河南省天立教育2025-2026学年高二下学期阶段教学质量监测（一）数学试卷（含答案）

河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一）数学试卷本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则A．18 B．16 C．12 D．8已知函数与其导函数的图象如图所示，则A．曲线为函数的图象 B．C．在单调递增 D．在单调递减若，则A． B． C． D．已知三次函数，若不等式的解集为，则m的值为A．0 B．1 C．2 D．4已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为A． B． C． D．e已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是A． B． C． D．过作函数的切线恰好能作两条，则实数a的取值范围为A． B． C． D．已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．已知函数，下列结论中正确的是A．B．函数的值域为RC．若是的极值点，则D．若是的极小值点，则在区间单调递减已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是A．e B． C． D．设函数与直线交于两点，，则A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为．若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是个．已知函数，对任意，都有，则m的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（13分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且存在，使得成立，求a的取值范围．

（15分）已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当且时，．（15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在，，，使得，求a的最大值．

（17分）设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．（17分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，函数有两个零点，，求证：．

河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一数学参考答案题号123456答案BDADBD题号7891011答案DBABCBDACD12．/【详解】由求导得，则，故切线方程为，令，得，令，得，即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.13．3【详解】，则由题、是方程的两根，所以可得或．函数定义域为R，因为，所以时，时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，作出函数草图如图所示：由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.故答案为：3．14．【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.当时，当时，该函数单调递增，所以，所以对任意，都有，一定有成立，解得，这与相矛盾，不符合题意；当时，当时，，所以对任意，都有，一定有成立，而，所以；当时，设表示两数中最大的数，因为当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.所以当时，，对任意，都有，一定有且，解得，综上所述：，所以的取值范围为.15．(1)(2)【详解】（1）当时，，有，由，有，故曲线在点处的切线方程为．（2），其中，，时，，时，,故在上单调递减，在上单调递增.若，则时，，不符合题意；若，则时，，由题意，有，即，因为，有，即，得，故的取值范围是．16．(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）函数的定义域为，,令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值.（2）令，则，由（1）可知，即的最小值为，已知，代入得：，因此对任意恒成立，故在上单调递增，当时，，即：得证.17．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)【详解】（1）由题得，若，则在上恒成立，所以在上单调递减，若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）得，若存在，，使得，则必有，由.所以等价于，即，化简得：设，，则，所以在上单调递减，所以，此时，.所以当，时等号成立，所以的最大值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）时，，对函数求导得.所以.所以的图象在处的切线方程为，即.（2）由得.因为在上单调递增，所以.若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，若，令得或，且.当时，，单调递减，所以，与在上恒成立矛盾，综上所述，的取值范围是.（3）证明：当时，，所以在上单调递增，又，所以时，时，.若，则，不合题意；若，则，不合题意，所以.设，则.所以在上单调递增，因为，所以.因为，所以.又，所以，即.又在上单调递增，所以，即.所以，即.19．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）函数，其定义域为，∴.

当时，恒成立，∴在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意，∴即.

∵，∴不等式可化为，即.

设，则当时，；当时，；当时，.，当时，，在上单调递增.当时，，，故，当时，，，，在上恒成立，即在上恒成立.设