2025高考数学二轮总复习：数列（原卷版）

专题二数列

第四讲等差等比基本量与性质

1.(2024•河北模拟)已知等差数列｛q｝的前〃项和为S.，若机土〃，且4+,则=(

mn

)

A.(in+n)2B.-(m+n)2C.m2-n2D.rr-nr

2

2.(2023•新高考团)设等差数列｛q｝的公差为d,且d>l.令〃=口2，记S.,7；分别为数列伍“｝,｛2｝

的前〃项和.

(1)若3a2=3%+%,邑+4=21,求｛q｝的通项公式；

(2)若他,｝为等差数列，且%-&=99,求d.

3.(2024•天津模拟)设等比数列｛凡)的各项均为正数，前〃顷和S“，若4=1,&=51-4,则&=(

)

A.—B.—C.15D.40

88

4.(2024•苏锡常镇一模)等比数列｛“”｝中，4Z1O(3><z10|4=1>则满足(4---)+(%---)+...+(GH---)>。的

4%4

最大正整数〃为()

A.2024B.2026C.2025D.2027

5.（2024•黑龙江模拟）已知数列｛凡｝是公差为d的等差数列，S”是其前〃项的和，若《V0,5^=523,

则()

A.d>()B.。刈2=°C.S“3=°

6.（2024•合肥二模）已知等比数列｛为｝的公比为4，前〃项和为S“，则（）

Sz=S1+qS”

B.对任意〃eM,5"，S2n-1,SM-S2,,成等比数列

C.对任意〃eM,都存在q,使得S“，2s2”，3s成等差数列

D.若q<（）,则数列｛$2."递增的充要条件是

【精选练习】

7.12024•贵港模拟）已知等差数列伍“）的公差不为0,%>24=（），给定正整数/〃，使得对任意的〃

且〃?>2）都有4+生+…+a,r=4+/+…+a吁”成立，则用的值为（）

A.4047B.4046C.2024D.4048

8.（2024•东北三省三校联考）等差数列｛《,｝中，4>0,则下列命题正确的是（）

A.若％+%=4,则S9=18

B.若S”>（）,Sl6<0,则a；>

C.若q+/=1,/+4=9,则%+仆=25

D.若必=品），则S9>0,S10<0

9.12024•湖北模拟）无穷等比数列｛为｝的首项为4公比为q,下列条件能使｛〃”｝既有最大值，又有最小值

的有（）

A.q>0,0<^<lB.4>0,-I<q<0

C.«|<o,q=-\D.q<0,q<-\

第五讲数列的通项与求和

1.（2024•柳州三模）已知数列｛《｝满足：4+3%+-+3"-&=小3"，neN\

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）对任意meM,将数列｛q｝中落入区间（2%2.）内的项的个数记为求数列｛九｝的前八项和骞.

2.（2024•杭州模拟）已知等差数列｛七｝的前〃项和为S“，旦5=452，%“=24+l（〃cN'）.

（I）求数列｛%｝的通项公式；

八0

⑵数列｛2｝满足4=3，令4,。=4,+2也「求证：2”<彳・

*-14

3.（2024•江苏模拟）已知数列｛《｝的前〃项和为S”，q=-1.

（1）证明：数列｛2《川-4｝为等比数列；

（2）设a=—总一,求数列也」的前〃项和；

+1）

（3）是否存在正整数〃，q（p〈6<q）,使得SP，56,1成等差数列？若存在，求〃，q；若不存在，说

明理由.

4.（2024•广州二模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，％川=2%+2,且为等差数列.

（1）求（〃“｝的通项公式；

（2）在2万与2〒之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4,（4>0）的等差数列，记数歹ijL的

<J

前〃项和为7；,求证：Tn<3.

5.（2024•湖北模拟）已知数列｛4｝前〃项和为S”，4=1,a2=4,Sn+i=-1^+i+X,»设d=%+i+版小

（I）是否存在常数旌使数列出｝为等比数列，若存在，求攵值，若不存在，说明理由.

（2）求s.的表达式，并证明…+-!_<3.

S\S2Sn2

【精选练习】

6.（2024•淮北一模）已知数列｛《｝,｛"｝的前〃项和分别为S”,T.,若可=2〃-1工=2田-2,则（）

A.510=KM)B.40=1()24

c.—的前io项和为2D.5的前10项和为1023

凡。-19也J1024

7.（2024•镇江模拟）已知数列｛4｝满足q=1,则下列结论正确的有（）

2+34

A.为等比数列

B.｛4｝的通项公式为为=不'

C.伍“｝为递增数列

■,

D.J，1的前〃项和7；=2"2一3〃一4

8.（2024•邢台模拟）已知等差数列｛qj的前“项和为S”，且｛S,+/｝也是等差数歹I）.

（1）求数列｛4｝的公差；

（2）若4=一1,求数列［±二］的前〃项和

2

9.（2024・T8联考）已知数列｛七｝的前〃项和为S”，且4==

（1）探究数列｛〃“｝的单调性；

（2）证明：45„-9<0.

10.（2024•南京模拟）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=2,（〃-2）Sm+2%=电，nwN*•

3）求数列｛〃“｝的通项公式：

（2）求证：.

Gd16

11.（2024•佛山模拟）已知数列｛与｝的前〃项和为5”，〃为正整数，且3（S“-〃）=4（4-2）.

（1）求证数列他“-1｝是等比数处，并求数列｛q｝的通项公式：

（2）若点2（4-1,心）在函数y=log/的图象上，且数列｛g｝满足%=（-1）川生」，求数列｛%｝的前〃

3,她”

项和7；.

4

12.（2024•招远市三模）在数列｛凡｝中，已知2q+a”a“+1,t/j=-.

（1）求数列｛七｝的通项公式；

⑵若”=a；-4，S”为数列｛〃｝的前〃项和，证明：,S„<1.

微专题5数列的奇偶项问题与重构问题

a,+为奇数

1.（2024•佛山模拟）已知数列｛《｝满足4=1,t

>为+2,〃为偶数

（1）记写出4、区,并求数列出J的通项公式;

（2）求｛4｝的前〃项和7；.

2.（2024•泰安模拟）已知数列｛4｝满足％=1,4«用=9",rsAf.

（1）求数列｛q｝的通项公式

log1％，口为奇数

（2）若卅=〈5,求数列的｝的前2〃项和S,“.

qT〃为偶数

3.（2024•浙江模拟）如图，己知ZUBC的面积为1,点。，E,厂分别为线段A6,AC,8C的中点，记

ADEF的面积为“；点G,H,/分别为线段AD,AE,OE的中点，记AG”/的面积为生;…；以此类

推，第〃次取中点后，得到的三角形面积记为力.

（1）求q,a2,并求数列｛《,｝的通项公式；

（2）若包=log?%，求数列｛（-1）他｝的前〃项和S..

4.（2024•常德模拟）已知〃，"zcM,将数列｛4〃+1｝与数列，｝的公共项从小到大排列得到数列｛为｝,

则（）

A.an=5nB.an=5"

C.他“｝的前〃项和生尸D.｛叫的前〃项和为5（2；/）

5.（2024•石家庄一模）已知等差数列｛%｝的前〃项和记为S〃5wN*）,满足3%+2%=SS+6.

(I)若数列｛S“｝为单调递减数列，求q的取值范围;

(H)若％=1,在数列他“｝的第〃项与第“+1项之间插入首项为1,公比为2的等比数列的前〃项，形成

新数列｛a｝,记数列｛d｝的前〃项和为7；,求

6.(2024•广东模拟)已如数列为等差数列，q=T,前”项和为S”，满足：当旦〃<9时,

S,+—+•••+—=S+—+•­•+

2〃(29-72

(1)求｛4｝的通项公式;

⑵定义集合吃N•且记的元素个数为久，数列｛"｝的前〃项和为7；,求小

【精选练习】

7.12024•潍坊一模)已知数列｛〃“｝满足4=0,4=1.若数列是公比为2的等比数列,则嗫小(

)

720234.172024+1

A.-——B.-——C.2,0,2-1D.2|0,,-1

3

8.(2024•深圳一模)已知数列｛〃,｝满足，4=%=1，a^=rn+Zn"2k~l，(ke^),若S.为数列｛《｝的

'[-an,n=2k

前〃项和，则&=()

A.624B.625C.626D.650

9.（2024♦哈尔滨模拟）已知数列｛4｝的前〃项积为4=3型，数列出｝满足4=1，苑-历=1（〃之2,

nGN"）.

⑴求数列｛4｝,仇｝的通项公式；

⑵将数列｛4｝,也｝中的公共项从小到大排列构成新数列｛[｝，求数列£｝的通项公式.

10.（2024•滨州二模）已知等差数列｛6｝的前〃项和为S.，且a=7,S5=25.

（1）求｛〃“｝的通项公式；

（2）保持数列｛q｝中各项先后顺序不变,在&与％讨（&=1,2,…）之间插入个3,使它们和原数列的

项构成一个新的数列应｝,求也｝的前150项和九°.

微专题6斐波那契数列

1.（2024•荆州模拟）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而

引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用明表示斐波那契数列的第〃项,

则数列｛〃”｝满足：4=%=1，q,2=。“+1+4，记=4+生+…+4”，则下列结论正确的是（）

/=1

A.数列｛%｝是递增数列

B.2.“=6_2+。向（〃-3）

2022

c.y<=a2（V22.a2O23

r=l

2021

D.工4尸，皿3-1

i-1

【精选练习】

2.（2025•遵义模拟）数列｛2｝:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，又称黄金分割该

数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即5+2=E,+I+E,（〃WN・），则下列选项正确的是（

）

A.£（）=55

B.£+居+弓+弓+…+与=&

C.巴+E+线+用+...+F2O24=7^025

D.k+U+号+厅+…+片="

跨章节综合1数列与三角

1.（2024•广东二模）已知正项数列｛〃"｝,｛a｝,满足勺“=空力向=4/（其中c>0）.

（1）若4工*且/2c,证明：数列（q―〃｝和｛4+〃,-2c｝均为等比数列；

（2）若«,+/?,=2c,以为，bn,c为三角形三边长构造序列（其中A£=c,B11cLe

AC=2）,记△AAG外接圆的面积为s”,证明：S>-c2；