5.1.1++任意角+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章三角函数5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角导入新知思考:观察以下运动变化，想一想它们有什么运动规律？地球自转和公转月亮圆缺运转的钟表骑行中自行车的车轮循环往复、周而复始周期性三角函数

问题1：初中是如何定义角？静态角是具有公共端点的两条射线组成的图形.

角是“夹”出来的！角的种类：锐角、直角、钝角、平角、周角角的范围：0°～360°探索新知现实生活中，随处可见超出0°～360°范围的角.前空翻转体540°后空翻转体720°齿轮旋转示意图

角是“转”出来的！一、角的概念动态⑴定义：角是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.记作：∠AOB、∠α、角α、α旋转中心、旋转方向、旋转量逆时针顺时针思考：在数学上，如何表示具有相反意义的量？正数+负数-符号思考：类比实数的学习，角的范围我们可以怎么扩充？任意角正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合)记作：

0°思考：钟表的时针和分针在旋转时所形成的角属于哪种？负角二、角的运算问题1：类比实数，角的大小如何？正角＞零角＞负角问题2：类比实数，如何定义两个角相等、两个角相反？旋转方向相同旋转量相等相等角(α=β)旋转方向相反旋转量相等

相反角（角α的相反角记为-α）30°+50°=30°-50°=？？▲几何意义：OAB30°C50°30°-50°80°-20°=30°+（-50°）=？OABD设α,β是任意两个角，规定：①α+β:将角α的终边继续旋转角β②α-β：α-β=α+(-β)将角α的终边继续旋转角-β问题3：类比实数，角的加减运算又如何？作图请大家在纸上自行确定角的顶点和始边，作出以下角：α=210°，β=-150°，γ=-660°任意角旋转方向正角α＞0°→逆时针旋转量｜α｜负角α＜0°→顺时针▲作图时，注意用箭头标注旋转方向（始边→终边）！任意画一下60°的角

60°

60°

60°三、象限角oxy始边终边角的顶点与原点重合角的始边与x轴非负半轴重合⑴角的终边在第几象限就是第几象限角

⑵角的终边在坐标轴上，则它不属于任何一个象限任意角象限角（第一、二、三、四象限）不属于任何一个象限（轴线角）问题5：在平面直角坐标系中画出下列角，并指出它们是第几象限角？45°390°-200°240°270°Oxy45°Oxy390°Oxy-200°Oyx240°yOx270°思考：锐角是第几象限角？

▲象限角不能反映角的大小！第一象限角一定是锐角吗？第二象限角一定比第一象限角大吗？第三象限角一定是负角吗？四、终边相同的角问题6：在同一平面直角坐标系中画出-32°，328°，-392°，观察这些角有什么共同特征？①形：具有相同的终边②数：328°=-32°+360°思考：所有与-32°终边相同的角如何表示？形：-32°终边继续旋转整数周数：-32°+k·360°，k∈Z相差360°的整数倍-392°=-32°+（-1）360°问题7：将-32°推广到任意角α，结论又如何？与角α终边相同的角的集合：▲注意：①α是任意角②α和k·360°之间用“+”连接k·360°-30°=-30°+k·360°③k∈Z不能省略④k·360°表示终边旋转整数周回到原来的位置

k＞0：逆时针；k＜0：顺时针四、终边相同的角判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.终边在x轴正半轴上S1=｛β|β=k·360°，k∈Z｝终边在y轴正半轴上S2=｛β|β=90°+k·360°，k∈Z｝终边在x轴负半轴上S3=｛β|β=180°+k·360°，k∈Z｝终边在y轴负半轴上S4=｛β|β=270°+k·360°，k∈Z｝Oxy例2、写出终边在轴上的角的集合．选代表，加循环（周期）例3：终边在y轴上的角的集合S=S2∪S4={β|β=90º+2k·180º,k∈Z

}∪{β|β=90º+180º+2k·180º,k∈Z

}={β|β=90º+2k·180º,k∈Z

}∪{β|β=90º+(2k+1)·180º,k∈Z

}={β|β=90º+n·180º,n∈Z

}={β|β=90º+k·360º,k∈Z

}∪{β|β=270º+