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可.【小问1详解】角坐标系A-xyz:则B(a,0,0),C(a,b,O),E(a,0,c),D(0EC=(0,b,-c),FD=(0,2b,-2c)【小问2详解】设AB=2,BC=BE=1,故B(2,0,0),C(2,1,0),E(2,0,1),D(0,2,0),设平面ADE的法向量为m=(x,y₁,z),由AE=(2,0,1),AD=(0,2,,取x₁=1,可得z₁=-2;设平面CDE的法向量为n=(x₂,Y₂,z₂),设平面ADE与平面CDE夹角为θ即平面ADE与平面CDE夹角的余弦值16.设函数f(x)=e*-a,已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(2)设函数,证明：g(x)>-1.【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由极值点处导数0即可求解出参数a,代回检验得解；(x-1)(eˣ-1)+x>0,构造函数h(x)=(x-1)(eˣ-1)+x,,利用导数证明.【小问1详解】因为f(x)=e-a,所以y=xf(x)=xeˣ-ax,则y'=e×-a+xe,所以y|x=。=1-a=0,解得a=1,当a=1时，y=xf(x)=xe-x,y=e-1+xe,所以函数y=xf(x)在(0,+)上单调递增；所以函数y=xf(x)在(-∞,0)上单调递减；【小问2详解】由(1)可知，x=0是函数y=xf(x)的最小值点，所以对任意的x≠0,y=xf(x)>0,要证即证x-f(x)>-xf(x),即证x-(eˣ-1)>-x(e-1),令h(x)=(x-1)(eˣ-1)+x,则h'(x)=xe,所以h(x)>h(O)=0,综上，在x∈(-∞,0)U(0,+o)上恒成立.17.设VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A≤B,(2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围.【答案】(1)1(2)【解析】【分析】(1)将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解；【小问1详解】因为A,B,C成等差数列，所以2B=A+C,【小问2详解】因为a,b,c成等比数列，所以b²=ac,所以所以m的取值范围为18.设双曲线C:1(a,b>0)的离心率为2,其左、右焦点分别是F₁,F₂,过F₂的直线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x(1)求双曲线C的标准方程；(3)记△F₁MN的内切圆P与双曲线C的一个公共点为Q,双曲线C的(2)9(3)证明见解析【解析】【分析】(1)依题意列出关于a,b,c的方程组，求解即得双曲线的标准方程；(3)先证明P与边MN的切点即为点F₂,再证|PF₁P²=|PF₂P+4,由此推得点P在直线,再【小问1详解】不妨设点M在第一象限，点N在第四象限，离心率在中，当x=c时，故即故双曲线C的标准方程为【小问2详解】由(1)得F₂(2,0),当直线MN的斜率为0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x=ty+2,,化简得(3t²-1)y²+12ty+9=0,设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则【小问3详解】如图，设P与边MN切于点E,=|MF₁I+|MF₂I+|NF₂I-|NF₁I=2+|MF₂I+|MF₂I-2=2|MF₂I,即点