2026年新课标全国卷数学压轴题函数与导数易错题突破卷含解析

2026年新课标全国卷数学压轴题函数与导数易错题突破卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列函数中，导数在区间（0，1）内恒为正的是（）A.f(x)=-x^3+3xB.f(x)=x^3-3x^2+2C.f(x)=e^x-1D.f(x)=ln(x+1)2.函数f(x)=x^3-ax+1在区间（-1，1）内存在极值，则实数a的取值范围是（）A.(-3，3)B.[-3，3]C.(-∞，-3)∪(3，+∞)D.(-∞，-3]∪[3，+∞)3.若函数f(x)=x^3+bx^2+cx在x=1处的切线方程为y=3x-2，则b+c的值为（）A.0B.1C.2D.34.函数f(x)=x^4-4x^3+3x^2在区间[-1，3]上的最小值是（）A.-1B.0C.1D.25.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则方程f(x)=0在区间（0，2）内的实根个数为（）A.0B.1C.2D.36.若函数f(x)=x^3-3x+2在区间（a，b）内单调递减，则实数a，b的取值范围可以是（）A.(0，2)B.(-∞，0)C.(1，3)D.(2，+∞)7.函数f(x)=e^x-x在区间（0，+∞）上的图像大致为（）A.B.C.D.8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间（-1，2）内的最大值是（）A.0B.1C.2D.39.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.310.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，则a+b的值为（）A.5B.6C.7D.8二、多选题1.下列说法中，正确的有（）A.函数f(x)=x^3在区间（-∞，+∞）上单调递增B.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0C.函数f(x)=x^4在区间（-1，1）上的最小值是0D.若函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，则f'(x)≥0在区间（a，b）上恒成立2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则下列说法中，正确的有（）A.f(x)在x=1处取得极大值B.f(x)在x=2处取得极小值C.f(x)在区间（-∞，1）上单调递增D.f(x)在区间（1，2）上单调递减3.下列函数中，导数在区间（0，1）内恒为负的有（）A.f(x)=-x^2+2xB.f(x)=-x^3+xC.f(x)=ln(x+1)D.f(x)=e^(-x)4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的单调递增区间为（）A.(-∞，0)B.(0，2)C.(2，+∞)D.(-1，1)5.下列说法中，正确的有（）A.函数f(x)=x^3-3x+2在区间（-∞，+∞）上存在极值B.若函数f(x)在x=a处取得极值，则a是f(x)的驻点C.函数f(x)=x^4在区间（-1，1）上的最大值是1D.若函数f(x)在区间（a，b）内单调递减，则f'(x)≤0在区间（a，b）上恒成立三、解答题1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1，且f'(1)=0，f'(2)=3。(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在区间（-1，3）内的单调性。2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。(1)求函数f(x)的极值点；(2)求函数f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。3.已知函数f(x)=e^x-x^2。(1)求函数f(x)的导数f'(x)；(2)判断函数f(x)在区间（-1，1）内的单调性；(3)求函数f(x)在区间（-1，1）上的最大值和最小值。4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求函数f(x)的导数f'(x)；(2)求函数f(x)的极值点；(3)判断函数f(x)在区间（-2，2）内的单调性；(4)求函数f(x)在区间（-2，2）上的最大值和最小值。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx，且f(x)在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值。(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在区间（-1，3）内的单调性；(3)求函数f(x)在区间（-1，3）上的最大值和最小值。试卷答案一、选择题1.C解析：f'(x)=e^x。e^x在区间（0，1）内恒为正。2.A解析：f'(x)=3x^2-2ax。由f'(1)=3-2a=0得a=3/2。由f'(x)=3x^2-3x=3x(x-1)在(-1,1)内变号，需3/2∈(-1,1)，即a∈(-3,3)。3.A解析：f'(x)=3x^2-2ax+c。由f'(1)=3-2a+c=3得-2a+c=0。切线斜率为f'(1)=3，即3=3，满足。切线方程为y-(1-a+c)=3(x-1)，即y=3x-2。比较系数得1-a+c=-2，即-a+c=-3。联立-2a+c=0和-a+c=-3，解得a=3,c=6。则b+c=b+6。由-2a+c=0得-2b+6=0，解得b=3。所以b+c=3+6=9。检查发现原题选项有误，若按标准计算b+c=9，无对应选项。重新审视切线方程y=3x-2，代入f(1)=1-a+c=1，f'(1)=3-2a+c=3。得a+c=4,-2a+c=0。解得a=2/3,c=10/3。此时b=3-2a=3-4/3=5/3。b+c=5/3+10/3=15/3=5。再次检查发现计算无误，但选项仍无5。题目本身可能存在设定问题。假设题目意图是求a+c的值，则a+c=4。若题目意图是求b+c的值，则b+c=5。鉴于选择题通常有唯一正确答案且选项应匹配，此处可能题目或选项有误。按照最初的计算结果b+c=9，若选项必须选一个，则可能需要重新审视题目条件或选项设置。但基于提供的题目和选项，若强制选择，且假设最初计算无误，则结果为9。然而，这导致无正确选项。若假设题目或选项有印刷/设定错误，最可能的情况是期望的答案为5。这源于对切线方程y=3x-2代入f(1)和f'(1)的另一种解读可能。若认为切线方程是y=3x-2，则f(1)=1-a+c=-2，f'(1)=3。联立1-a+c=-2和3-2a+c=3，解得a=8/3,c=2/3。此时b=3-2a=3-16/3=-11/3。b+c=-11/3+2/3=-9/3=-3。这同样无对应选项。综合考虑，最可能的情况是题目或选项存在错误。若必须给出一个基于标准微积分运算的答案，原始计算b+c=9是最直接的。但鉴于选择题的设置，这表明题目本身可能需要修正。在此提供解析过程和计算结果，9。但指出这是一个由于题目/选项不匹配产生的问题。4.B解析：f'(x)=4x^3-12x^2+6x=2x(2x^2-6x+3)。令f'(x)=0得x=0或2x^2-6x+3=0，即x=0或x=3±√3。f(-1)=(-1)^4-4(-1)^3+3(-1)^2=1+4+3=8。f(0)=0^4-4(0)^3+3(0)^2=0。f(3-√3)=(3-√3)^4-4(3-√3)^3+3(3-√3)^2。计算较复杂，可估算或用计算器。f(3+√3)=(3+√3)^4-4(3+√3)^3+3(3+√3)^2。计算更复杂。f(3)=3^4-4(3)^3+3(3)^2=81-108+27=0。比较f(-1)=8,f(0)=0,f(3)=0,f(3-√3),f(3+√3)。由于f(3-√3)和f(3+√3)的具体值未知，但可以通过导数符号判断单调性。在(3-√3,3)内，f'(x)<0，f(x)递减。在(3,3+√3)内，f'(x)>0，f(x)递增。因此，f(x)在x=3-√3处取得局部极大值，在x=3+√3处取得局部极小值。比较极小值f(3+√3)和端点值。f(3+√3)<f(3)=0。f(3-√3)<f(3)=0。比较f(3-√3)和f(-1)，f(3-√3)<0,f(-1)=8。因此f(3+√3)<f(3-√3)<f(-1)。比较f(3-√3)和f(0)，f(3-√3)<0,f(0)=0。因此f(3+√3)<f(3-√3)<f(0)。所以f(x)的最小值在x=3+√3处取得，且最小值小于0。由于f(0)=0，且在x=3+√3处取得更小的值，最小值是负数。选项B为0，显然不是最小值。选项C为1，也不是最小值。选项D为2，也不是最小值。选项A为-1。我们需要判断f(3+√3)是否可能为-1或更小。f(3+√3)=(3+√3)^4-4(3+√3)^3+3(3+√3)^2。这是一个负数。计算具体值：f(3+√3)=(3^4+4*3^3*√3+6*3^2*3+4*3*3*√3+3^2)-4(27+27√3+9)+3(9+6√3+3)=(81+324√3+162+108√3+27)-4(36+27√3)+3(12+6√3)=(270+432√3)-(144+108√3)+(36+18√3)=270-144+36+(432-108+18)√3=162+342√3。这个值是正数。这表明之前的符号判断或局部极值性质应用可能有误。重新审视f'(x)=2x(2x^2-6x+3)。设x=3+√3，代入2x(2x^2-6x+3)=2(3+√3)(2(3+√3)^2-6(3+√3)+3)。计算(3+√3)^2=12+6√3。2(3+√3)^2=24+12√3。2(3+√3)^2-6(3+√3)+3=24+12√3-18-6√3+3=9+6√3。所以2(3+√3)(9+6√3)=18(3+√3)+12(3+√3)√3=54+18√3+36√3+36=90+54√3。这个值大于0。这表明x=3+√3处确实是局部极小值点。之前的错误在于认为f(3+√3)<0。计算f(3+√3)=162+342√3。这个值远大于0。因此，f(x)在x=3+√3处取得局部极小值，其值为162+342√3。f(-1)=8,f(0)=0,f(3)=0。比较这些值，f(x)在区间[-1,3]上的最小值是f(3)=0。选项B,C,D均不是最小值。选项A-1也不是最小值。这表明题目中的选项存在错误，或者题目的函数构造有特殊之处。考虑到极小值点的值远大于0，且端点值0是最小的，可以合理推断题目可能存在印刷错误，或者期望的答案是最小值0。根据微积分计算，f(x)在区间[-1,3]上的最小值为0。选择A是不正确的。题目和选项存在明显矛盾。按照严格的数学计算，最小值是0。但选择A-1是基于对选项的错误解读或假设题目有误。5.B解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得x^2-2x+2/3=0。判别式Δ=(-2)^2-4*1*(2/3)=4-8/3=4/3>0。因此方程f'(x)=0有两个不相等的实根，即f(x)存在两个极值点。根据韦达定理，两个极值点的和为2，积为2/3。由于2/3<1，两个极值点不可能同时在区间(0,2)内。若一个极值点在(0,2)内，另一个必然在(-∞,0)或(2,+∞)内。因此，方程f(x)=0在区间(0,2)内的实根个数至多为1。考虑f(0)=0^3-3(0)^2+2(0)=0。f(2)=2^3-3(2)^2+2(2)=8-12+4=0。由于f(x)在(0,2)内存在极值点，且f(0)=f(2)=0，根据介值定理和极值点的性质，f(x)必定在(0,2)内穿过x轴至少一次。因此，f(x)=0在区间(0,2)内存在一个实根。故实根个数为1。6.B解析：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0得x^2=1，即x=±1。函数f(x)在区间(a,b)内单调递减，意味着在该区间内f'(x)≤0恒成立。考虑区间(-∞,0)。在该区间内，x<0，x^2>0。因此f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)<0。所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减。考虑区间(1,3)。在该区间内，x>1，x^2>1。因此f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)>0。所以f(x)在区间(1,3)内单调递增。因此，只有选项B(-∞,0)符合题意。7.B解析：f'(x)=e^x-1。当x>0时，e^x>1，所以f'(x)=e^x-1>0。因此，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增。当x=0时，f'(0)=e^0-1=0。当x<0时，0<e^x<1，所以f'(x)=e^x-1<0。因此，f(x)在区间(-∞，0)上单调递减。图像在x=0处有切线斜率为0，且在(0，+∞)上上升，在(-∞，0)上下降。图像过点(0,1)。符合图像B的特征。8.A解析：f'(x)=3x^2-6x+2=(3x-1)(x-2)。令f'(x)=0得x=1/3或x=2。f(x)在x=1/3处取得极大值，在x=2处取得极小值。f(1/3)=(1/3)^3-3(1/3)^2+2(1/3)+1=1/27-3/9+2/3+1=1/27-1/3+2/3+1=1/27+1/3+1=1/27+9/27+27/27=37/27。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5。f(2)=2^3-3(2)^2+2(2)+1=8-12+4+1=1。比较f(-1)=-5,f(1/3)=37/27,f(2)=1。f(1/3)≈1.37,f(2)=1。所以f(x)在区间[-1，3]上的最大值为f(1/3)=37/27，最小值为f(-1)=-5。选项A为0，不是最大值。9.C解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0。判别式Δ=(-6)^2-4*3*2=36-24=12>0。因此方程f'(x)=0有两个不相等的实根，即f(x)有两个极值点。所以极值点个数为2。10.A解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由题意，f'(1)=3-2a+b=0，f'(2)=12-4a+b=0。联立方程组：(1)3-2a+b=0(2)12-4a+b=0用(2)-(1)得(12-4a+b)-(3-2a+b)=0，即9-2a=0，解得a=9/2。将a=9/2代入(1)得3-2(9/2)+b=0，即3-9+b=0，解得b=6。所以a+b=9/2+6=9/2+12/2=21/2=10.5。选项A,B,C,D均不是10.5。这表明题目中的选项存在错误，或者题目的条件设置有误。根据严格的数学计算，a=9/2,b=6，a+b=21/2。题目和选项存在明显矛盾。无法根据选项选择正确答案。二、多选题1.A,D解析：A.f(x)=x^3，f'(x)=3x^2。当x≠0时，f'(x)>0。当x=0时，f'(x)=0。因此，f(x)在区间（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，在整个区间（-∞，+∞）上单调递增。正确。B.函数f(x)在x=a处取得极值，意味着f(x)在x=a处可导（极值点处的可导性是取得极值的必要条件，但不充分），且在x=a的左右邻近两侧函数值分别小于和大于f(a)（极大值）或分别大于和小于f(a)（极小值）。若f'(a)≠0，则函数在x=a处的切线斜率不为0，意味着函数在该点附近的单调性不变，不可能在x=a处取得极值。因此，若函数f(x)在x=a处取得极值，则必有f'(a)=0。正确。C.f(x)=x^4，f'(x)=4x^3。当x∈(-1，1)时，x≠0，所以f'(x)=4x^3≠0。这意味着f(x)在区间（-1，1）内单调递增或单调递减。f(x)在(-1,1)上单调递增。f(-1)=(-1)^4=1。f(1)=1^4=1。函数在区间（-1，1）上的最小值是负无穷大，最大值是正无穷大。不存在最小值0。错误。D.函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，意味着对于任意的x1,x2∈(a，b)，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)。根据导数的定义，这意味着f'(x)≥0在区间（a，b）上恒成立。正确。2.A,B,D解析：f'(x)=3x^2-6x+2=(3x-1)(x-2)。令f'(x)=0得x=1/3或x=2。f(x)在x=1/3处取得极大值，在x=2处取得极小值。A.x=1是f'(x)=0的解，f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=3-6+2=-1<0。f(x)在x=1的左侧邻近单调递增，在x=1的右侧邻近单调递减。因此，f(x)在x=1处取得极大值。正确。B.x=2是f'(x)=0的解，f'(2)=3(2)^2-6(2)+2=12-12+2=2>0。f(x)在x=2的左侧邻近单调递减，在x=2的右侧邻近单调递增。因此，f(x)在x=2处取得极小值。正确。C.f(x)在区间（-∞，1）上单调递增，因为在该区间内f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1>0。正确。D.f(x)在区间（1，2）上单调递减，因为在该区间内f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1<0。正确。（注：原题干为“正确的有”，选项C和D的说法均为正确陈述。）3.A,B,D解析：A.f(x)=-x^2+2x，f'(x)=-2x+2=-2(x-1)。当x∈(0，1)时，0<x<1，所以-2(x-1)=2-2x>0。因此，f(x)在区间（0，1）内单调递增。正确。B.f(x)=-x^3+x，f'(x)=-3x^2+1。令f'(x)=0得-3x^2+1=0，即x^2=1/3，解得x=±√(1/3)。当x∈(0，1)时，x>0，所以f'(x)=1-3x^2。在(0，√(1/3))内，x^2<1/3，所以1-3x^2>0，f'(x)>0，f(x)递增。在(√(1/3)，1)内，x^2>1/3，所以1-3x^2<0，f'(x)<0，f(x)递减。因此，f(x)在区间（0，1）内不恒为负。错误。C.f(x)=ln(x+1)，f'(x)=1/(x+1)。当x∈(0，1)时，x+1∈(1，2)，所以1/(x+1)>0。因此，f(x)在区间（0，1）内单调递增。正确。D.f(x)=e^(-x)，f'(x)=-e^(-x)。当x∈(0，1)时，e^(-x)>0，所以-e^(-x)<0。因此，f(x)在区间（0，1）内单调递减。正确。4.A,B,C解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得x=1/3或x=2。f(x)在(-∞，1/3)上单调递增，在(1/3，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增。A.(-∞，0)完全包含在(-∞，1/3)内。在该区间内f'(x)>0，f(x)单调递增。正确。B.(0，2)包含了(1/3，2)区间。在该区间内f'(x)<0，f(x)单调递减。正确。C.(2，+∞)在(2，+∞)内f'(x)>0，f(x)单调递增。正确。D.(-1，1)包含了(-∞，1/3)和(1/3，1)两部分。在(-∞，1/3)内f'(x)>0，f(x)单调递增；在(1/3，1)内f'(x)<0，f(x)单调递减。因此，f(x)在(-1，1)内不单调。错误。5.A,B,D解析：A.f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=-1或x=1。f(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值。因此，f(x)在区间（-∞，+∞）上存在极值。正确。B.函数f(x)在x=a处取得极值，若f(x)在x=a处可导（极值点的可导性是取得极值的必要条件），则必有f'(a)=0。正确。C.f(x)=x^4，f'(x)=4x^3。当x∈(-1，1)时，x≠0，所以f'(x)=4x^3≠0。这意味着f(x)在区间（-1，1）内单调递增或单调递减。f(x)在(-1,1)上单调递增。f(-1)=(-1)^4=1。f(1)=1^4=1。函数在区间（-1，1）上的最大值是正无穷大，最小值是负无穷大。不存在最大值1。错误。D.函数f(x)在区间（a，b）内单调递减，意味着对于任意的x1,x2∈(a，b)，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)。根据导数的定义，这意味着f'(x)≤0在区间（a，b）上恒成立。正确。三、解答题1.解：(1)f'(x)=3x^2-2ax+b。由f'(1)=0得3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=0，即b=2a-3。由f'(2)=3得3(2)^2-2a(2)+b=12-4a+b=3，即b=4a-9。联立b=2a-3和b=4a-9，得2a-3=4a-9，解得a=3。将a=3代入b=2a-3得b=2(3)-3=6-3=3。所以，a=3，b=3。(2)由(1)知，a=3，b=3。所以，f(x)=x^3-3x^2+3x+1。f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2。令f'(x)=0得x=1。考虑f'(x)的符号：当x∈(-∞，1)时，(x-1)^2>0，所以f'(x)>0，f(x)单调递增。当x∈(1，+∞)时，(x-1)^2>0，所以f'(x)>0，f(x)单调递增。因此，f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，不存在单调递减区间。2.解：f'(x)=3x^2-6x+2=(3x-1)(x-2)。令f'(x)=0得x=1/3或x=2。f(x)在x=1/3处取得极大值，在x=2处取得极小值。f(1/3)=(1/3)^3-3(1/3)^2+2(1/3)+1=1/27-3/9+2/3+1=1/27-1/3+2/3+1=1/27+1/3+1=1/27+9/27+27/27=37/27。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5。f(2)=2^3-3(2)^2+2(2)+1=8-12+4+1=1。f(1/3)≈1.37，f(2)=1。因此，f(x)在区间[-1，3]上的最大值为f(1/3)=37/27，最小值为f(-1)=-5。3.解：(1)f(x)=e^x-x^2。f'(x)=e^x-2x。(2)由f'(x)=e^x-2x。当x∈(-∞，1)时，e^x>0，2x<2。若x<-1，e^x<1，2x<-2，所以e^x-2x>0。若-1≤x<0，e^x≥1，2x≤0，所以e^x-2x>0。若0≤x<1，e^x≤e，2x<2，所以e^x-2x>0。因此，f'(x)>0在区间（-∞，1）上恒成立。所以f(x)在区间（-∞，1）上单调递增。当x∈(1，+∞)时，e^x>e>0，2x>2，所以e^x-2x>0。因此，f'(x)>0在区间（1，+∞）上恒成立。所以f(x)在区间（1，+∞）上单调递增。(3)由于f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，且f(0)=e^0-0^2=1-0=1。因此，f(x)在区间（-1，1）上的最小值是f(-1)=e^-1-(-1)^2=1/e-1。由于e