多元统计分析第七章主成分分析习题答案

7.1设随机变量X=(X.XJ的协差阵为2：，试求X的特征根和

-12_

特征向量，并写出主成分。

解：先求X的特征根入，九满足方程：

2一人「=0,即(2-入)2一1二0,因此两个特征根分别为从=3,

12-九­

设％=3对应的单位特征向量为但[]a2])',则但11通2])'满足：

‘0

,故可以取1,其对应主成分为:

<0

口—拉丫72v

22

设九2=1对应的单位特征向量为02通22)'，则白12a22)'满足:

,故可以取,其对应的主成分为:

7.2设随机变量X=(X”X2，X3)，的协差阵为E=-250,试求X的主

成分及主成分对变量X的贡献率。

解：先求X的特征根入，入满足方程：

1-X-20

-25-X0=0,EP(2-X)(X2-6X+l)=0,因此三个特征根分别为

002-X

%=5.8284,X2=2A?=0.1716

设％=5.8284对应的单位特征向量为则它满足:

-4.8284-20的、代、

-2-0.82840a21=0,故可以取

00-3.8284<a3l；

riA(0.3827)

_1

a-2.4142=-0.9239,其对应主成分为:

21-2.6131

la31J<oJ

〔oJ

5.8284

£=0.3827X,-0.9239X,,其贡献率为=72.86%

5.8284+2+0.1716

设%=2对应的单位特征向量为⑶2,@22q2)'，则它满足:

-1-20「0、

-2300，故可以取a22=0其对应主成分为:

000q<a32y\1/

2_________

F2=x3,其贡献率为=25%

5.8284十2十0.1716

设九3=61716对应的单位特征向量为小”,223m33)，则它满足:

0.8284-20

-24.82840=0故可以取

001.8284

<19.9239、

]

0.41420.3827其对应主成分为:

1.0824l。；<oJ

"=0.9239X,+0.3827X,,其贡献率为----史”----=2.14%.

5.8284-2+0.1716

7.3设随机变量X=(X「X"的协差阵为2=1二，试从X和相关阵

■4100

R出发求出总体主成分，并加以比较。

解：(D先从2出发求总体主成分，先求特征根3入满足方程：

1一入4=0，即九270队+84=0,因比两个特征根分别为

4100—九

%=100.1614,%=0.8386.

设％=100.1614对应的单位特征向量为但“qJ,则它满足:

-99.1614力画、1(1口().0403)

，故可以取"24.8106124.7904I-(0.9992,

4-0.1614

3XXX/

其对应主成分为：耳=0.0403X,+0.9992X2；

设九2=0.8386对应的单位向量特征向量为(212通22)'，则它满足:

0.16144](aJ(()、，故可以取卜「1<24.7904^_<().9992]

499.1614la,2724.8106[-1厂[-0.0403,

ka22>

其对应的主成分为：F2=0.9992X,-0.0403X2.

10.4

(2)先从R出发求总体主成分，容易看出口=

0.41

先求特征根储入满足方程:

1一兀0.4

=0,BP(1-X)2-0.16=0,因此两个特征根分别为

0.41-A,

%=1.4,九2=0.6.

设％=1.4对应的单位特征向量为0［也|)',则但|［"21)'满足:

-0.40.4fa、<()>.‘即、

0.4-0.4la故可以取,其对应主成分为:

a

217<21>

口V2vV2v

£=~^-X]+——X2；

22

设入2=。.6对应的单位特征向量为02皿2)'，贝|］但［2/22)'满足：

0.40.4]仅I2]_(()、

故可以取其对应的主成分