高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数教案

高中数学湘教版（2019）必修第一册第3章函数的概念与性质3.1函数教案课题XX课时1设计思路一、设计思路：立足高一学生认知基础，从初中具体函数实例（如一次函数、反比例函数）出发，通过生活情境抽象函数概念，紧扣课本“三要素”（定义域、值域、对应关系）展开教学。采用“问题驱动—合作探究—归纳总结”模式，引导学生从特殊到一般理解函数本质，渗透数形结合思想，通过例题辨析巩固概念，注重培养学生抽象概括和应用能力，符合教学实际与学生认知水平。核心素养目标分析二、核心素养目标分析：通过函数概念抽象，培养数学抽象与逻辑推理素养，引导学生从实例中提炼函数三要素；借助函数图象分析，发展直观想象能力，体会数形结合思想；运用函数解决实际问题，渗透数学建模意识，提升应用意识；在函数概念辨析与性质探究中，强化数学运算与逻辑严谨性，符合课本从具体到抽象的认知逻辑。学习者分析三、学习者分析：1.学生已掌握初中一次函数、反比例函数、二次函数的解析式、图象及基本性质，理解变量间的依赖关系，具备初步的函数应用经验。2.高一学生抽象思维逐步发展，对生活实例中的函数关系兴趣浓厚，具备一定的观察、归纳能力，学习风格偏向直观互动和合作探究，但逻辑严谨性需加强。3.可能对函数概念中“对应关系”的抽象性理解困难，易混淆初中函数解析式与高中函数定义，定义域、值域的求解（特别是实际问题中的限制条件）及从具体函数到一般概念的抽象概括是主要挑战。教学资源准备四、教学资源准备：1.教材：确保每位学生有湘教版必修第一册教材及配套学案，标注3.1节重点内容。2.辅助材料：准备课本中一次函数、二次函数的图象动态演示视频，生活实例（如气温变化、商品价格）的图片与数据图表。3.实验器材：本节课不涉及实验，无需准备。4.教室布置：设置分组讨论区，4人一组；黑板预留图象绘制与概念辨析区域，便于合作探究与展示。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

教师展示课本P75图3-1-1“某城市一天气温变化曲线图”和P76实例1“炮弹射高与时间关系表”，提问：“图中曲线和表格都反映了变量间的关系，初中我们学过哪些函数？这些变量关系与之前学的函数有什么共同点？”学生回忆一次函数、二次函数，回答“两个变量，一个变化另一个跟着变”。教师追问：“如何用数学语言准确描述这种‘依赖关系’？”引出本节课课题——函数的概念。

（二）讲授新课（20分钟）

1.函数概念的形成（8分钟）

教师引导学生分析课本P76实例2“臭氧层空洞面积与年份关系”，提问：“年份x与面积S是否都有唯一值对应？”学生讨论后总结“对于任意x∈{1990,1991,…,2020}，S都有唯一值与之对应”。教师结合初中函数定义，提出问题：“初中函数y=kx+b（k≠0）中，x取任何实数都对应唯一y吗？若x代表人数，y代表总费用，x能取负数吗？”学生发现“x的取值有限制”，从而引出“定义域”概念。教师结合课本P77定义，板书函数三要素：定义域、值域、对应关系，强调“对应关系是核心，必须唯一”。

2.概念辨析与深化（7分钟）

教师展示课本P77思考：“下列关系中，哪些是函数？哪些不是？为什么？”（1)y=√x；（2）y=±x；（3）x²+y²=1。学生独立思考后小组讨论，每组派代表发言。教师针对（2）提问“x=1时，y=1和y=-1，是否满足‘唯一对应’？”针对（3）提问“x=0时，y=±1，是否满足？”引导学生总结“判断函数的关键：定义域内任意x，都有唯一y与之对应”。

3.函数的表示法（5分钟）

教师结合课本P78-P79，介绍解析式法（如y=2x+1）、图象法（如气温变化曲线）、列表法（如炮弹射高表），提问：“三种表示法各有什么优缺点？生活中哪些例子适合用列表法？”学生举例“班级同学身高统计”，教师点评并强调“三种表示法本质相同，都是刻画对应关系”。

（三）巩固练习（15分钟）

1.基础题（5分钟）

完成课本P80练习1（判断下列函数是否相同，并说明理由）：（1）y=x与y=√x²；（2）y=x与y=x/x。学生独立完成，同桌互评，教师提问（1）中“定义域是否相同？（1）中定义域R与[0,+∞），不同；（2）中x≠0时y=1，与y=x不同”，强调“函数三要素中任一不同，函数就不同”。

2.提高题（6分钟）

小组合作完成课本P80例2“求函数y=√(x-1)+1/(x-2)的定义域”。每组派代表展示解题过程，教师追问：“x-1≥0且x-2≠0，为什么？”学生回答“根式被开方数非负，分母不为零”，教师总结“定义域求法：列不等式（组）”。

3.拓展题（4分钟）

教师创设情境：“某商店销售一种商品，售价x（元/件）与销量y（件）满足y=100-2x（10≤x≤50），求销售收入S（元）与x的函数关系式及定义域。”学生独立列式S=x(100-2x)，教师提问“定义域为何是[10,50]？”学生结合实际“售价≥10且销量≥0（100-2x≥0→x≤50）”，渗透数学建模素养。

（四）课堂小结（3分钟）

教师提问“本节课学习了哪些核心知识？”学生回答“函数概念、三要素、表示法”，教师补充“函数的本质是‘对应关系’，定义域是‘自变量的取值范围’”，并布置作业：课本P81习题3.1第1、3、5题，预习“函数的单调性”。

（五）板书设计（贯穿全程）

左侧：函数概念（三要素、定义）；中间：实例分析（气温图、炮弹表）；右侧：练习与总结（判断函数、求定义域）。知识点梳理六、知识点梳理

1.函数的概念

函数是两个非空数集A、B之间的一种对应关系，记作y=f(x)，其中x∈A（定义域），y∈B（值域）。核心是“对应关系”：对于定义域A中的每一个x，在值域B中都有唯一确定的y与之对应。函数的三要素缺一不可：定义域（自变量的取值范围）、值域（函数值的取值范围）、对应关系（f的具体形式）。

2.函数的定义域

（1）定义：自变量x的取值集合，由解析式本身和实际意义共同决定。

（2）求解方法：

①解析式有意义：分式分母不为零（如y=1/x，x≠0），偶次根式被开方数非负（如y=√x，x≥0），零次幂底数不为零（如y=x⁰，x≠0）；

②实际问题限制：如时间t≥0，人数为正整数，价格x>0等。

（3）表示方法：区间（如[0，+∞)）、集合（如{x|x≥0}）、不等式（如x≥0）。

3.函数的值域

（1）定义：函数值的取值集合，由定义域和对应关系共同决定。

（2）常见求法：

①观察法：如y=2x+1，x∈R，值域为R；

②配方法：如y=x²+2x+3=(x+1)²+2，值域为[2，+∞)；

③单调性法：如y=1/x（x>0），在(0，+∞)上单调递减，值域为(0，+∞)；

③分离常数法：如y=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)（x≠1），值域为{y|y≠1}。

4.函数的表示法

（1）解析式法：用数学表达式表示函数关系，如y=kx+b（k≠0），优点是便于计算和理论推导，缺点是不直观。

（2）图象法：用平面直角坐标系中的曲线表示函数关系，如气温变化曲线图，优点是直观形象，缺点是不精确。

（3）列表法：用表格列出x与y的对应值，如炮弹射高与时间关系表，优点是具体明确，缺点是有限制。

（4）三种表示法的转化：由解析式可画图象（如列表取点、连线），由图象可写解析式（如观察斜率、截距），由列表可总结规律（如差分法）。

5.函数的概念辨析

（1）函数相同：定义域、值域、对应关系三者完全相同。

（2）易错辨析：

①定义域不同：如y=x（x∈R）与y=√x²（x∈R），前者值域为R，后者值域为[0，+∞)，函数不同；

②对应关系不同：如y=x（x≠0）与y=x/x（x≠0），前者y=x，后者y=1（x≠0），函数不同；

③唯一性判断：如y=±x（x∈R），x=1对应y=1和y=-1，不满足唯一对应，不是函数；x²+y²=1（x∈R），x=0对应y=±1，不是函数。

6.函数的应用

（1）实际问题建模：用函数描述变量间关系，如商品销量y（件）与售价x（元）满足y=100-2x（10≤x≤50），则销售收入S=x(100-2x)，定义域为[10，50]（销量y≥0且售价x≥10）。

（2）函数性质初步：结合图象理解函数的单调性（如y=x²在[0，+∞)上单调递增）、奇偶性（如y=x³为奇函数，y=x²为偶函数），为后续学习奠定基础。

7.教材实例分析

（1）课本P75实例1“炮弹射高与时间关系表”：用列表法表示函数，定义域为{0，1，2，…，10}，值域为{0，15，28，…，45}，对应关系为“时间t→射高h”。

（2）课本P76实例2“臭氧层空洞面积与年份关系”：用解析式S=f(x)（x为年份，S为面积），定义域为{1990，1991，…，2020}，值域为对应年份的面积值，体现函数的“依赖关系”。

（3）课本P75图3-1-1“气温变化曲线图”：用图象法表示函数，定义域为[0，24]（时间），值域为[5，30]（温度），对应关系为“时间t→温度T”，直观展示温度随时间的变化趋势。

8.核心素养关联

（1）数学抽象：从具体实例（气温、炮弹射高）中抽象出函数概念，理解三要素的普遍性。

（2）逻辑推理：通过概念辨析（如判断是否为函数），培养严谨的逻辑思维。

（3）数学建模：用函数解决实际问题（如销量与售价关系），体会数学的应用价值。

（4）直观想象：通过图象理解函数关系，数形结合分析问题。反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境贯穿始终，用生活实例（气温变化、商品销量）抽象函数概念，让学生感受数学源于生活。

2.小组合作探究，通过辨析函数实例（如y=±x是否为函数），培养批判性思维，突破“对应关系”抽象难点。

（二）存在主要问题

1.部分学生对定义域的实际意义理解不够深入，如商品售价x≥10的限制条件易被忽略。

2.巩固练习中拓展题（如销售收入建模）耗时较长，可能导致基础薄弱学生跟不上节奏。

（三）改进措施

1.增加定义域的“生活化”辨析练习，如结合“人数必须为正整数”“时间不能为负”等实例强化理解。

2.分层设计练习题：基础层聚焦三要素辨析，提高层侧重定义域求解，拓展层加入简单建模，确保各层次学生都能落实。课后作业八、课后作业

1.判断下列函数是否相同，并说明理由：

（1）y=x（x∈R）与y=√x²（x∈R）

（2）y=2x+1（x∈R）与y=2x+1（x≥0）

答案：（1）不同，值域不同（前者R，后者[0，+∞)）；（2）不同，定义域不同。

2.求函数y=√(x-2)/(x-3)的定义域。

答案：x-2≥0且x-3≠0，解得x≥2且x≠3，即[2，3)∪(3，+∞)。

3.求函数y=x²-4x+5（x∈[0，3]）的值域。

答案：配方得y=(x-2)²+1，对称轴x=2，在[0，2]递减，[2，3]递增，最小值y(2)=1，最大值y(0)=5，值域[1，5]。

4.某物体运动路程s（米）与时间t（秒）关系如下表：

t：1，2，3，4

s：3，6，9，12

求s与t的函数解析式，并说明定义域。

答案：s=3t，定义域{1，2，3，4}。

5.商店销售一种商品，进价30元/件，售价x（元/件）时，销量y=100-2x（x≥30），求利润P与x的函数关系式及定义域。

答案：P=(x-30)(100-2x)，定义域30≤x≤50（销量y≥0）。作业布置与反馈作业布置：完成课本P81习题3.1第1题（函数概念辨析）、第3题（定义域求解）、第5题（函数表示法转化）；选做第7题（值域求法）、第9题（实际应用建模）。分层要求：基础层落实三要素判断与定义域求解，提高层侧重函数建模与值域分析。

作业反馈：次日全批全改，标注共性错误（如定义域忽略分母不为零、实际问题中变量范围限制），课堂集中讲解典型例题；个别问题面批指导，如混淆函数相同性的学生，对比课本P77实例强化三要素意识；建立错题本，要求学生记录错因并订正，下次课随机抽查反馈，确保薄弱点及时巩固。内容逻辑