人教版新课标A必修13.1.2用二分法求方程的近似解教学设计

人教版新课标A必修13.1.2用二分法求方程的近似解教学设计课题XXX课时1设计意图本节课以“人教版新课标A必修13.1.2用二分法求方程的近似解”为主题，旨在引导学生通过二分法求解方程的近似解，提高学生的数学思维能力和实际问题解决能力。通过结合实际问题，让学生理解二分法的原理和应用，培养学生的逻辑思维和计算能力，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标培养学生运用数学建模的思想方法解决实际问题的能力，提升逻辑推理和直观想象的能力。通过二分法的学习，使学生理解从具体情境中抽象出数学模型的过程，培养学生在实际情境中运用数学知识分析问题、解决问题的能力，以及运用数学语言表达和交流的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在此之前已经学习了函数、极限、导数等基础知识，具备了一定的数学思维能力和计算能力。他们能够理解函数图像与方程根的关系，初步掌握利用导数判断函数的单调性和极值。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学学科普遍抱有较高的兴趣，但学习风格各异。部分学生擅长逻辑推理，喜欢通过抽象思维解决问题；另一部分学生则更注重直观理解和具体实例。他们具备一定的自学能力和合作学习意识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习二分法时，学生可能面临以下困难与挑战：一是理解二分法的原理，特别是如何将实际问题转化为数学模型；二是掌握二分法的计算步骤，确保计算过程准确无误；三是分析二分法在实际问题中的应用，解决实际问题。此外，部分学生可能对数学抽象概念的理解存在障碍，需要教师引导和帮助。教学资源-黑板或白板

-多媒体教学设备（投影仪、电脑）

-函数图像绘制软件（如Mathematica、GeoGebra）

-课堂练习题打印材料

-实例分析案例材料

-二分法教学视频资源

-学生操作手册或指导手册

-教学互动平台或在线学习系统教学流程1.导入新课

详细内容：

（1）首先，通过提问“如何找到方程的根？”来引起学生的思考，激发他们的学习兴趣。

（2）接着，展示一些实际生活中的问题，如测量物体长度、计算人口数量等，这些问题往往需要求解方程的根。

（3）然后，简要回顾已学过的解方程方法，如直接法、迭代法等，引出二分法作为求解方程近似解的一种新方法。

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

（1）介绍二分法的原理，通过实例说明如何将一个区间划分为两个子区间，并逐步缩小包含根的子区间。

（2）讲解二分法的计算步骤，包括选择初始区间、计算中点、判断根所在的子区间、更新区间等。

（3）展示二分法的计算过程，通过具体的函数图像和计算步骤，让学生直观地理解二分法的应用。

用时：10分钟

3.实践活动

详细内容：

（1）让学生尝试自己编写一个简单的二分法程序，以加深对计算步骤的理解。

（2）提供一组具有不同难度的方程，让学生运用二分法求解，并比较不同方程的求解效果。

（3）组织学生进行小组讨论，分享各自在求解过程中的经验和遇到的问题，促进共同进步。

用时：15分钟

4.学生小组讨论

写3方面内容举例回答：

（1）讨论如何选择合适的初始区间，举例：对于方程f(x)=0，如果已知f(a)>0且f(b)<0，则初始区间为[a,b]。

（2）讨论如何判断根所在的子区间，举例：如果f(c)<0且f(d)>0，则根位于区间[c,d]内。

（3）讨论如何处理特殊情况，如方程无解、有多个根等，举例：如果计算过程中发现区间长度小于预设的精度，则停止计算并输出近似解。

用时：10分钟

5.总结回顾

内容：

（1）回顾二分法的原理和计算步骤，强调二分法在求解方程近似解中的应用。

（2）总结本节课的重点和难点，如如何选择合适的初始区间、如何判断根所在的子区间等。

（3）鼓励学生在课后继续练习，巩固所学知识，并尝试解决实际问题。

用时：5分钟

总计用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

学生通过学习二分法，能够掌握二分法的定义、原理、计算步骤以及在实际问题中的应用。他们能够理解二分法是如何将一个包含根的区间不断缩小，最终得到方程的近似解的。

2.能力提升：

（1）逻辑推理能力：学生在学习过程中，需要通过逻辑推理判断根所在的子区间，这一过程有助于提高学生的逻辑思维能力。

（2）计算能力：通过实际操作二分法，学生能够熟练进行区间划分、中点计算等计算，从而提高计算能力。

（3）问题解决能力：学生在解决实际问题过程中，能够运用二分法求解方程，提高了解决实际问题的能力。

3.思维发展：

（1）抽象思维能力：二分法涉及到从具体问题中抽象出数学模型，这有助于学生提高抽象思维能力。

（2）空间想象力：通过函数图像的学习，学生能够更好地理解数学概念在空间中的意义，提高空间想象力。

（3）创新思维能力：学生在实际操作中，可能会遇到一些特殊问题，需要创新性地解决，这有助于培养学生的创新思维能力。

4.学习兴趣：

5.综合应用：

学生在学习二分法后，能够将其应用于其他领域，如计算机科学、工程学等，提高自己的综合素质。

6.个性化发展：

学生在学习过程中，可以根据自己的兴趣和特长，选择不同的学习方法和路径，实现个性化发展。

7.团队合作能力：

在实践活动和小组讨论中，学生需要与他人合作，共同完成任务，这有助于提高他们的团队合作能力。课后作业课后作业旨在巩固学生对二分法求方程近似解的理解和应用，以下列举五个典型题型及答案：

1.题型：给定方程f(x)=x^3-3x+1，使用二分法求解方程在区间[1,2]内的一个近似根。

答案：设初始区间为[a,b]，即a=1，b=2。计算中点c=(a+b)/2=1.5，f(c)=1.5^3-3*1.5+1=-0.375。由于f(a)*f(c)<0，根位于区间[1,1.5]内。重复上述步骤，得到以下计算过程：

|n|a|f(a)|b|f(b)|c|f(c)|

|---|------|-------|------|-------|------|-------|

|1|1|1|2|-1|1.5|-0.375|

|2|1|1|1.5|-0.375|1.25|0.765|

|3|1.25|0.765|1.5|-0.375|1.375|-0.375|

|4|1.25|0.765|1.375|0|1.3125|0.276|

|5|1.3125|0.276|1.375|0|1.34375|-0.038|

最终得到近似根为x≈1.34375。

2.题型：给定方程f(x)=x^2-4x+3，使用二分法求解方程在区间[1,5]内的一个近似根。

答案：设初始区间为[a,b]，即a=1，b=5。计算中点c=(a+b)/2=3，f(c)=3^2-4*3+3=0。由于f(a)*f(c)<0，根位于区间[1,3]内。重复上述步骤，得到以下计算过程：

|n|a|f(a)|b|f(b)|c|f(c)|

|---|------|-------|------|-------|------|-------|

|1|1|0|3|0|2|1|

|2|2|1|3|0|2.5|-0.75|

|3|2|1|2.5|-0.75|2.25|-0.1875|

|4|2.25|-0.1875|2.5|-0.75|2.375|0.140625|

|5|2.375|0.140625|2.5|-0.75|2.4375|-0.34765625|

最终得到近似根为x≈2.4375。

3.题型：给定方程f(x)=sin(x)-x，使用二分法求解方程在区间[0,2π]内的一个近似根。

答案：设初始区间为[a,b]，即a=0，b=2π。计算中点c=(a+b)/2=π，f(c)=sin(π)-π=-π。由于f(a)*f(c)>0，根位于区间[0,π]内。重复上述步骤，得到以下计算过程：

|n|a|f(a)|b|f(b)|c|f(c)|

|---|------|-------|------|-------|------|-------|

|1|0|0|π|-π|π/2|-π/2|

|2|π/2|-π/2|π|-π|3π/4|-π/4|

|3|3π/4|-π/4|π|-π|5π/8|3π/8|

|4|5π/8|3π/8|π|-π|3π/8|3π/8|

|5|3π/8|3π/8|5π/8|-π|7π/16|3π/16|

最终得到近似根为x≈3π/8。

4.题型：给定方程f(x)=e^x-x^2-1，使用二分法求解方程在区间[0,2]内的一个近似根。

答案：设初始区间为[a,b]，即a=0，b=2。计算中点c=(a+b)/2=1，f(c)=e^1-1^2-1=e-2。由于f(a)*f(c)>0，根位于区间[0,1]内。重复上述步骤，得到以下计算过程：

|n|a|f(a)|b|f(b)|c|f(c)|

|---|------|-------|------|-------|------|-------|

|1|0|-1|1|e-2|0.5|0.693|

|2|0.5|0.693|1|e-2|0.75|0.606|

|3|0.75|0.606|1|e-2|0.875|0.460|

|4|0.875|0.460|1|e-2|0.9375|0.334|

|5|0.9375|0.334|1|e-2|0.96875|0.234|

最终得到近似根为x≈0.96875。

5.题型：给定方程f(x)=x^3-6x^2+9x-1，使用二分法求解方程在区间[1,3]内的一个近似根。

答案：设初始区间为[a,b]，即a=1，b=3。计算中点c=(a+b)/2=2，f(c)=2^3-6*2^2+9*2-1=3。由于f(a)*f(c)>0，根位于区间[1,2]内。重复上述步骤，得到以下计算过程：

|n|a|f(a)|b|f(b)|c|f(c)|

|---|------|-------|------|-------|------|-------|

|1|1|-1|2|3|1.5|1.125|

|2|1.5|1.125|2|3|1.75|0.843|

|3|1.75|0.843|2|3|1.875|0.632|

|4|1.875|0.632|2|3|1.9375|0.518|

|5|1.9375|0.518|2|3|1.96875|0.463|

最终得到近似根为x≈1.96875。板书设计①二分法求方程的近似解

-二分法的原理

-二分法的步骤

-二分法的适用范围

②重点知识点

-二分法的基本思想：不断缩小包含根的区间

-初始区间的选择：f(a)*f(b)<0

-中点的计算：c=(a+b)/2

-根所在的子区间判断：根据f(c)的正负

③关键词句

-“连续函数”

-“区间”

-“根”

-“迭代”

-“逼近”

④计算步骤

-确定初始区间[a,b]，满足f(a)*f(b)<0

-计算中点c=(a+b)/2

-判断根所在的子区间，根据f(c)的正负：

-如果f(c)*f(b)<0，则新的区间为[c,b]

-如果f(c)*f(a)<0，则新的区间为[a,c]

-如果f(c)=0，则c即为根

-重复步骤2-3，直到满足预设的精度要求或达到最大迭代次数

⑤总结

-二分法是一种有效的求方程近似解的方法

-注意事项：选择合适的初始区间，控制迭代次数，确保精度要求

-应用实例：数学建模、数值分析、科学计算等教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的参与度和积极性是评价教学效果的重要指标。通过观察学生的提问、回答问题和参与讨论的情况，可以评估学生对二分法原理和步骤的理解程度。例如，教师