反比例函数全章重难点（10大类型）原卷版-2026学年九年级数学下册（人教版）

反比例函数全章重难点（10大类型）

重难点十、反比例函数与几何压轴问题重难点一、反比例函数的有关概念

更难点九、反比例函数的应用更难点二、列反比例函数关系式

重难点一、反比例函数的有关概念

©方饮

1.一般地，形如尸"k为常数，k#0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数

2.解析式的三种形式

（1）y=^（k为常数，kWO）：

（2）xy=k（k为常数，kWO）：

（3）产kXT（k为常数，kKO）.

1.（25-26九年级上•黑龙江大庆•期中）函数），=（〃?-2）/"是反比例函数，则〃『（）.

A.1B.2C.-2D.2或-2

2.（25-26九年级上•湖南岳阳•期中）下列函数不是反比例函数的是（）

8（]

A.y=3x-'B.y=一一-C.xy=5D.y=——

32x

3.（25-26九年级上•广西贵港•期中）下列各点中，在反比例函数9=勺的图象上的是（）

x

A.（-2,3）B.（2-3）C.（2,3）D.（3,3）

1/22

4.（25・26九年级上•贵州铜仁•月考）已知反比例函数+中，当x>0时，随工论增大而增大.

⑴求〃?的值；

⑵试判断点2）,是否在此函数的图像上；

⑶当TSXS—I时，求y的取值范围.

重难点二、列反比例函数关系式

6方让

1.求实际问题中的函数解析式的关键是根据问题中蕴含的等量关系列出含有两个未知数的等式，然后整理

成函数解析式的形式。

2.在实际问题中，自变量的取值一般都是正数，有时还需要它是正整数不要漏写自变量的取值范围.

3.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系

5.（25-26九年级上•上海浦东新•期中）矩形面积为20,则长y与宽x的函数关系图象是（）

A.第一象限的双曲线B.第一象限的直线

C.第二象限的双曲线D.全体象限的直线

6.（25-26九年级上•山东济宁•阶段练习）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备,其中用5000

元购买单价是加元/台的机器〃台，则〃与加的函数关系式为（）

A.n-5000/MB.n=^222

m

C.〃="7+5000D,〃=机一500（）

7.（25-26九年级上“Il东淄博•期中）已知y是x的反比例函数，当工=-3时，y=4,则下列关于y与x之

间的函数关系式正确的是（）

A.y=—B.y=\2xC.y=--D,y=-l2x

xx

8.（25-26九年级上湖南常德期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置.已知一款机

2/22

器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量加（kg）的函数表达式为i，=且，当其载重后总质量机=90kg时,

m

它的最快移动速度v=m/s.

重难点三、反比例函数解析式

6方4

（1）确定反比例函数解析式的方法是待定系数法

（2）由于反比例函数的解析式中，只有一个待定系数k,因此只需一对对应的x,y的值，即可求出待定

系数k的值，从而确定反比例函数的解析式。

/\

9.（25-26九年级上•广东揭阳•月考）若点加（〃-3,4）,N衅在同一个反比例函数的图象上，则该反比

例函数的解析式为（）

2244

A.y—~B.y-C.y—~D.y-

xxxx

k、

10.（25・26九年级上•北京・月考）在平面直角坐标系xOy中,函数、=£（4工0）的图象经过点4（3,2）,当x<3

且iwo时，>的取值范围是.

11.（25-26九年级上•四川成都・期中）反比例函数的图象经过点（-2,8）、（a,-4）及（8力），则3〃+28=.

12.（25-26九年级上•湖南永州•期中）已知反比例函数歹:人的图象经过点力（2,3）.

x

⑴求这个反比例函数的解析式；

⑵判断点8（-1,-6）是否在这个函数的图象上；

⑶当-3cx时，求歹的取值范围.

13.（25-26九年级上•广西梧州•期中）已知V与x-4成反比例函数关系，且当x=-4时，y=求:

（i）y与％的函数关系式;

3/22

（2）求当y=18时，x的值.

重难点四、反比例函数的图象与性质

o方4

1.对于反比例函数y4,当k>0时，图象在第一、第三象限，在每一个象限内，y随X的增大而减小；

当k<0时，图象在第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；

2.若反比例函数的图象在第一、第三象限，则k>0:若反比例函数的图象在第二、第四象限，则k<0.

14.（25-26九年级上•湖南益阳•期中）已知匕<0<的，则函数>二审+5和尸色图象大致是（）.

16.（25-26九年级上•湖南常德•期中）已知函数y=3J，下列结论中，不正确的是

（1）它的图象分布在一、三象限

（2）当x>—1时，y<-3

（3）若点在它的图象上，则（尻。）也在图象上

（4）点4（内,必）、8（々,为）是图象上的两点，若为<々，则必<必

]

17.（25-26九年级上•北京朝阳•期中）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了

探究，卜.面是小静的探究过程，请补充完整:

4/22

[

⑴函数J,的自变量X的取值范围是

(2)下表是y与x的几组对应值.

35

X•••-10134・・・

22

1

y•••1441m•••

94

表中的〃?=

⑶如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图

象，并写出一个该函数的性质：

]

⑷结合函数图象，点力(。,必)和点8(5-为)在函数y=的图象上，且必〈为成立，则,7的取值范围

是.

重难点五、比较函数值的大小

6方让

比较反比例函数值大小的方法

(1)直接代入法(或特殊值代入法)：先直接代入已知的横坐标(或代入选取合适的横坐标)，求出对应的纵

坐标，再比较函数值的大小

(2)性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小：不在同一分支上的点，

依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较

(3)图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小

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4

18.（25-26九年级上•广西梧州•期中）已知点（1,必），（4,为）都在反比例函数^=一的图象上，则必，为的

X

大小关系是（）

A.必＞乃＞°B.乂＜%＜°C.为＞%＞°D.%＜乂＜°

k

19.（2025•浙江•一模）反比例函数y=—的图象上有力（孙〃?），B（x2,2m）tC（5,3m）三点，（）

x

A.若/c＞0,则玉一上＞丫2一七B.若k＜0,则内一工2,工2一.

C.若左＞0,则上一司〈,2一工|D.若女＜0,则|须72|＞卜2-）|

20.（25-26九年级上•山东淄博♦期中）已知函数），=1+1的图象上有两个点力（不切），8（々,必），且力，

X-I

3两点不重合，有下列结论：

①若再+占=0，则乂+必=0；

②若玉+9=2,则乂+%=2；

③若电＞石＞1,则（々f）（必一必）＞°；

④若》2＜王＜。，则（々一为）（巴—乂）＜。.

则，其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

21.（25-26九年级上•湖南怀化•期中）已知反比例函数为y=4的图象经过点/（2,-4）.

x

⑴求上的值.

⑵若点A（叫8）也在该函数图象上，求小的值.

k

⑶芥点C（xj）也在反比例函数卜=—的图象上，求当2W8时，函数值歹的取值范围.

x

k-7

22.（25-26九年级上•山东淄博•阶段练习）已知反比例函数丁二—（左常数，%=2）.

X

⑴若点4（1,2）在这个函数的图象上，求攵的值：

⑵若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求女的取值范围；

⑶若k=8,试写出当-3WyW-2时X的取值范围.

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重难点六、反比例函数比例系数k的几何意义

&方依

1.若过反比例函数栏（kWO）的图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，则两条垂线和x轴、y轴所围

成的矩形的面积为I©

2.若过反比例函数yq（k#O）的图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，并连接该点和原点，则这条

垂线、该点与原点的连线、x轴（或y轴）所围成的三角形的面积为:|周

Q

23.（25-26九年级上•吉林长春•期中）如图，在平面直角坐标系中，点力在函数y=3（x>0）的图象上，过

X

点/作/C平行x轴交y轴于点。，在y轴负半轴上取一点6,使goc,连接力8,则△力8c的面积

24.（2S-26九年级上•山东淄博•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形。仍。的对角线交于

bQ

点Q.双曲线p=—（x>0）经过C,。两点，双曲线y=-（x>0）经过点3,则平行四边形044。的面积为

xx

（）

A.5B.6C.7D.8

25.（25-26九年级上•浙江温州•月考）如图，矩形48C。的顶点/,4在x轴正半轴上，反比例函数y二七

X

48

a为常数，k>0）的图象经过点。，交BC于点、E,CE=2BE,记A/l。七的面积为s,若$=7+13,则2

的值为（)

7/22

2

26.（2023八年级下•甘肃平凉•竞赛）如图，双曲线y=、（x>0）与矩形0/18C的边C8,41分别交于点

E,F,且4/=8尸，连接所"则AOM的面积是多少？

27.（2024•江西宜春•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点附加,8）在反比例函数,=勺*>0）的图象上,

将点4（见8）向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点&点8恰好也落在反比例函数

丁=?工>0）的图象J_,/C_Ly轴亍点C,BD〃AC交OA于点D.

⑴求反比例函数的解析式；

（2）连接8C,CD,求△8CO的面积.

28.（2025•河南南阳•三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形〃图案，如图，在平面直角坐标系中，以反

比例函数J，=K图象上的点。和点尸为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF,

点。，E在“轴上，

X

0c=2,（）D=20,以点。为圆心，3长为半径作公，连接5户.

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B/

(1)求A的值；

⑵求公的长;

⑶请直接写出图中阴影部分面积之和.

29.(2025,宁夏•模拟预测)【问题背景】

如图，在平面直角坐标系中，/MQV的一边ON与x轴正方向重合，点/在射线OM上；过点力作力F_Lx

轴于点E,△4OF的面积是函数y=&(x>0)的图象经过点/；以点片为圆心，以204为半径作弧，

交函数y=：(x>0)的图象于点C：分别过点彳，点c作X轴，歹轴的平行线，两线相交于点8,连接。8；

过点C作X轴的平行线交线段AE于点D.

【构建联系】

(1)填空：k=；

【深入探究】

(2)求证：点。在直线08上；

(3)请写出/AOM与N8ON的数量关系，并说明理由.

Mj

重难点七、反比例函数与一次函数图象问题

9/22

6方让

若两个函数图象在同一坐标系中，则它们的解析式中相同字母的取值相同.

要判断这两个函数图象在同一坐标系中的大致位置，可以分k>0和k<0两种情况，由k的符号确定图象位

置；也可由一个函数的图象在坐标系中的位置，确定字母系数的取值范围，再判断另一个函数的图象画得

是否正确，或由这两个函数图象的位置，推导出字母系数的取值范围是否一致

30.（25-26九年级上•广西贵港•期中）如图，反比例函数歹=与的图象与经过原点

的直线/相交于4，8两点，点力的坐标为（-3,2）,则点B的坐标为

A.（3,-2）B.C.（2,-3）

31.（25-26九年级上•山东泰安•期中）如图，在平面直角坐标系中,

2

与双曲线》=-交于48两点，轴于点C,连接8。交y轴于点。，结合图

x

A.点力与点8关于原点中心对称B.S,QBD=SQCD

c.AOBO的周长等于△OCQ的周长D.Scw=1

32.（25-26九年级上•湖南邵阳•期中）如图，在平面直角坐标系中，一次

函数y=-x-1的图象与反比例函数y=±（ArO）的图象在第二象限内交于

点N,与x轴交于点4,点。坐标为（0,3）,连接彳。,8。，若

AC=BC,►

则（1）点4的坐标为；（2）A的值为.

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33.（24-25九年级下•甘肃武威•阶段练习）若反比例函数y二—与正比例函数歹=2x的图象没有交点，则

x

k的取值范围是.

34.（25-26九年级上•河北石家庄•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，M,N为反比例函数y=&（'>（））

X

图象上的两点，过点M作轴于点G,过点N作N〃_Ly轴于点〃，连接O财和。N,图中阴影部分

面积的和为2,直线J=x+3与反比例函数y=±（x>0）的图象交于点夕（。为），则/+/的值为.

X

重难点八、反比例函数与一次函数综合问题

6方让

1.题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面

积。

2.解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积-小图形面

积”计算目标面积。

35.（25-26九年级上•湖南岳阳•期中）如图，一次函数，:履+$的图象分别交x轴，，轴于RC两点，交

反比例函数）=%的图象交于4（7,6）,8（〃,一2）两点.

⑴求反比例函数与一次函数的解析式；

⑵求△40。的面积：

⑶根据图象直接写出不等式”<h+力的解集.

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36.（25-26九年级上•四川成都・期中）如图，在平面直角坐标系立川中，一次函数J，=r+5的图象与反比

例函数y="的图象交于力（1M）,8两点.

备用图

⑴求反比例函数的表达式及点〃的坐标：

⑵过点8的直线与X轴交于点与y釉负半轴交于点N,若黑=!，求“MN的血积：

MN3

⑶在（2）的条件下，点。是反比例函数图象上的一点，且NPBN+NNAB=90。,求点尸的坐标.

37.（25-26九年级上•辽宁丹东•月考）己知一次函数），=勺工+力的图象与反比例函数），=与的图象交于点

X

4（-3,〃?），8（1,—6）；与x轴交于点C.

备用图

⑴求一次函数和反比例函数的表达式；

Q

⑵若点。在y轴上，且满足s△加8=§S&BPC，求点。的坐标；

⑶我们将有一个内角为45。的三隹形称为“半直角三角形〃，这个45。角所对的边为“半直角边〃.反比例函数

y=$上在第四象限的图象上存在点。，使得△。5。是不以。8为“半直角边〃的“半直角三角形〃，请直接写

X

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出点。的坐标.

38.（25-26九年级上•安徽马鞍山•期中）如图，反比例函数的图象与一次函数y=H+6的图象交于

X

4（%3）、8（-3,〃）两点.

⑴求一次函数的解析式及MOB的面积；

（2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围.

⑶若点尸是坐标轴上的一-点，且满足△214的面积等于△力08的面积的2倍，直接写出点尸的坐标.

重难点九、反比例函数的应用

©方依

反比例函数是反映现实生活中两个变量之间的关系的一种重要的数学模型，它在现实生活中有着广泛的

应用，即能根据实际问题中两个变量的关系，建立反比例函数模型，利用反比例函数的知识解决问题.

例如：当路程s一定时，时间t与平均速度V成反比例关系；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例

关系：当三角形面积是常数S时，三角形的底边长y与这一底边上的高x成反比例关系；

在物理学中，当功W是常数时，力F与物体在力的方向上通过的位移s成反比例关系；当压力F一定时，

压强p与受力面积S之间成反比例关系；在某一电路中，保持电压U不变，电流I与电阻R成反比例关系

39.（25-26九年级上•陕西铜川•期中）某种新型材料需先将材料加热到800。（2,再进行加工操作.材料停

止加热后温度），（℃）是时间x（mini的反比例函数，其图象如图所示.

⑴材料停止加热后y与x的函数表达式为

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（2）停止加热后当材料温度不低于上80。（3时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？

40.（25-26九年级上•山东济南•期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消

毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果歹（单位：效力）与时间》（单位：分钟）呈现三段函数图象，其

中加？段为浅消毒阶段，4C段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间工（单位：分钟）的关

系可近似用一次函数y=h+：刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息

⑵当X230时，求y与工之间的函数关系式：

⑶若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作月，请问本次消毒是否有效？

41.（24-25九年级上•广东茂名•期末）综合与实践

如本题图1，在左边托盘力中放置一个固定的重物，在右边托盘4中放置一定质量的祛码（可左右移动），

可使得仪器左右平衡.改变托盘己与点。的距离，记录相应的托盘片中的跌码质量，得到如下表：

托盘:8与点。

1015202530

的距离x/cm

托盘8中的债

3020151210

码质量y/g

14/22

⑴依据实验得出，X与夕的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式；

⑵当祛码质量为24g时，求托盘8与点。的距离；

⑶当托盘8向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘8中的跌码质量需增加至移动

前的两倍，求在移动前托盘8中的砧码质量.

42.（25-26九年级上•重庆•月考）小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔株8羽）的古代汲水工具

（如图1）,有一横杆固定于桔禄上0点，并可绕。点转动.在横杆/处连接一竹竿，在横杆8处固定300N

的物体，且O8=lm.若图中人物竖直向下的拉力为月，当改变点4与点。的距离/时，横杆始终处于水平

图I图2

⑴小益通过分析表格数据发现，/是/的函数.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并

画出这个函数的图象；

（2）根据以上数据和图象，直接写出厂关于/的函数表达式（不要求写自变量/取值范围）.并判断当0力的

15/22

长增大时，拉力厂是增大还是减小？请说明理由.

⑶已知横杆总长为8m,小益想用40N的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由.

43.（2526九年级上•湖南邵阳,期中）阅读与应用；同学们；你们己经知道，即

a2-2ah+b2>0,.-.a2+b2>2ah（当且仅当〃=6时取等号）

阅读1：若。、b为实数，且〃>力，b〉0,

♦:西-府2:.a-2荷+：.a+bN2而（当且仅当。=力时取等号）.

阅读2：若函数），=»/（〃?>0,x>0,为常数）由阅读1结论可知：工+?之2^^

即戈+巴“痂，

X

・.•当X=丝，即/=小时，・％（/H>0）,函数P=X+'的最小值为2诟

XX

阅读理解上述内容，解答下列问题：

00

⑴问题1：若函数尸“T+—则。二______时，函数P=aT+—的最小值为______:

"1a-l

（2）问题2：已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为g,周长为21+：）,求当x=

时，周长的最小值为;

⑶问题3：求代数式"+2〃：+5（〃〉_|）的最小值并写出过程.

44.（25-26九年级上•河北保定•期中）如图1,在△W中,N45C=90。,力8=3,80=4,。为力C的中点,

连接80.动点尸从点8出发，沿折线414方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点4时停止运

动；问时动点。从点C出发，沿Cf4方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点力时停止运动.设点〃

的运动时间为x秒，记S0切为乂.记沁■为尤.

"BCQ

16/22

⑴请直接写出必/2分别关于X的函数解析式.并注明自变量》的取值范围；

⑵在图2所示的平面直角坐标系中画出函数必，为的图象，并写出函数乂的一条性质；

⑶结合函数图象，请直接写出必<先时X取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）.

重难点十、反比例函数与几何压轴问题

G方依

1.所有综合题的本质是“通过坐标将函数与几何联动”，按固定步骤拆解：

（1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶

点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件

（2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角

线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。

（3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决

问题（如求面积、解析式）。

2.常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与

坐标轴关联的直角图形”，

过关键点作x轴/y轴的垂线：构造与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，将斜向的边长、角度转化为“水平

距离（横坐标差）”和“垂直距离（纵坐标差）“，方便用坐标计算。

45.（25-26九年级上•湖南永州•期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形O48C的顶点O为坐标原点，顶

点力、。分别在x轴、y轴上，顶点8的坐标为（4,3）.反比例函数y=±（x>0）的图象与48交于点。，与8c

交于点£.连接。。，OE,DE.

17/22

(1)若点。是的中点，求反比例函数的解析式及点七•的坐标；

⑵若.。。后的面积为3,求反比例函数的解析式；

⑶在(2)的条件下，点P是反比例函数图象上的一点，若△OC尸是以0C为底边的等腰三角形，求