综合与实践-最短路径（将军饮马）问题（知识梳理+题型精析+同步练习）解析版-2025-2026学年八年级数学上册（人教版）

综合与实践一一最短路径（将军饮马）问题（5大题型）

目录

一.知识梳理与题型分类精析..............................................................1

活动引入：...........................................................................1

活动（一）将军饮马问题一一“两定一动”模型.........................................2

【题型I］利用“将军饮马一一两定一动”（两点之间线段最短）模型求值................2

【题型2】利用“将军饮马------定两动”（垂线段最短）模型求值......................5

活动（二）将军饮马问题拓展一一“两定两动”模型.....................................8

【题型2】利用“将军饮马一一两定两动”模型求值.....................................8

活动（三）将军饮马问题拓展一一“一定两动”模型...................................11

【题型3】利用“将军饮马------定两动”模型求值...................................12

活动（三）将军饮马问题拓展一一“一定（区间）两动”模型............................15

【题型4】利用“将军饮马------定（区间）两动”模型求值...........................16

活动（四）将军饮马问题拓展一一“造桥选址（平移）问题”模型.......................19

【题型5】利用“将军饮马一一造桥选址（平移）”模型求位置..........................19

二.同步练习............................................................................23

【基础巩固（16题）】...............................................................23

【能力提升（16题）】...............................................................38

一.知识梳理与题型分类精析

活动引入：

如图1,牧民从4地出发，到一条笔直的小河边/饮马，然后趟过小河到8地.牧民到河边的什么地

方饮马可使所走的路径最短？

1/57

解折；如图2,连接力〃交小河（直线，）交于点。，点。就是牧民饮马处，理由是两点之间，线段

最短.

活动（一）将军饮马问题一“两定一动”模型

如图3,牧民从力地出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到8地.牧民到河边的什么地方饮马可使

所走的路径最短？

解析：如图%把小河看成一条直线/,作点月关于直线/的对称点，，连接©8,与直线/的交点C

即为所求的点.

【题型1］利用“将军饮马一一两定一动”（两点之间线段最短）模型求值

【例题1】（23-24八年级.上•湖南株洲•阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有•位精通数

学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问

题：将军每天从军营片出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营，开会，应该怎样走才能使

路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为“将军饮

马”的问题便流传至今.大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.

•B

力・

如下图，作A关于直线/的对称点*，连接/m与直线/交于点C点。就是所求的位置.

证明：如下图，在直线/上另双任一点C,连接4C‘，BC',B'C,

2/57

・・•直线/是点8,8'的对称轴，点C,。'在/上,

:.CR=CR',C'R=C'R',

,

：,AC+CB=AC+_B'C=_AB

在中，•.Y8'<AC'+C8',

.'.AC+CB<AC+CB'即4C+C8最小.

【点拨】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把48在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,

从而可利用“两点之间线段最短"，即"三角形两边之和大于第三边''的问题加以解决（其中。在4"

与/的交点上，即/、C、8'三点共线）.本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距

离和的最小值”的问题的数学模型.

【变式1】（24-25八年级上•全国・期末）如图，在△WB。中，AB=3,AC=4,七尸垂直平分8C,

交AC于点、。,则△月8尸周长的最小值是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键.连接PC,根

据垂直平分线的性质得到8P=PC,由干即可求出人力在周长的最小值.

v£尸垂直平分6C,

3/57

•••BP=PC,

'：=AB+AP+BP,

••C48P=+AP+PC,

•••AP+PC>AC,

故△480周长的最小值是/4+4C=3+4=7,

故选：C.

【变式2］（24-25八年级上•河南驻马店•阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的

理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄8的群众出行到河岸张庄A和李庄8位

于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄8到河岸人的距离分别为

/1C=1000m,BD=2000m,且C0=3000m,如图所示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两

村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C,。之间距离。m处.（河岸边

上的点到河对岸的距离都相等）

B

A

c|_______Db

二二二二二二二二二二河

【答案】1000

【分析】此题主要考查了最短路线问题，作夕点关于直线6的对称点还按/配交人于点P,此时

尸点到A与"的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的

解题关键.

解：作：8点关于直线方的对称点8',连接力8'交直线力于点P，

B'P,

AP+BP=AP+B'PNAB',此时P点到A与8的距离和最小,

过"作"必〃C'。，延长/C与83/交于点V,

B'M=CD,

vAC=lOOOni,BD=2000m,H.CD=3000m,

4/57

/.AM=1000m+2000m=3000m=MB',

/G4尸=45°,

:.AC=CP,

P点与C点的距离是1000m.

故答案为：1000.

【题型2】利用“将军饮马-------定两动”（垂线段最短）模型求值

【例题2］（24-25八年级上•河北邯郸・期中）如图，在△45C中，AC=AB=8,4=60。.

（1）求8C的长；

（2）点、E在边BC上,BE=5,射线CO_L8C,垂足为点C,点P是射线CO上的一动点，点尸在

线段48上，当石尸+尸尸的值最小时，求的值.

【答案】（1）8；（2）y

【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形

的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键.

（1）证明ZUAC是等边三角形即可求解.：

（2）作点£关于8的对称点£,连接尸石’，由轴对称的性质可得尸£=CE'=CE,则当

P、E\产三点共线且E'F_L4B时，PE'+所最小，即此时£尸+尸尸最小，利用等边三角形的性质得

到N8=60。，BC=AB=8,进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可.

解：（1）解：•••在△XBC中，AC=AB=^t=60°,

是等边三角形，

二BC—AB—8；

（2）解：如图所示，作点E关于CD的对称点g,连接P*,

5/57

由轴对称的性质可得P£=PE,CE'=CE,

：.EP+PF=PE,+PF,

当P、£、尸三点共线且E户J.时，PE'+PF最小,即此时EP+P尸最小，

vCD±BC,

:.B、C、一三点共线,

•••在等边三角形力AC中，力夕=8,

••.N8=60。，BC=4B=8,

.•.NE'=3（）°,CE=BC-BE=3,

：.CE=CE=M

.•.BE・CE'+BC=11,

22

【变式1］（24-25八年级上•湖北武汉•期末）如图，在RtZ\,48C中，ZC=90°,N4=30。，点N在

边BC上,且BN=6,点、M,P分别是边力4,力。上的动点，当PA1+PN最小时，BM=5,则

长为（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】D

【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，

结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.作点N关于/C的对称点V,作

N'M1AB于M,交/1C于P,jlLl^PN+PM=PN'+PM=MN',根据垂线段最短，十AV'的最

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小值等于垂线段MN，的长，利用含30。角的直角三角形的性质求解即可.

解：如图所示，作点N关于力。的对称点N',作N'MJL48于M,交力。于P,,此时PN+PM最

小,

在Rt△力中，ZC=90°,4=30。，

••.NB=60。，AB=2BC,

•••NBMN'=90°,

4BN'M=30°,

•••BM=5,

：.BN'=2BM=\Q,

•：BN=6,

...CN=CN'=2,

:.BC=8,

：.AB=2BC=T6,

故选：D.

【变式2](24-25七年级下•江苏泰州•期末)在Rt△48。中，N4=9()。，AB=5,4C=12,

BC=13,即垂直平分48,点。是E/上一动点，过尸作尸〃_L8C,垂足为点〃，连接BP,则

BP+PH的最小值为.

【答案】号

【分析】本题考查「垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂宣平分线的性质转化8P是解题的关

键.连接/P,根据垂直平分线的性质得到AP=8P,则有3P+P〃=4P+P〃N4H，分析可知当

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〃三点共线时，外十，〃行最小值，最小值为4〃的长，此时/〃是。的高，再利用等

面枳法即可求解.

解：如图，连接彳P,

•.•E/垂直平分/8,点尸是牙■上一动点,

**•AP=BP，

.'.BP+PH=AP+PH>AH，

.•.当力,P,a三点共线时，82+尸〃有最小值，最小值为力〃的长,

•:PHA.BC,4P,"三点共线,

・•・此时4”是母△/18C的高,

ABAC5x1260

AAH=-----------=--------=—

BC1313

.•.80+尸〃的最小值为玲.

故答案为：YJ.

活动（二）将军饮马问题拓展一一“两定两动”模型

解析：如图5,把小河、草地分别看成射线ON,分别作点力关于射线ON的对称点",

作点5B关于射线ON的对称点力，连接4岁,与直线OMOW交于点。、D,连接，*,贝U

AC—C。一。8为所走的路径最短.

【题型2】利用“将军饮马一一两定两动”模型求值

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【例题2】(23-24八年级上•河南商丘阶段练习)如图，405=22。，点、M,N分别是边。4,OB

上的定点，点尸，。分别是边。彳，OB上的动点,记=4QPN=0,当MQ+QP+PN最

小时，则。与/的数量关系为.

【答案】夕-。=44。

【分析】本题考查轴对称一最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

作M关于03的对称点M',N关于。4的对称点V,连接交。4于P,交08于。，则

MQ+QP+PN最小,易轼\N0QM=40QM，=NNQP,N0PQ=4APN'=NAPN,根据三珀形的外

角的性质和平角的定义即可得到结论.

解：如图，作〃关于04的对称点M',N关于。力的对称点V,连接交。力于儿交OB于

。，则MQ+2P+PN最小，

V

/.NO0.M=NO0AT=4NQP,Z.OPQ=4APN'=ZAPN,

...APQN=1(1800-a)=ZAOB+^MPQ=22°+1(l80°-/7),

"一々=44。，

故答案为：£-a=44。.

【变式1】(24-25八年级上•山西大同•阶段练习)马仑草原坐落F山西省宁武县境内管涔山之巅，

最高海拔2712米.当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自

然的神奇壮美.如图，牧马人从4地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到8处,

请画出最短路径.

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【答案】详见分析

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点力的关于草地的对

称点H,点8的关于河岸的对称点8',连接两个对称点，交于草地点C,交河边广点。，连接4C,

BD,则4C+CO+Q8是最短路线.能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键.

解：如图，作出点X的关于草地的对称点点4的关于河岸的对称点"，连接两个对称点，交于

草地点。，交河边于点。，连接力C,BD,

：.AC=AC,BD=B'D,

:.AC+CD+DB=AC+CD+DB'=A'B',

根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为H8',

•••所走路线即^AC-CD-DB.

【变式2】(24-25八年级上•湖北鄂州•期末)如图，NAOB=12。，点、M、N分别是边。8上的

定点，P、。分别是边08、04上的动点，记乙”P。=*ZPQN=p,当MP+P0+QN最小时，

则6―a=()

C.36°D.48°

【答案】B

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【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，二角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键.

作点〃关于08的对称点AT,点N关于。力的对称点N',连接MN交OB、。,4于尸、°,此时，

PM+PN=PM'”N'=MN最小，根据轴对称的性质可得比

/0PM=4OPM'=4NPQ=ZO+ZOQP,NOQP=4AQN=4NQA=N。+4ONQ,从面可求得

1=180。-4/。-2/0入/0,〃=180。-2/O-2NON0,代入夕-a即可求解.

解：作点M关于08的对称点AT,点N关于0/的对称点V,连接A/M交03、。力于P、Q,此

时，PM+PN=PM'+PN'=MN最小,

山轴对称的性质得：乙OPM=ROPM'=乙NPQ=/。十NOQP,

N0QP=4AQN=ZNQA=NO+ZONQ,

:.NOPM=NNPQ=N。+Z.OQP="+NO+NON。=2/0+NONQ,

•••a=1800-40PM-NNPQ=180°-2/OPM=180°-2(2Z<9+NON。)=180。-4/0—2ZONQ,

Z?=180°-ZOQP-4NQA=180°-2ZNQA=180°-2(ZO+/ON。)=180。-2NO-2ZONQ,

.•.p-a=18O0-2NO-2/ON0-(l8O0-4/O-2/ON0)=2/O=2xl20=24o,

故选：B.

活动(三)将军饮马问题拓展一一“一定两动”模型

如图5,牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可

使所走的路径最短？

解析：如图5,把小河、草地分别看成射线。M、ON,分别作点A关于直线OM、ON的对称点

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A",连接与射线。必、ON交于点。、C,连接AC、AD,则4C—CD—D4为所走的神

径最短.

【题型3】利用“将军饮马------定两动”模型求值

【例题3】（24-25七年级下•福建漳州•阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗

人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”

问题.

（1）如图.直线〃是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线。上修建一个供

生站。，向N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是（）

（2）如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃

草，然后再去河边饮水，最后回到A地.请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理

【答案】（1）B;（2）最短路径如图，理由见详解

【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

（1）作点M关于直线。的对称点时'，连接M/VT,根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项.

（2）作点A关于直线OM和ON的对称点3和C,连接48和4C,连接BC,分别交直线和。V

于点。和石，连接。力和£4,根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径.

解：（1）解：•••作点〃关于直线。的对称点AT,连接MAT,故直线。是MW'的垂直平分线，

:.MO=M'O,

.-.MO+ON=M'O+ON,

•••铺设管道最短的是选项B,

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故选；B.

（2）解：作点A关于直线。朋和ON的对称点4和C,连接力4和47,连接BC,分别交直线。何

和ON于点。和E,连接。力和£4,如图：

根据时称的性质可得直线QM和ON分别是AB和AC的垂直平分线，

：.AD=BD,AE=EC

:.AE+DE+AD=BD+DE+CE=BC,

根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为W。,ER口.

【变式1］（23-24八年级上•二匕京海淀•开学考试）已知408=30。，点P在/力04的内部，OP=4,

。力上有一点M,08上有一点N,当△△心「「的周长取最小值时，4MPN=。，△MNP的周长

为一•

【答案】120。/120度4

【分析】作。关于直线04的对称点P',作Q关于直线。8的对称点〃，连接PP”,交。4于

交OB于N,则此时的周长最小，迷接。P,OP",PP和PP•分别与。/和03交于C,D,

1

根据对称的性质得至1」。。=。"=。尸=4,ZAOP=ZAOPtNBOP=/BOP",PM=P'M,PN=P"N,

可证明APOP•是等边三角形，得到。9=。/=PP=4,继而推出的周长为PP=4,利用四

边形内角和求出ZPW=150°,利用三角形内角和求出2PP'P"+/PP”P'=30。，根据等边对等角求出

/NPP"+/MPP'=30。,再利用角的和差求出结果.

解：如图，作。关于直线0/H勺对称点尸'，作尸关于直线08的对称点P",连接P'P”,交04于

交OBtN,则此时△MNP的周长最小，连接OP',0P",尸和/平'分别与04和08交JC,。，

•:P关于直线04的对称点P,P关于直线08的对•称点P〃,

:.OP=OF=OP"=4,Z.AOP=Z.AOP,,NBOP=NBOP：PM=P'M,PN=P"N,

•••ZAOP+ZBOP=ZAOB=30°,

:.ZP'OP"=60°,

.,.△P，"♦是等边三角形，

:.0P'=0P*=PP=4,

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.%4MNP的最小周长为MP+NP+MN=PM4P"N+MN=PP"=4,

•••PM=P'M，PN=PnN,

:./MPP'=ZMP'P,/NPP"=4Pp,

在四边形。。尸。中，/。0。=30。，NOCP=NODP=90°,

.♦.ZPW=150°,

.♦.NPPP+NPP0P'=3O0,

:.NNPP"+NMPP'=30。，

:.ZMPN=Z.P'PP°-(Z.NPPn+ZMPf}')=\50°-30°=120°,

故答案为：120。,4.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，对称的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定

的应用，三角形内角和，关健是找出符合条件的M、N点的位置，题目比较好，但有一定的难度.

【变式2］（23-24八年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，四边形力8CO中，4=40。，

Z5=ZD=90°,M,N分别是,42,力力上的点，当ACA/N的周长最小时，则的度数为（）

C.90°D.100°

【答案】D

【分析】作点C关于的对称点E,关于力。的对•称点F,则CM=EM,CN=FN,可得

CM+MN+CN=EM+MN+FN,即可得当£、A/、M”在同一条直线上时，EW+MY+EM的最小值

等于线段石厂的长，根据四边形"CO中，4=40。，/6=/。=90。得/4。=140。，根据三角形内

角和定理得/£+//=4（）。，根据等边对等角得/aWN=2N£，/CNM=2NF,即可得

KCMN+4CNM=80。，根据三角形内角和定理即可得.

解：如图所示，作点C关于48的对称点关于/。的对称点片

14/57

则CM=EM,CN=FN,

:.CM+MN+CN=EM+MN+FN,

.•当E、M、N、厂在同一条直线上时，EW+MN+汽N的最小，直等于线段石尸的长，

•••四边形48CD>ti,Z/4=40°,/8=/。=90°,

:.NBCD=360°-ZJ-ZS-ZP=360°-40°-90°-90°=l40°.

NE+/F=1800-ZBCD=\8C°-140°=40°,

,:CM=EM,

:.乙E=NMCB,

："CMN=NE+4MCB=2ZE,

•:CN=FN,

："F=NNCO,

••.NOVA/=ZF+ZNCD=2/尸,

NCMN+NCNM=2(NE+ZF)=2x40°=80°,

/MCN=180。一(NCMV+ZCNM)=180°-80°=l00°,

故选：D.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解

题意，利用对称性构造最短路径.

活动(三)将军饮马问题拓展一一“一定(区间)两动”模型

如图5,牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处.牧民怎样走可

使所走的路径最短？

15/57

图8

解析：如图5,把小河、草地分别看成射线OM、ON,分别作点A关于直线OM、ON的对称点

A,作点B关于射线/的对称点4,连接48,与直线OM、ON交点点D、C,连接AC、BD,则AC-CD-DB

为所走的路径最短.即C、D为所求.

【题型4】利用“将军饮马-----定（区间）两动”模型求值

【例题4］（24-25七年级下•陕西西安•阶段练习）如图，Rt△48c中，

/。=90。,力。=3,力6=5,。、E、尸分别是48、BC、XC边上的动点，则。七+E”+尸。的和的最小值

是.

【答案】4.8

【分析】本题考查了轴对称•最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关犍是灵活

运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.

如图作。关于直线4C的对称点〃，作。关于直线8c的对称点N,连接CM,CN,CD,EN,

FM,DN,DM.由^MCA=/DCA,4BCN=/BCD,NACD+/BCD=90°,推出

NMCO+NNCQ=180。，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,

尸M+EN+M2MN,可知当历、F、E、N共线时，且。时，Of+E尸+尸。的值最小,

最小值2C。，求出CO的值即可解决问题.

解：如图，作。关于直线4C的对称点作。关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,

EN,FM,DN,DM.

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A

N

：.DF=FM,DE=EN,CD=CM、CD=CN,

:.CD=CM=CN,

•;NMCA;NDCA,4BCN=/BCD、/力CQ+N8C。=90°,

/.ZMCD+Z/VCZ)=180°,

M、C、N共线，

,/DF+DE+EF=FM+EN+EF,

•••FM+EN+EFNMN,

・•・当M、F、E、N共线时，且时，DE+E/+FQ的值最小,

最小值为MN=2CQ,

「CDLAB,

:.-xABxCD=LxBCxAC,

22

DE+E尸+尸。的最小值为4.8.

故答案为：4.8.

【变式1］（22-23八年级下•福建福州•开学考试）如图，在四边形/4CQ中，ZZ?JD=105°,

N4=NO=90。，在8C,CO上分别找一个点M,N,使△4MN的周长最小，则

【分析】要使△力MN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于4c

17/57

和C。的对称点H,I,即可得出NH+N『=75。，进而得出乙4MV+N.4MW=2(444"+N/),即可得

出答案.

解：作A关于4c和CO的对称点4,/,连接片不，交AC于"，交CO于N,则4,即为△4WN

•..ZDJ2?=IO50,

N4+ZJ,r=180°-/BAD=180°-105°=75°,

=NN/O=N/T,且N4+NA//M'=N4WN,ZNAD+4A"=NANM,

..zlAMN+&NM=NH+NMAA'-々NAD+4*=2(/H+Z/T)=2x750=l50c

故答案为：150.

【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角

的性质和垂直平分线的性质等知识，根据一知得出"，N的位置是解题关键.

【变式2](24-25八年级上•辽宁营口•期中)如图，在四边形48CO中，/历1。=130。，

/8=/。=90。，点E,厂分别是线段8C、。。上的动点.当△力瑁7的周长最小时，则/瓦4尸的度数

为多少度？

【分析】本题主要考杳轴对称一一最短路径问题，三角形外角性质以及垂直平分线的性质，熟练学

握最短路径问题是解题的关键.要使△力五厂的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一

直线上，作出A关于8C和CZ)的对称点4、不，即可得出N/4E+4"=/〃44'=50。，进而得出

AAEF+AAFE=2(244%+乙4〃)，即可得到答案.

解：作出A关于4C和CO的对称点H、A",连接41,交8C于点E,交CD于点F,则即为

厂的周长最小值，作。力延长线4”,

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,ZDAB=\30°,

NHAA'=50。,

・•.Z.AAE+"=NHAA'=50°,

由折叠可知：AE=A'E,AF=AF,

ZEA'A=ZEAAf,NF4D=N4：

NE4H+乙47尸=50。,

/.ZE/fF=130°-50o=80°.

n

.A

活动（四）将军饮马问题拓展一一“造桥选址（平移）问题”模型

如图9,A,8是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥MN,使得通过桥到两村的距离

和最短.（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）

解：根据垂线段最短，得出MV是河的宽时，AW最短，即WV_L直线。（或直线b）,

只要4M+AN最短就行，

如图10,过8作河岸方的垂线8”,垂足为H,在直线8〃上取点8',使88'等于河宽.连接力"

交河的。边岸于M,作MN垂直于河岸交〃边的岸于N点，所以，即为所求的桥.

图9图10

【题型5】利用“将军饮马一一造桥选址（平移）”模型求位置

【例题5］（24-25八年级上•贵州遵义•期中）己知，是A,8两个城镇和一条河流.

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（1）如图1,A,〃两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点〃建造一个抽水站，抽水到A,D

两镇，在河边找出点尸的位置，使尸力+04的值最小（保留作图痕迹）.

（2）如图2,A,后两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠4镇的一边找一点尸建造一个抽水站，

抽水到A,Z?两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点。的位置，

使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）.

【答案】（1）见分析：（2）见分析

【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作

图是解题的关键.

（1）根据轴对称的性质作图即可；

（2）根据平移的性质作图即可.

解：（1）解：如图1,作A关于河边（直线〃？）的对称点n,连接H8交直线加于点尸，连接力P,

4

图1

由轴对称的性质得HP=4P,

••.PA+PB=A'P+PBNA'B,

••・当彳，尸,8三点共线时，"+P8的值最小，

二如图所不，点尸的位置即为所求；

（2）解：设河流宽度（直线阳与直线〃之间的距离）为d,

将点8向下平移d至*,连接交直线〃于点。，作夕。工直线〃交直线加于点尸，连接如

图2：

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则尸。=d,

由平移的性质得，PB=QB\

：.AQ+PQ+PB=AQ+QB'+dNAB'+d,

・•・当4。,*三点共线时，A0+PQ+8P的值最小，即铺设管道的总长最小，

・•.如图所示，点户的位置即为所求.

【变式1］（2023八年级上•全国•专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为

。，沿河排开（从点尸到点。）：将军从马棚M出发到达队头夕，从夕至。检阅队伍后再赶到校

场N.问：在什么位置列队（即选择点。和。），可以使得将军走的总路程MP+PQ+ON最短？

【答案】见分析

【分析】“尸+尸。+。汽的值最小，其中尸。是定值。，问题转化为MP+QN最小，先作必£〃。8,

使得=再作对称点，连接对称点和N即可求解.

解：如图，ME//OB,使得作点E关于08的对称点尸，连接用V交08于点0,在。。

上截取。。=。，连接MP,线路M-N时，/0+P0+0N的值最小，

【点拨】本题考查了轴对称一最短路径问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【变式2】1.（24-25八年级上•河南信阳•阶段练习）如图，A和〃两地在一条河的两岸，现要在河

J-造一座桥（假定河的两岸是平行宜线，桥要与河岸垂直），使从点A到6的路径/I-N-4

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（垂直于a）（力M不平行5N）

（力N垂直于b）（4M平行8N）

【答案】D

【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键.

求4M+MN+N8的最小值，因为MN是定值，则当4必+N8的值最小时即可，将线段沿着MN

方向,平移得到当点”出重合时，点4”津三点共线,此时+的值最小,由此即

可求解.

解：从点A到〃的路径为4M+MN+N8的值，

•••MN是定值，

・•・当AM+NB的值最小时，从点A到B的路径最短，

如图所示，将线段4”沿着方向•平移得到4AT,点AT与点N重合,

（AM平行BN）

当4W||8N时，点三点共线，AM+NB=A'M'+NB=A'B,

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由两点之间线段最短得，4。的值最小,

故选：D.

二.同步练习

【基础巩固（16题）】

一、单选题

1.（23-24八年级上•辽宁盘锦•期中）如图，宜线/是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在/

上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、8两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中

实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）

【答案】D

【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化

为两定点之间的距离.

解：作A关于/的对称点H,连接交直线/于点如图所示，

A，v

则AM+BM=AM+BM>HM

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.

故选：D.

2.（23-24八年级上•河南商丘•期中）如图，已知直线/垂直平分点。在直线/的左恻，且

AB=9,AC=7,BC=5,尸是直线/上的任意一点，则PB+尸。的最小值是（）

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【答案】C

【分析】木题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到8P=4P,利用两

点之间线段最短，找出最短距离为/C即可得到结果.

解：连接8P,

BP=AP,

：.PB+PC=PA+PC>AC,

・••18+1C的最小值是ZC,值为7,

故选：C.

3.（24-25八年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，在ZUA。中，AB=AC,4C=4,面积是12,AC

的垂直平分线E/7分别交力8,4C边于点E,F.若点。为BC边的中点，点尸为线段E/上一动点,

则△PCQ周长的最小值是（）

A.8B.3C.6D.4

【答案】A

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【分折】本题考杳了轴对称一最短路线问题，等腰..角形的性质，垂直平分线的性质，连接力。，

",由=点。是8C边的中点，则/O_ZAC,再根据三角形的面枳公式求出力。的长，再

根据"'是线段4C的垂直平分线可知，点。关于直线"'的对称点为点A,当4P、D三点共线时,

即力。的氏为CP+尸。的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

解：连接/。，AP,

-AB=AC,点0是AC边的中点，

AD1BC,

•••SZ八Ad/lUeC=_2BC•AD2=—x4xAD=12,

AAD=6,

•♦•E尸是线段"C的垂直平分线，

•••点C关于直线EF的对称点为点A,

.•.当/、P、。三点共线时，即/力的长为CP+尸。的最小值，

.•.△COP的周长最短=（CP+FO）+CO=/Q+g4C=6+gx4=6+2=8,

故选：A.

4.（24-25七年级下•江苏连云港•期中）如图，在△月4c中，AB=6,△力4c的面积为15,8。平分

NABC,若M、N分别是80、8C上的动点，点N关于8。的对称点是点N',连接CM、MN、

MN',由角的轴对称性可得=则CW+MN的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

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【分折】本题考查了角平分线，全等二角形的判定与性质，垂线段最短.明确和的最小值的情况是

解题的关键.

根据题意得出，CM+MN=CM+MN',可知当C、M、M三点共线，且CNU43时，CM+MN

的值最小，作CE14B「尸，则CN+MN的最小值为由S“*.=g/14xW,计算求解即可.

解：・；BD平分NABC,点、N关于BD的对称点、是点、N',MN'=MN,

：.CM+MN=CM+MN',

・•.当C、M、N'三点共线，且OV'J_48时，CW+MN的值最小,

如图，作J'F,则CM+MN的最小值为CE,

,：S.=；ABXCF，即15=；x6xb,解得C尸=5,

.•.CM+MN的最小值为5,

故选：C.

5.（24-25七年级下•江苏扬州•阶段练习）已知在直角三角形48C中，BC=3,AC=4,

力〃=5.动点。在AC边上运动，过。点作。石1AB,垂足为点E.则在点D的运动过程中，DB+DE

的最小值为（）

【答案】B

【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点8关于4C的对称点厂,

过点尸作“G上力〃于点G,交力。于点〃，连接8〃，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得

Q8+QE的最小值为"G,进而根据等面积法，即可求解.

解：如图，作点8关于4c的对称点F,过点尸作尸G工于点G,交力C于点〃，连接B”,

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当。和〃重合时,DR+DE=HR+DE=HF+HG=FG,

-FGVAC

.•.。8+。石的最小值为尸G

,:BC=3,AC=4,48=5.

:.BF=2BC=6

'：SdAHk=—2JCxBF=—2ABxFG

BFxAC6x424

rG=-----------=-------=—,

AB55

故选：B.

6.（2024七年级下•全国•专题练习）如图，已知的大小为30。，产是2408内部的一个定点,

且OP=1,点E、尸分别是0.4、。8上的动点，则△尸M周长的最小值等于（）

A.y/2B.yC.2D.1

【答案】D

【分析】本题考查轴对称求最短距离.作尸点关于。/的对称点P,作尸点关J08的对称点P",

连接P'P”交「点E、交B0丁点、F,连接OP、OP",此时尸周长最小为PP",由对称性可

求aOP/"是等边三角形，则可求P'P”的长为1.

解：作尸点关于。4的对称点尸，作尸点关于08的对称点〃，连接P/"交04于点E、交于点

F,连接。P'、OP：

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“PEF周长=PE+TV+E/=PE+P'F+EF=P'P；

此时尸周长最小，

vPO=OP',OP=OP；

：.OF=OP〃,

ZAOB=30°,

NP'OP"=600,

...是等边三角形，

•••"=1,

.•//"=1,

故选：D.

7.（24-25八年级上•浙江金华•期中）如图，等边△力8C的边长为2,过点8的直线/_LH8,且△/8C

与关于直线/对称，。为线段4C'上一动点，则/。卜8的最小