经济数学基础教程

第一章函数第一节函数的概念及其表示法第二节复合函数、初等函数和分段函数第三节经济与商务中的几个常用函数第四节建立函数关系

在某个变化过程中，往往出现许多相互依赖的变量．为了研究方便，我们先从两个变量开始研究．若两个变量中的一个变量依赖于另一个变量变化，并且遵照某一规则，则称这两个变量间存在着函数关系．

定义1.1

设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个

，变量y按照某个对应法则

f总有一个唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作

．

这里，x称为自变量，y称为因变量或x的函数，数集D称为函数的定义域．当x取值

x0时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作

或

．当x取遍D的各个数值时，对应函数值的集合Z={y︱y=f(x)，x∈D}

称为函数的值域．注意

对不同的函数f，有不同的D和Z．为了避免混淆，将其记为Df，Zf．函数中，对应法则的记号f也可用其他字母表示，如g，h，S，D等；表示自变量的字母也可以用

p，t，Q等；表示因变量的字母也可以用

Q，S，R等．

在中学课本里，我们已经学过函数有3种表示法：解析法、列表法、图像法．在实际应用中，这3种表示法可以结合起来使用．此外，我们还学过函数的单调性、奇偶性和周期性（这里不再赘述）．除了这3个性质外，函数还有有界性，其定义为：设函数f=f（x）在区间I上有定义，对于任意x∈I

，若存在一正数M，使得

成立，则称函数f=f（x）在区间I上是有界的．第二节复合函数、初等函数与分段函数一、基本初等函数二、复合函数三、初等函数四、分段函数五、隐函数1

，如图1-1所示。常数函数图1-12幂函数

，如图1-2所示。图1-2

，如图1-3所示。3指数函数图1-34对数函数

，如图1-4所示。图1-4

正弦函数y=sinx

，如图1-5所示。5三角函数图1-5反弦函数y=cosx

，如图1-6所示。图1-6

正切函数y=tanx

，如图1-7所示。余切函数y=cotx

，如图1-8所示。图1-7图1-86

反正弦函数y=arcsinx

，如图1-9所示。反余弦函数y=arccosx

，如图1-10所示。图1-9图1-10反三角函数6

反正切函数y=arctanx

，如图1-11所示。反余切函数y=arccotx

，如图1-12所示。图1-11图1-12

以上函数统称为基本初等函数．但这些函数还远不够，实际应用中，可以通过对基本初等函数进行四则运算再加上复合方式得到更多的函数．

设y是u的函数y=f(u)，u又是x的函数u=φ(x)，如果

φ

(x)的值域与y=f(u)的定义域的交集非空，则y通过中间变量u成为x的函数，称

y为由y=f(u)及u=φ

(x)复合而成的关于x的复合函数，记作y=f[φ

(x)]，其中x为自变量，u为中间变量。定义1.2指出下列复合函数的复合过程．（1）

；（2）例1

（1）；

（2）y=3u，u=sinv，v=x2.解

基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算和有限次复合运算得到的能用一个公式表达的一切函数统称为初等函数．

例如，

等都是初等函数．

在初等函数的定义中，明确指出了是用一个公式表示，如果一个函数必须用几个公式表示，它就不是初等函数．例如，

就不是初等函数，而是非初等函数．定4定义1.3

当定义域内自变量

x取不同的值时，函数

f(x）要用两个或两个以上的解析式表示，这类函数称为分段函数．

例如，

就是定义在

上的分段函数，如图1-13所示．图1-13定义1.3

个体工商户的生产、经营所得和在事业单位承包经营、承租经营的个人所得税税率表如表1-1所示．求应纳税所得额为x的所得税额．例2级数全年应纳税所得额税率/%1不超过15000元52超过15000元至30000元103超过30000元至60000元204超过60000元至100000元305超过100000元35表1-1解

设所得税额为f(x），则

以上函数为分段函数，可用于计算个体工商户个体经营或承包经营的个人所得税．如某个体工商户的全年应纳税所得额为23000元，则其应缴的个人所得税为

通常，函数y=f(x）的表示形式是一个解析表达式，如等，用这种方法表示的函数称为显函数．有时变量

x，y之间的函数关系是由某个二元方程F（x，y）=0

给出的，即x，y

的函数关系隐藏在方程里，我们称这样的函数为隐函数．例如，解析几何中给出的椭圆方程

就是隐函数．第三节经济与商务中的几个常用函数一、需求函数二、供给函数三、成本函数四、收益函数与利润函数

需求是指消费者在一定的价格水平上对某种商品有支付能力的需要．因此，需求是以消费者货币购买力为前提的，它是对应商品的某一价格水平而言的．人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如价格、收入、替代品、偏好等．

需求主要是价格的函数，记为Q=D(P)，其中Q表示需求量，P表示价格，D

表示需求函数对应法则．根据实际意义，需求函数

Q=D(P)总是单调减少的，它一般存在反函数，其反函数P=D-1(Q)

也称为需求函数．例3

某地区每月对某型号电视机的需求量

Q（台）与价格

P（千元）的函数关系为

市场上小麦的需求量（每月）如表1-2所示．表1-2价格/（千元/t）12345678需求量/t30252015121098

画出需求函数的曲线如图1-14所示．

图1-14说明，小麦的需求量是价格的减函数，即当P

增加时，Q下降．这一性质在经济学上称为需求下倾斜规律，这一规律适合许多商品．解图1-14例4例4

供给函数反映生产者或销售者在一定价格水平上提供给市场的商品量．

供给量受诸多因素的影响，一般而言，它主要是价格的函数，记为Q=S(P).根据实际意义，供给函数Q=S(P)总是单调增加的，它一般存在反函数，其反函数

P=S-1(Q)也称为供给函数．例5

生产者愿意提供的小麦数量（每月）如表1-3所示．画出曲线如图1-15所示．表1-3价格/（千元/t）12345678供给量/t02457101625解

这条供给曲线向上倾斜，说明当小麦的价格较高时，农民愿意并有能力增加小麦的产量．这一性质在经济学上称为供给上倾斜规律．

现在把例4与例5所给需求曲线与供给曲线结合起来分析，如图1-16所示．例1图1-15图1-16

需求曲线

Q=D(P)与供给曲线

Q=S(P)相交处的价格

P0=6千元．在这个价格上，消费者愿意购买的小麦量为10t，生产者愿意提供的小麦量也为10t，两者处于平衡状态．这时

P0=6千元称为它们的均衡价格．

一般地，需求曲线Q=D(P)

与供给曲线Q=S(P)

相交处的价格

P0称为均衡价格．例1图1-17

如图1-17所示，当价格

P＜P0（如在P1

处）时，商品供不应求，商品的价格有提高的趋势；当价格

P＞P0（如在P2

处）时，商品供过于求，商品的价格有下降的趋势；当价格在

P0处时，供给量等于需求量，价格平衡．

固定成本是指在一定时期和一定业务量范围内，不受产量增减变动影响的成本，如厂房、机器、管理等费用，记为F．

变动成本是指在一定范围内随产量变化而变化的成本，如原材料、燃料等费用，记为V(Q)

．+

一定时期的总成本函数为

．

单位成本函数（也称为平均成本函数）为.定义1收益函数1

销售收益是指生产者出售一定量的产品所得的全部收入，记为

R．假设在销售过程中价格不变，则销售收益等于产品单价

P与销售量Q的乘积，即R=PQ．

若把价格看成是销售量的函数，即

P=D-1(Q)（需求函数），则有P=D-1(Q)·Q.即销售收益是销售量的函数，我们把

R=R(Q)称为收益函数．

单位收益函数为利润函数2

显然，在成本函数中，当产量Q等于销售量时，总利润函数L(Q)为

为了解决实际问题，通常要先对所研究的问题建立函数关系式，即建立该实际问题的数学模型．为此需要明确问题中的因变量和自变量，根据题意建立等式，从而得出函数关系，然后确定函数定义域．在实际问题中，还需要考虑变量的实际含义．

在建立模型时，要针对具体对象的特征应用相应类型的函数．例如，所研究对象具有某种对称性时，可以用偶函数或奇函数来模拟；所研究对象具有周期性时，可用周期函数来模拟；所研究对象依某个变量单调增加或减少时，可用单调函数来模拟．例6

某工厂生产某产品，每日最多生产500件．它的日固定成本为2000元，生产一件产品的可变成本为5元．求该厂的日成本函数及平均单位成本函数．解

设日总成本为C元，平均单位成本为

元/件，日产量为x

件．由于日总成本为固定成本与可变成本之和，依意可知：

日总成本函数为

平均单位成本函数为例7

已知某产品的需求函数为

，总成本函数为

，其中Q为产品数量，求总利润的函数表达式．

因为总利润L(Q)等于总收益R(Q)与总成本

C(Q)之差，而总收益为

R(Q)=QP(Q)，且

，故总利润为解

函数是研究一个量依赖另一个量的变化而变化的过程．由定义可知，函数有三要素：自变量、因变量、对应法则．这三要素中，自变量的定义域和对应法则是基本的．要判断两个函数是否相同，只要看其对应法则和定义域是否相同即可．

构成复合函数

y=f[φ(x)]时，要求外函数

y=f(u)的定义域与内函数u=φ(x)的值域的交集非空．复合函数的意义在于将比较复杂的函数分解为较简单函数的复合来研究．初等函数为由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的能用一个公式表达的函数．在实际中也常见某些非初等函数，如分段函数和隐函数等．熟悉需求函数、供给函数、成本函数、收益函数、利润函数等经济学和商务活动中常用函数的实际意义及相互关系．第二章极限与连续第一节函数的极限第二节函数的连续性第一节函数的极限一、函数极限的直观描述二、极限性质和运算法则三、两个重要极限

在中学我们已学过数列极限．对于数列{un}，若随着n无限增大，通项

un无限趋近于某个确定的常数a，则称常数

a为数列{un}的极限，或称数列{un}收敛于a

，记为

或

．

如果一个数列有极限，则称这个数列是收敛的；否则称这个数列是发散的．

可将上述数列极限推广到一般函数的极限．（一）当x→∞时，函数

的极限

观察分析函数

，当

无限增大时，

无限接近于常数1，如图2-1所示．图2-1

定义2.1

由定义2-1可知，1为

当x→∞时的极限，即

．

显然，︱x︱无限增大包括了两种情况：一是x＞0

且︱x︱无限增大，记为x→∞；二是x＜0且︱x︱无限增大，记为x→-

∞．

如果随着自变量︱x︱的无限增大，函数

f(x)无限趋近于某个确定的常数

A，则称常数A

为函数

f(x)当x→∞时的极限，记为

或

.

定义2.2

由定义2-2可知，

．

由定义2-1，2容易得出以下结论：

．

如果x→∞或x→-

∞时，函数

f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数

f(x)当x→∞（或x→-

∞）时的极限，记为或.（二）当x→x0时，函数

的极限

考察函数

，该函数在x=1时无定义，而对x的其他实数值，函数

f(x)均等于x+1，如图2-2所示．图2-2

如果

x从

x0的左侧（x＜

x0）趋近于

x0（记为x→x0–或x0-0）时，f(x)以

A为极限，则称

A为函数f(x)当x→x0

时的左极限，记为或.

如果

x从

x0的右侧（x＞

x0）趋近于

x0（记为x→x0+或x0+0）时，f(x)以

A为极限，则称

A为函数f(x)当x→x0

时的右极限，记为或.

最后得出结论：函数f(x)在

x→x0极限存在的充分必要条件是函数在x→x0

的左、右极限都存在且相等．

定义2.3

设函数f(x)在x趋近于x0(x≠x0)时，函数f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A

，则A称

为函数

f(x)当

x→x0时的极限，记为或.（三）无穷小量

定义2.4

在自变量x的某一变化过程中，若函数

f(x)的极限为0，即limf(x)=0，则称f(x)为在该变化过程中的无穷小量，简称无穷小．注意

（1）说一个函数

f(x)是无穷小，必须指明其自变量x的变化趋势．例如，函数

x-1，当

x→1时为无穷小；而当x

→2时，

就不是无穷小．

（2）在实数中，由于0的极限为0，所以常数0是无穷小，除此之外，即使绝对值很小的常数也不能认为是无穷小.

还可以由定义得到无穷小的如下性质．性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小性质3常数与无穷小的乘积仍是无穷小．性质4有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．（四）无穷大量

定义2.5

在自变量x的某一变化过程中，若函数值的绝对值︱f(x)︱无限增大，则称

f(x)为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记为limf(x)=∞．注意

（1）与无穷小类似，说一个函数

f(x)是无穷大，必须指明自变量x的变化趋势．

（2）无穷大是指绝对值无限增大的变量，不能将其与很大的常数相混淆．（五）无穷小的比较

定义2.5

设α(α≠0)，β

是在自变量同一变化过程中的无穷小，则

（1）如果

，则称β是比α较高阶的无穷小，记作β=o(α)；

（2）如果

，则称β是比α较低阶的无穷小；

（3）如果

（c是不等于零也不等于1的常数），则称β与α是同阶无穷小．

（4）如果

，则称β与α是等价无穷小，记作β～α

．（一）极限的性质定理2-1（唯一性）如果函数

f(x)在某一变化过程中有极限，则其极限唯一．定理2-2（有界性）若函数

f(x)在

x→x0时极限存在，则必存在x0

的某一邻域，使得

f(x)在该邻域内有界．定理2-3（保号性）若在

x0的左右近旁，恒有f(x)≥0（或f(x)≤0）且

，则A≥0（或A≤0）．定理2-4（夹逼准则）如果对于x0

某邻域内的一切

x（

x0可除外），有h(x)≤f(x)≤g(x)，且

，则

．

（二）极限的运算法则定理2-5若

，

，则（1）（2）（3）求

．例1解解例2求

．

求分母极限．因为

，所以可使用商的极限法则，得到．求

．例3解

先考虑原来函数倒数的极限：由无穷小与无穷大的关系可得：即当x→2时的极限为无穷小.求

．例4解

本题当x→2时分母的极限为零，显然不能使用商的极限运算法则．但分子极限也为零，且分子可以分解因式为(x-2)(x-1)，这时可消去使得分子、分母的极限都为零的因子(x-2)，再求极限，即求

．例5解

当

x→∞时，分子和分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则．此时可将分子、分母同时除以x的最高次幂x2

得求

．例6解

同例5，本题不能利用商的极限运算法则．此时可将分子、分母同时除以x3

，得

一般地，对于有理函数（即两个多项式函数的商）的极限，有如下结论：（一）运用此极限时，常形象地写成（□代表同一变量）．求

．例7解求

．例8解求

．例9解（二）其还有另外一种形式求

．例10解求

．例11解求

．例12解第二节函数的连续性一、连续函数的概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质定4

本节我们将讨论最常见的一类函数，即连续函数．连续函数从几何上看就是一条不间断的曲线．如图2-3所示，函数在点

x0处是连续的；如图2-4所示，函数在点

x0处是断掉的．图2-3图2-4定4定义2.7

如果

，则称函数f(x)在x0

处连续．

该定义隐含了三个事实：

（1）函数

f(x)在

x0处有定义，即

f(x0)有定义（

x0在f(x)的定义域内）；

（2）当

x→x0时，函数

f(x)的极限存在，即

存在，此处有

；

（3）这个极限值等于函数在

x0处的函数值，即

，此时有

如果上述条件有一个不满足，函数

f(x)在x0

不连续，即间断.定4定义2.8若

，则称函数y=f(x)在点

x0处左连续；若

，则称函数

y=f(x)在点

x0处右连续．推论定理2-6函数

f(x)在点

x0处连续的充分必要条件是

定4考查函数

在点

x=0处的连续性．

．例13解

从函数容易看出，,

这表明，函数

f(x)在

x0处既左连续又右连续，因此，函数f(x)在

x0处连续．定义2.9

如果函数

f(x)在区间(a，b)上的每一点都连续，则称

f(x)在区间(a，b)上连续．如果此时还有

，则称

f(x)在[a，b]上连续．定理2-7连续函数经四则运算仍是连续函数（作为商的函数除数不为零）．定理2-8连续函数构成的复合函数仍是连续函数．定理2-9基本初等函数在其定义区间内是连续的．定理2-10一切初等函数在其定义区间内都是连续的．求．例14解求．例15解所以有．定理2-11闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．定理2-12如果函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)≠f(b)，C为介于f(a)与

f(b)之间的任意数，则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得

f(ξ)=C，如图2-5所示．定理2-13如果函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，如图2-6所示．图2-5图2-6

函数在

x→x0极限存在的充分必要条件是函数

x→x0的左、右极限都存在且相等．掌握求极限的几种方法．

函数概念和极限概念相结合得出的函数连续性概念是本章的另外一个重要内容．函数的连续性主要应掌握函数在点

x0处连续的两个等价定义、函数在点

x0处连续与函数在点

x0处有极限的关系、判别间断点的条件及类型、初等函数的连续性．

由连续函数的四则运算以及反函数、复合函数的连续性，首先可得到，基本初等函数在其定义域内是连续的，进而又得到，一切初等函数在其定义域内都是连续的．闭区间上连续函数的性质也是必须掌握的内容之一．第三章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的求导法则和基本求导公式第三节隐函数的导数第四节高阶导数第五节函数的微分第一节导数的概念一、引例二、导数的概念三、导数的几何意义四、求导举例五、可导与连续的关系（一）变速直线运动的瞬时速度

设一物体做变速直线运动，则以它的运动直线为数轴，在物体运动的过程中，对于每一时刻t，物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标s来表示，即s与t之间存在函数关系：s=(t)，这个函数习惯上称为位置函数.

从整体来看，变速运动的速度是变化的；但从局部来看，在一段很短的时间△t

内，运动速度变化不大，可以近似地看作是匀速的，因此，当∣△t

∣很小时，

可作为物体在

t0时刻瞬时速度．即（二）平面曲线的切线斜率

在中学时切线定义为“与曲线只交于一点的直线”，这种定义只适用于少数几种曲线，如圆、双曲线等，中学里的定义已不适用于高等数学中研究的曲线了．下面我们给出一般曲线的切线的定义．

定义3.1

在曲线L上点

P0附近，再取一点P，作割线P0

P，当点P沿曲线L移动而趋向于P0

时，割线P0

P

的极限位置P0

T

就定义为曲线L在点

P0处的切线．切线的斜率为图3-1

由此可见，曲线

y=f(x)在点P0

处的纵坐标y的增量△y与横坐标x的增量△x

之比当

时的极限即为曲线在该点处的切线的斜率．

定义3.2

设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0

处有增量

△x时，函数y=f(x)取得相应的增量△y=f(x0+△x)－f(x0

)．如果当△x→0时，

的极限存在，即

则称此极限值为函数f(x)在点

x0处的导数，并称函数

f(x)在点

处x0可导，记作或或

如果函数f(x)在(a，b)内可导，那么对应于(a，b)中的每一个确定的x值，都有一个确定的导数值f′(x)，这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数y=f(x)的导函数，记作或或或求函数y=x2在任意点x处的导数．例1

在x处给自变量一个增量△x

，则相应的函数增量为解得得得

由前面的讨论可知，函数y=f(x)在点

x0处的导数等于函数所表示的曲线L在相应点(x0，y0)处的切线斜率，这就是导数的几何意义．有了曲线L在点(x0，y0)处的切线斜率，就很容易写出曲线L在该点处的切线方程．求抛物线y=x2在点(2，4)处的切线方程和法线方程．例2

因为y′=(x2)′=2x

，由导数的几何意义可知，曲线y=x2

在点(2，4)处的切线斜率为

，所以切线方程为解y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0法线方程为，即x+4y-18=0定4求函数

y=C(C为常数)的导数．例3

（1）求增量．因为y=C

，即不论x取什么值，

y的值总等于

C，所以△y=0．

（2）算比值．

．

（3）取极限．

．解

求函数y=f(x)的导数y′可以分为以下3个步骤：（1）求增量

．

（2）算比值

．

（3）取极限

．定4求函数y=sinx

的导数．例4

（1）求增量．因，所以

（2）算比值．

（3）取极限．

解即(sinx)′=cosx

定4求对数函数y=lnx

的导数．例5

（1）求增量．

（2）算比值．

（3）取极限．

解即

如果函数y=f(x)在点x处可导，即

存在，则

这说明函数y=f(x)在点x

处连续．所以，如果函数在某点处可导，那么函数在该点处必连续．反之，函数在某点处连续，在该点处不一定可导．简言之，可导必连续，连续不一定可导．试证函数

在

x=0处连续，但在该点不可导．例7

因为

，所以即

f(x)在

x=0处连续．f(x)在

x=0处的左右导数分别为

左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是可导的必要条件而不是充分条件．解第二节函数的求导法则和基本求导公式一、函数求导的四则运算法则二、复合函数的求导法则三、基本初等函数的求导公式定理3-1

设函数u=u(x)与v=v(x)在点x处可导，则函数u±v，u·v，

也在点

处可导，且有以下法则：（1）

；（2）

；（3）

．设

，求y′．例8解求函数

的导数．例9解即求y=tanx的导数．例10解即求y=secx

的导数．解即例11定理3-2

如果函数

u=

φ(x)在点x

处可导，函数

y=f(u)在对应点

u处可导，那么复合函数

y=f[φ(x)]在点

x处可导，且有或

设

，则复合函数

对

的导数是

以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更多层的复合函数．求y=sin8x的导数．例12解

函数

y=sin8x可以看作是由函数

y=u8与u=sinx复合而成的，由复合函数的求导法则可得

函数

可以看作是由函数

与

复合而成的，由复合函数的求导法则可得求函数

的导数．解例13

按求导的步骤求出的下列基本初等函数的导数，可作为公式直接使用．1112135791124681315141610第三节隐函数的导数一、一般方法二、对数对导法

对隐函数求导的一般方法是：将方程F(x，y)=0的两边分别对

x求导数，同时将y看作是x的函数

，若遇到y，利用复合函数的求导法则，先对y求导，再乘以y对x的导数y′，得到一个含有y′的方程，然后从方程y′里面解出

．求由方程

所确定的隐函数的导数．例1解

把方程

的两端对x求导得由上式解出

，便得隐函数y′的导数为定义1

对根据隐函数求导的一般方法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法．它适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导．

这个方法是先通过取对数，化乘除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导的一般方法求导，因此称为对数求导法．求由方程

所确定的隐函数y=y(x)的导数

．例2解

方程两边同时对x求导得因此隐函数的导数为定义1求

的导数．例3解

等式两边取对数，得lny=sinxlinx

，两边求导，得所以求

的导数．例4解

两边取对数得第四节高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的求法

如果函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是

x的可导函数，那么就称y′=f′(x)的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记作y″或f″(x)或

，即

或

函数

f(x)的

n-1阶导数的导数称为

n阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．分别记做或或求函数y=xex的二阶导数．例1解

，求函数y=x3lnx的二阶导数.例2解第五节函数的微分一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的四则运算法则四、微分在经济与商务中的应用（一）引例

先看一个具体例子．给定函数y=x2

，当x取得改变量△x

时，相应因变量的改变量为

可把2x△x称为函数y=x2

的微分，记作（二）概念定理3-2

设函数在x处可导，对于自变量在x处的改变量

△x

，函数y=f(x)相应的改变量

可表示为其中，

f(x)△x为主要部分，o(△x)为次要部分．

定义3.1

设函数在

x处可导，称

的主要部分

f(x)△x为函数y=f(x)

在点

x处的微分，记作dy

或d

f(x)，即

下面所述函数

y=f(x)的微分，都是指

y=f(x)的导数乘以dx

．

类似地，函数y=f(x)在点x0

处的微分为：

．求函数

y=2x2

－3x+2的微分．例1解已知函数y=lnx

．（1）求其微分

（2）求当

由1改变到1.01时的微分．例2解（1）（2）由所给条件知x0=1，dx=△x=1.01-1=0.01，所以

设函数

y=f(x)的图形如图3-3所示.

用dy近似代替△y就是用点M(x0，y0)处切线纵坐标的改变量

QP来近似代替曲线

y=f(x)纵坐标的改变量

QN．图3-3（一）微分基本公式12135791124681315141610（二）微分的四则运算法则1324（三）复合函数的微分法则

无论u是自变量还是中间变量，函数

y=f(u)的微分形式dy=f′(u)du

保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．有时，利用微分形式的不变性求复合函数的微分比较方便．设y=esinx，求dy.例4解用公式dy=f′(x)dx，得

用微分形式的不变性得求方程x2+2xy-y2=a2

所确定的隐函数

y=f(x)的微分dy及导数

．例2解

对方程两边求微分，得

若y=f(x)在x0

处可导，依据定理3-3和定义3-3可知，当|△x|很小时，有于是可得因此，当|△x|很小时，上述两个公式在近似计算中被广泛应用．在商务应用中，许多计算也仅要求近似成立，因此也会经常用到这两个公式．某商店每周销售商品x

件，所获得利润y依下式计算.当每周销售量由10件增加到11件时，试利用微分计算利润增加的近似值．例6解

依题意

有

，所以于是所以

当该商店每周销售量由10件增至11件时，其增加的利润约为8元．

导数是一种特殊形式的极限，即函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限；微分是导数与函数自变量改变量的乘积，或者说是函数增量的近似值．

连续

可导

可微．

本章最主要的计算是能够运用导数基本公式和运算法则（特别是复合函数求导法则）求简单函数和复合函数的导数．复合函数求导法则（即链式法则）是整个导数计算的关键．隐函数的求导方法包括一般方法和对数求导法，求高阶导数和微分的方法与求导数的方法类似.第四章导数的应用第一节拉格朗日中值定理及函数的单调性第二节函数的极值与最值第三节导数在经济工作中的应用举例第一节拉格朗日中值定理及函数的单调性一、拉格朗日中值定理二、函数的单调性

拉格朗日中值定理的几何意义是非常明显的，如图4-1所示，满足条件的函数y=f(x)在闭区间[a，b]上是一条连续曲线；在弧AB除端点处的每一点都有不垂直于x轴的切线，则弧上除端点处至少存在一点P，在这点处的切线平行于弦AB．定理4-1

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得图4-1验证拉格朗日定理对函数

y=lnx在区间

上[1，e]的正确性．例1解

函数

y=lnx在区间[1，e]上连续，在开区间(1，e)上可导，且

．又

，令

，即解得

ξ=e-1．显然，ξ=e-1在区间(1，e)内，这就验证了拉格朗日定理的正确性．

由拉格朗日定理，可得到下面两个推论．推论1若

f′(x)在(a，b)内恒等于零，则

f(x)在(a，b)内必为某常数．推论2若在(a，b)内恒有f′(x)=g′(x)，则有f(x)=g(x)+C（其中C为常数）．

如图4-2所示，函数单调递增（或递减）时，它的图形是一条沿着x轴正向上升（或下降）的曲线，此时，曲线在各点的切线与x轴正向的夹角α

是锐角（或钝角），所以切线的斜率

（或

）

．由此可见，函数的单调性是和函数一阶导数的符号紧密联系在一起的．图4-2定理4-2设函数

f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则（1）若在(a，b)内f′(x)＞0，则函数在[a，b]上单调增加；（2）若在(a，b)内f′(x)＜0，则函数

在[a，b]上单调减少．注意

上述定理中

为[a，b]闭区间，如果换为开区间、半开区间或换为无穷区间仍然有相仿的结论．

有些函数在它的定义区间上不是单调的，对于在定义区间有连续导数的函数，当用导数等于零的点（称为驻点）来划分它的定义区间以后，就可以使函数在每个部分区间内都单调．如果函数在某些点处不可导，则划分区间的分点还包括这些导数不存在的点．

因此，求函数

f(x)单调区间的一般步骤是：

（1）先求出

f(x)的定义域区间；

（2）求出f′(x)；

（3）求使f′(x)=0的点和

f′(x)不存在的点；

（4）用（3）中求出的点，把定义域区间分成若干个小区间，在每个区间内讨论f′(x)的正负，从而得到

f(x)的单调性，可列表讨论；

（5）明确写出f(x)的单调区间．求确定函数

的单调区间．

．例2解

函数的定义域为(-∞，+∞)，求导得

最后可得出，

在区间(-∞，-1)和(3，+∞)内单调增加，在区间(-1，3)内单调减少．

令

f′(x)=0，解得

x1=-1，x2=3．

x1和

x2把(-∞，+∞)分成三个子区间：(-∞，-1)，(-1，3)，(3，+∞)．由于导数

在这三个区间内的符号不再改变，我们只要分析

在每个区间的符号即可．第二节函数的极值与最值一、函数的极值二、函数的最值定义4.1

设函数

y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内的任意点x(x≠x0）

，恒有

（1）f(x)＜f(x0)，则f(x0)称

是函数f(x)的极大值，

x0称为函数

f(x)的极大值点；

（2）

f(x)＞f(x0)，则f(x0)称

为函数f(x)的极小值，

x0称为函数

f(x)的极小值点．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．注意

（1）极值是一个局部性概念，它只是与极值点邻近点的函数值相比较而言，并不意味着它在整个定义区间内最大或最小．

（2）一个定义在区间

上[a，b]的函数，它在[a，b]内可以不只有一个极大值和极小值，且其中的极大值并不一定都大于每一个极小值．如图4-3所示，函数在x1

取得的极大值

f(x1)比在x4，x6取得的极小值

f(x4)

，f(x6)都要小．显然，函数取得极值的点，其切线平行于x轴．

（3）端点不作为极值点，需另外讨论．图4-3定理4-3极值存在的必要条件：如果函数f(x)在点x0

处有极值f(x0)，且

f′(x0)存在，则f′(x0)=0．

定理4-3说明可导的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点．

因此，我们发现，函数

的驻点和导数不存在的点，都可能是它的极值点．这样，寻求极值点的范围就大大缩小了，只需对驻点和导数不存在的点逐个地进行判断即可．定理4-4判定极值的第一充分条件：设函数f(x)

在点x0

的某邻域内连续，且在此邻域内（

x0可除外）可导．

（1）如果当

x＜x0时，f′(x)＞0

，而当x＞x0

时，f′(x)＜0

，则f(x)

在x0

取得极大值，如图4-4（a）所示．

（2）如果当x＜x0

时，f′(x)＜0

，而当x＞x0

时，f′(x)＞

0

，则

f(x)在

x0取得极小值，如图4-4（b）所示．

（3）如果在x0

的两侧

f′(x)的符号不变，则

x0不是

f(x)的极值点，如图4-4（c）和（d）所示．图4-4（a）（b）（c）（d）

根据上面两个定理，可以按下列步骤求

的极值点和极值：

（1）求函数的定义域（有时是给定的区间）；

（2）求出

f′(x)，在定义域或给定区间内求出使

f′(x)=0的点及

不存在的点；

（3）用（2）中的点将定义域（或给定区间）分为若干个子区间，讨论在每个区间内

f′(x)的符号（此时，为表达清楚，最好列出相应表格）；

（4）利用定理3判断（2）中的点是否为极值点，如果是极值点，进一步判定是极大值点还是极小值点；

（5）求出各极值点处的函数值，得出函数的全部极值．求函数

的极值点和极值．

例1解

函数的定义域为

，导数为

．令f′(x)=0，得驻点

．

讨论在每个区间内

的符号，结果下表所示．

因此，函数在

处有极大值

；在x=1处有极小值f(1)=0．

定理4-5判定极值的第二充分条件：设函数f(x)

在点x0

处具有二阶导数，且

f′(x0)=0

，f″(x0)≠0

．

（1）若f″(x0)＞0

，则x0是函数f(x)

的极小值点；

（2）若

f″(x0)＜0

，则x0是函数f(x)

的极大值点．注意

当f″(x0)=0时，定理4-5失效．此时，函数

f(x)在点x0

可能有极大值，也可能有极小值，还可能没有极值，尚待用其他方法进一步判断，如可使用第一判别法进行判断．

求函数

的极值．

例2解

函数的定义域为(-∞，+∞)，导数为令f(x)=0，得驻点x1=-1，x2=0，x3=1；函数的二阶导数为

f″(x0)=12x2-4，因为f″(-1)=8＞0，f″(-1)=-4，f″(1)=8＞0，所以由定理4-5知函数在

x1=-1，x3=1处取得极小值

f(-1)=f(1)=0，在

x2=0处取得极大值f(0)=1．定4

除函数的极值外，我们在工作中常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题也就是函数的最大值或最小值问题．

前面已经学过，闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．显然，函数在闭区间上的最大值和最小值只能在区间

内的极值点和区间的端点处达到．因此可直接求出一切可能的极值点（包括驻点和尖点）和端点处的函数值，比较这些函数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值．定4

求函数

在区间[-3,2]上最大值和最小值．例4解

函数的定义域为(-∞，+∞)，导数为

令f(x)=0，得驻点x1=-2，x2=1.5；它们为函数f(x)可能的极值点，算出这些点及区间端点的函数值：

比较可知，函数

f(x)在区间

上的最大值为

f(-2)=57，最小值为

．

在实际应用中，往往会遇到求连续函数f(x)在开区间(a，b)内的最大值或最小值问题．设连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有唯一驻点

x0，若

x0为函数

f(x)的极大值点，则f(x0)就为函数f(x)在开区间(a，b)内的最大值；若

x0为函数

的f(x)极小值点，则

f(x0)就为函数f(x)在开区间(a，b)内的最小值．

如果在实际问题中，连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有唯一驻点x0

，由实际意义，又知函数

f(x)有最大（或最小）值，那么f(x0)就是函数

f(x)在开区间(a，b)内的最大（或最小）值．

生产某种产品x个单位的费用是

（元），得到的收入为

（元），问生产多少个单位时，才能使利润

L=R-C为最大？例6解

由题意得

，函数的定义域为[0，+∞)，于是

令L′(x)=0，解得x=250.

又因

L″(x)=-0.02＜0，所以当x=250时，函数

L(x)取得最大值，即生产250个单位时，才能使利润最大．某工厂生产某种产品的总成本函数为

，其中Q为产品的产量（单位：件），求生产多少件时，平均成本最小．例7解

由总成本函数可得平均成本函数要求平均成本最小，即是求函数

的最小值．

的定义域为[0，+∞]，其导数为令

，得到函数

的唯一驻点Q=3000．因此，

Q=3000是使函数

取得最小值的点，其最小值为138000元．第三节导数在经济工作中的应用举例一、边际二、弹性（一）边际成本

经济学中，边际成本是指总成本C(x)对产量x的变化率C′(x)．其经济意义是当产量达到某一点时每增加一个单位产品所需增加的成本．边际成本一般记作MC，即

MC=C′(x)．（二）边际收入

经济学中，边际收入是指总收入R(x)对销售量x的变化率

R′(x)．其经济意义是当销售量达到某一点时每多销售一个单位产品所增加的收入．边际收入一般记作MR，即MR=R′(x)．（三）边际利润

经济学中，边际利润是指总利润

对销售量x的变化率