高考数学复习讲义：导数在不等式恒等式和零点问题综合应用（讲义）原卷版

解密11讲：导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用

【考点解密】

考点一：利用导数研究零点问题：

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极

值点和单调区间从而确定其大致图象；

(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构

造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题；

(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：

考点二：利用导数证明不等式的基本步骤：

(1)作差或变形.

(2)构造新的函数h(x).

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值.

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地:当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.

【方法技巧】

方法点睛：与k和相关的常见同构模型:

"e"b\nb<=>e"lne"binb,构造函数/(")=x,nx(或"e"blnb<=>ae('<\nb•eh,/,,构造函数&W=xe').

(1)

口上。士J小)一小)三)：

(2)«InZ?Ine"InZ?,构造函数Inx(或aln〃,构造函数

aafl

(3)e±u>b±\nh<^e±lne>b±lnbf构造函数(或e"±a'〃±lnZ?oe"土a>e2±ln〃，构造函

数g(x)=e'±x)

方法点睛:该题考查函数与导数的综合应用，属于难题，主要应用的方法有不等式放缩,关于常见的放缩有:

v

(])e>x+l;

⑵InxVx-l；

sin.¥<x<tanx,x<0,—

,2).

⑶

]nx2\

(4)X

【核心题型】

题型一：导数在不等式恒成立问题

1.(2023•全国•郑州中学校考模拟预测)已知函数/(x)=xe；a(x+lnx)+3,对于Vxe(0,+oo),恒成立,

则满足题意的〃的取值集合为()

A.{（）}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{1}

2.（2022•河南・统考一模）已知〃〉（），若不等式〃L>lnx恒成立，则〃?的取值范围为（）

A.］，+8B.（L+s］C.（2,+8D.

（2e）le）le）U）

3.（2023,全国・高三专题练习）已知函数/（月=52，—加。-11—物—4+1,对于任意的巧、为€（0,位），当芭工与

22e

时，总有八与卜/伍）>2成立,则Hl勺取值范围是（）

I1

A.ID.

3e

题型二：利用导数研究能成立问题

4.（2023•广西柳州•二模）设函数/⑴=+（e-l）x-〃（«eR,e为自然对数的底数），若存在〃引。川使/S）二人

成立，则。的取值范围是（）

A.U,e|B.[e-'-cj]

C.[l,2e-2]D.[e।—e,2e-2]

5.（2022.河南驻马店.河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数.若去«1,也），使

/W-6由nxWO，则实数机的取值范围为（）

6。卫36

A.—00,一C.D.-CO,—

e"

6.（2022•江西新余•统考二模）若存在两个正数苍八使得不等式3x+a（2）-4er）（lny-lnx）K（）成立，其中。>0,e

为自然对数的底数，则实数，的取值范围为（）

3

A.(0,2e)B.C.—,+ooD.|2e,+cc)

2e

题型三：利用导数研究函数零点问题

7.（2023・四川绵阳・统考模拟预测）已知函数/0）=［此'：［）,g（x）=f（x）+f（-x）f,则函数g（x）的零点个数为

XrI,X-U

（）

A.2B.3C.4D.5

x3+3x2-2,J<0

8.（2022•内蒙占呼伦贝尔•校考模拟预测）已知/（%）=hnx，若函数g0）=/（x）-〃有三个零点，则，〃

----,x>0

的取值范围为（）

A.［一2,（）］5,>B.（-2,0）C.1臼D.g,2）

9.（2023・全国•高三专题练习）已知函数与函数y=Md7）的图象恰有3个交点，则实数々的取

值范围是()

A.(y,0]r4明，+8

D.(f1)31收)

题型四：利用导数研究函数的根问题

10.（2022・四川南充•统考一模）已知函数/（"=；/+；板2+5+4有两个极值点与电，若〃演）二$<乙,则关于

x的方程［〃x）T+"（x）+c=0的不同实根个数为（）

A.2B.3C.4D.5

II.（2023秋•河南安阳•高二校考期木）已知/是函数/'（x）=e2=e3的图象与函数g（x）=mx+x+，的图象交点的

X

横坐标，则。2"|忆％=（）

A.-2B.-In2C.In2D.2

12.（2022•吉林长春・统考模拟预测）已知函数=若函数y=［〃x）y-1与y=4（x）的图象恰有

6个不同的公共点，则实数4的取值范围是（）

A

-（吟）B.同）

7、、

C.1»—D.

乙）

题型五：利用导数研究函数的图像和性质问题

xlnx-x,x>0/、

13.（2022・广东汕头•统考三模）已知函数/（"=/（x+1）X40,若关于x的方程2/（同一收+1=。有四个不同的实

根，则实数太的取值范围是（）

（111/I\

B.U

11

c.D.

「5223

|3x-l|+l,x>0

14.(2022•天津•统考一模)已知函数？("=5/一炉+1,g(x)=,若函数y=g(/(x))-a恰有6个

-x2-2x,x<0

零点，则实数a的取值范围是()

A.吟卜{1}

B.C.D.(1,2)

15.(2023秋•天津北辰•高三校考期末)已知函数〃”=前7,若函数)，=[/(“了+1与>=(〃-2)〃力

y

x—3x+Ayx<1

的图象恰有5个不同公共点，则实数”的取值范围是()

94949

A.B.1,

,8,24；24

9

C.D.一,+8

(用8

题型六：利用导数研究双变量问题

16.(2022•福建福州•福建省福州格致中学校考模拟预测)已知/(1)=1旧+1-4送3)=工+j",/国)=晨三)，若

221’则。的取值范围为()

A.1-1,-H»)B.(-oo,e]C.(5]D.|e,+<x>)

17.(2022•安徽六安•安徽省舒城中学校考一模)已知函数/(x)=aTnx,g(x)=/eX.若对任意的片e[l,e],都存在

唯一的司€[-1,1],使得/a)=g(q)成立,则实数。的取值范围是()

A.U,c]B.—,1+eC.1H—,cD.1H—,e+1

ee

18.(2020・全国•模拟预测)己知函数/(x)=-卫生心，g(x)

,实数。"满足.<〃<().若％e[«,/?],

3'

3X2G[-1J],使得/(xj=g(±)成立，则〃的最大值为()

A.3B.4C.5D.

题型七：利用导数解决实际问题

19.(2022春.山西太原.高三太原五中校考阶段练习)如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴械面为面积

是166cnf的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形

C.D.9x/3ncm;

27

20.（2022•全国•模拟预测）如图所示，在正方体ABCD-AAGA中,AB=3,点E,F,G分别在棱AB,AD,M

匕（不包含端点），且平面EFG〃平面4瓦），点2在线段4G上，且PG//AC，则三棱锥EFG的体积的最大值

21.（2022・河南开封・统考二模）如图，将一块直径为2G的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取

最大值时，切割掉的废弃石材的体积为（）

A.2岳一4B.4岳一4C.2G乃一D.4届一

题型八：导数的综合问题

22.(2。23・浙江•统考一模)设函数/(x)=e3+x-alnx-9(x-l)2,x>().

⑴当"0时，证明:/(。)42；

⑵若〃x)21+x,求〃的取值范围.

23.(2023・广东广州•统考二模)已知定义在(0,转)上的函数/(x)=«d'.

⑴若awR,讨论f(x)的单调性;

⑵若。>0,且当xe(0,E)时，不等式(膛］之也恒成立，求实数。的取值范围.

(“ax

24.(2023•四川凉山•统考一模)已知函数〃制=白2-(x+l)ln(x+l)+x+f.

(l)g(x)是/(x)的导函数，求g(“)的最小值:

⑵已知〃wN*,证明：I+:+!+L+，>ln(〃+1)；

23n

⑶若k-xhu+(2-a)x-120恒成立,求。的取值范围.

【高考必刷】

一、单选题

25.(2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测)设命题p：“xvO”是“1。氏"+1)<0”成立的必要不充分条件.命题/若不等

式恒成立，则"5+8).下列命题是真命题的()

A.TPM)B.

c.D.-v7r

26.(2023・全国•高三专题练习)若函数/(x)=〃nx-!■恰有两个零点，则实数/的取值范围是()

X

A.(f-e)B.(YO,-1)

C.(-<o,-e)u((),+<»)D.(-<»,-l)u(0,+oc)

27.(2023•广西柳州・统考模拟预测)设函数/*)=/'+(e-l)x-〃(«eR,e为自然对数的底数)，若曲线产sinx

上存在点(毛,%)使/()'。)=)'。成立，则。的取值范围是()

A.[l,2e-2]B.[e^-ej]C.[l,e]D.[e-'-e,2e-2]

c'x>0

28.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=；-八，若函数g(x)=/(r)二/'(X),则函数g("的零点个

—JX,X<0

数为()

A.1B.3C.4D.5

29.(2022•河北衡水・衡水市第二中学校考一模)某正六棱锥外接球的表面积为16兀，且外接球的球心在正六棱锥内

部或底面上，底面正六边形边长丘[0,21,则其体积的取值范围是()

儿[4mB」4a萼]

2J|_27

C.[竽，喈]D.[誓,4/

3—2*2r<A

30.(2022.重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测)已知函数/")=「,关于x的方程恰有两个不

lnx,x>0

等实根与，工2(内<占)，则X：”的最大值为()

2

A.eB.—C.2eD./

2

31.(2023・全国•高三专题练习)定义：设函数y=/(x)在(〃/)上的导函数为((力，若/'(X)在(。力)上也存在导函

数，则称函数y=/(x)在(。㈤上存在二阶导函数，简记为尸/"⑴.若在区间(。㈤上/"(力>0,则称函数y=/(x)

在区间(。力)上为“凹函数”.已知/(x)=e'+：(1-Y-g/1]nx+1m〃-在区间(0,+8)上为“凹函数”，则实数加

的取值范围为()

A.(l,e-l)B.(O,c-I)C.(l,e)D.(O,e)

二、多选题

32.(2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测)已知函数〃*=/+而2+5+〃(〃<0)在尸_1处有极值，且极值为

8,则()

A./(%)有三个零点

B.b=c

C.曲线产/(x)在点仅〃2))处的切线方程为3x+)，+4=。

D.函数y=/(x)-2为奇函数

33.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(x)=(lr)ln.Lor,aeR,下列正确的是()

A.若函数/(力有且只有1个零点/，则飞=1

B.若函数有两个零点，则〃〉0

C.若函数/(x)有且只有1个零点/，则。=1,%=1

D.若f(x)有两个零点，则〃<0

34.(2023•全国•模拟预测)设函数/G)=(x+l)ln(x+l)(x>0),若f⑴>(攵—1)1—1恒成立，则满足条件的正整数

人可以是()

A.1B.2C.3D.4

35.(2023•湖南永州•统考二模)已知/-=吆-=2.86,clnc=dlnd=-0.35,a<b,c<d,则有()

InaInb

2

A.a+b<2eB.c+d>—

e

C.ad<1D.bc>\

三、填空题

36.(2023・四川绵阳•绵阳中学校考模拟预测)关于"勺不等式府㈤-ln