浙江省R6联盟2024-2025学年高三下学期4月阶段性联考数学试题

浙江省R6联盟2024-2025学年高三下学期4月阶段性联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={x|log9x>12A．{x|0<x<3} B．{x|1<x<3}C．{x|1<x<4} D．{x|3<x<4}3．已知向量a=2,−1,b=A．1 B．5 C．−1 D．−54．某圆锥高为3，母线与底面所成的角为π3A．3π B．4π C．5π D．6π5．我们知道x∈0°,90°时，tanx>sinx恒成立；x∈0°,45°时，cosx>sinx，x∈45°,90°时，sinx>cosx，某数学研究小组欲研究x∈0°,90°时，cosx与tanx的大小关系，小组成员经过分析得出结论，存在α，当x∈0°,α°时，cosx>A．x∈0°,37°时，cosx>tanx>B．x∈0°,38°时，cosx>tanx>C．x∈0°,39°时，cosx>tanx>D．x∈0°,40°时，6．对于函数fxA．若fm<fn，则m2<C．若m<n，则fm<fn D．若7．已知函数fx=3sinωx+φω>0,φ≤π2A．4 B．8 C．10 D．128．已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fyA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间二、选择题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9．下列结论中，正确的有（）A．若随机变量ξ∼N2,σ2，B．将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化C．已知经验回归方程为y=bx+2.8，且x=4D．在线性回归分析中相关指数R2用来刻画拟合的效果，若R10．已知函数fxA．函数y=fx在1,f1B．函数y=f'C．函数y=fxD．函数y=f11．加斯帕尔⋅蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2A．C的蒙日圆方程是xB．设N1，1，则C．长方形R的四条边均与椭圆C相切，长方形R的面积的最大值为14D．若直线PQ过原点O，且与C的一个交点为G，G三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数fx=x2+2x和gx=−x2+a，如果直线l同时是fx和gx13．已知F1,F2分别是双曲线C:x2a14．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次n∈N∗，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，Y=X，X为奇数0四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinAcosB=（1）求角B和A；（2）已知b=2，设M、N为线段AB上的两个动点（M靠近点A），且∠MCN=π①若AM=1，求△MNC的周长；②当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？16．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=2CD=2，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，且FB=2，M，N分别为EF（1）求证：MN//平面FCB；（2）若直线AF与平面FCB所成的角为60°，求平面MAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值.17．如图，双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的虚轴长为2，离心率为（1）求双曲线E的标准方程；（2）若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q.（i）当k=13时，求（ii）当t=−3时，求S△APQ18．设函数fx=lnx，（1）当x>1时，比较fx和g（2）证明：y=fx的图象与y=gx的图象关于直线（3）在平面直角坐标系中，若以M1,0为圆心的圆交y=fx19．对于一个有穷整数列Q:a1，a2，⋯，an，对正整数m∈N∗，若对于任意的n∈1,2,⋯,m，有穷数列Q中总存在ai，ai+1，⋯，ai+j，自然数j≥0使得ai+ai+1+⋯+ai+j=n，则称该数列为1到m连续可表数列.即1到m中的每个数可由Q中的一个或连续若干项表示，而（1）数列Q1:1，1，1，1，1是否为1到5连续可表数列？若数列Q2:2，1，4是一个1到（2）若有穷数列Q:a1，a2，⋯，an其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列a1，a2，⋯，（3）对正整数n，g∈N∗g≥2，存在唯一的数列a1，⋯，am使得，n=a1⋅g0+a2⋅g1+⋯+am⋅gm−1，且满足am≠0，0≤ai≤g−1，i=1

答案解析部分1．【答案】A【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义【解析】【解答】解：z＝1+i故复数z在复平面内对应的点位于第一象限．故答案为：A.【分析】先利用复数代数形式的四则运算可得z=32．【答案】D【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法【解析】【解答】解：由题意，解不等式log9x>12可得x>3

则所以A∩B={x|3<x<4}.故答案为：D【分析】先利用对数函数的单调性解不等式求集合A，再利用集合的交运算即可求解.3．【答案】B【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：已知a=2,−1,因为a⊥所以a⋅a+mb=故答案为：B．【分析】先利用向量的坐标运算可得a+m4．【答案】A【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用【解析】【解答】解：设圆锥的高为h，母线与底面所成的角为θ，圆锥底面圆半径r，母线为l，

则h=3,θ=所以圆锥的表面积S=πr故答案为：A【分析】设圆锥的高为h，母线与底面所成的角为θ，圆锥底面圆半径r，母线为l，根据已知条件求出r,5．【答案】B【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：当x∈0°,45°时，0<sinx<cosxy=sinx在0°,45°上递增；

令t=sinx,t∈0,2根据复合函数单调性同增异减可知y=1sinx1sin1sin所以x∈0°,38°时，cosx>tanx>sinB选项正确.故答案为：B【分析】利用商可得cosxtanx6．【答案】A【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：函数fx=(所以f故函数fx又因为y=2x−2当x≥0，y=x3所以fx=(2又fx为偶函数，故fx在若fm<f对A，由分析知，fm<fn，则m对B，若fm<fn，则m<n，当m=1对C，若m<n，令m=−3，n=1，则由分析知，fm对D，若0<m<n，则1m>1故答案为：A.【分析】先利用奇偶函数的定义可得函数fx为偶函数，再利用指数函数和幂函数的性质可得fx在7．【答案】D【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性【解析】【解答】解：已知fx+fπ3−x所以πω6+φ=已知fπ3+x=fπ所以πω3+φ=由①②，得πω6=π要使fx在区间0,4π内的零点最少，则周期T最大，所以ω又因为ω>0，所以ωmin把ω=3代入①，得3π6+φ=k又因为φ≤π2，所以φ=当φ=π2时，fx=3sin当φ=−π2时，fx=3sin故选：D.【分析】先利用题意可得得出函数的对称轴x=π3和对称中心π6,0，再利用对称轴和对称中心求出ω的值ω=3+6k,k∈Z，结合正弦函数的性质判断出ω的值最小时，周期T最大，函数8．【答案】C【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用【解析】【解答】解：令x=y=13，则所以2f23f13所以2f2令x=23，即2f23由题意，函数fx的定义域为(−令y=−2x，则fx−2xf令−x代换x,y，则f−x−xf−x所以2f−2x=f−x，令−x代换x由将2f−2x=f−x可得f−xfx所以f(x)为奇函数，故C正确；令x=y=1，则f2f1+f1故答案为：C【分析】通过赋值法逐步推导函数的核心性质，先求特殊值确定函数关系，再验证奇偶性定义，最后通过举反例或逻辑推导排除单调性与其他等式，逐一判定选项。9．【答案】A,C【知识点】线性回归方程；可线性化的回归分析；正态密度曲线的特点【解析】【解答】解：A、因为随机变量ξ∼N2,σ2所以Pξ≤−1B、将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值发生变化而方差不变，故B错误；C、因为经验回归方程为y=bx+2.8，且x=4，y=30D、在线性回归分析中相关指数R2用来刻画拟合的效果，若R故答案为：AC.【分析】利用正态分布的性质图像关于μ=2即可判断A；利用均值与方差的性质即可判断B；利用线性回归直线过样本中心（4，30）即可判断C；利用相关指数R210．【答案】B,C【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】解：f'(x)=lnx+x+1所以函数在1,f1处的切线方程是y−0=3(x−1)，即3x−y−3=0B、令g(x)=2+lnx+1x，g'(x)=1D、当g'(x)>0时，x>1，函数f'f'C、y=fx−f'x=xlnx+1−1x2−即函数hx在0,+∞上单调递增，且即函数hx在0,+∞上存在唯一零点，即函数故答案为：BC【分析】先求导可得f'(x)=2+lnx+1x，利用导数的几何意义求得切线方程即可判断A；令11．【答案】B,C,D【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：A、分别过椭圆C的顶点(2,0)，(0,3)作椭圆C的切线如图所示：

则两切线的交点Q(2,3)在椭圆C的蒙日圆上，故半径r=|OQ|=4+3=7，B、由椭圆的定义得|AN|+|AF当且仅当点A在NF1的延长线上时取等号如图所示：|AN|+|AF当且仅当点A在F1N的延长线上时取等号，所以AN+C、设长方形R的长为m，宽为n，则m2+n2=(2r)2D、已知如图所示：

|GF1|+|GF2|=2a=4，则|G由GF1+G由GF1−G则①+②得20=4|GO|2所以|GP|⋅|GQ|=r−|GO|故答案为：BCD.【分析】利用椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径即可判断A；利用椭圆的定义求出AN+AF2的取值范围即可得B；，结合长方形的对角线长和基本不等式12．【答案】−【知识点】导数的几何意义13．【答案】3【知识点】解三角形14．【答案】n【知识点】二项分布；组合及组合数公式；二项式系数【解析】【解答】解：由题知X∼B2n,E=∵kC∵(2+1)(2−1)2n−1∴C故答案为：n3【分析】由题意可得X∼B2n,13,Y=0,1,0,3,⋯⋯0,2n−1,0，利用离散型随机变量的方差定义结合15．【答案】（1）解：已知3sinAcosB=又sinA>0，所以3cosB=1sinB，则因为a2=b即c−b=2bcosA，由正弦定理可得所以sinA+B则sinA所以sinA即sinAcosB−sinB又A∈0,5π6，所以A−π6（2）解：①由（1）可知C=π2，因为b=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=212=4，所以c=4sinC=4，a=4sinA=23，

在△ACM中，由余弦定理可得CM2=AC2+AM2−2AC⋅AM⋅cosA

=22+12−2×2×1×12=3，则CM=3，

因为AC2=AM2+CM2，所以CM⊥AM，

∵∠MCN=π6，∴MN=CMtanπ6=【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边化角可得tanB=33，即可求出B=π6，再利用余弦定理可得c−b=2b（2）①利用余弦定理可求出CM的长，推导出CM⊥AM，可求出MN、CN的长，即可得出△MNC的周长；②设∠ACM=θ0<θ<π3，由正弦定理得出CM=3sin（1）因为3sinAcosB=又sinA>0，所以3cosB=1sinB，则因为a2=b即c−b=2bcosA，由正弦定理可得所以sinA+B则sinA所以sinA即sinAcosB−sinB又A∈0,5π6，所以A−π6（2）①由（1）可知C=π因为b=2，由正弦定理asinA=bsin在△ACM中，由余弦定理可得C=22+因为AC2=A∵∠MCN=π6，∴∴CN=2MN=2，∴△MNC的周长为1+2+3②设∠ACM=θ0<θ<在△CAN中，∠ANC=π−π由正弦定理CNsinπ3又在△ACM中，由正弦定理可得CMsinπ3所以S==3所以当且仅当2θ+π3=π2，即θ=16．【答案】解：（1）取BC的中点Q，连接NQ，FQ如图所示：则NQ//12AC又MF//12AC，且MF=12所以四边形MNQF为平行四边形，所以MN//FQ，因为FQ⊂平面FCB，MN⊄平面FCB，所以MN//平面FCB；（2）由四边形ABCD为等腰梯形，且AB=2CD=2，∠ABC=60可得BC=1，AC=3，所以∠ACB=90°因为四边形ACFE为矩形，所以AC⊥CF，所以AC⊥平面FCB，所以∠AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即∠AFC=60°，所以因为FB=2，所以FB2则可建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，A(3所以MA=(设m=(x,y,z)为平面MAB则MA⋅m=0取x=23，则m=(23又n=(0,1,0)为平面MAC所以cos故平面MAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为257【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）取BC的中点Q，连接NQ，FQ，利用中位线结合平行公理证明MN//FQ，再运用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，平面MAB的一个法向量m=(23,6,3)，平面MAC的一个法向量n17．【答案】（1）x（2）（i）t∈−∞【解析】【分析】（1）由虚轴及离心率可得a，（2）令Px0,y0，设直线BC为：y=−1kx+m，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得x0=−4kmk2−4，y0=mk2k2−4.（i）代入k=1（1）由题知b=1ca=52（2）令Px0,y0，设直线BC为：y=−1k设Bx则x0=x（i）当k=13时，x0由13=k=y又因为△>0，即k2所以t=3（ii）由题知Q0,m，A因为k=y所以m=3k2−45k则PA=xPQ=x又mkk2则PQ=144则S△APQ当k=±1取得，此时m2综上，S△APQ的最小值为36【点睛】关键点睛：对于双曲线中所涉及的范围问题，常利用双曲线上点的横坐标范围，判别式，点与双曲线位置关系求解；对于最值问题，常先找到所求量关于某变量的表达式，再利用函数知识或基本不等式求解.（1）由题知b=1ca=52（2）令Px0,y0，设直线BC为：y=−1k设Bx则x0=x（i）当k=13时，x0由13=k=y又因为△>0，即k2所以t=3（ii）由题知Q0,m，A因为k=y所以m=3k2−45k则PA=xPQ=x又mkk2则PQ=144则S△APQ当k=±1取得，此时m2综上，S△APQ的最小值为3618．【答案】（1）解：设函数hx=f(x)−g(x)=lnx+eh'x=1xm1=0，故mx在1,+∞上单调递增，m故h'x≥0，hx在1,+∞上单调递增，故x>1时fx（2）证明：设y=fx的图象上一点C则其关于x+y−1=0对称的点坐标为C'而g1−lnx0=1−x故y=fx与y=gx的图象关于直线（3）证明：不妨设Ax1,−lnx1作A关于x轴的对称点A1x1,lnx1，再作由对称性，A，A1，A2都在圆M上．如图所示：设x+y−1=0与圆M的交点为P，设x轴与圆M在M右侧的交点为Q，∠AMO=θ，则∠A1MO=θ，则∠QMP=由对称，∠A2MP=∠又∠AMO+∠AMA2+∠又A2在y=gx图象上，B在y=fx图象上，故B在A【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；直线与圆的位置关系【解析】【分析】（1）设函数hx=f(x)−g(x)=lnx+e（2）在函数y=fx取点Cx0（3）根据题意设Ax1,−lnx1，Bx2,lnx（1）设函数hx=f(x)−g(x)=lnx+eh'x=1xm1=0，故mx在1,+∞上单调递增，m故h'x≥0，hx在1,+∞上单调递增，故x>1时fx（2）证明：设y=fx的图象上一点C则其关于x+y−1=0对称的点坐标为C'而g1−lnx0=1−x故y=fx与y=gx的图象关于直线（3）证明：不妨设Ax1,−lnx1作A关于x轴的对称点A1x1,lnx1，再作由对称性，A，A1，A设x+y−1=0与圆M的交点为P，设x轴与圆M在M右侧的交点为Q，∠AMO=θ，则∠A1MO=θ，则∠QMP=由对称，∠A2MP=∠又∠AMO+∠AMA2+∠又A2在y=gx图象上，B在y=fx图象上，故B在A19．【答案】（1）解：依题意设数列Q1的通项为a则a1=1，a1a1+a由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数，故数列Q1对于数列Q2，设其通项为b该数列的b2=1，b1=2，b1而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到m=5.（2）解：当准等比数列公比为1，−1，2，−2时，可以对应构造数列Q1:1，1，1，1，1，Q2:1，1，1，1，1，−1，−1，−1，−1，−1，Q3:2，1，4 Q其中由（1）可知Q1，Q2，对于最后一个数列Q4，有1=−1+2，2=23=8+−4+−1，4=8+而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列，现在，假设q∈Z，满足q≥3数列Q:a1，a2，…，a则可以设ai其中m1，m2，…,mn为0，则该数列的连续表出具有ai其绝对值不小于a，由于1可以被表出，有1≥a，故a=1或a=−1如果a不参与表出1到5，则ai+a故可提出q，即ai由于a⋅q≥3，q而a⋅qq无法表示1,2这个数字，故1,2的表出有a的参与，如果a参与表出1和2，有两种可能，一是当a独立表出1,2，二是a与其他若干项一起表出，若当a和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而a为1或−1，所以a与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由a独立表出，所以a=1，现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和，故不大于−2，不小于4，矛盾.所以q≥3综上q的可能取值为1,2,−1,−2​​​​​​​（3）解：我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列，如果满足c1⋅gm1，c则其中一项必定为1或−1，且g≤2从而当g≥3时，任一个g进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列.故pgr=0，g≥3，当g=2即0，1，2，4，8，⋯.由于残片各项一定非负，则1，2，3，4，5的表出一定没有23=8，24注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值，而0对这5个数字的表出没有贡献，故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1，2，4三项即所挑选的数字x应当满足x=1⋅2故x=7+8k，k∈N，从而p2其中x表示不超过x的最大整数，综上，pg【知识点】数列与函数的综合【解析】【分析】（1）利用给定定义证明并求值即可.（2）利用给定定义对参数范围进行讨论，求解公比即可.（3）利用给定定义分类讨论求解