三角函数、平面向量及解三角形新定义题（学生版）

专题08三角函数、平面对量及解三角形新定义题

1.(23-24高一下•江西•阶段练习)对于分别定义在。，2上的函数/(X),g")以及实数

k,若任取为£。_存在GW。-使得/(xJ+g(%)=A，则称函数“X)与g(x)具有关系

M(k).其中巧称为阳的像.

⑴若I/(x)=2sin(2x+1}xeR；g(x)=3cos("+*,汇wR,推断/(x)与g(x)是否

具有关系M(-6),并说明理由；

⑵若小)=2sin(2x+W),x€0,|；g(x)=3>/5cos卜x+e)，xe[0,7r],且/(x)与g(x)

具有关系求％=已的像；

⑶若/(x)=2sin(2x+m),xe；g(x)=-2sin2x+as\nx+2,xeR,且/(力与g(x)

V3)L46」

具有关系M(5),求实数。的取值范围.

2.（23-24高一下•上海♦阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用转变着人类的生活，所

谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终

判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相像度主要应用距离的测试，常用测最

距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A&,），J,3（孙乃），则曼哈顿

距离为：d{\B）=\x,-x2+|?|-y2|,余弦相像度为：

8取1）=高/总+禹'&，余弦距离为…国外）

⑴若4（7,2）,唱［），求48之间的曼哈顿距离M"）和余弦距离；

।2

(2)已知M(sina,cosa),N(sin/7,cos/?),Q(sin/?,—cos尸)，^cos(M,N)=-,cos(M.0=—,

求tanatan/的值

⑶己知0＜a＜尸＜5，"(5cosa,5sina)、N(138s",13sin0,P(5cos(a+0,5sin(a+〃)),

若cos(M.P)《，cos(M,N)=l，求M、P之间的曼哈顿距离.

3.(23-24高一下•上海杨浦•期中)定义函数/(x)=cos(sinx)为“正余弦〃函数.结合学过的

学问，可以得到该函数的一些性质：简洁证明2九为该函数的周期，但是否是最小正周延呢？

我们连续探究：/(x+兀)=cos[sin(x+7r)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(x).可得：兀也为函

数〃x)=cos(sinx)的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间争辩

/(N)=cos(sinx)的单调性：函数/(x)=cos(sinx)在恒是严格减函数，在87t上严格

增函数,再结合/"+兀)=〃力，可以确定:〃")=85(sin合的最小正周期为兀.进一步我

们可以求出该函数的值域了.定义函数〃x)=sin(CQSx)为“余正弦”函数，依据阅读材料的内

容，解决下列问题：

⑴求“余正弦〃函数的定义域；

(2)推断“余正弦〃函数的奇偶性，并说明理由；

⑶探究“余正弦〃函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.

4.(23-24高一下•四川巴中•阶段练习)定义非零向量0M=(〃⑼的"相伴函数〃为

/(x)=flsinx+Acosx(xGR),向量OM=(a/)称为为函数/(x)=asinx+hcosx的“相伴向

量"(其中。为坐标原点).

⑴求4(x)=cos卜+看)-2cos(x+a)(aeR)的〃相伴向量”；

(2)求(1)中函数刈力的"相伴向量〃模的取值范围；

⑶当向量0M=(61)时，其"相伴函数〃为/(“，若XW。，詈，方程

/2(司+(2-〃)/(x)+a-3=0存在4个不相等的实数根，求实数。的取值范围.

5.（23-24高二上•北京•期中）〃个有次序的实数所组成的有序数组（凡生，•••，4）

称为一个〃维向量，其中=称为该向量的第i个重量.特殊地，对一个〃维向最

a=（4,4,…㈤,若闻=i,i=i,2…五,称〃为“维信号向量.设

a=a,）,b=（fi也,…也）,则。和〃的内积定义为小6=£端,且4_L6o由〃=0.

;=1

⑴直接写出4个两两垂直的4维信号向量.

（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.

⑶己知Z个两两垂直的2c25维信号向量芭,与，…，々满足它们的前〃，个重量都是相同的，求

证：\/kni<45.

6.（23-24高一下•山东•阶段练习）克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊有名的数学家、

天文学家和地理学家.他一生有很多创造和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里

得几何中的重要定理.托朝.密不等式内容如下：在凸四边形A8CO中，两组对边乘积的和大

于等于两对角线的乘积，AD13C+AI3CD>AC-HD.当48CO四点共圆时等号成立.已

⑴当△8C。为等边三角形时，求线段AC长度的最大值及取得最大值时△8C。的边长；

（2）当2如122。3。+35E2/3。仃=2411/。4。疝］-463/。。3+4112/4仃。时，求线段AC

长度的最大值.

7.（23-24高一下•福建厦门•阶段练习）在..ABC中，对应的边分别为

a,b,c,ZsinAsinBsinC=y/31sin2B+sin2C-sin2

⑴求A；

（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy,1789年-1857年）,法国有名数学家.柯

西在数学领域有格外高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式

、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.

①用向量证明二维柯西不等式：（中2+"2）飞卜；+弁）（石+贡）

②已知三维分式型柯西不等式：3为.二1<+3+区+幺（,当且仅当

,为必,+）'2+力

工=X=工时等号成立.若。=2,P是一ABC内一点，过夕作AB,8cAe垂线，垂足分别为

y必外

DHF'求,=斯鬻懦的最小度

8.（23-24高一下•上海•期中）将全部平面对量组成的集合记作R2.假如对于向量

2

x=（xpA-2）eR,存在唯一的向量y=（y,），2）wR2与之对应，其中坐标y,为由中为确定，则

把这种对应关系记为5=”工）或者（*%）=/（西，毛），简记为/.例如

（,，丁2）=/（斗，与）=（2%+占片）就是一种对应关系.若在|£|=1的条件下|）；|有最大值,则称

此最大值为对应关系/的模，并把/的模记作f；若存在非零向量XWR2及实数力使得

/（x）=Ax,则称％为/的一个特征值.

⑴假如/（知毛）=（2%20）,求f；

⑵假如/（%,毛）=（3内+上，一豆+%），计算/的特征值，并求相应的x；

⑶若/（牛毛）=（4%+%莅，伪5+/?2々），要使/有唯一的特征值，实数也应满足什么

条件？试找出一个对应关系了,同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值沏②l/ll=|A|,

并验证/满足这两个条件.

2

9.（2025•全国•模拟猜测）设有〃维向量〃=,b,称［a=。自+a2b2+-^anhn

为向量。和。的内积，当［。川=0,称向量。和〃正交.设S“为全体由T和1构成的〃元数

组对应的向量的集合.

’1、

2

⑴若，写出一个向量〃，使得［凡阿=0.

3

4

（2^B={［x,y』E）；eS,r}.若mwB,证明：〃?十八为偶数.

⑶若〃=4,/（4）是从冬中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足［〃”］二（）,猜

想”4）的值，并给出一个实例.

10.（23-24高一下•上海徐汇・）设复平面中向量o尸对应的兔数为Z〃，给定某个非零实数z,

称向量2