甘肃省酒泉市2025-2026学年高一年级上册1月期末数学试题

甘肃省酒泉市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4={xl/<x},B={x|x2_i<o},则()

A./lAi5=0B.A[JB=A

C.=AD./1U〃=R

2.不等式/一23的解集为（）

2-x

A.«x||<x<2-

5,x\x>^^i)c<2

C.x\x>-^x<2-D.

3.卜列命题为真命题的是（）

A.3xeR,ln(x2+1)<0B.Vx>2,2x>x2

C.3a,/?eR,sin(a-/?)=sinof-sinpD.VxG(0,7t),sinx>cosx

4.已知0是第四象限角，且sin(e+7i)=],则⑶1(。一花)=()

5.已知b=3«，e=17，则（

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

6.函数/（x）=e'+x-5的零点所在的区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.下列函数值:①sin（-1000。）；②cos（-2200。）；③tan（-lO）；④si嗑,其结果为负值

的是（）

A.①B.②C.③D.④

8.已知x,厂（0,+8）,,则V的最大值为（）

9939

A.B.C.D.

2824

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.己知函数/")=(〃，+3〃?-3卜”'”为哥函数，则实数加的可能性取值为()

A.1B.-2C.3D.-4

10.下列函数中，在(0,m)上单调递增的是()

A.y=2xB.y=log,xC.y=x2D.y=xs

11.下列说法正确的是()

A.函数y=f(x)与y=的图象关于原点对称

B.若函数y=/(x)是奇函数，贝"(0)=0

C.函数歹=二的图象关于点。,1)对称

x-i

D.函数y=|刈是偶函数，H在(0.内)上单调涕增

三、填空题

12.函数/(幻=/-2如+1在区间［1,3］上不单调，则实数〃的取值范围是.

13.如图，已知矩形"CD截圆力所得的弧部的长为2兀，。£=1,则矩形在圆外部分的面

14.已知函数仆匕；二小…有四个不等实数解，则，的取值范围

是_________

四、解答题

15.(1)已知tana=；,求cosa,sin。的值;

/c、、igsinl500+cos3300

(2)计算：tan225。sin300。.

试卷第2页，共4页

16.(I)计算：+log,8-Ine5：

(2)化简：咛£(〃>0)；

a~-yja

(3)已知3“=7A=〃?,L+?=2,求〃？的值.

ah

17.已知函数/(x)=log“a+l)+log“(3-x),其中。>1,

⑴求/(x)的定义域；

⑵若/⑴=1,求〃的值；

(3)讨论/(口的单调区间.

18.已知函数〃x)=2'-旌2r为奇函数.

(1)求实数％的值:

(2)求证：/(X)在R上单调递增；

⑶若/(“"m对任意xe[0』]恒成立，求实数m的取值范围.

19.某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性

能.两个实验室的研发起点相同(，=0月时，芯片基础性能得分均为0),记录了研发时间

/(月)与芯片性能得分尸(得分越高，性能越好)的关系如下：

实险室/(技术路线甲)：早期数据增长迅猛，如下表所示：

/(月)1234

P(得分)3122748

实验室8(技术路线乙)：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为

P=tzln(r+l)+/),且当/=1时，P=4；当f=3时，尸=10.

(1)根据实验室力的数据，判断性能得分尸与时间,更符合哪一种函数模型：指数函数P=

还是寻函数尸=h/？说明理由，并写出函数解析式：

⑵根据实验室4的数据，求出常数。，力的值，并写出P关于z的函数解析式：

(3)若两个实验室均研发至第6个月.

(i)用实验室力的模型预测性能得分；

(ii)用实验室8的模型预测性能得分；

(iii)从从技术发展的长期可持续性角度,哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合

试卷第3页，共4页

函数增长特性说明理由.Un2=0.6931,In7=1.9459)

试卷第4页，共4页

《甘肃省酒泉市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CBCDABCAADABD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】先解不等式得到集合48的具体范围，再分别计算力c。与4U8,逐一腌讦选项

即可.

【详解】由已知解得集合力={%[0<x<l},B={x\-]<x<\].

选项A,由于4c8={x[0<x<l},不是空集，所以A错误；

选项B,由于4=即1U8=8,所以B错误；

选项C1,由于/c5={x|0〈x〈l},即月。8=彳，所以C正确；

选项D,由于力=8=卜|-1<1<1},不等于R,所以D错误.

故选：C.

2.B

[2-x>0

【分析】由题设可得,N3(2-X)，进而求解即可.

12-x>05

【详解】由不二之3,得V解得三》<2,

2-x123(2-x)3

则不等式4>3的解集为(x|卜x<2：.

2-x3J

故选：B

3.C

【分析】对每个选项逐一分析，找出特例或者反例验证选项即可.

【详解】选项A：要使皿了+1)<0,则需要0</+[<],而/+出1,所以为假命题；

选项B：所有，可找反例.取特殊值x=3>2,代入得6>9,此时2x>/不成立，所以为

假命题；

选项C：存在，符合即可，取。=夕=0,代入得sin(0-0)=sin0—sinO成立，所以为真命题;

答案第1页，共9页

选项D：所有，可找反例，取特殊值x=£w(O,兀)，代入得sin^=：,cos-=^,此时

66262

sinx>cosx不成立，所以为假命题；

故选：C.

4.D

【分析】利用三角函数诱导公式结合同角三角函数关系式计算求值.

【详解】已知0是第四象限角，sin(6+冗)=]3=-sin6=3(,则sin9=—3

JJJ

cos9=\/1—sin20-J]一1"=~，

_3

/.sin(^-n)-sin。sin。5353

cos(^-7i)一cos。cos夕4544

5

故选：D

5.A

【分析】根据给定条件，利用基函数的单调性比较大小即得.

【详解】/,=3/£，而函数在(0，”)上单调递增，2<9<17,因此,<91

所以a<b<c.

故选：A

6.B

【分析】首先根据指数函数和一次函数性质得到/(x)为单调递增函数，再利用零点存在性

定理即可判断零点所在区旬.

【详解】因为指数函数y=e'在R上单调递增，一次函数y=x-5在R上单调递增，

所以函数/(x)=e'+x-5在R上单调递增.

22

/(0)=c°+0-5=-4<0;/(l)=c+l-5=c-4<0；/(2)=e+2-5=e-3>0；

因为函数/(x)=e，+x-5在R上单调递增,且/⑴・/(2)<0,

所以函数/。)的零点所在区间为。,2).

故选：B.

7.C

答案第2页，共9页

【分析】利用诱导公式及各象限内三角函数的正负判断即可.

【详解】对于①：sin（-1000°）=sin（-3x360°+80°）=sin80°>0,

对于②：cos（-2200°）=cos（-7x360°+320°）=cos320°>0,

对于③：tan（-lO）=tan[-47t+（47t-10）J=tan（4兀-10）,

因为马V4n一10《打，所以tan（47r-1O）<0,即tan（-10）<0,

2

对于④：因为]<言<兀，所以sin意>0.

故选：C

8.A

【分析】依题意可得x+2y=6,再利用基本不等式计算可得.

【详解】解；因为2・6/口，即2—=2-2>'，所以x+2y=6,又x,”（0,十8）,

3

当且仅当x=3,时，等号成立.

故选：A

9.AD

【分析】根据某函数定义得到方程，求出实数阳，检验后得到答案.

【详解】由题意得加2+3吁3=1，解得〃?=-4或1,

当〃?=-4时，W，当〃?=1时，/（x）=x2,均满足要求.

故选：AD

10.ABD

【分析】利用辕函数、指数函数和对数函数的性质，对多个选项逐一分析判断，即可求解.

【详解】对于A,因为歹=2、在R上单调递增，所以y=2'在区间。长0）上单调递增，故A

正确，

对于B,因为N=log2x在区间。内）上单调递增，所以B正确，

对于C,因为丁=炉2=二在区间（0,位）上单调递减，所以C错误，

对于D,因为），=,/在区间（0,位）上单调递增，所以D正确，

答案第3页，共9页

故选：ABD.

11.ACD

【分析】根据奇、偶函数的定义及其判定方法，结合选项依次判断即可.

【详解】对于A：设(%,为)为图象上的一点，其关于原点对称的点为(F),一为)，且

%=/(%)，

对于y=-/(一》)，当x=-小时，y=-/(-(-^o))=-/(•%)=-汽，

所以点(,一盟)在函数》=-/(-X)图象上，

所以两个函数的图象关于原点对称，故A正确；

对于B：若/(X)为奇函数，其定义域可能不包含0,比如奇函数/(x)=g,/(0)=。不成立,

故B错误；

2

对于C：函数y=一图象向右平移1个长度单位，向上平移1个长度单位，

X

可得》=12+1=r4-=1的图象，

x-1X—1

2

而函数y=±图象关于原点对称，所以y=Y=+1图象关于(草)对称，故C正确；

XX-1

对于D：设〃x)=k|,定义域关于原点对称，则/(r)=x|,

所以/(-*)=/(x),即/")为偶函数：

当x>0时，fM=x,在(0,*o)上单调递增，故D正碓.

故选：ACD

12.(1,3)

【分析】二次函数/(x)是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间

［1,3］内，因此列出不等式计算即可一

【详解】函数/("=/-2办+1是开口向上的二次函数，

其对称轴为直线：x=-=^-=a

二次函数在对称轴的一侧单调，若/(外在区间［1,3］上不单调，

则对称轴需落在区间(1,3)内,即。€(1,3).

答案第4页，共9页

故答案为：（1,3）.

13.20-4n

【分析】根据条件，利用弧长公式得圆力的半径，再结合条件，利用扇形的面积公式，即可

求解.

【详解】设圆彳的半径为「，由题有兀，解得r=4,

又DE=l,所以4）=5,又点6在圆上，/48。=1,K]AB=r=4

所以矩形ABCD的面积为S=4x5=20,

11

又扇形比1E的面积为S=5广8£=9<4'2冗=4乃，所以矩形在圆外部分的面积为20-4兀，

故答案为：20-471.

14.（0,1）

【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图象与直线的交点个数，即可求得参数

的取值范围.

【详解】作出函数图象：

厂-8x+13,xN2,

因为/（2）=4—16+13=1,联22=1,所以/（力在x=2处是连续的，

根据方程/*）=〃有四个不等实数解，则直线y与函数/'（X）的图象有四个交点,

即a的取值范围是（0.1）.

故答案为：（0,1）

15.（I）当a为第一象限角时,，sina=12,cosa='叵；

1010

当。为第三象限角时，5亩0=-4迫，cosa=-^;

1010

答案第5页，共9页

(2)G—l.

【分析】(1)讨论a所在的象限，结合商数关系和平方关系即可求解;

(2)结合诱导公式，化简后即可求解.

【详解】(1)由tana="‘=L得cosa=3sina,

cosa3

又由sin%+cos%=1,得sin%+9sin%=1，即sin%=K

由tana=；>0,得。为第一或第三象限角,

3所

当。为第一象限角时，sir.cr>0,cosa>0,改sina=------，cosa=-------

101()

痂•瓦3J10

当。为第三象限角时，sincr<0,cosa<0,改sina=--------cosa=----------

1010

sinl50o+cos330°_sin(180°-30D)-bcos(360o-30°)

(利用诱导公式得:

2)tan2250-sin300°-tan(180o+45o)-sin(360<>-60<>)

1V3

+

sin300+cos30。_22_」+C二(l+x/^)(2V^)^

tan450+sin60°~«~2+V3=(2+V3)(2-V3),

2

16.(1)4：(2)/；(3)V21.

【分析】(1)利用指数累的运算和对数运算性质计算即可；

(2)将根式化为分数指数塞，再利用分数指数幕的运算法则计算即可；

(3)由已知利用指数幕的运算得=3,/=7,然后利用指数哥的运算法则得小=21,即

可得解.

32

【详解】(1)+log,8-lne=2+31og22-31ne=4+3T=4；

(2)由。>0得「一尸二-----

a2臼。27

aa4〃"a

(3)因为3"=7'=叽(加>0),所以〃，=3,〃1=7,

所以』又6>()，所以m=>/五.

HI-ni-—〃AHl—。入/一乙\

17.⑴(-L3)；

(2)4；

(3)单调递增区间为(-11).单调递减区间为［L3).

答案第6页，共9页

【分析】(1)根据对数函数的成立的条件建立不等式组即可求出函数的定义域;

(2)把K=1代入/(X)的解析式，即可求出。的值;

(3)利用对数的运算性质化简/(X)的解析式，结合复合函数单调性的关系进行求解即可.

【详解】(1)由条件,要使函数/。)有意义,须有:

x+1>0

3-”。,解得:-1<x<3,

故/(x)的定义域为(-1,3人

(2)由/(x)=loga(x+D+bg”(3—x)得

/(l)=logrt+Iogrt=log,,2=1,即log“4=l,得。=4,满足。＞1,

故若/⑴=1,a=4；

(3)由条件得；/(x)=log“(x+1)+log“(3—x)=log+1)(3—x)]=loga(r?+2x+3),

由(1)知

令/=-/+2》+3,xe(-l,3),该函数的图象是开口向下，对称轴为x=l的抛物线，

故z=*+2x+3的单调递增区间为(T1),单调递减区间为口，3),

又可得y=log。/在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系，

可得/(x)的单调递增区间为(71)，单调递减区间为U，3).

18.⑴攵=1

(2)证明见解析

(3)(-8,0]

【分析】(1)利用定义在R上的奇函数有/(0)=0,求出实数2的值，然后验证奇偶性即可.

(2)根据单调性定义证明即可.

(3)由单调性求区间最小值，结合恒成立条件即可得解.

【详解】(1)因为函数/(x)=2'-h2T是定义在R上的奇函数，

所以八0)=0，即2°-小2°=0,解得〃=1.

此时/(幻=2=2L则〃—刈=2-'—2,=—/(》)，满足题意.

故实数4的值为1.

答案第7页，共9页

（2）证明：由（1）可得/（x）=2，-2T,

任取GR,且X<X2.

则/«）—/（%）=（2』-2』）-（2*_2个）=（2再一2"）4（L一尹）421—2）（1/|,

因为王<々，且指数函数y=2'在定义域R上单调递增，

所以2f<2口，即2，一2为<0,

又因为2小>0,所以1+上_>0.

因此/6）-f（W）<0，即/Cv,）</（x2）.

故根据函数单调性的定义，函数〃x）在R上单调递增.

（3）由（2）可得/（幻=2'-2r在定义域R上单调递增，

要使/（x）>〃?对任意xe[QJ恒成立，只需用W/（x）111nl,

而当xe[OJ时，〃%篇