经济应用数学新版

第一章统计推断第一章统计推断

第一节概率论一、随机试验与随机事件

在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。而向上抛一枚硬币,落下来时可能正面(带花的一面)向上,也可能反面向上;从装有黑、白、蓝乒乓球的盒子里任取一个,结果可能是黑球,可能是白球,也可能是蓝球。这种在一定的条件下,具有多种可能结果,哪一种结果会发生,事先不能确定的现象,称为随机现象。在概率论中,满足下列条件的试验称为随机试验,通常简称试验。(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果不止一个,且是已知的;(3)每次试验之前不能准确地预言出现哪一结果。在一定条件下,对随机现象进行试验的每一个可能结果,称为一个随机事件，简称事件,用A、B、C等来表示。

第一节概率论在一定条件下,在每次试验中一定发生的事件称为必然事件,记作Ω;在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件,记作Φ。例1从10件产品(其中有8件正品,2件次品)中,任意抽取3件,那么A={全是次品}B={至少有一件是正品}C={全是正品}等都是随机事件,而A是不可能事件,B是必然事件。

第一节概率论二、事件的关系和运算1.事件的关系(1)“如果事件A发生必然导致事件B发生”,就称事件B包含事件A,记作A⊂B或B⊃A,用文氏图1-1表示。若A⊂B,B⊂A同时成立,则称A与B相等,记A=B。(2)“事件A与事件B至少有一个发生”称为事件A与事件B的和(或并),记作A+B(或A∪B),如图1-2所示。(3)“事件A与事件B同时发生”称为事件A与事件B的积(或交),记作AB(或A∩B),如图1-3所示。第一节概率论

第一节概率论(4)“事件A发生且事件B不发生”称为事件A与事件B的差,记作A-B,如图1-4所示。(5)“事件A发生必导致事件B不发生”称为事件A与事件B是互不相容事件,有A∩B=Φ,如图1-5所示。(6)“事件A不发生”称为“事件A发生”的对立事件,记作A,即A=Ω-A,如图1-6所示。(7)“事件A(B)发生与事件B(A)发生与否无关”称A与B互相独立。第一节概率论图1-4A-B图1-5互不相容事件图1-6对立事件

第一节概率论

2.事件间的运算规律事件间的运算规律与集合的运算规律完全类似,都满足(1)AB=BA(2)A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)(3)A(B+C)=AB+AC(4)A+A=AA+Φ=A(5)AA=AAΦ=Φ(6)(7)(8)

第一节概率论例2做掷一颗均匀的骰子观察向上一面的点数的试验A1={出现偶数点},A2={出现奇数点},A3={点数小3},A4={点数小于5},A5={至少出现1点},A6={一点也不出现},A7={点数大于1}

解①A3发生必导致A4发生,故A4⊃A3。②A1

与A2、A3与A7，至少一个发生,A5就发生,故

A5=A1∪A2，A5=A3∪A7。③A2

与A3同时发生就是事件{恰好出现一点},即A2A3={恰好出现一点}。④A1

与A2,A5

与A6

是互不相容事件,也是对立事件。⑤A3-A7={点数恰好为1}。

第一节概率论

三、概率的定义与性质

定义1.1在一定条件下进行n次重复试验,事件A发生的次数m

称为事件A的频数,频数m与试验次数n的比称为事件A的频率,记作fn(A),即fn(A)=m/n。定义1.2在相同条件下,重复进行n次试验,若事件A发生的频率稳定在某个确定的常数P附近,则称常数P为事件A的概率,记作P(A)=P。这便是概率的统计定义。

第一节概率论

定义1.3如果随机试验满足条件

(1)随机试验的基本事件总数是有限的,即每次试验,只有有限种可能的试验结果。(2)每一基本事件发生的可能性是相等的(简称机会均等)这样的随机试验模型称为古典概型。定义1.4在古典概型中,如果总的事件数为n,事件A所描述的内容有其中的m个基本事件,则称比值mn为事件A的概率,记作P(A)=m/n,这便是概率的古典定义。

第一节概率论由概率的定义,对一事件A,可得概率的下列性质:(1)P(Ω)=1,即必然事件的概率等于1(2)P(Φ)=0,即不可能事件的概率等于0(3)P(A)=1-P()(4)若A、B互不相容,P(A+B)=P(A)+P(B)(5)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(6)若A、B互相独立,P(AB)=P(A)·P(B)

第一节概率论例3有10个相同的灯泡,其中7个是合格品,3个是废品,从中任取一个,求取到合格品的概率。解设用A表示“取到合格品”事件,由题可知基本事件总数n=,有利于A的基本事件数mA=,故P(A)=,即取到合格品的概率为7/10。例4设有一批产品共100件,其中95件正品,5件次品。问:(1)这批产品的废品率;(2)任取50件无次品的概率;(3)任取50件恰有两件次品的概率。解设P(A)、P(B)、P(C)分别表示(1)、(2)、(3)中所求的概率,则

第一节概率论例5十把钥匙中有三把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率。解设A表示“能打开门”,则

表示“不能打开门”因为所以例6甲、乙两门高射炮射击敌人,他们射击一次击中目标的概率分别为0.7和0.6,两炮同时发射,问敌机被击中的概率解设A、B、C分别表示“甲击中”、“乙击中”、“敌机被击中”的事件,依题意,则有C=A+B,且A、B是互相独立的,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.6-0.7×0.6=0.88

第二节随机变量及其分布一、随机变量

统计学的基本是概率论,概率论的主要概念是随机变量。变量是指可以取各种各样数值的量。用来描述随机试验结果的变量称为随机变量。取值的情况不同根据随机变量,通常可以分为两类:如果随机变量所有可能取的值可以一一列举,且取这些值的概率是确定的,就称为离散型随机变量,如产品抽查中的次品数。如果随机变量所有可能取到的值不能一一列举,而是充满某个区间,并且这些值落在该区间任何一个小区间的概率都是确定的,就称为连续型随机变量,如电灯泡的使用寿命。

二、随机变量的概率分布定义1.5离散型随机变量ζ的取值Xk(k=1,2,…)及其相应的概率值P(ζ=Xk)=Pk(k=1,2,..)称为离散型随机变量的概率分布,简称分布。离散型随机变量的概率分布常用表格表示,如表1-2所示。离散型随机变量的概率分布有如下性质:

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布例1有乒乓球m+n只,其中正品m只,次品n只,从中任取一只进行质量检查,若规定正品是“1”,次品是“0”,用ζ描述抽查的结果,求ζ的概率分布。解“ζ=1”意味着“抽到一只正品”,“ζ=0”意味着“抽到一只次品”,由古典概型可知P(ζ=1)=

,P(ζ=0)=

。故其概率分布如表1-3所示。

这个分布称为0-1分布。

例2一批数量很大的零件,不合格概率为1/8,合格概率为7/8,现对该批零件进行测试,用ζ表示第ζ次首次测试到正品,求ζ的分布列。解因ζ表示第ζ次首次测试到正品,故ζ的取值范围为1,2,…,k,…P(ζ=1)=7/8P(ζ=2)=P(ζ=3)=……P(ζ=k)=因此随机变量ζ的概率分布如表1-4所示。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布定义1.6设ζ为连续型随机变量,则存在非负函数P(x),使ζ在任一区间(a,b)内取值的概率都有P(a≤ζ<b)=称P(x)为ζ的概率密度函数,简称密度函数或分布密度。连续型随机变量ζ取某一值的概率为零,即P(a<ζ<b)=P(a≤ζ<b)=P(a<ζ≤b)=P(a≤ζ≤b)密度函数P(x)具有以下性质:(1)P(x)≥0(2)

定义1.7设ζ为一随机变量,则称函数F(x)=P(ζ<x)为随机变量ζ的概率分布函数(简称分布函数)。由定义可知P(a≤ζ<b)=F(b)-F(a)若ζ为离散型,则F(x)=P(ζ<x)=

若ζ为连续型,则F(x)=P(ζ<x)=

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布例3设随机变量ζ的分布函数为F(x)=求常数A,密度函数P(x)及P(ζ≤1/2）解P(x)=F′(x)=∵F(+)=1,即∴A=1从而密度函数P(x)=

三、期望与方差1.期望

定义1.8随机变量ζ(离散)的每一个可取值乘以取得这个值的概率,然后全部相加,便是ζ的数学期望(又称均值),记作E(ζ),即

例4令骰子的点数为ζ,试求出ζ的期望。解E(ζ)=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5定义1.9若随机变量ζ(连续)的密度函数为P(x),则称为ζ的数学期望,记作E(ζ)

即

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布例5设随机变量ζ服从指数分布,其分布函数为F(x)=其中常数λ>0求(1)ζ的数学期望;(2)求P(0<ζ<1)。解ζ的概率密度P(x)=F′(x)=

（1）

2.期望的性质

(1)E(C)=C(C为常数)(2)E(Cζ)=CE(ζ)(C为常数)(3)E(ζ+η+…+τ)=E(ζ)+E(η)+…+E(τ)(4)E(ζη)=E(ζ)·E(η),其中ζ与η相互独立

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布3.方差定义1.10若随机变量ζ的分布为P(ζ=xk)=Pk,则把和数

，称为随机变量ζ的方差,记作D(ζ),即。

，

称为ζ的标准差(或均方差),记作σ(ζ)。

例6已知两批萝卜资料如表1-5所示,试比较其质量。用ζ、η分别表示第一、二批萝卜的等级。根据已知资料可得ζ、η分布列如表1-6和表1-7所示。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布E(ζ)=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.1=3E(η)=1×0.1+2×0.3+3×0.3+4×0.1+5×0.2=3

D(ζ)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.4+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.1=1.2

σ(ζ)=

=1.095

D(η)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.3+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.1+(5-3)2×0.2=1.6

σ(η)=

=1.265

定义1.11如果随机变量ζ的密度函数为P(x),且E(ζ)存在,则把积分

称为ζ的方差,记作D(ζ)=

。

称为ζ的标准差(或均方差),记作σ(ζ)。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布

例8一民航送客载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数,求EX(每个旅客在各个车站下车是等可能的,并设各位旅客是否下车相互独立)解设Xi=

i=1,2,…,10易见X=X1+X2+…+X10,EX=任一旅客在第i站不下车的概率为9/10,因此,20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20,i=1,2,…,10EXi=1-(9/10)20,i=1,2,…,10EX=10[1-(9/10)20]=8.784(次)

四、正态分布定义1.12如果随机变量ζ的密度函数为其中μ、σ都是常数(σ>0,-<μ<+),则称ζ服从以μ、σ为参数的正态分布,记作ζ~N(μ,σ2)。当μ=0及σ=1时,得

此时的正态分布叫做标准正态分布,记作N(0,1)。

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布

图1-7标准正态分布函数

例10某市对高二男生身高进行调查,已知高二男生身高近似服从正态分布N(1.66,0.042),求该市高二男生身高在1.60-1.70米之间的概率。

解设用ζ表示该市高二男生的身高,则P(1.60<ζ<1.70)=P(ζ<1.70)-P(ζ<1.60)

=Φ(

)-Φ(

)

=Φ(1)-Φ(-1.5)

=Φ(1)-[1-Φ(1.5)]0.8413-[1-0.9332]=0.7745

第二节随机变量及其分布

第三节基本统计模型

一、数理统计基本概念

统计学是一门关于数据资料的收集、整理、分析和推断的科学,有时更直观地称为应用统计学。而数理统计学(简称数理统计)则是应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料,通过观察某些现象的频率来发现该现象的内在规律性,并作出一定精确程度的判断和预测。

数理统计的基本任务是经过进行随机试验,找出随机变量的分布规律或数字特征。数理统计的方法是抽取其中的部分进行观察并获得数据———采样,通过这些数据对所研究的全体进行推断。数理统计要研究的内容:(1)试验的设计和研究,即研究如何更合理、更有效地获得观察资料的方法;(2)统计推断,即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确、可靠的结论。

二、样本均值和方差

设(ζ1,ζ2,…,ζn)为来自总体ζ的随机样本,样本中所有样品的算术平均值称为样本均值,记作ζ,即ζ=。设(ζ1,ζ2,…,ζn)为来自总体ζ的随机样本,则称为样本的方差,记作S2,即S2=样本方差的算术平方根

称为样本标准差,记作S,即

第三节基本统计模型

第三节基本统计模型例1某商店抽查8个柜组,每个组某日的销售额(万元)分别为10,9,8,8,7,6,6,4,求该商店8个柜组销售额的均值和标准差。解

=(10+9+8+8+7+6+6+4)=7.25(万元)

==1.91(万元)因此,该商品8个柜组销售额的均值为7.25万元,标准差1.91万元。

三、样本统计量及样本统计量的分布不含未知参数的样本函数称为样本统计量。1.正态总体样式均值的概率分布2.U统计量及其分布设(ζ1,ζ2,…,ζn)来自正态总体N(μ,σ2),是样本均值,则统计量U=称为U统计量,且U-N(0,1)。

第三节基本统计模型

第三节基本统计模型3.x2统计量及其分布

统计量称为X2变量，即4.T统计量及其分布5.F统计量及其分布设ζ～χ2(n2-1),η～χ2(n2-1),且ζ,η相互独立,则统计量F=称为F统计量,其概率分布称为F分布

一、参数的估值在一次抽样时,以样本观察值ζ1,ζ2,…,ζn

的平均值

作为总体值μ估计值的方法称为均值的点估计,记

作,即在一次抽样时,以样本观察值ζ1,ζ2,…,ζn

的方差作为总体方差σ2

估计值的方差的顶估计,记作σ2，即

第四节参数估计

第四节参数估计二、区间估计的概念所谓区间估计,就是根据样本参数来估计总体参数取值范围,并以一定的概率来保证此估计范围的可靠程度。设θ为总体的未知参数,若对于事先给定的α(0<α<1),能找到两个值θ1

和θ2

使得总体参数θ被包含在区间(θ1,θ2)内的概率等于已给定的值1-α,即P(θ1<θ<θ2)=1-α,称(θ1,θ2)为θ的置信区间,称1-α为置信概率(或称置信度,即置信区间的可靠程度)。例如,P(θ1<θ<θ2)=0.95表示总体参数θ有95%的可能性在(θ1,θ2)以内。

三、区间估计

1.当方差σ2

已知时,正态总体均值的区间估计例1设总体指标ζ服从N(μ,32)分布,随机抽出一容量为4的样本,样本值为1.2,3.4,1.8,5.6。求总体平均值μ的95%的置信区间。解已知方差σ2=32,n=4,1-α=0.95,

而选U统计量,由P(U<λ)=2Φ(λ)-1=0.95得Φ(λ)=0.975查附表2得

λ=1.06

第四节参数估计

第四节参数估计

2.方差σ2未知时,正态总体均值的区间估计对某种电灯泡新产品随机抽取26只进行耐用性检验,计算出平均耐用时数为1677小时,标准差为96.51。试以98%的可靠程度估计平均耐用时数的置信区间。

解已知n=26,S=96.51P(T<λ)=0.98查t分布表得(α=0.98,f=25)

λ=2.48

故

3.正态总体方差的区间估计我们可以选用x2统计量,因为S2可由样本算出。设ζ～(μ,σ2),其中σ2

未知,ζ1,ζ2,…,ζn

为取自ζ的一个样本,给定置信度1-α,令P(λ1<χ2<λ2)=1-α,其中λ1,λ2

可由χ2分布表查出,得

所以方差σ2的置信区间为

第四节参数估计

第五节假设检验

一、基本概念一般情况下,利用样本来检验总体是否具有某种指定特征的统计方法称为假设检验。对总体的参数提出假设,进行检验,称为参数假设检验;而对总体的分布提出假设,进行检验,称为非假设检验。

二、基本思想假设检验的主要根据是小概率原理。在一次试验中如果某事件A的概率P(A)=α很小,则称A是小概率事件。一般α取0.01或0.05就可称为小概率。“小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生的”称为小概率原理。

三、推理方法

第五节假设检验图1-8推理的简要表示

第五节假设检验

四、两类错误假设检验通常会犯两类错误:第一类错误是原假设H0本来是正确的却否定了,称为弃真错误;第二类错误是原假设H0本来是不正确的却肯定了它,称为取伪错误。

五、架设检验的步骤

六、正态总体数学期望的假设检验

1.

U检验法(σ2

已知)2.t检验法(σ2未知)

例3

2003年12月某航线机票平均价钱为600元,2004年1月从该航线机票价格总体中随机抽取9个算出ζ=800,S=75,设该航线机票价格服从标准正态分布,请以95%的可靠程度检验该航线机票价格是否比2003年12月有显著上涨。解(1)假设H0:μ=600。(2)选T统计量

(3)由1-α=0.95,自由度f=8,查t分布表得λ=2.31,从而接受域为[-2.31,2.31],否定域为(-,2.31),(2.31,+)。(4)因T落入否定域,因此原假设不成立,即2004年机票价格比2003年12月显著上涨。

第五节假设检验

第五节假设检验

七、正态总体方差的假设检验

1.x2检验法

2.F检验法F检验法主要是比较两个正态分布总体的方差是否相同。

第二章线性回归第二章线性回归

第一节一元线性回归的求法

引例考察某种化工原料在水中的溶解度与温度的关系,共作了9组试验。其数据如表2-1所示,其中Y表示溶解度,x表示温度。图2-1溶解度与温度关系图例1求引例中溶解度Y关于温度x的线性回归方程

解由表2-1所示数据，列表计算，如表2-2所示。

第一节一元线性回归的求法

第一节一元线性回归的求法

计算可得

因此回归直线方程为=11.599+0.4992x

一、样本相关系数

1.离差平方和的分解

（1）表示观察值yi

与其平均值的总离差平方和(或称总变差或离差平方和)用S总表示。

（2）是总离差平方和中由回归直线方程中x的变化所引起的,它的大小反映了自变量x的重要程度,称为回归平方和(或称回归变差),用U表示。

（3）

反映了不能由回归直线解释的部分,是由其他未能控制的随机干扰因素引起的,称为残差平方和(或称剩余变差),用Q表示。第二节相关系数及其检验

第二节相关系数及其检验

2.可决系数R2

可以证明,S总=U+Q,1=(U/S总)+(Q/S总),令R2=U/S总=1-Q/S总表示由解释变量x的变化而引起因变量y的变差占总离差的百分比,称为可决系数。

3.相关系数在一元线性回归中,相关系数是可决系数的平方根。相关系数r是描述变量x与y之间线性关系密切程度的一个数量指标,计算公式为:

二、线性相关的显著性检验

(1)提出假设H0:y与x的线性相关性不显著,即b=0,因为当b=0时,直线y=a+bx是一条平行于x轴的直线,无论x如何变化,y值始终是个常数,不可能有显著的线性关系;(2)选用统计量r=，计算r值;(3)根据给定的显著性水平α,自由度f=n-2,查附表(附表6)确定临界值λ;(4)做判断若|r|≥λ,则拒绝原假设H0,说明变量y与x有显著的线性相关关系;若|r|<λ,则接受原假设H0,说明变量y与x线性相关性不显著。

第二节相关系数及其检验第三节线性回归在经济预测中的应用

许多经济变量之间存在相互依存、相互制约、相互影响的关系,如企业的规模与生产成本、家庭收入水平与支出、工资与劳动生产率等。如果能找到经济变量与影响因素之间的变化规律,并把这种规律用数学表达式具体表示出来,加以模型化,就会给预测带来极大方便。回归分析预测法就是通过对预测对象和影响因素的统计整理和分析,找出它们之间的变化规律,将变化规律用数学模型表达出来,并利用数学模型进行预测的分析方法。一、预测区间

二、应用举例在服装标准的制定过程中,调查了许多人的身材,得到一系列服装各部分的尺寸与身高、胸围等的关系,如表2-4所示为一组女青年身高x与裤长y的数据(单位:cm)。1.求裤长y对身高x的回归方程。2.预测当身高x0=170时,其裤长y0的置信度为99%的预测区间。

第三节线性回归在经济预测中的应用第三章线性规划第三章线性规划

第一节线性规划基本概念

一、线性规划问题

设某工厂有生产甲、乙两种产品的能力,且生产1吨甲产品需要3个工日和10吨小麦,可盈利8千元;生产1吨乙产品需4个工日和8吨小麦,可盈利9千元。该厂一个月只能出300个工日,小麦一个月只能进700吨,问该厂如何安排生产,才能在现有的条件下获得最大盈利呢?解设生产甲、乙产品分别为x1

吨、x2

吨,则根据已知条件得

(1)xi≥0(i=1,2)(2)总盈利为f=8x1+9x2(千元)于是这个实际问题就转化为如下的一个抽象的数学问题:求一组变量x1、x2

的值,使它满足线性方程组(1)和不等式组(2),并且使关于x1、x2的线性函数f的值最大。

上个问题中,条件部分用一次方程组表示,并且取最小(大)值的函数是一次函数,这些一次方程组和一次函数通常称为线性方程组和线性方程,即它们都是线性的,所以把这类问题称为线性规划问题,缩写为“LP”问题。

二、数学模型

从上两例可知，线性规划问题的数学模型为：

求x1，x2，x3，…xn

max(min)f=c1x1+c2x2+…+cnxn其中(1)称为约束条件;(2)称为目标函数。

第一节线性规划基本概念

第二节图解法和列举法

一、图解法

图解法也称几何解法，简单直观。

例1求x1.x2

满足

maxf=x1+x2

图3-1图解法二、列举法

例2用列举法求例1的解

解可行域的四条边界线为

两两之间求出交点，共六个交点，如表3-5所示。

第二节图解法和列举法

第二节图解法和列举法

从上表可以看出，当x1=3/2，x2=1/2时，该线性规划问题有最优解，其目标函数的最大值为f=5/2，故最优解为

一、运输问题以上讨论的是一般线性规划问题的求解方法。在实际工作中会碰到一些特殊的线性规划问题,它们的约束方程组系数矩阵具有特殊的形式,可以找到这类问题的通用解法。本节讨论的运输问题就是一类特殊的线性规划问题二、表上作业法的基本思路

第三节运输问题表上作业法图3-2表上作业法

第三节运输问题表上作业法例1某部门有A1、A2、A3三个储备库,分别存放有麦子700吨、400吨、900吨。现需调给四个加工厂进行加工,这四个厂B1、B2、B3、B4,分别需麦子300吨、600吨、500吨、600吨。已知从每个仓库到各工厂每吨麦子的运价如表3-6所示。问应如何调运,在满足各工厂需求的前提下,使总运费最省?

三、表上作业法的基本步骤

1.列产销平衡表和运价表2.确定初始方案3.最优方案的判别4.方案的调整四、产销不平衡问题的表上作业法

第三节运输问题表上作业法

第四节运输问题图上作业法

一、流向图

图3-3流向图1图3-4流向图2

二、对流和迂回同一物资在同一交通线上来回运输,称为对流。在交通图成圈时,流向图中有些流向在圈外,称为外圈流向;有些流向在圈内,称为内圈流向。若外圈流向的总距离(称为外圈长)或内圈流向的总距离(称为内圈长)超过整圈距离(称为整圈长)的一半,则称为迂回运输。

第四节运输问题图上作业法图3-5迂回运输图3-6将迂回运输

第四节运输问题图上作业法

三、图上作业法的步骤

1.交通图不成圈例1设有某种物资7吨,由A1、A2、A3

发往B1、B2、B3、B4,它的交通图如图3-7所示(单位:吨公里),每吨公里的运价为1.5元,问应如何调运,才能使总运费最省?

图3-7交通图1

解分别由交通图的三个端点A1、B3、B4

开始,从外至里,逐步进行各收发点之间的收发平衡。即将A1

的1吨调给B1;将A23吨中的1吨调给B3,调2吨给B2;将A33吨中的1吨调给B4,余下的2吨调给B2和B1

各1吨,如图3-8所示,此图没有对流,为最优方案。

第四节运输问题图上作业法图3-8流向图3

第四节运输问题图上作业法

三、图上作业法的步骤物资调运交通图成圈可能产生对流,也可能产生迂回,因此编制流向图时,先要避免对流,然后检验有无迂回,若有,对原图流向进行调整,直到没有迂回为止,即物资流向画右旁,发生对流不应当,圈外圈内分别算,都不超过半圈长。

1.交通图有圈

例2对图3-9所示的交通图，求最优调运方案

第四节运输问题图上作业法图3-9交通图2

第四节运输问题图上作业法

图3-10流向图4

（3）改进流向图，选取有迂回的圈进行调整。

第四节运输问题图上作业法图3-11流向图5

第五节用Mathematica求解线性规划问题一、Mathematica简介Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型软件,以符号计算见长,也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。

二、进入和退出Mathematica

图3-15空白笔计本窗口

第五节用Mathematica求解线性规划问题图3-16退出系统操作

第五节用Mathematica求解线性规划问题三、输入表达式的方式

四、计算表达式打开Mathematica,新建一个文件,例如:输入1+1,然后按下Shift+Enter键,这时系统开始计算并输出计算结果:2,如图3-17所示。

图3-17计算表达式

五、在Mathematica中求解线性规划问题

Minimize[f,x](计算以x为自变量的f的最小值)Minimize[f,{x,y.....}](计算以x,y.....为自变量的f的最小值)Minimize[f,cons,{x,y.....}](计算在约束条件“cons”下、以x,y.....为自变量的f的最小值)

第五节用Mathematica求解线性规划问题图3-18基本数学输入

第六节LINGO求解线性规划问题

LINGO是用来求解线性和非线性规化问题的简易工具

一、LINGO/LINDO快速入门

图3-19LINGO系统开始运行

二、编写一个简单的LINDO程序

第六节LINGO求解线性规划问题图3-20LINDO初始界面

第六节LINGO求解线性规划问题例2解如下的简单线性规划问题：

图3-21输入LP模型

三、一些注意事项LINGO软件对模型的输入格式还是有一些特殊规定的,这些规则值得引起特别注意,我们下面就简单解释一下使用LINGO软件建立线性规划模型的一些特殊事项。

四、用LINGO求解线性规划问题

第六节LINGO求解线性规划问题图3-22例3的输入模型

第六节LINGO求解线性规划问题

图3-23例3的输出结果

五、用LINGO求解线性整数规划问题

LINGO可用于求解线性纯整数规划或混合整数规划(IP)问题,模型的输入与LP问题类似,但在标志后需定义整型变量。

例4求x、y、z

满足maxf=120x+60y+10z

输入

第六节LINGO求解线性规划问题图3-24输入

第六节LINGO求解线性规划问题

End后面的GIN3指以上三个变量x、y、z都是整数。或者输入

图3-25输入

输出的结果为

第六节LINGO求解线性规划问题图3-26输出第四章存贮模型第四章存贮模型

第一节库存管理的基本概念

一、需求由于需求,从存贮中取出一定的数量,使存贮减少,这就是存贮的输出。有的需求是间断式的,即存贮量以跳跃式减少,如商品批发业务,如图4-1所示;有的需求是连续均匀式的,即存贮量连续均匀地减少,如工厂中正常产品的原材料,如图4-2所示。图中,Q、t分别表示存贮量和时间。

图4-1存贮跳跃式减少图4-2存贮连续均匀减少二、补充（存贮的输入）

存贮由于需求而不断减少，必须加以适当的补充，否则最终将无法满足要求。

三、存贮策略

存贮策略就是给出何时补充以及每次补充多少的一个方案。

四、费用1.存贮费（贮备费）

存贮费是指从物资进库到出库整个贮备期内,所需支付全部费用的总称,记作C1,包括使用仓库、保管货物以及货物损坏变质等项支出的费用。

第一节库存管理的基本概念

第一节库存管理的基本概念

2.缺货费存贮不能满足需求时,所产生的经济损失,称为缺货费,记作C23.进货费（订货费）

进货费是指从联系订货到货物入库期间内,所支付全部费用的总称。4.生产费补充存贮时,不向外厂订货,而由自己工厂生产,这时支出的装配费用和可变费用称为生产费用简称生产费。

五、存贮周期为了生产的顺利进行,一定要存贮一些原材料,生产时从存贮中取出一定数量的原材料耗于生产,使存贮减少,随着生产的不断进行,存贮不断减少,到一定时刻必须对存贮给予补充,这就构成了物资的存贮周期:进货———贮备———消耗———进货。

六、目标函数要在一类存贮策略中,选择一个最优策略,就需要一个衡量优劣的准绳,这就是目标函数。

第一节库存管理的基本概念

第二节确定性存贮模型

一、不允许缺货、能立即补足

图4-3存贮量的变化

例1某商店有A类商品出售,该商品的进货单价为470元,进货包装、运输、装卸等费用分摊为30元/单位,年存贮费用为进货成本的20%,每次订购费为20元,根据商品销售统计资料,该商品的年需求量为365单位,并以连续均匀速度出售,若该商品不允许缺货,求EOQ。

解商品进货单位成本为470+30=500(元),C3=20元,C1=500×20%=100元,R=1单位/天,

则

则Q0=12单位

即to≈12（天）

此时的总费用为

因此，所求经济进货批量为12个单位。

第二节确定性存贮模型

第二节确定性存贮模型

二、不允许缺货、能逐渐补足

图4-4存贮量的变化1

三、允许缺货，能立即补足

第二节确定性存贮模型图4-5存贮量变化2

第二节确定性存贮模型

四、允许缺货，能逐渐补足

图4-4存贮量的变化3第五章投入产出分析第五章投入产出分析

第一节投入产出表任何经济部门的活动都包含投入和产出两个方面,我们把所研究的某一经济系统中,各部门之间的数量依存关系反映在一张平衡表中,就称为投入产出表。它描述了各经济部门在一定时期内的投入产出情况。投入产出表分为实物型表和价值型表两种类型,实物型表采用实物计量单位编制,其特点是经济意义明确,适合于实际工作的需要;价值型表采用货币计量单位编制,其特点是单位统一,适合于对经济系统进行全面的分析研究。一、投入产出表的结构如表5-1所示是一个假设的高度简化的只有三个经济部门的实物型投入产出表,它的横行表示每个部门的产出,纵列表示每个部门消耗各门产品的情况,即投入。

第一节投入产出表

第一节投入产出表

一、平衡方程组

1.产出平衡方程组

即（j=1,2…n）

2.投入平衡方程组

即（j=1,2…n）

一、直接消耗系数

定义5.1经济系统第j部门生产一个单位产品所直接消耗第i个部门的产品价值量,称为第j部门对第i部门的直接消耗系数,记作

（I,j=1,2,…n)

这个量基本上是技术性的，通常也称技术系数，主要取决于部门的生产技术水平。

第二节消耗系数

第二节消耗系数

二、完全消耗系数

定义5.2经济系统的第j部门生产单位价值产品所完全消耗第i部门的产品价值量,称为第j部门对第i部门的完全消耗系数,记作cij(j=1,2,…,n)。

例1求表5-2的完全消耗系数矩阵

解

从而

三、消耗系数矩阵的经济意义

第二节消耗系数

第三节投入产出数学模型

一、投入产出数学模型的建立1.产品分配平衡方程组2.产值构成平衡方程组

例1建立表5-2所示经济系统的投入产出数学模型。

解第五章第二节求得该系统的直接消耗系数矩阵为

据此建立该系统的投入产出数学模型如下:

其中Q1、Q2、Q3

和y1、y2、y3,分别表示该系统甲、乙、丙三个部门和相应产品的最终产品。其中Q1、Q2、Q3和z1、z2、z3分别表示该系统甲、乙、丙三个部门的总产值和相应的增值。

第三节投入产出数学模型

第三节投入产出数学模型

二、投入产出数学模型的解

1.产品分配平衡方程组的解对(5-7),若已知系统的总产品向量Q,则可求得系统的最终产品向量为Y=(I-A)Q，若已知系统的最终产品向量Y,则可得Q=(I-A)-1Y.

2.产值构成平衡方程组的解

对(5-8),若已知系统第j部门的总产值Qj,则可求得该部门的增值为

若已知系统第j部门的增值zj,则可得

一、在经济预测中的应用假设有一个由“农业”、“工业”和“其他行业”三个部门组成的经济系统,其投入产出表如表5-3所示,若在下一个计划期内,农业、工业和其他行业的最终产品分别增加20亿元、100亿元、10亿元,试求各部门的总产出应分别增加多少?

第四节投入产出数学模型在经济方面的应用第四节投入产出数学模型在经济方面的应用

解有表5-3可求得直接消耗系数矩阵为

由A可求得

即

一、在制订计划中的应用以表5-2经济系统为例,假如计划期甲、乙、丙部门,最终产品需求量分别为216亿元、176亿元、120亿元,试制定计划期投入产出表。

解由第五章第二节知直接消耗系数矩阵为

由Q=（I-A）-1Y，既得总产品分别为

第四节投入产出数学模型在经济方面的应用第四节投入产出数学模型在经济方面的应用用上述三个部门总产品分别乘该系统A中对应的三列元素,可得流量矩阵。将Q代入第五章第三节例2的(5-15)式,可求得各部门的增值分别为

根据以上所求得的各项数据即可编制出该系统的计划期内投入产出,如表5-4所示。

第四节投入产出数学模型在经济方面的应用第四节投入产出数学模型在经济方面的应用

三、在调整计划中的应用例3对外出口商品,可以把它看作最终产品的增加;进口消费性商品,可以看作最终产品的减少,设甲、乙、丙三个部门的投入产出表如表5-5所示,若甲部门出口20亿元,丙部门进口10亿元,求各部门总产品怎样调整,才能使系统平衡。

解用表5-5可求得直接消耗系统矩阵

进出口后的最终产品为：

（40,40,20）+（20,0,0）+（0,0，-10）=（60,40,10）

所以因此,各部门的总产出应由180亿元、140亿元、200亿元增加到212亿元、152.1亿元、204.7亿元才能使系统恢复平衡。

第四节投入产出数学模型在经济方面的应用第六章图论第六章图论

图6-1七桥问题图6-2七桥问题数学模型图论的图与一般几何图形或函数图形是完全不同。如图6-3所示的两个图表示的是同一个图。

第一节图论的概念图6-3图论中的图

第一节图论的概念

一、图的基本概念

1.结点或顶点；2.边；3.相邻边；4.有限图；5.有向图；6，无向图；7.混合图；8，平行边；9，自回路；10.简单图；11.多重图；12.孤点；13.零图；14.加权图；15.阶数。

图6-4图论的图与一般几何图形或函数图形是完全不同。如图6-3所示的两个图表示的是同一个图。

第一节图论的概念图6-3图论中的图

第一节图论的概念

一、图的基本概念定义6.1设G=<V,E>是一个无向图,结点v所关联的边数(有自回路时计算两次)称为结点v的度数,记为d(v)。定义6.2设G=<V,E>是一个有向图,以结点v为起点的边数称为结点v的出度,记为d+(v);以结点v为终点的边数称为结点v的入度,记为d-(v)。对G中每个结点v,d+(v)+d-(v)称为结点v的度数,也记为d(v)。定义6.3设G=<V,E>是一个图,度数为奇数的结点称为奇结点;度数为偶数的结点称为偶结点。

二、二部图

三、网络

第一节图论的概念图6-5二部图

第二节路径、回路与连通性定义6.4设图G=<V,E>,v0,v1,…,vn∈V,e1,e2,…,en

∈E,并且vi-1与vi

分别是边ei的起点和终点(i=1,2,…,n),则称点边的交错序列L:v0e1v1e2…vn-1envn

为图中从v0

至vn

的路径,简称为路,可简记为{v0,v1,…,vn}。n称为该路径的长度。上述路径中,若v1=vn,则称为回路或圈。在一个回路中,若出现的边都不相同,则称该回路为初等回路。

例1图6-6中所给出的从结点1出发而终止于结点3的一些路是：L1={1,3};L2={1,4,3};L3={1,2,3};L4={1,2,4,1,4,3};L5={1,1,1,4,3}。图6-6所给出的部分回路是:C1={1,2,1};C2={1,2,4,1};C4={1,2,1,2,4,1};C5={1,4,1,2,4,1}.

第二节路径、回路与连通性图6-6路径

第二节路径、回路与连通性定义6.5设u,v是图的两个结点,若u到v是可达的,则u到v的一切路的长度最小值称为u到v的距离,记为d<u,v>。如果u到v是不可达的,则记d<u,v>=+,约定d<u,u>=0.定义6.6一个无向图,如果其任意两个结点都是可达的,则称此无向图为连通图。如果对任意两结点,至少从一个结点到另一个结点是可达的,则称该图为单向连通图。如果对任意两结点都是相互可达的,则称该图为强连通图。定义6.7一个有向图,如果忽略了它每一边的指向后成为一无向连通图,则称此有向图为弱连通图。

一、无向树定义6.8设G=<V,E>是简单无向图,若G是连通的且G不含有长度大于2的初等回路,则称G是无向树.定义6.9如果无向图G的生成子图是一棵无向树,则称此生成子图为G的生成树。定理6.1有限的无向连通图G=<V,E>必有生成树。

第三节树图6-7无向图

第三节树

二、最小生成树定义6.10设G=<V,E,W>是加权连通简单图,W是各条边的权值集合。又设T是G的一棵生成树,T中所有边权之和称为T的权,记为

具有权minW(T)的生成树称为最小生成树。

图6-8无向加权连通图

第三节树图6-9最小生成树第四节最短路问题及算法定义6.11(1)若H是赋权图G的一个子图,则称H各边的权和为H的权。类似地,若P(u