第十九章《二次根式》全章同步练2-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式

19.1二次根式及其性质

课时1二次根式的概念

基础巩固练

知识点1二次根式的概念

I.下列式子中，二次根式的个数为（）

①VH；②/5；③.痉②④遍

⑤JG7；@门；⑦，H+2X+3

A.2B.3C.4D.5

2.下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.GB.Vx+2C.37D.V3

知识点2二次根式有意义的条件

3.若同在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<lB.x>l

C.x<-1D.x>-1

4.（2025・绵阳安州区期末）使分式票有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（）

\/X

5.若式子F有意义,则点30在（）

A.第一象限B.第二象限

C第三象限D.第四象限

6.请写出一个使后在实数范围内有意义的x的值:

7.若式子反+VFT在实数范围内有意义，则x的取值范围是

8.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（l）V3-2x;（2）&?巨；（3）智.

知识点3二次根式的实际应用

9.要画一个面积为20cm?的长方形，使它的长与宽之比为5：2,则该长方形的宽为（）

A.lcmB.2View

C.V3cmD.y[Scm

10电流通过导线时会产生热量，电流1（单位:A）、导线的电阻R（单位:。）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q

（单位：J）满足关系式0=尸必,已知导线的电阻为6Q,通电时间为1s时，导线产生的热量为30J,求电流1.（结果用

根式表示）

课时2二次根式的性质

基础巩固练

知快点1年0（定0）

1.若，1^+师=0,贝!Jx,y的值分别是（）

A.1,2B.1,-2

C.-l,2D,-l,-2

2.若实数x,y满足产8yH6=0，则必的值为一.

知识点2（^）2=”生0）

3.（-@2的相反数是（）

A.-2B.-V2

C.V2D.2

4.计算:

（1）（-V23）2=_；

⑵协

2

（3）（375）=_；

（4）倒二.

5.计算（（W司2+1的结果是

6.计算：

⑴（瓯2；Q）（陈

⑶-（5可；⑷俘）“•

知识点3V7=l«|

74m化简的结果是（）

A.-4B.4C.±4D.8

8.若J（X-2）2=2-X成立，则x的取值范围是（）

A.x<2B.x<2

C.x>2D.0<x<2

9.（2025•自贡贡井区校级月考）若修X",化简I1-xI-/2一8.什16的结果为（）

A.3B.2x-5

C.-3D.5-2x

10计算：

⑴府=_；

（3）y（^4）2=_.

11计算：

（DV25；⑵后A；

⑶一斤丁；⑷尺.

能力提升练

①位4；②尺科±7；③而10.001；④（-⑹2，25.其中正确的有（）

1.下列等式:

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.⑴当a为时.V2a+1+1的值最小，为

⑵当a为时,j4-（a+2）2的值最大，为

3.已知0<a<1,化简J(a+》-4+J(q_3+4=_.

4.计算:

(l)Vl6+(-2V3)'-3^(-0;

⑵㈠严7+（3_外。_（；［+加百

5.（2025•遂宁期中）若a,b是一等腰三角形的两边长，且满足等式2百不石+3国=b-4,试求此等腰三角形的周

长.

6对于式子〃什庐奇，有下列结论①当m=3时原式=4;②当m<2时，原式=3.其中说法正确的是（）

A.只有①正确B只有②正确

C.①②都正确D.①②都不正确

微专题1二次根式非负性的运用

类型1利用二次根式的非负性求值

1.若（x-2）2+而事0,则xy的值是（）

A.IOB.-10C.3D.-3

2.若\ZX+T+7，V-2=0.!HI|x=,y=.

3.若a=7bTZ5一方+4,贝I」a=,b=.

4.如果Ia-2I+VZ>-3+（c-4）2=0jf^a-b+c=.

5.若V/H-2026+|2025-mI="?,贝Um-2025?=_.

类型2利用二次根式的非负性化简

6.实数a,b所对应的点在数轴上的位置如图，化简|〃+1I―小斤,+人-殖

b

7-3-2-101234

6题图

19.2二次根式的乘法与除法

课时1二次根式的乘法

基础巩固练

知识点1二次根式的乘法法则

1.计算右X，的结果是（）

A.1B.2C.V2D.y

2.计算近的结果是（）

A.6B.V6C.V5D.1

3.（2025•绵阳游仙区期末）计算26x3a的结果是（）

A.5V5B.5V6

C.6V5D.6V6

4.计算：

（i）VWHf；

(2)V1.2xl()2xV3xio5;

(3)V2xV5xx<io；

知识点2积的算术平方根的，性质

5.化简二次根式后而得()

A.-5V3B.5V3

C.±56D.30

6若”=逐，则V80=()

A.2aB.4a

C.8aD.16a

7.下列各式计算正确的是

A.V(-25)X(-36)=V::25XV;Z36=-5X(-6)=30

B.V4^5=45/5

C.752+42=5+4=9

D.V9x3=V91Jx21x=3xy/x

8.计算:

(1)即x(-3网;

⑵限VTJx何;

⑶-5岛「（-3呵；

(4)4V^X|V^.

知识点3二次根式乘法的应用

9.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为Ecm和述cm,则这个直角三角形的面积是

10一个长方体的长为4g,宽为2何，高为:闹〃求这个长方体的体积.

能力提升练

1.下列各数中，与父相乘后结果仍为无理数的是（）

A.JB.V8C.MD.V0^

2.下列各式中，化简正确的是()

A.V(-16)x(-25)=VH6x7=25=20

B.V12X27=V4XV8T=18

C.Jl6+I=Vi6+J^4+|=7

D.忌心身“河

3.化简：

(1)7(-2)2X8X3=；

(2)-V3X7(-24)X(-2)=_.

4.若a=V5/=75厕用含a,b的代数式表示屈是.

5.计算:

⑴6X

(2)6V2xl>/6.

6.一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是45&或同C，〃.现将一部分水倒入一个高为5

cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了6cm.

(1)求玻璃容器的容积；

(2成玻璃容器的底面半径(冗取3).

7.(2025・广安期中)探究过程：观察下列各式及其验证过程.

⑴2岛属;⑵3岛"1.

魁正：(1)雄=/xj=导

3

但3_2)+2_/2-2t2_

{22T1齐i22T

序SF

⑵状回月导

伊-3+3_卜(32-])+3_

Q32-1-32H-

恃耳屏

(1版照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4815g—;

(2通过上述探究你能猜测出：〃俗=_(心0),并验证你的结论.

课时2二次根式的除法

基础巩固练

知识点I二次根式的除法法则

1.计算用S■的结果是（）

A.4B.2C.：D.1

2.计算何+=石〃则口中的数是（）

A.4B.V10C.2D.V2

3.（2025・泸州江阳区期末）若等式集=后成立,则x的取值范围在数轴上可表示为（）

1,L一一匚ju-x..r;

-1003-103-103

ABCD

4.计算:

(1)VTO^V5=VTO^5=_；

⑵

5.计算:

⑴空;

⑵一科Ji

(3)6V3?-3

知识点2商的算术平方根

6等式舟号成立的条件是一.

7.化简：

⑴后-；⑵^一；

⑶舟-；（4）尺

8.化简：

⑶悟⑸。…•

(⑵冏

知识点3最简二次根式

9.（2025•南充顺庆区校级月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A./B.V5C.V4D.

10若G是最简二次根式，则x的值可能是（）

A.llB.13C.21D.27

11把下列二次根式化为最简二次根式：

⑴信；Q辰⑶5

能力提升练

1.计算压+3衣x/的结果正确的是（）

A.IB.2.5C.5D.6

2.现有一个体积为1206c〃?3的长方体，它的高为205。儿长为则这个长方体的宽为cm.

3.若是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是一.

4.（2025・广元利州区期中）对于任意两个和为正数的实数a,b,定义运算“※”如下：aX4悬例如，

3・"苗.计算：8X12=.

5.计算：

（l）V75-5V2x/1；

(3)4\/6?-3£'2端

6.若（。-，+（6+1）2=0,求A乂2口力^的值

7.老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题目作为练习.

已知而=/).用含a,b的代数式表示闻..小豪、小麦两名同学板书了下面两种解法:

小豪：独舟隔墙等=智端

小麦：V^9=V49x0.1=7V0J.

:历=后异焉哈

.\VT9=7V0J=Y.

老师看完后，提出以下问题：

⑴两名同学的解法都正确吗？

(2请你再给出一种不同于这两名司学的解法.

19.1〜19.2阶段性评价（一）

一、选择邈

L下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.V3B.V3C.®D.-3

2.计算我的结果是（）

A.V10B.4C.8D.±4

3.下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.J；B.V8C.V6D.g

4.下列计算正确的是()

A.J(-3)2=-3B.73x^=715

C.(A/2)2=4D.V14W7=2

5.（2025・遂宁安居区月考）若mn>0,m+n<0.则化简标沁巴的结果是（）

\1m

A.mB.-mC.nD.-n

6.若2,5,m是某三角形三边的长，则疝可+而可=（）

A.2m-10B.10-2m

C.10D.4

二、填空题

7.若式子卷在实数范围内有意义，则x的取值范围是

8.若，〃L3+（〃+1）2=0,则m-n的值为.

9.如果两个最简二次根式g与倔曰的被开方数相同，那么a=.

10观察并分析下列各数，寻找规律：0,02跖20,45,2®.…第10个数是

三、解答题

11.计算:

z.x/i2x>/6

⑵何xV5福倔

(4)2gx去5近

12如图，已知实数a的位置，化简：历可+历可.

一1一」」■，.

-101«2

12题图

13(2025•南充高坪区月考)已知倍得.且x为奇数，求(l+x>)寻的值.

14(1)填空:4+3274^3,1+72"；,5+52后不;(填或“=”)

6—y6

(2)由⑴中各式、猜想m+n与2M丽加》0,叱0)|的大小关系，直接写出结论；

(3清利用上述结论解决下面问题：

某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围出一个矩形的花圃如图所示，若围花圃

怡好可以借用一段墙体，则为了围出一个面积为2001正的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？

14题图

19.3二次根式的加法与减法

课时1二次根式的加法与减法

基础巩固练

知识点1可以合并的二次根式

1.下列各组二次根式中，不能合并的是（）

A.恼和V5B.m和V27

D.和砺

2.下列二次根式中，能与应合并的是（）

A.A/4B.V6C.V8D.V12

3.下列二次根式：衣，6，/，牛,配

（1）能与0合并的是

⑵能与何合并的是

4.若两个最简二次根式岳与阮可以合并，则a=

知识点②二次根式的加法与减法

5.下列计算正确的是（）

A.3+2V2=5V2

B,V2+V3=V5

C.4V3-3V3=V3

D.丝亚=乃—石

6.若一个三角形的三边长分别是“九7%用cm,后0%,则此三角形的周长为（）

A.9ViewB.10V3cm

C.1\y/3cmD.126cm

7.计算：

（i）vwn=_；

⑵泣-3应

&已知_弧=«&_2近=b&厕ab=

9.计算：

⑴何+362/

(2)2V3-3Vl2+5V27；

(3)7?8-4卜阳)；

(4)V27-15V48；

(5)：回6斤2430).

能力提升练

1.已知。#2色彼=10,贝!Ja的值为()

A.2B.±2C.4D.±4

2.若6的整数部分是a,小数部分是b,则VJaR的值为()

A.-lB.lC.OD.2

3.《千里江山图》是中国十大传世名画之一.如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为(6OV5”?,、宽为36

6cm,若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了何。小，则装裱后的长为—cm,宽为—cm.

一

・

费

是

亚

薰

郑

_!

3题图

4.(2025•绵阳安州区期中)若最简二次根式与一跖7可以合并，则m+n=

5.计算：

(1)V5+(V2O-V45)；

⑵悯-275-小+何;

(3)(718-2>/3)-

(4)9V3+7VT2-5V48+2j1;

⑸湎+@2电.

（片5皿）-（四-；西）的值时

6小明在计算,发现F”处的数字印刷不清楚，请回答下列问题.

（6片5妮）一（旧一：而）的结果；

⑴小明猜“■”处的数字是6,请你计算此时

（2）小明的妈妈说：“你猜错了，我看到题目的正确答案是请你通过计算说明原题中“■”处的数字是什么

课时2二次根式的混合运算

要出巩固练

知识点3二次根式的混合运算

I.计算(54-2何)+(-6)的结其为(

)

A.5B.-5C.7D.-7

2.计算（（26的结果是（）

A.4V3B.6V3

C.20+2论D.46+2巡

3.现将一个面积为300cm?的正方形的一组对动缩短86cm,就成为一个长方形，这个长方形的面积为一c

m2.

4.计算：

(1)>/T2-V6x±；

⑵同

知识点2乘法公式在二次根式混合运算中的运用

5.下列计算中，正确的是（）

A.2V5+30=56

B.（V5+V7）xVTo=VToxVTo=io

C.（3+2V3）（3-2V3）=-3

D.（^y/2a+y/b）^y/2a+y/h）=2a+b

6.计算（（怖4•灰）（怖-灰）的结果县）

A.2B.4C.6D.8

7.（2025•绵阳安州区期末）已知0，则小厚）解为（）

y.VyX

A.±V5B.±V7C.V5D.V7

8.计算（6+或『的结果为一.

9.计算:

（l）（2V2-3）（3+2>/2）;

⑵（夜+豺;

⑶电6+了.

10已知。=0-2/=6+2分别求下列代数式的值:

（l）fl2+Z>2；

（2）ab（a+b）.

能力提升练

1.计算a的结果是（）

A.IB.OC.4D.-7

22

2.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为近，则最后输出的结果是（）

/输入/T计算m+1)

2题图

A.14B.16

C.8+5V2D.14+夜

3.如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形ABCD和正方形EFGH）,它们的面积分别为3和9,则图中阴

影部分的面积为

3题图

4.已知k1-6,则代数式（6+2石卜1+逐）叶、万的值是_.

5.若3-0的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+式。力的值是

6.(2025•广元朝天区月考)已知斫田+2,4右-2.求下列代数式的值：

⑴M―"+炉；

⑵六庐；

(i)2a2+2b2-a2b+ab2.

7【观察同遮7)=当一1

余0653'V2T1(V2+l)(V2-l)V/''

【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化.像上述

解题过程中退与、退,应+1与戊-1相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因

式.

【运用】

(1)0的有理化因式是，V3-2的有理化因式是一」各写一个即可)

(2»各下列各式分母有理化：

①上=•

。6+2-'

②7^=一；

(3计算:(看+标+出+…+忌限x(何琳1).

专题1二次根式的运算

类型1二次根式的乘除运算

1.计算:

(1)375x273;

⑵智

类型2二次根式的加减运算

2.计算：

(1)V27-VT2+V3；

(2)3720-

类型3二次根式的混合运算

3.计算：

（1）（3+2V2）（3-2V2）-V54-V6;

(2)V24-V3-JixVT8+(V2+l)2;

⑶岳（后力等;

(4)V5(V5-VT5)+(VT5+2V3)(VE-2V3);

(5)(3711+|何-9/卜75.

专题2二次根式化简求值的技巧

类型1先化简，再求值

L先化简，再求值：（<7（V2-a）+（c+V3）（t7-V3）,其中a=V2-l.

2.先化简，再求值：式"-'）+（.什6）。—6），其中产•而-立

类型2利用二次根式的非负性化简求值

3.已知^=V8ZJ+VXZ84-2.

⑴求代数式代的值；

⑵求代数式民方-用行的值.

yjyxwx

类型3利用二次根式性质（（后=I。I）化简求值

4.已知-3<x<2,化简：IX—2I—y/（x-3）2+V4.v2—20J+25.

5.已知斫义,求勺-的值.

2^V3a-tlL-a

类型4用乘法公式和整体代入法求值.

6」核心素养]在解决问题“已知所看，求2〃2-4a+l的值”时，小明是这样分析与解答的:

解，■a=—!—=———...=7V2Z+1h

晚^V2-l（V2-1）（V2+1）

.*.a-l=V2,

:.（〃-1）2=2,屋-2。+1=2,

.\a2~2a=\,

2a2-4fl=2,2a2-4a+1=3.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1讹简:玲;

⑵若。=/后求3a2-18a-l的值.

第十九章二次根式易错疑难集训一

易错疑难点1求使二次根式有意义的条件时，考虑不全面而出错

1.（2025•凉山州中考）若式子会在实数范围内有意义，则m的取值范围是

2若代数式信+（尸2025）。有意义则实数x的取值范围是—.

易错疑难点2化简二次根式时忽略题中的隐含条件

3将aft艮号外的因式移到根号内为（）

A.yf-aB.—yf-a

C.~\[aD.da

4.当x<0时，化简二次根式尸匹的结果是一.

5化简搀

易借疑难点3忽略而=夜・逐成立的条件

6.下列各式成立的是()

A.5/屋一i6=V干+4y/a-4

B.Vab=y/a-\[b

C.J(〃?+〃)•7m+n

D.V(-3)X(-5)=V3XV5

“x月2x遇N52_42=5-4=l.

7.给出下面三个解答过程：®V(-25)x(-16)=V^5xV^6=(-5)x(4)=20;

其中错误的是—.（请填写序号）

易错疑难点4忽视二次根式的被开方数为非负数

8.小东在学习了2层，认为〜融成立，因此他认为一个化简过程尾等=与乎=、e=3是正确的.你

7b7bylb\ibY-3V-3v-3

认为这个化简过程正确吗，若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程.

易错疑难点5错用运算法则或运算律—

9.计算:岳(6-⑸x彘・

10小明计算日时，想起分配律，于是他按分配律解答过程如下：

解：原式-04=364々=-6他的解法正确吗?若不正确，请写出正确的解答过程.

第十九章二次根式本章重点训练

知识体系梳理

「概念：一般地，我们把形如n(aN0)的式子叫作二次根式

「Ja>0(a>0)

一性质一(n)2=$_(GNO)

r-a(a>0)

二

I"=|Q|=-)-0(a=0)

次

____(a<0)

根

式乘法「石____(aNO,bNO)

法则匚而二④____(a>0,6>0)

r叵

I

运算.除法J16

法则法则L2

^1

一加减法：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并

混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减,有括号的先算括号内的

高频重点精练

重点1二次根式的概念及性质

1.在式子衣,6,7?百户>中，二欠根式有()

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.若G■在实数范围内有意义，则实数x的值可以是()

A.-2B.-lC.OD.2

3.下列J式子中，属于最简二次根式的是()

A.V02B.V24D.VT5

4.若式子?在实数范围内有意义，则x的取值范围是—.

5.当x=时.，2x-6的值最小.

6.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简倔可的结果是

,/，一

045

6题图

7.（2025•自贡沿滩区校级月考）若|x-5|+2炳=0”则x-y的值是.

重点2二次根式的运算

8.下列计算正确的是（）

A.V2XV3=V5

B.V2（V2-1）=2-V2

c.n+VWH

D.（V2-l）2=3-V2

9.下列二次根式中，与近可以合并的是（）

A.RB.V4C.VT2D.V24

10计算:\[2a-y/6a=_.

11计算：

⑴谆述+|V2-1|+(3F)°;

⑵誓-g；

12下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务.

^xy/24+y/12-2(V2+VT)

=gX24+2V32V212V3-第一步

=V3+2V3+2V3-2V2-第二步

=5百-2夜.…•第三步

咯

(I)原式中的二次根式：Ji，V24,V12,V2,V3,是最简二次根式的是—；

⑵从第一步开始出错，错误的原因是________________；

(3请写出正确的计算过程.

重点3二次根式的实际应用

13如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方

形的长为何，宽为道，.下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的厚()

A.大长方形的长为6V3

B.大长方形的宽为5V3

C.大长方形的周长为11V3

D.大长方形的面积为9013题图

14某居民小区有一块长方形绿地ABCD,长8C=VT诋帆,宽力8=5须〃7,,现在要在长方形绿地中修建两个形状

大小相同的长方形花坛(即图中阴影部分)，每个长方形花坛的长为宽为(V13-1)W.

⑴求长方形ABCD的周长(结果化为最简二次根式)；

(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/nV的地砖，要铺完整个通道