立体几何装液体问题

第10讲立体几何装液体问题

一、单选题

I.（2025•广西南宁・模拟猜测）一个密闭且透亮的正方为容器中装有部分液体，已知该正方体的

棱长为1，假如任意转动该正方体，液面的外形都不行能是三角形，那么液体体积的取值范围为（）

I51（\5）「r121（\2、

[66J（66）|_63」163）

【答案】B

【解析】如图，正方体ABCD-EFHG,若要使液面外形不行能为三角形，则当平面EHO平行于水平面放

置时，液面必需高「平面E”。，且低「平面APC.若满足上述条件，则任意转动正方体，液面外形都不行

2

能为三角形.设液体的体积为丫，则％匕方体lH^.£WD=^xlxlxl=l

32o

匕W一匕-"。=『一:=2’所以液体的体积的取值范围为.

66ko67

故选:B.

2.（2025•湖北宜昌•一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱ABC-ABIG容器，如图I,

AABC为正三角形，AB=2,AA=3,里面装有体积为2G的液体，现将该棱柱绕4c旋转至图2.在旋转

过程中，以下命题中正确的个数是（）

①液面刚好同时经过A,4，G三点;

②当平面A8C与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为Q-1；

33

③当液面与水平桌面的距离为§时，AB与液面所成角的正弦值为

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】①若液面刚好同时经过A,B»G三点，则液体的体枳为四棱锥8/CC,

由于匕-B/CG=』x(BCCCjW'8=」x2x3xgx2=2G，所以①正确：

3232

②当平面ABC与液面成真二面角时抑为图2的位置，设液面与宜三棱柱A8C-A&G的交点为£凡鸟，几如

由于直三棱柱A8C-A4G的体积为~!"x且xAB?xAA1=—x—x22x3=3\/3,

2222

所以直棱柱AEF-AEK的体积为36-2G=丛,

所以lx走='X走xA炉X3=G、即AE=2叵，则在44所中Eb边上的高为1,

221223

由于在V/WC中3c1边上的高为旧,所以液面与水平桌面的距离为6-1,所以②正确；

③当液面刚好同时经过A.4，G三点时，如图所示，

此时匕=25/5,则匕AM=—V.ce=\/3,

“JJ4-£^£>CC|▼，八Jn-Ao^k.\?人一1“f[l〃i（（[，

易得AB、=AQ=713测△AB©中B£边上的高为2石,

所以心的二白2、2君二26,

设点B到平面AB©的距离为/?，则；g偿G•〃=；x、即/?=白,

3

即液面与水平桌面的距离为-,

3

由棱柱的对称性可得点4到平面八4孰的距离为，设与液面所成角为a,

33

则ana=H-=2=3所以③正确，

24

所以①②③正确，

故选:D

3.（2025•新疆乌鲁木齐•一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线4\=4,若母线AA放置在

水平地面上时，水面恰好过。4的中点，那么当底面圆。水平放置时，水面高为（）

d

c14*

【答案】B

【解析】如图,

设圆柱底面半径为「，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形84。为底，AA为高

的柱体，

由于水面过OA的中点，则N/30C=2N4O4=今，

则弓形BAC的面积为g=L女/」.rsin红=卫二更匚，

'232334

当底面圆。水平放置时，底面圆的面积为$2=乃/,设水面高为力，

则由水的体积不变可得：即_L（Q一叵）.4=」产产.力，

33-334c3

解的：a=±-.

3K

故选：B.

4.（2025•云南丽江•一模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱

长的一半，侧面a〃）c上有一个小孔E,E点到CO的距离为3,若该正方体水槽绕C。倾斜〔CO始终在

桌面上），则当水恰好流出时，侧面8QG与桌面所成的锐二面角的正切值为（）

【解析】由题意知，水的体积为4x4x2=32,如图所示,

设正方体水槽绕CO倾斜后，水面分别与棱偿,网,CC「。仅交于

由题意知尸C=3,水的体积为51*・8=32,

所以N8;/CX8CXCD=32,g|J^y^x4x4=32,解得BN=1,

在平面8CG耳内，过点G作C”//NP交于”,

则四边形NR；"是平行四边形，且NH=PJ=1,

乂侧面COQC与桌面所成的角即侧面CDAG与水面MNPQ所成的角,

即恻面CDD£与平面HDG所成的角，其平面角为NgC=组HQ,

在直角三角形中，lan/瓦〃。=第=[=2.

O）nL

故选：C.

5.（2025•高二•湖北•期中）如图，正方体透亮容器A8CO-A4G。的棱长为8,E,FG,M分别为

AA，ADCG，A冏的中点，点N是棱GR上任意一点，下列说法正确的是（）

B.向量EM.在向量松上的投影向量为:前

C.将容器的一个顶点放置「7K平桌面上，使得正方体的12条棱所在的宜线与桌面所成的帝都相等,

再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为486

D.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个

【答案】C

【解析】对A：由正方体性质知：AC_L8G，8cBCcDS=C1,

且BG、Q&U面ABCQ,

所以6cL面ABC。,又BNu面ABCR,则瓦C1BN,

由£。0印7二用，故BQ与AN不垂直，故A错误：

对B：由题意EM//44且若。是80,8G交点，连接OG,

乙

所以0G//8C//AF,0G=48C=AF\

2

故AFGO为平行四边形，则AO//FG,AO=FG,

所以EM,5G所成用，即为A%A。所成知，

由题设，易知A旦=8g,49=4逐，。旦=40,

在应当中向/。叫|=①金姆=在,

'1112A0AB.2

即A4，A。夹角为所以EM,FG夹角为

66

故向量EM.在向量户3上的投影向量为：

网,吟篇"阮争加时.而，故B错误；

对C：令放在桌面上的顶点为A,

若AG，桌面时正方体的各楂所在的直线与桌面所成的角都相等,

此时要使容器内水的面积最大，艮］垂直于4G的平面截正方体的截面积最大,

依据正方体的对称性，仅当截面过A牛明,8CC2£)Q,Aa中点时截面积最大，

此时，截面是边长为4右的正六边形，

故最大面积为6X；X(4\/5)2xsin60°=48>/3,故C正确；

对D：由题意，第一层小球为8x8=64个，其次层小球为7x7=49,

且奇数层均为64个，偶数层均为49,

而第一层与其次层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为I的正四棱锥，故高为4，

假设共有〃层小球，则总高度为日(〃-1)+1,且〃为正整数，

令孝(〃-1)+148，则〃《7及+1，而1()<7夜+故小球总共有10层,

由上，相邻的两层小球共有113个，

所以正方体一共可以放113x5=565个小球，故D错误.

故选：C.

6.(2025•高三•甘肃白银•阶段练习)如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为

EFGH,已知AE=4AA=1.为了将容器中的水倒出，以3。为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒

4

出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为()

A・邛B・竽。・竽当

【答案】B

【解析】如图，平面AAQR与水面的夹角为

则平面用9CG与水平桌面的夹角为.

由题意可得三棱柱-RGN的体积为4x4x1=16,

所以gAM.ASYA=16,解得AM=2,

AB.2后

所以sin/AMB]=

水面距离桌面的岛咬为BB.sinZA.MB.=—

,115

故选：B.

2

4

B

7.（2025•广东深圳・一-模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任

意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）

【答案】A

【解析】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，

则如图，水最少的临界状况为，水面为面4乃。，

水最多的临界状况为多面体，水面为BG2,

由于匕-A8〃=；x：xlxlxl=:，

"即丫5

o6,6

故选：A.

8.（2025•高三•广东汕头•期中）图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器ABC-A8G,现往内

灌进一些水，设水深为〃.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时.，水

面外形恰好为△AM。，如图2,则力=（）

D.6

【答案】B

【解析】在图1中的几何体中，水的体积为

在图2的几何体中，水的体积为「匕EG=5“8c4Gx6=4S/BC，

由于匕=匕，可得S“8C»=4S“时,解得人=4.

故选：B.

9.（2025•高一•重庆沙坪坝•阶段练习）祖晅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这

两个平面的任意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，有一

个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为「的铁球，再注入水，使水面与球

正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中

水的深度约为（）（返"6）

A.23rB.2.4rC.2.5rD.2.6r

【答案】B

【解析】如图1,已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，

依据祖胞原理，半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆

台的体积.

下面证明如图1中阴影截面面积相等：

证明：设半球中阴影截面圆的半径为一，球体半径为

2222

则r=/?-h，截面圆面积H=7r(/?-/r);

由于/6AC=45。，所以圆柱中截面小圆半径。£=〃，而大圆半径为R,

则截面圆环的面积52=S大网-S小即=兀(配-/打，

所以$=昆，又高度相等，所以球柱的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆台的体积.

图1

如图2,设球体和水接触的上部分为乙半球，没和水接触的下部分为〃半球，小半球相当于图I半球的截面

上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.

已知球体半径为「，VA8C为等选三角形，OB=2OD=2r,OE=EH=>,EF,

22

依据祖眶原理

外、¥球二%1柱一%台二口,；一：兀/++J.(；；7n"卷"3=亮瓦/，

AD(

V

B

图2

459

4半球=%一匕、半球=3"3一五府=-"3,

设图2中轴截面为梯形AFGC的圆台体积为%台

网+SY

KK=%台一唳半球=QJg+(时

设将球取出时容器中水的深度为〃，底面圆的半径为彳，则〃=8力4=半肌

故选：B

1（）.（2025•高一•湖北武汉•期中）如图，有一个水平放置的透亮无盖的正三棱柱容器，全部棱长

都为6cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为5cm,假如不计

容器的厚度，则球的体积为（）

4

A.32/rcmB.一江cm

3

D.——乃cm

3

【答案】D

【解析】设球的半径为R，球的截面圆的半径为八即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径,

贝!J黑=—x6x6xsin60=一r(6+6+6),

22

解得r=6，

由球的截面性质得："=’3+-I?,

解得R=2，

所以球的体积为V==二;；r：

33

故选：D

11.（2025•高三•湖南永州•阶段练习）北方的冬天户外冰天雪地，若水管暴露在外，则管内的水就会

结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便.每年冬天来临前，工作人员就会给暴露在外的水管“保暖”：在

水管外面包裹保温带，用一条保温带回旋而上一次包裹到位.某工作人员接受四层包裹法（除水管两端外

包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是

带宽的四分之一.设水管的直径与保温带的宽度都为4cm.在图2水管的侧面开放图中，此保温带的轮廓

线与水管母线所成的角的余弦值是（）（保温带厚度忽视不计）

图］图2__________

A.1B.—C.史FD.正蓬I

44乃］+44~1+16/T

【答案】D

【解析】由题，作于P.

依据题意可知6P宽为带宽的四分之一即［'4=1,又水管直径为4cm.

故人夕=4万.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是

COS^AB'P=BP1J1+I6后

B'A心+(4『］+16…

故选:D

12.（2025•高三•贵州贵阳•期末）如图，这是注入了肯定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器

的一个顶点A固定在地面匕使得ARAB,AA三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过8&的

中点，若AB=2,则该水平面截正方体ABC。-ABCIR所得截面的面积为（）

A.75B.3GC.4D.4>/2

【答案】B

【解析】在正方体A8CO-AMG2中，AD,A8,AA与平面A8D所成的角是相等的，

所以水平面平行于平面A8。,又水平面恰好经过的中点，

则水平面截正方体ABC。-A与G2所得的截面是过棱的中点的王六边形，且边长为拒,

如因，所以其面积S-6X半乂（0丫-36.

故选:B

13.（2025•高三•广东广州•阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱44=12.若侧面

44旦8水平放置时，水面恰好过ACICAG.BG的中点，则当底面A8C水平放置时，水面高为（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】当侧面AAB/水平放置E寸,水的外形为四棱柱形,底面是梯形，

设的面积为S,则5梯影=；S,

水的体积以=；SxAA=9S,

当底面48C水平放置时，水的外形为直三棱柱，设水面高为人

则有V水=S〃=9S，得〃=9,

即当底面A6C水平放置时，水面岛为9.

故选：c.

14.（2025•高二•江西上饶•期末）如图1,一个正三棱柱容器，底面边长为1,而为2,内装水若干;

现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2,这时水面恰好是中截面（即平面经过边CACB、

的中点）则图।中容器水面的高度是（）

3

D.

2

【答案】D

【解析】设ACBC，AG，"G的中点分别为E,尸，昂耳,如下图:

CE1”“I

易知EF//AB,则由E为AC的中点，则7觉=彳，可得产

CA2禺CAR4

y5|

设三棱柱匕与三棱柱。8-。14蜴的体积分别为忆匕,则/=产=公，

y2JQB-

V匕一V3

设水的体积为V,则方=1「二公，

viv24

Vh33

在图1中，设水形成的三棱柱的高为力，则丁=w=i，解得/?=?

v2Q2

故选：D.

15.（2025•高二•河北•期末）如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从

顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为K水面对应四边形的面积为S,容器内水

的体积为V，则下列说法正确的是（）

A

A.S是人的函数B.〃是S的函数

c.S是V的函数D.V是S的函数

【答案】AC

【解析】对于A,当水面的高度力确定时，水面对应四边形的面积S也唯一确定，则S是力的函数，A1E

确；

对干B.当水面对应四面形的面积S确定时,水面高度〃可能消灭两种可能,则〃不是S的函数，B错误：

对「C,V随〃的增大而增大，V是〃的函数，〃也是V的函数，因此S是丫的函数，C正确；

对于D,当水面对应四边形的面积S确定时，V可能消灭两个值，V不是S的函数，D错误.

故选：AC

16.（2025•高三•上海•阶段练习）如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为4,容器底

部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为力2,当容器内盛有肯定量的水时，水面恰好经过正四棱

锥的顶点P，假如将容器水平倒置，水面也恰好过点〃（图2）,对于命题：①九二|生；②将容器侧面水平

放置，当水面静止时，水面恰好经过点尸.下列推断正确的是（）

A.①、②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①、②都是假命题

【答案】A

【解析】由题意可知图1水的高度力2,几何体正四棱柱的高为4,设底面正方形的边长为人，

图I中水的体积为。%图2中水的体积为〃仇-4）,

I2S

所以6％-§/也=不%=〃仇-幻，解得九二心，故①正确,

对于②，当容器侧面水平放置时，，点在长方体中截面上，

I4?

又由于容器容积为-："生=：人生，所以水的体积;人凡是容器容积的一半，

即水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过/,点，故②正确，

故选：A

二、多选题

17.（2025•山东荷泽・一模）透亮塑料制成的正方体密闭容器"CD-44GA的体积为8,注入体

积为x（0<x<8）的液体.如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则

下列说法正确的是（）

A.液面始终与地面平行

B.）=4时，液面始终是平行四边形

C.当X£（0,l）时，有液体的部分可呈正三棱锥

D.当液面与正方体的对角线AC垂直时，液面面积最大值为36

【答案】ACD

【解析】液面始终是水平面，与场面平行，A正确；

x=4时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱4片，片“，"。，6,力的中点，此时液面是正六边

形，不是平行四边形，B错;

液面过M，A民的中点时，此时x=!£（（）/），有液体的部分是正三棱锥，C正确;

当液面与正方体的对角线AC垂直时，液面面积的液面面积最大时就是B中所列举的正六边形（此时液体

体积是正方体体积的一半），面积为6x正x（夜）2=36，D正确.

故选：ACD.

18.（2025•而三•江西•阶段练习）如图，现有一个底面直径为l（）cm,而为25cm的圆锥形容器，已知

此刻容器内液体的高度为15cm,忽视容器的厚度，则（）

此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为］

容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为变icm

C.当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为耍cm，

D.当容器内沉入一个棱长为匹cm的正方体铁块时，容器内液体的高度为炳6cm

【答案】BCD

【解析】作圆锥的轴械面如图：

O力

设SO\=%,SO=h,O\B=q,OA=r,

由相像三角形可得：=

4h-r

所以

%lxnrh

3

对于A：由于液体高度与圆锥高度之比为

所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为二，A错误.

（25）125

_L,解得力=”理，B正确.

对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为浓m,贝

U5J22

对于C：由于畀詈3,电❷4,

252

185兀

所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为］x5x（3?+3x4+4?）=cm',C正

3

确.

对于D:当容器内沉入•个棱长为J/m的正方体铁块时,

设容器内液体的高度为"cm,体枳V=1x32x15+即尸=46ncm3,

啜，H=15xxl53=^/3450cm,D正确.

故选：BCD

19.（2025•高三•安徽阜阳・期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽视不计）内装有肯定体积

的水，容器的底面半径R=2,AW为容器下底面的直径.如图②，将该容器绕点A倾斜

后，当。＜。＜］且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的

点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为“，〃；当a忖，水的最大深度为儿，则下列说法正确

图②

A.若水面外形为椭圆，则该椭圆的短轴长为2

B.若水面外形为椭圆，则该椭圆的离心率为sina

C.若容器的高为4,%=1,则力+，=目一23

3n

D.若容器的高为4,4=3,则/?+”=3+述

3n

【答案】BD

【解析】对于A,当容器倾斜时，水面形成一个椭圆.椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径,

即2R=2x2=4.因此，该椭圆的短轴长为4,而不是2.故A是错误的.

对于B,当容器倾斜时，短半轴长〃=R=2,长半轴长。二」一二二一，

cosacosa

对于C,当a=；时，水的体积1'=九配%,

当0<a<］时，水的体积保持不变，此时水的体积可以看作是一个底面为弓形的柱体,

设容器高为”，依据水的体积不变可得：

（该式是依据水的体积的两种表示方法列出的，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积,

由一个矩形和一个半圆柱组成）,

若容器的高为4,%=1,R=2,

代人上式可得：7r-22xl=l(/?+H)-2x2J22-f^|^'|

设，=h+H,则4兀=“口+2口，此方程无解，故C错误.

对于D,若容器的高为4,儿=3,R=2,

22h+H>r，h+H

代入上式可得:n-2x3=i(/?+H)-2x2-J2-+五2-----

2

设1=/?+”，则12兀=2/4-乙+2*解方程可得：/=3+辿,

43兀

所以人+，=3+述，故D正确；

3it

故选：BD.

20.（2025•河北唐山•一模）在透亮的密闭正三棱柱容器A8C-A4G内灌进一些水，已知

AB=AAi=4.如图，当竖直放置时，水面与地面距离•为3.固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按

如图方向倾斜，至侧面ACCA与地面重合的过程中，设水面所在平面为则（）

A.水面外形的变化：三角形=梯形=矩形

B.当GAua时，水面的面积为2⑨

C.当Awa时，水面与地面的距离为迈

5

D.当侧面ACGA与地面重合时，水面的面积为12

【答案】ABC

【解析】由题知匕x=S网友力=乎76乂3=126，正三棱柱的体积^=¥乂16><4=166，

对于选项A,当容器按题设方向倾斜至时，水面外形是三侑形，再倾斜时，水面外形是梯形，直到

侧面ACGA与地面重合时，水面外形是矩形，所以选项A正确，

对「选项B,如图1,当容器按题设方向倾斜至CAua时，设水面与楂34的交点为M，

设又三棱柱ABC-A8G为正三棱柱，取8c中点七，连接儿£,

易知•g8,又84口瓦6=与，84,片Gu面BCC",

所以AE，面BCCi4，所以A到平面BCC,用的距离为AE=2

所以匕1MG=；x；x4x"26=46,解得a=3,

此时水面图形为,又AM-G"-，32+4,一5‘AG-工

取AG中点，则且3=无曰=后,所以SSAMG=；X4X&T=2"\故选项B正确,

A

图1

府『选项C,如图2,当容器按题设方向倾斜至时，设水面与棱44,。圈的交点为EG,

易知FG//ACJ/AC,设8/二/7=6,由％/柘=?S洛柘84=;x；x4从sing=4百，得到分=26,

由于水面始终与地面平行，AC始终与水面平行，旦AC始终在北面上，

所以水面与地面的距园，即AC到平面的距离，

取AC中点。，连接HQIQ,设8月交对于K,连接砍，

易知〃QJ_AC,BQJ_AC,又HQCBQ=Q,〃280<=面。84"，所以4c_1面（234〃，

又/G//ACJ/AC,所以尸G_L面。88用，过。作QR_L3K于R,连接0R,

由于QRu面Q8B#,所以/G_LQR,又FG^BK=K,FG,BKu面a,

所以QR_La,即QR为水平面到地面的距离，

如图3,过K作KP_LQ8于Q,易知&K=2瓜in]=3,所以3犬=反正=5,

得到sin/Q8R=整=:，又QB=2&所以QR=QBsin/QBR=26x±=迪,

KB555

故选项C正确，

图2图3

对于选项D,如图4,当侧面ACGA与地面重合时，水面。为矩形设8g=，,

则由%«”屿抬=2%瓦=；x"sing=46,解得，=2,所以E用=2,

4J

图4

21.（2025•江苏扬州•模拟猜测）如图，一个棱长为6的透亮的正方体容器（记为正方体

A6CO-A4GA）放置在水平面。的上方，点A恰在平面。内，点8到平面。的距离为2,若容器中装有

水，静止时水面与表面M2。的交线与A。的夹角为0,记水面到平面。的距离为d,则（）

B.点2到平面a的距离为8

C.当d«2,8）时，水面的外形是四边形

747

D.当d=7时，所装的水的体积为一【

4

【答案】ABD

【脩析】如图所示建汇空间直角坐标系，则8（6,0,0）,A（0,6.0）,0（0,0.6）,

由于静止时水面与表面惧。力的交线与\D的夹角为0,所以A。“平面夕，

设平面a的法向量为无=（x,y,z）,八月=（6,0,0）,

点B到平面a的距离为（丫=环耳7=2,9”6,6）,

人力•而=-6y+6z=0nz=y,而y=2x,

令x=l,所以平面。的法向量为万=（122）,

对A,AC'=（6,6,6）,AB=（6,0,0）,^D=（O,-6,6）,丽宙=0,Q.砺二0,

故4。工4。”4。，43/00人8=/\"0,48<=平面48。.，

所以平面4BCQ的法向量为4万=（0.-6,6）,又A0万=0,

所以平面ABCRL平面。，故A正确;

对B,西=（0,6,6）,所以2到平面a的距离为色匕=2=3,故B正确;

同3

/、^―...LAD-H|2LAC-ntv/、

对C,由于4。=（0,0,6）,AC=（6,0,6）,所以1_^=上=4,^_^=丫=6,当de（4,6）时,截面为六边

同3同3

形，故C错误;

对D,当d=7时，设水面，。〃小。的交点分别为M,N,设N（0,6"）,则丽=（0,6,/）,

则好等“

故%（0,6高9,

2

设水面与qG交点为G（6,6,〃?），所以标=（6,0,w-

_3

N&”=6+2〃­9=（）,〃?二],此时过G作G/7//MN交CG广点，，连接

设的面积为5eGGH的面积为S’,

则£=杷陷||/初|=9图一事

S2=g|GM|C£|=X|j卷，

所以《叱„=如+邑+质卜6=94++今卜6=¥，所以染=216-牛

,故D正

确.

故选：ABD

22.（2025•广西南宁•模拟猜测）如图，透亮塑料制成的直三棱柱容器ABC-ABC内灌进一些

水，乙48c=],AC=A4=8,若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽视不计，则（）

B

A.当底面AACC水平放置后，固定容器底面一边CG于水平地面上，将容器围着CG转动，则没有

水的部分肯定是棱柱

B.转动容器，当平面AAGC水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在校的中点

C.在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥

D.容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为迪

16n

【答案】AD

【解析】A：当平面AAC。水平放置时（CG始终保持水平），则平面ABC//平面AUG，

所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确:

B：当平面4AGC水平放置时，假设Q.E.EG都为所在棱的中点

设水面到底面的距离为〃，AB=a,BC*

所以水的体积为V=S,％•CG-；•；〃•；力CC|=4ab-ab=3ab,

乂转动前水的体积为V=S"-^=1^x4=2ab<3ab,

所以DEEG不为所在棱的中点，故B错误；

C：在翻滚.转动容器的过程中,

当平面A|BC水平放置时，三棱锥A-48C的体枳取到最大值，如图,

此时匕-A8C=§SJBC,

4

而水的体积为V=2曲>§必，所以有水的部分不行能是三棱锥，故C错误;

D：取4cAe的中点力㈤，连接皿儿取。A的中点0,连接。4,

则。为RlZ\A8C的外接圆圆心，。为三棱柱ABC-4与。外接球的球心,

所以0A为外接球的半径，H.OA=>/42+42=4应，

所以直三棱柱外接球体积/=±峦='«4&丫=空也北.

333

由选项B可知，容器中水的体积为以=2他，

y.a2+b2=82=64»所以64=/+/）2>2abnab<32»

当且仅当a=h=4&时等号成立，所以以=2ab<64,

"v6433人

则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为5120―512五一8夜兀一16兀，

71n

3----------3

即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为逑，故D正确.

167c

故选：AD.

23.（2025•高二•湖北武汉-期末）如图，透亮塑料制成的长方体容器ABC。-AAGA内灌进一

些水，固定容器底面的一边8c于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（）

A.有水的部分始终呈棱柱形

B.水面所在四边形的面积为定值

c.棱AA始终与水面所在平面平行

D.当容器倾斜如图（3）所示时，是定值

【答案】ACD

【解析】对A,由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相

互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确；

对B,由于水面EPGH所在四边形的面积，从图2,图3可以发觉，有条边长不变，而另外一条长随着倾

斜度变化而变化，所以EFG”所在四边形的面积是变化的，故错误；

对3由于棱4。/始终与BC是平行的，与平面始终平行，故C正确；

对D,由于水的体积是不变的，高始终是8C也不变，则底面也不变，即户是定值，故。正确.

故选：ACD.

24.（2025•高一•湖北武汉•期末）如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的

正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有。升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.假如将容器倒置.，水面

也恰好过点P（图2）,则（）

图1图2

A.若往容器内再注入。升水，则容器恰好能装满

B.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点夕

D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

【答案】AC

【解析】设图1中水的高度为，儿何体的高为％,底面正方形的边长为/）；

则图2中水的体积为/匕一〃2他=/供一生），即:〃为=从屿一％），解得九二；生，

JJ

所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误.

79S

对FA,往容器内再注入〃升水，水面将上升，4,则4+?4=；用="，容器恰好能装满，A正确；

对于C,当容器侧面水平放置时，尸点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，

所以水面也恰好经过尸点，C正确；

对于D,任意摆放该容器，当水面静止时，尸点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面

都恰好经过点尸,D正确.

对FD中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，

由于四棱锥的高为力2,几何体的高度为九，设正四棱柱的底面边长为6,

可得AM=1九，由可得任1=M,可得AE

3'AMABAM6

所以BqE-CG尸的体积为V；=-^-bxhxb=-x-bx-hxb=—b2li,

26i263~>36y

25?59

可得水的体积为匕=刍/小，此时㊂BL〉］/小，冲突，所以D不正确.

36363

三、填空题

25.（2025•高三•全国•专题练习）如图，透亮塑料制成的长方体容器内灌进一

些水，固定容器底面一边8C于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题:

(1)(2)(3)

(1)有水的部分始终呈棱柱形；

(2)没有水的部分始终呈棱柱形；

(3)水面EPG”所在四边形的面积为定值；

(4)棱始终与水面所在平面平行；

(5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE3尸是定值.

其中全部正确命题的序号是

【答案】(1)(2)(4)(5)

【解析】依据棱柱的定义知，有两个面是相互平行且是全等的多边形，

其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，

所以⑴和(2)正确：

由「•水面EFGH所在四边形，从图2,图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度

变化而变化，

所以水面四边形EPG”的面积是变化的，(3)错误；

由于棱A