【计算不定积分的方法研究2600字（论文）】

计算不定积分的方法研究 1关键词 1 1 1 24线性运算法则 3 5 87分部积分法 8有理函数和可化为有理函数的不定积分 8.2三角函数有理式的不定积分 9总结 参考文献 不定积分的知识是大学理科课程中的一个核心内容，首先它是许多相关积分的起学习.2不定积分的定义原函数的定义：设函数f与F在区间I上都有定义，若F'(x)=f(x),x∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数.不定积分的定义：函数f在区间I上的全体原函数称为在I上的不定积分11.2解：由于,所以是x²⁰²1的一个原函数.因此根据在x>0及x<0内的结果，可写作3.不定积分公式下面是一些基本积分公式列成的一个表，叫做基本积分表.积分后0C13例3求j台4线性运算法则线性运算法则：若函数f和g在区间I上都存在原函数，k₁,k₂为两个任意常数，则4证：这是因为=k₁f(x)+k₂g(x).线性法则的一般形式为不定积分的运算性质：性质1:性质2:,其中C为任意常量函数.性质4:(k≠0).例6求p(x)=a₀x“+a₁x”⁻¹+…+an₋₁x+a的不定积分.求求求求5例11求不定积分解：设因为f(x)在(-∞,+∞)上连续，所以不定积分上存在.因此可以设f(x)的一个原函数为F(x),且满足,x∈(1,+∞).由于F(x)在(-∞,+∞)上连续，因此F(x)在x=1处连续，所以有所以C₁=-1.因此当遇到复杂的积分时，仅仅有这些基本公式是不够用的，像Inx,tanx,cotx,secx,cscx,arctanx,arcsinx等一些基本的函数是没有直接积分的方法来获得它们的原始函数，那么直接积分法就无法计算了，所以我们也需要从一些演绎规则中推导一些不定积分规则，并不断利用这些导出的不定积分规则改进不定积分公式，接下来我们讨论别的方法.65第一换元积分法第一换元积分法的概念：如果不定积分在I上存在，则不定积分F[φ(t)]为其原函数，式成立.计算第一换元积分法的方法是把积分函数中的一部分送到d()的括号里凑成基本公式f(x)=8[φ(x)]φ'(x),其中u=φ(x),G'(u)=g(u).例12求7解：由可令则得求例13求求例14求求求求例16求(a>0)(a≠0)解：【解法一】直接运用上述例题中的结论得：8【解法二】注：6第二换元积分法存在，则在时，在I上有ʃf(x)dx=Glφ⁻¹(x)]+C141证：,有=f[φ(t)]φ'(t)-f[φ(t)]φ'(t)=0.例17求解：令u=x⁶,则：9例18求ʃ√a²-x²dx(a>0).解：令x=asint,(这是存在反函数于是的一个单调区间).例19求(a>0).于是有解：令x=aset,于是有 由图可知，,所以例20求于是有解：令x=atant于是有4有些不定积分还可采用两种换元方法来计算.解：【解法一】:【解法二】:7分部积分法分部积分法概念：若u(x)与v(x)可导，,则,并应用分部积分法求不定积分时可以直接应用分部积分公式或者是被积表达式变形后的公式，而求不定积分的关键是确定定义或是v',v易求，所L正确选定u,v通常有以下四个规律：被积函数f(x)是三角函数与多项式函数之积的话把三角函数凑到dx当中去，被积函数是指数函数与多项式函数之积的话把指数函数凑到dx当中去.被积函数是三角函数与指数函数之积的话把三角函数凑到dx当中去.不属干以上三种类型的不能凑的不要凑，能凑的凑到dx当中去7.解：令u=x,v'=cosx,则有u'=1,v=sinx.例23求例24求由公例25求解：例26例27求的递推公式.所以8有理函数和可化为有理函数的不定积分到多项式的不定积分，因此只需研究有理真分式的不定积分[8.例28求8.2三角函数有理式的不定积分积分91.例29求解：令t=tanx,就有效果.8.3某些无理根式的不定积分对于这种形式的不定积分(ad-bc≠0),只需令,然后再 解：让则例32求让则对于ʃR(x,Vax²+bx+c)dx这种形式的不定积分(a>0时时若令则必出现以下情况之一：|a(u²+k²),|a(u²-k²),|a(然后分别令u=ktant,u=ksect,u=ksint,就可以求不定积分了.例33求解：【解法一】因为所以【解法二】则所以上述结果对x<0同样成立.不定积分的计算方法有许多，但在不同的情况下，要结合不同的问题的实际情况采取不同的问题和方法.需要强调一点，查找不定积分是指以原始函数形式表示的不定积分，但是没有质数函数的不定积分不能被“终止”.例如e²dx,√1-k²sin²xdx(0<k²<1)等函数，尽管它们全部存在，但是它们不能用基本函数表示.[2]赵振海.高等数学学习指导与习题全解[M].大连：大连理工大学出版社，2004.[3]李德新.高等数学学习与解题指导[M].厦门：厦门大学出版社，2009.[4]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010.[51刘玉琏。傅沛仁