浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题

浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a=1,2，b=x,−4，且A．−2 B．2 C．−8 D．82．设集合P=0,1,2，Q=A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q 3．点A(2,1)绕原点O按逆时针方向旋转90∘到达点B，则点BA．(1,2) B．(−1,2) C．(−2,1) D．(−2,−1)4．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数5．已知a=log32，b=A．c<b<a B．a<c<b C．b<a<c D．a<b<c6．如图，AB，CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为（）A．6+42 B．6+23 C．2+227．某美妙音乐的模型函数为fxA．最小正周期为3π B．是偶函数C．在区间−π6,π8．过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，线段FA，FB的中点分别为M，N，O为坐标原点，直线OM，ON与抛物线C的另一个交点分别为P，Q，记点M，N到y轴距离分别为dA．d1>FMC．PQ∥y轴 D．若AF=3FN二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数z1，zA．z1=zC．z1−z10．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2+bA．A=π6 B．a=2，b=3 C．a=2，c=3 D．b=311．几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转体体积也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，平面区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋转区域面积×重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面x−12+y−12≤1绕x轴旋转形成的几何体体积为V1，记半圆面x−12+y−12≤1y≤1重心坐标为x0A．V1=4C．V2<π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知sinαcosα+β−13．已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，满足S3=5，S1214．函数fx=x3+ax+ba,b∈R在点Ax1,fx1，Bx2,fx2处的切线分别记为l四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元.（1）猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；（2）若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求x的值，使得张某先猜谜语A和先猜谜语B所获得的奖金期望相同.16．已知函数f(x)=x（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；（2）若方程f(x)=1a有且只有一个实数根，求实数17．如图，P为圆锥的顶点，AB为底面圆O的直径，C为圆周上一点，D为劣弧BC的中点，OP=1（1）求证：BC⊥PD；（2）E在线段PB上且BE=13BP，当DE//平面POC时，求平面PBC18．如图，双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的虚轴长为2，离心率为（1）求双曲线E的标准方程；（2）若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q.（i）当k=13时，求（ii）当t=−3时，求S△APQ19．已知定义域为N+的函数fn满足：f1=1，fn（1）求f7，f（2）a1,a（3）求S2025

答案解析部分1．【答案】A【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果.【解答】由a∥b可得1x故选：A

2．【答案】D【知识点】集合间关系的判断；补集及其运算【解析】【分析】化简集合Q，根据补集运算和集合间关系判断.【解答】因为Q=xx2所以Q⊆∁故选：D.

3．【答案】B【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解.【解答】以原点为角的顶点，x轴的非负半轴为角的始边，令角α的终边过点A，则α+90∘角的终边过点B(x,y)，且于是sinα=15x=|OB|cos所以点B的坐标为(−1,2).故选：B

4．【答案】C【解析】【分析】对A，根据极差的定义判断；对B，举反例说明；对C，根据平均数的定义，利用反证法证明；对D，举反例说明.【解答】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差，若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误；对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为1,2,2,3，中位数为2，去掉3后，数据为1,2,2，中位数还是2，故B错误；对于C，设原平均数为S=x1+⋯+假设去掉最大值xn后平均数不变，则S=所以S=Sn−xnn−1，解得故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确；对于D，众数不一定改变，如数据为2,2,3,4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误.故选：C.5．【答案】D【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论【解析】【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.【解答】由题意可知，0<a<1,0<b<1,0<c<1.则ab=log则bc=log所以a<b<c.故选：D.6．【答案】B【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用【解析】【分析】先还原几何体，然后根据三棱锥表面积的求法求得正确答案.【解答】还原正方体如下图所示，BC=CD=BD=22，SS△ABD所以四面体ABCD的表面积为6+23故选：B7．【答案】C【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值【解析】【分析】应用周期的定义可判断A；用奇函数和偶函数的定义可判断B；应用求导判断C；特值分析判断D.【解答】A选项：fx+2πB选项：f−xC选项：f'x=cosx+cos2x+cos3xD选项：116=1+12+13，当sin故选：C.8．【答案】C【解析】【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，AB的直线方程x=ty+p2，求出【解答】设Ax1,y1，B因为线段FA,FB的中点分别为M,N，所以Mx根据中位线性质，则d1=x由抛物线的定义可得，d1=FM=1设OM直线方程：y=y联立可得，y=y1x故xp同理可得x又x=ty+p2故y1y则xp=p由AF=3FN，则则2x1=3x则x1=3p4故y1=6故选：C.9．【答案】A,B,C【解析】【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答】设z1=a+bi，则A选项，z1B选项，z1C选项，z1−z所以C选项正确.D选项，设z1=1+i,z则z1故选：ABC10．【答案】B,C【知识点】解三角形；三角形中的几何计算【解析】【分析】由已知可求C=π【解答】因为a2由余弦定理可得2abcos所以tanC=因为C∈0,π，所以C=对于A，当A=π6时，B=π对于B，当a=2，b=3时，由余弦定理可得c2所以c=7所以cosB=4+7−92×2×由b>c>a，所以B>C>A，此时△ABC成为锐角三角形，故B正确；对于C，当a=2，c=3时，由余弦定理可得9=b解得b=1+6，所以cosB=4+9−由b>c>a，所以B>C>A，此时△ABC成为锐角三角形，故C正确；对于D，当b=3，c=2时，由余弦定理可得4=a2+9−2×3×a×由于Δ=9−4×5<0，方程无实根，所以不存在△ABC故选：BC11．【答案】B,C,D【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征【解析】【分析】利用定义及圆的周长、面积公式计算可得A，将该半圆面绕y=1旋转形成球体结合定义计算即可判定B；结合B的结论及图2阴影部分与半个单位圆面积的关系即可判定C；构造半径为1的圆柱减去图2阴影区域的旋转体的纵截面，再构造纵截面为半个单位圆及其内切圆，通过计算得同一截面截取该两个旋转体的面积相同计算即可判定D.【解答】对于A，易知它的重心即其圆心，由定义可知V1对于B，易知该半圆面绕y=1旋转所得的几何体为半径为1的球体，其体积V=4对于C，根据条件易知半圆面x−12V'设点Px则AP2所以图2阴影面积小于半径为1的半圆面积，即V2对于D，图（1）阴影区域满足x2≥y−1≤x≤1图（2）阴影区域满足x2+y设纵坐标为hh∈联立y=hy=x2S1联立y=hx2+S2=π×1−易知V5=1故选：BCD【点睛】思路点睛：第三项，主要在于判定该抛物线与单位圆的覆盖面积关系；第四项，结合祖暅定理构造抛物线与半个单位圆及其内接圆形成截面恒等的结构很关键.12．【答案】−【知识点】两角和与差的正弦公式【解析】【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.【解答】因为sinα即sin−β=−sin故答案为：−13．【答案】3【解析】【分析】设出等差数列的公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案.【解答】设等差数列an的公差为d，则S化简可得3a1+3d=5所以a8故答案为：3.14．【答案】1【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算【解析】【解答】ff'因为l1所以3x12所以x2所以切线l1方程：y=切线l2方程：y=将x=x1，代入l2又x2所以y=3所以C点坐标为x所以AC=又x1所以ACx故答案为：1【分析】利用导数求出切线斜率，由平行条件得到x2=−x15．【答案】（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B则PM（2）设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ则ξ1的取值分别是0，10，10+x，ξ2的取值分别是0，x，Pξ1=0=0.2，所以EξPξ2=0=0.5，所以Eξ由Eξ1=Eξ2【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）要计算张某仅猜对一道谜语的概率，需考虑独立事件的概率加法.（2）涉及期望值的计算，需通过设定变量建立方程求解x的值.（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B则PM（2）设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ则ξ1的取值分别是0，10，10+x，ξ2的取值分别是0，x，Pξ1=0=0.2，所以EξPξ2=0=0.5，所以Eξ由Eξ1=Eξ216．【答案】（1）当a=1时，函数f(x)=x1+ln求导得f'(x)=lnx(1+lnx)2，当所以当x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1，无极大值.（2）函数f(x)=xa+lnx的定义域为令h(x)=f(x)−1a，则当x∈(0,e−a)∪(e−a,e函数h(x)在(0,e−a),(当x=e1−a时，函数h(x)取得极小值①若a<0，当x∈(0,e−a)时，h(1)=f(1)−1a=0，函数当x∈(e−a,+∞)时，h(因此当a<0时，h(x)有唯一零点；②若a>0，当x从大于0的方向趋近于0时，函数h(x)的值趋近于负数−1即当x∈(0,e−a)时，h(x)<0，函数h(x)当x从大于e−a的方向趋近于e−a时，函数当x趋近于正无穷大时，函数h(x)的值趋近于正无穷大，则当且仅当h(e1−a)=0，h(x)有唯一零点，由h(e1−a令φ(a)=ae1−a−1,a>0，求导得φ'(a)=(1−a)e1−a，当0<a<1函数φ(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，因此则方程e1−a−1a=0有唯一解a=1所以实数a的取值范围为a<0或a=1.【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】（1）把a=1代入，求导，找到临界点，再判断极值是否存在.（2）求出函数h(x)，利用导数探讨其单调性及极值，再按a<0,a>0分类处理函数的零点为1个的条件求解.（1）当a=1时，函数f(x)=x1+ln求导得f'(x)=lnx(1+lnx)2，当所以当x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1，无极大值.（2）函数f(x)=xa+lnx的定义域为令h(x)=f(x)−1a，则当x∈(0,e−a)∪(e−a,e函数h(x)在(0,e−a),(当x=e1−a时，函数h(x)取得极小值①若a<0，当x∈(0,e−a)时，h(1)=f(1)−1a=0，函数当x∈(e−a,+∞)时，h(因此当a<0时，h(x)有唯一零点；②若a>0，当x从大于0的方向趋近于0时，函数h(x)的值趋近于负数−1即当x∈(0,e−a)时，h(x)<0，函数h(x)当x从大于e−a的方向趋近于e−a时，函数当x趋近于正无穷大时，函数h(x)的值趋近于正无穷大，则当且仅当h(e1−a)=0，h(x)有唯一零点，由h(e1−a令φ(a)=ae1−a−1,a>0，求导得φ'(a)=(1−a)e1−a，当0<a<1函数φ(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，因此则方程e1−a−1a=0有唯一解a=1所以实数a的取值范围为a<0或a=1.17．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面POD，即可证明；（2）解法一：在OB上取点F，使得BF=13BO，连接EF，由线面平行的性质定理可得FD∥OC，然后设OD与BC交于点G，连接PG，即可得到∠PGO就是平面PBC与平面ABC（1）证明：如图，连接OD，因为D为BC的中点，所以OD⊥BC，又因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，OD∩PO=O，OD,PO⊂平面POD，所以BC⊥平面POD，PD⊂平面POD，则BC⊥PD.（2）解法一：在OB上取点F，使得BF=13BO，连接EF又EF⊄平面POC，PO⊂平面POC，故EF//平面POC，又DE//平面POC，且DE∩EF=E，DE,EF⊂平面EFD，所以平面EFD//平面POC，且平面EFD∩平面OBC=FD，平面POC∩平面OBC=OC，所以FD∥OC，则∠COD=∠FDO，又∠COD=∠FOD，所以∠FOD=∠FDO，所以FD=FO=23OD设OD与BC交于点G，连接PG，则OG⊥BC，又因为PB=PC，所以PG⊥BC，所以∠PGO就是平面PBC与平面ABC夹角，因为cos∠FOD=OGOB=即平面PBC与平面ABC夹角的余弦值为35解法二：如图，以O为坐标原点，OB，OP为y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设OP=OB=3，则B0,3,0，P0,0,3，设∠DOB=θ，则∠COB=2θ，设D3sin因为OP=0,0,3，OC=3由n1⋅OP又ED=3sinθ,3cosθ−2,−1因为即3sinθcos于是sin2θ=378，cos2θ=又PB=0,3,−3，设平面PBC的法向量为则n2⋅PB又平面ABC的一个法向量为n3=0,0,1，设平面PBC与平面ABC则cosα=n2⋅n3n（1）证明：如图，连接OD，因为D为BC的中点，所以OD⊥BC，又因为PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，OD∩PO=O，OD,PO⊂平面POD，所以BC⊥平面POD，PD⊂平面POD，则BC⊥PD.（2）解法一：在OB上取点F，使得BF=13BO，连接EF，则又EF⊄平面POC，PO⊂平面POC，故EF//平面POC，又DE//平面POC，且DE∩EF=E，DE,EF⊂平面EFD，所以平面EFD//平面POC，且平面EFD∩平面OBC=FD，平面POC∩平面OBC=OC，所以FD∥OC，则∠COD=∠FDO，又∠COD=∠FOD，所以∠FOD=∠FDO，所以FD=FO=23OD设OD与BC交于点G，连接PG，则OG⊥BC，又因为PB=PC，所以PG⊥BC，所以∠PGO就是平面PBC与平面ABC夹角，因为cos∠FOD=OGOB=即平面PBC与平面ABC夹角的余弦值为35解法二：如图，以O为坐标原点，OB，OP为y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设OP=OB=3，则B0,3,0，P0,0,3，设∠DOB=θ，则∠COB=2θ，设D3sin因为OP=0,0,3，OC=3由n1⋅OP又ED=3sinθ,3cosθ−2,−1因为即3sinθcos于是sin2θ=378，cos2θ=又PB=0,3,−3，设平面PBC的法向量为则n2⋅PB又平面ABC的一个法向量为n3=0,0,1，设平面PBC与平面ABC则cosα=n2⋅n3n18．【答案】（1）x（2）（i）t∈−∞【解析】【分析】（1）由虚轴及离心率可得a，（2）令Px0,y0，设直线BC为：y=−1kx+m，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得x0=−4kmk2−4，y0=mk2k2−4.（i）代入k=1（1）由题知b=1ca=52（2）令Px0,y0，设直线BC为：y=−1k设Bx则x0=x（i）当k=13时，x0由13=k=y又因为△>0，即k2所以t=3（ii）由题知Q0,m，A因为k=y所以m=3k2−45k则PA=xPQ=x又mkk2则PQ=144则S△APQ当k=±1取得，此时m2综上，S△APQ的最小值为36【点睛】关键点睛：对于双曲线中所涉及的范围问题，常利用双曲线上点的横坐标范围，判别式，点与双曲线位置关系求解；对于最值问题，常先找到所求量关于某变量的表达式，再利用函数知识或基本不等式求解.（1）由题知b