大题02 数列（6大题型）原卷版

大题02数列

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旧情分」析

J-J'4I・

数列是高考数学的热门考点之一，其中等差（比）数列的通项公式，前〃项和公式，以递堆数列为命题背景考

查等差（比）数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。

有时也会结合不等式进行综合考查,此时难度较大。

题型1等差数列与等比数列证明题型4错位相减法求数列的前n项和

即型2分组转化法法求数列的前n项和。—数歹题型5数列与不等式综合问题

题型3裂项相消法求数列的前n项和题型6数列中的探究性问题

题型一：等差数列与等比数列证明

龙莪》大题典例

（2025・云南楚雄•高三统考期末）已知数列｛4｝满足4=2,an+i=atl+2"+2n-\.

（1）求的，%；

（2）求知,并推断｛4-（〃-1月是否为等比数列.

茏皿避魂揖号

推断数列是否为等差货等比数列的策略

I、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行推断；

2、若要推断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即

可。

蔻龙》娄式训级

1.（2025•全国•高三专题练习）记数列｛4｝的前〃项积为且冬=〃],其中%>0.

an+]

（1）若%-4%+3%=。,-^=2（义工1）,求2的值；

a\

（2）求证：数列乩｝是等比数列.

2.（2025.河南•高三校联考专题练习）已知数列｛q｝的前〃项和为工，且a»+2S”=S；+l,〃=占

（1）求证：数列出｝是等差数列；

（2）求数列｛%｝的通项公式.

题型二：分组转化法求数列的前n项和

龙荒》大题典例

（2025・贵州贵阳・贵阳一中校考一模）已知数列｛〃“｝的前〃项和为S“，且％=1,

（I）求数列｛q｝的通项公式；

（2）在数列｛〃｝中，"=a”_log,S”,求数列｛〃｝的前〃项和

茏麓》避选揖导

1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，留

意在含有字母的数列中对字母的争辩.

2、常见类型：

（1）分组转化法：若期=b“±c“,且出”｝,（金｝为等差或等比数列：

为，〃为奇数，

（2）奇偶并项求和：通项公式为斯=小鹿业的数列，其中数列2〃｝,｛c〃｝是等比数列或等差数列。

[c„,〃为偶数

茏A莫型喳.

1.（2025•黑龙江•高三大庆试验中学校联考阶段练习）已知数列｛q｝的前〃项和为工，满足q=1,

2q+1,〃=2攵-1/、

=（KGN）.

"3q+2,〃=2&'）

（1）若数列也,｝满足仇=%i（〃eN）求他｝的通项公式；

（2）求数列出｝的通项公式,并求S?”.

2.（2025・湖南・长沙一中校联考模拟猜测）已知等差数列｛叫的前〃项和为S”，且&=7同=81.等比数列也｝

是正项递增数列,且&她=84+%+4=7.

（1）求数列M的通项4和数列｛〃｝的通项a；

⑵若震数，求数列£｝的前2〃项和.

。也，〃为[岗数

题型三：裂项相消法求数列的前n项和

龙麓》大题典例

（2025•内蒙古赤峰•高三校考开学考试）已知数列｛q｝的前〃项和为工，且S”=3〃2+6〃.

（1）求｛q｝的通项公式；

9

（2）设瓦=丁丁,求数列也｝的前〃项和工,.

茏塞＞鼻黄揖号.

1、用裂项法求和的裂项原则及规律

（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发觉被消去项的规律为止.

（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

【留意】利用裂项相消法求和时,既要留意检验通项公式裂项前后是否等价，又要留意求和时，正负项相

消消去了哪些项，保留了哪些项,切不行漏写未被消去的项.

2、裂项相消法中常见的裂项技巧

111,11

(1))

n(n+k)knn+k4/r-l22/2-12n+l

I2〃+11

(3)=­(4)

〃(〃+1)(〃+2)2/?(/?+!)(〃+l)(〃+2)

n+\1-11

(5)(6)/-----=YQi+k-G)

“2(〃+2)2-4n2(〃+2)2\Jn+k+\/nk

2〃(2"“-l)-(2"-l)11

(7)--

(2川一1)(2"-1)(22一1)(2"-1)2"-12w+,-l

蔻变》笺式训级

I.（2025・四川•高三校联考期末）在等差数列｛4｝中，%+%=卬=5.

（1）求｛可｝的通项公式;

（2）求数列〈•的前〃项和S..

“"+产5+2

2.（2025・安徽池州•高三统考期末）已知正项数列｛叫的前〃项和为S“，d+2%=4s“-1（〃eN-）.

（1）求数列｛q｝的前〃项和s.；

4〃+8

(2)令2=（4+1）（4田+1）2川'求"的刖9项之和.

题型四：错位相减法求数列的前n项和

龙荒》大题典例

(2025・四川雅安・高三雅安中学校联考开学考试)已知数列｛叫满足4+争T++组=小2。

(1)求｛q｝的通项公式：

*、

(2)求数列卢『的前〃项和J

2〃+2

茏皿舞黄揖导

2、留意解题“3关键”

①要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形.

②在写出“SJ与的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确写出“£一»””的表达

式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比9=1和9#两种状况求解.

3、等差乘等比数列求和，令%=(4?+").4〃，可以用错位相减法.

7^J=(A+B)q+(24+B)q~+(3A+B)q，+...+(An+B)q"①

4n+]

“=(A+B)q2+(24+B)q3+(34+B)q+...+(An+I3)q②

2

①一②得：(\-q)Tlt=(A+B)q-(An++A(q+4'+...+g").

BA

整理得：，二（如+.」彳）日-（)q・

,一]q-l(g-l)q-i(q-l)?

蔻麓》变式训练

1.（2025•浙江金华•高三统考期末）已知数列｛为｝是等差数列，4=3,d工0,且q,%,9构成等比数

列，

（1）求%;

（2）设/（〃）=%,若存在数列也｝满足乙=1,仇=7,优=25,且数列｛/（2）｝为等比数列，求卜/也｝的

前n项和Sn.

2.（2025・河北邯郸•高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列｛《,｝的前〃项和为3,且满足

%+-3S“-4=0,%=4.

（1）证明：数列｛《,｝是等比数歹U；

（2）求数列｛〃（｝的前〃项和

题型五：数列与不等式综合问题

龙薨》大题典例

（2025•广东广州•统考二模）已知数列包｝中，卬=1吗+；&+：%++-an=a^-\（n?NT

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）令包=2"%,记7；为也｝的前〃项和，证明：“23时，7；＜〃（2用一4）.

茏塞》避;去揖号

数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：

一是不等式恒成立或能成立条件求参数的取值范围：此类问题常用分别参数法，转化为争辩最值问题

来求解；

二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造帮助函数法、放缩法、数学归纳法等。

蔻卷》要其训纸

1.（2025・全国•高三专题练习）已知单调递增的等比数列也“｝满足%+%+%=28,且%+2是％和%的等

差中项.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若设数歹ij｛a｝的前〃项和为S”，且对任意〃wN*,都有"+[〃+（—1）"〃2]。用>。恒成立，

求实数机的取值范围.

2.（2025•云南保山•高三统考期末）已知｛〃“｝为等比数列，且S”为数列｛〃”｝的前〃项和，S2=4S,,S,=39.

（1）求｛为｝的通项公式；

（2）令”=■,求证：a+4+”+6”<言.

a”一16

题型六：数列中的探究问题

龙麓》大题典例

（2025・湖北武汉•武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列｛叫的前〃项和为S“，且­=3S.+2（〃£N）

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）在%与明之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3

项4“，4，dp（其中〃?，k,〃成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明

理由.

茏》处垂；去揖号

数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法:

①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以推断是否存在；②利用查找整数的因数的方法来进行

求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解.对于争辩不定方

程的解的问题，也可.以运用反证法，反证法证明命题的基木步骤：

①反设：设要证明的结论的反面成立.作反设时要留意把结论的全部反面都要写出来，不要有遗漏.②

归谬：从反设动身，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理冲突的结论.③存真：否定反设，从而

得出原命题结论成立.

蔻能》要其训纸

1.（2025•湖南长沙•高三长沙一中校考开学考试）已知数列｛%｝与数列也｝满足下列条件：①4G｛T0』｝,

〃eN"；②，尸0,③*=（T）"］凡一5'I,〃eN”,记数列｛〃｝的前〃项积为，.

ft

（1）若4=4=1,。2=0，〃3=一1，卬=1，求

（2）是否存在,由，生，。4，使得白，生，4，打成等比数列？若存在，请写出一组“I，%，%，%；

若不存在，请说明理由；

（3）若乙=1,求几0的最大值.

2.（2025・重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列｛〃”｝满足:

4匕。-5jo：+4an-5%=（）,〃wN>4=2•

（1）设试证明也｝为等比数列；

（2）设%=/［，试证明q+G++c”〈募;

（3）设4=。：+域++4，。=3+二++二，是否存在〃使得32"一2（4+纥）为整数？假如存在，则求

%a20n

出〃应满足的条件；若不存在，请给出理由.

茏流》勉模块

1.（2025・安徽六安•高三统考期末）已知数列｛〃”｝的前〃项和为S“，（―）S.=4-切（4>0）.

（1）求证：数列g,J为等比数列；

（2）当；1=2时，设…求数列｛"｝的前八项和人

2.（2025•河南焦作・高三统考期末）已知数列｛4｝中，4=2,《向=2%+3・2".

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）若我=（3二；/；2?可，求数列出｝的前〃项和心

3.（2025・山西临汾•统考一模）已知数列｛q｝的首项4=1,且满足%+产2%+〃-1,等比数列也｝的首项

4=（，且满足%=〃；.

（1）求证：数列｛〃“+〃｝是等比数列，并求数列｛q｝的通项公式；

（2）求数列｛《凡｝的前〃项和S”

4.（2025・河北•高三高碑店一中校联考期末）在数列乩｝中，4=1,且％+2%+22%+…+2""“=2"+&…

（1）求｛为｝的通项公式：

1叫（4”&），〃为奇数

（2）若“=（“3"d/田2，数列的前〃项和为工，求力1

，〃为偶数

5.（2025.浙江•校联考一模）己知数列｛&｝满足墨++箓=3-2力（〃eN'），记数列&｝的前〃项

和为5”.

（1）求S”；

（2）已知或eN“且占=1也=2,若数列｛%｝是等比数列，记代｝的前〃项和为。，求使得S”之7；成立的〃

的取值范围.

6.（2025•浙江宁波•高三统考期末）已知等差数列｛4｝的前〃项和为%且S4=4S2M2”=2a,+l（〃wN）.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设2=产见，数列也｝的前〃项和为工一问：是否存在机GN'使得却乙+2成等比数列，若存

在，求出加的值：若不存在，请说明理由.

茏3》则真题

1.（2025•全国•统考高考真题）记S。为等差数列｛qr｝的前〃项和，已知生=口，品）=40.

（1）求｛4｝的通项公式：

（2）求数列｛同|｝的前〃项和心

2.（2025・全国•统考高考真题）设S”为数列｛4｝的前〃项和，已知生=l,2S“二〃a”.

（1）求｛4｝的通项公式：

（2）求数列学的前〃项和7；.

3.（2025・全国•统考高考真题）记S.为数列｛4｝的前〃项和.已知：:+〃=24+1.

（1）证明；｛q｝是等差数列；

（2）若%，%，为成等比数列，求3的最小值.

4.（2025•天津•统考高考真题）已知｛可｝是等差数列，%+%=16,%-%=4.

2n-1

（1）求｛叫的通项公式和»（〃wN.）.

，=2i

（2）设也｝是等比数列，且对任意的AeN,当时，则匕―“

（I）当Z22时，求证：

（II）求仇｝的通项公式及前〃项和.

2

5.（2025•全国•统考高考真题）设等差数列上｝的公差为"，且d>l.令2=生产，记，工分别为数列

｛4｝，他｝的前〃项和.