2024人教版七年级数学下册第七章《相交线与平行线》每课时教案汇编（含9个教案）

人教版初中数学七年级下册

7.1课时1两条直线相交教案

一、教学目标:

1.理解两条直线相交的特征及邻补角与对顶角的概念.

2.掌握邻补加与对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单的实际问题.

二、教学重、难点：

重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.

难点：理解对顶角相等的性质.

三、教学过程:

情境引入

你能在身边找出一些相交线的实例吗?

知识精讲

思考：作过程，你能发现它的角有什么变化？如果把剪刀的构造看做两条相交的直线，你们想

想它是一种怎样的几何结构？

如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交；公共点叫做这两条直线的交点.

上图的几何描述为：直线AB、CD相交于点O.

探究：任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎

样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.

两直线相交所形成的角两两配对位置关系大小关系

Z1

Z2

Z3

XZ4

c

2

AB

形如A与22有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线（乙1和42互补），具有这种

关系的两个角，互为邻补角.

图中还有哪些角也是邻补角呢？

形如N1与乙3有一个公共顶点0,并且"的两边分别是43的两边的反向延长线，具有这

种位置关系的两个角，互为对顶角.

图中还有哪些角也是对顶角呢？

zl与Z3在数量上又有什么关系呢？

对顶角相等

•・•41与N2互补,乙3与乙2互补（邻补角的定义）

・•二1二乙3（同角的补角相等）

（注：”•户表示“因为”，表示“所以”）

典例解析

例L下列四个图形中，乙1和Z2是对顶角的是（）.

【分析】解：A.两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；

B.两角没有公共顶点，两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线,

不符合题意；

C.两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；

D.两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意;

故选：D.

【针对练习】下列各图中，Z1与乙2是对顶角的是（）

例2.如图，直线。、〃相交，£1=40。，求乙2、乙3、乙I的度数.

A

42二180O-z1=180°-40°=140°

由对顶角相等，得

匕3=41=40。

乙4=22=14()。

【针对练习】如图，取两根木条a、b,将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到

一个相交线的模型.你能说出其中的一些邻补角与对顶角吗？如果乙a=35。，其他二个角各是多

少度？如果”等于90。、115。、m。呢？

解：21与Na,43与4a,41与乙2,匕2与乙3是

邻补角；乙1与乙3,42与乙a是对顶角.

当"=35。时,乙1=145。,乙2=35。,当二145。；

当za=90。时，21=90°,42=900,z3=90°；

当za=115。时，zi=65°,42=115。，z3=65°；

当z_a=m。时，zl=(180-m)°,z2=m°,z.3=(180-m)°.

例3.如图，直线AB、CD,EF相交于点O,乙1=40。，zBOC=HO°,求42的度数.

解：♦.21=40。，NBOC=110。(已知),

.-.zBOF=^BOC-zl

=110°-40°=70°.

又ZBOFUNZI对顶角相等），

，42=70。（等量代换）.

【针对练习】1.如图，直线AB、CD、EF相交，若41+/5=180。,找出图中与相等的角.

W：vzl=z3（对顶角相等）

△5+48=180。且+z5=180°

/.z8=Z.1

vz8=z6（对顶角相等）

.*.z6=z.1.

2.如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若乙2=乙5,找出图中与乙2互补的角.

解：vzH-z2=180°,Z2+Z3=180°

的补角有乙1和43

vz5+z8=180°,Z5+Z6=18()O>z2=z5

•Z2的补角有乙6和48

例4.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分NBOD,ZDOE=28°,且OEJ.OF.求匕AOC和

4AOF的度数.

D

A

解：TOE平分々BOD,ZDOE=28°,

.-.zDOE=zEOB=28°,

X-.-zAOC=zBOD,

.-.ZAOC=ZDOE+ZEOB=28°+28°=56°,

vEO1OF,

AZEOF=90°,

AZBOF=ZEOF-zBOE=90°-28°=62°,

AZAOF=180°-zBOF=180°-62°=118°.

【针对练习】如图，直线AB和直线CD相交于点0,OB平分4DOE.若乙DOE：zEOC=2：3,

求乙AOC的度数.

解：+NEOC=180。，fizDOE：zEOC=2：3,

zDOE=-xl80°=72°,

5

v0B平分4DOE,

/.zBOD=-zDOE=36°,

2

zAOC=zBOD=36°.

课堂小结

1.不节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【没计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1.三条直线交于一点，则共有对顶角的对数为（）

A.4对B.5对C.6对D.8对

2.直线AB、CD相交于点O./AOCZAOD=2:3,4BOD的度数为（）

A.360B.42C.720D.1I20

3.直线AB、CD相交于点0,ZAOD与4B0C的和是236。，贝吐AOC的度数为（）

4.如图，zl+z2=（）

A.60B.90°C.110°D.180°

5.点0在直线AB上，射线OC平分NDOB.若乙COB=35YAOD等于（）

A.35°B.70°C.110°D.1450

6.直线AB、CD相交于点0,因为21+23=180°,42+43=180。,所以乙1二乙2,其推理依据为（）

7.已知，N1与42是对顶角，乙2与匕3是邻补角，则"+43二.

8.如图（2）,直线AC和BD相交于点O,那么NAOD的对顶角是_______,NAOB的邻补角是

9.如图(3),直线a,b相交，zl=32°,贝叱2二/3=,z4=,

10.如图（4）,直线AB,CD相交于点O,NAOE=90。，则NAOC和NBOD是ZAOC

与匕AOD互为，ZAOC与乙DOE的关系是.

11.直线AB、CD交于点O,OE是4AOD的平分线，已知NA0050。,求4DOE的度数.

12.如图所示，三条直线AB,CD,EF相交于点O/AOF=3乙FOB/AOL90。,求匕EOC的度数.

【参考答案】

1.C

2.C

3.A

4.B

5.C

6.D

7.180°

8.ZBOC,AODZBOC

9.148°,32°,148°

10.对顶角，邻补角，互为余角

11.z.AOC=50°

.-.ZAOD=18()°-ZAOC

=180o-50°

二130。(邻补角的定义)

vOE平分4AOD

/.zDOE=-zAOD=-x13（）。=65。（角平分线的定义）

22

12/AOF+NFOB=180。（邻补角定义）

ZAOF=3ZFOB

.-.3rFOB+zFOB=180°

解得NFOB=45。

.••乙A3E=NFOB=45°（对■顶角相等）

.,.ZEOC=Z.AOC-Z.AOE

=90°-45°

=45°

四、教学反思：

本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的生活

密不可分；学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学

更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展.

人教版初中数学七年级下册

7.1课时2两条直线垂直教案

一、教学目标：

1.理解垂线的有关概念、性质及画法；

2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.

二、教学重、难点：

重点：垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.

难点：对点到直线的距离的概念的理解.

三、教学过程：

情境引入

观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？

知识精讲

在相交线的模型中，固定木条a,转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角

乙a也会发生变化.

h

当4=90。时，我们说a与b互相垂直,记作alb.

当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直

线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.

7"B

D

如上图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB1CD,垂足是O；

直线m与直线n垂直，记作：mln；

“1”是“垂直”的记号,读作“垂直于”;

而\”是图形中“垂直”（直角）的标记.

垂直的定义有以下两层含义：

l.；AB_LCD（已知）2「.21=90。（已知）

.•21=90。（垂直的定义）.-.AB1CD（垂直的定义）

日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的木条.

EMTI，r8一8

J!I!!!!S

你能再举出其他例子吗？

做一做

1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？

2.如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？

探羯

1月三角尺或量角器画已知直线1的垂线，这样的垂线能画出几条?

2.经过直线1上一点A画1的垂线，这样的垂线能画出几条？

3.经过直线1外一点B画1的垂线，这样的垂线能画出几条?

B

A

经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.即在

同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

典例解析

例1.如图所示，P是4AOB的边OB上一点.

交0A于点C;⑵过点P画OA的垂线，垂足为H.

解:（1）直线PC为所求;（2）直线PH为所求.

B,

【针对练习】画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.如图，请你过点P画出

线段AB或射线AB的垂线.

.P

APB

(1)

知识精讲

思考：如图，在灌溉时,要把河中的水引到农田p处如何挖渠能使渠道最短?

探究：如图，连接直线।外一点P与直线1上各点O,Ai,A2,A3,A4,A5,…，其中PO_L1

（我们称PO为点P到直线1的垂线段）.比较线段PO,PAi,PA2,PA3,PA4,PA5,…的长短,

这些线段中，哪一条最短？

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如果图中比例尺为1:100000,水

渠大约要挖多长？

则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.

我们如何测量立定跳远的成绩？

典例解析

例2.如图所示，ZBAC=9O°,AD1BC,垂足为D,则下列结论中，正确的个数为()

①ABJLAC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距

离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【针对练习】1.如图，AB_LAC于A,ADJLBC于D,DEJLAC于E,下列说法错误的是()

A.点A到BC的距离是AD的长度B.点B到AD的距离是BD的长度

C.点C到AD的距离是DE的长度D.点B到AC的距离是AB的长度

A

2.已知点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上三点，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,

则点P到直线m的距离为（）

A.4cmB.5cmC.小于2cmD.不大于2cm

例3.如图，直线BC与MN相交于点O,AO1BC,zBOE=zNOE,若4EON=20。，求2AoM

和£NOC的度数.

...ZBON=24EON=40。，

.-.zNOC=180°-zBON

=180°-40°=140°,

ZMOC=ZBON=4()°.

•.AOIBC,

.-.ZAOC=90°,

.-.ZAOM=ZAOC-ZMOC=90。-40°=50°,

.-.zNOC=140。，zAOM=50°.

【针对练习】如图，AB交CD于O,OEJ_AB.若NAOC:匕BOC=1:2,求4EOD的度数.

解；vziAOC:ziBOC=1:2,zAOB=180°,

.-.ZAOC=izAOB=60°,

3

vOE1AB»

AZAOE=90°,

.-.zDOE=180°-90°-60°=30°.

课堂小结

।.△节课你有哪些收获？2.还rr没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1.下列说法正确的有（）

①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；

④在平面内，有旦只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图（2）,OA1OB,若21=40。，则42的度数是（）

A.20°B.40°C.50°D.60°

3如图（3）,直线h与12相交于点O,0MU,若4=44。,则N0等于（）

A.56°B.46°C,45°D.44°

4.已知点A,与点A的距离是5cm的线段可画（）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

5.如图，ONLQMJLl,则OM与ON重合的理由是（）

A.过两点只有一条直线

B.经过一点只有一条直线垂直于已知直线

C.在同一平面内，过一点只能作一条已知直线的垂线

D.垂线段最短

M

N

1

0

6.如图，P010R,0Q1PR,则点0到PR所在直线的距离，可用哪条线段的长来表示()

A.POB.ROC.OQD.PQ

7.看图⑴填空:⑴直线AD与直线CD相交于点;(2)__LAD,垂足为点;AC1,垂足

为点.

8.如图(2),当N1和乙2满足时，能使0AJJ3B(只需填一个条件即可).

9.如图⑶，直线AB,CD相交于点。若NEOD=40。，ZB0C=13()°,那么射线OE与直线AB的

位置关系是____________.

10.如图，点M、N分别在直线AB、CD上,MFJLCD.

⑴点M和点N的距离是线段的长；

(2)M点到CD的距离是线段的长.

A

MB

D

11.如图，三角形ABC中，ZABC=90°,BD1AC,DE1BC.

(1)点A到直线BC的距离是线段的长度；

(2)点B到直线AC的距离是线段的长度；

(3)点D到直线BC的距离是线段的长度；

(4)线段AD的长度是点一到直线的距离.

12.如图，在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便(即距离最近),

请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.

P•张庄

13.如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边

钓鱼，怎样走路行程最短，请画出行走路径，并说明理由.

•A

B-

14.如图，直线AB与CD相交于点O,OE1CD,OF1AB,求乙BOE和NAOC的度数.

F

15.如图，已知直线AB、CD、EO相交于O点，NEOF=31。，4Aoe=28。，OF平分乙DOE,则

OE,OB是什么位置关系?请说明理由？

【参考答案】

1.B

2.C

3.B

4.D

5.C

6.C

7.(1)D;(2)BE,E,CD,C

8.zl+z2=90°

9.OE1AB

10.MN,MF

11.AB,BD,DE,A,BD

12.解:过点P作PQ11,垂足为Q,则点Q为所求作的点理由:垂线段最短.

13.解:连接AB,过点B作BCJL1,垂足为C,则AB十BC的行程最短.

理由:两点之间线段最短及垂线段及短.

14.解:•••OF_LAB,OE1CD（已知）

.♦.NBOF=NDOE=90。（垂直定义）

/.z.BOD=zBOF-zDOF=90o-65o=25°

.•.zBOE=zDOE-zBOD=9O°-25°=65。

.•2AOC=NBOD=25。（对顶角相等）

15.解:OE_LOB.理由如下：

•••OF平分ZBOE

.-.ZDOF=ZEOF=31°（角平分线定义）

••2B0D=zA0O28。（对顶角相等）

/.ZEOB=ZEOF+ZDOF+ZBOD=31°+31°+28=90°

.-.OE1OB（垂直定义）

四、教学反思：

本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况一垂直，可类比前而两条直线相交时的一般情况学

习新知识.经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能

激发学生学习数学的兴趣，使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展.从本节课的授课

过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组

织学生活动等.调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用.课堂拓展了学生的学

习空间，给学生充分发表意见的自由度.

人教版初中数学七年级下册

7.1课时3两条直线被第三条直线所截教案

一、教学目标：

1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念；

2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；

3.从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简，化难为易的化归思想.

二、教学重、难点:

重点：理解同位角、内错角、同旁内角的概念.

难点：能在图形中识别同位角、内错角、同旁内角.

三、教学过程:

问题引入

三线八角

如果有两条直线和另一条直线相交，可以得到几个角？

八个角

通常说：两条直线被第三条直线所截.

如：直线a、b被直线c所截.

知识精讲

同位角

观察图中乙1和25的位置关系.

两角的位置分别在直线AB,CD的同一方（上方），并且都在直线

F

EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

△2和26是同位角吗？图中还有没有其他的同位角？

标记出它们.

-2和N6,43和N7,44和乙8都是同位角.

内错角

观察图中23和乙5的位置.关系.

两角的位置都在直线AB,CD之间，并且分别在直线EF两侧亿3在直线EF左侧，45在

直线EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.

图中还有其它内错角吗？Z.4和46是内错角

同旁内角

观察图中N3和N6的位置关系.

两角的位置都在直线AB,CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置关

系的一对角叫做同旁内角.

图中还有其它同旁内角吗？44和乙5是同旁内角

同位角、内错角、同旁内角的结构特征：

注：上述三类角类似于对顶角都是成对出现.不能说哪个角是同位角、内错角、同旁内角.

典例解析

例1.⑴若ED,BF被AB所截,则41与是同位角；(2)若ED,BC被AF所截，则/2与

是内错角；(3)乙1与42是AB和AF被所截构成的角；(4)4B与44是和

被BC所截构成的角.

【针对练习】1.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

51

:一二L

解:⑴同位角21和/5；42和乙6；乙3和N7；24和48.

内错角23和乙5；44和26.同旁内角23和4；内和石.

(2)同位角21和乙3；42和乙4.同旁内角22和N3.

2.如图，ZB与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线

所截形成的？对NC进行同样的讨论.

解：乙B与乙DAB是内错角，乙B与NEAB是同旁内角，它们都是直线DE,BC被直线AB所

截形成的；

4B与NBAC是同旁内角，它们是直线BC,AC被直线AB所截形成的；

△B与NC是同旁内角，它们是直线AB,AC被直线BC所截形成的.

例2.如图，直线DE,BC被直线AB所截.

(1)乙1和乙2,乙1和乙3,乙1和乙4各是什么位置关系的角？

(2)如果/1=N4,那么乙1和乙2相等吗？Z1和43互补吗？为什么?

答：⑴乙1和Z2是内错角，21和N3是同旁内角，

Z.1和N4是同位角.

(2)如果乙1=乙4,由对顶角相等，得22=乙4,那么乙1=乙2.

•・•，4和43互补，即44+匕3=180。

又zl=z4

/.zl+z3=180°,即41与43互补.

【针对练习】两条直线被第三条直线所截，和，2是同旁内角，43和乙2是内错角.

(1)根据上述条件，画出符合题意的示意图；

(2)若21=3/2、z2=3z3,求zl,42的度数.

解：(1)如图，下图为所求作.

(2)v=3乙2,42=3乙3,

:.zl=9z3,

又•:Z1+Z3=180°,

:.943+乙3=180°,

:.Z3=18°,

zl=162°,42=54°.

例3.如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？

41和22：Z2和46；46和NA；乙3和乙5；43和24；44和47.

解：和N2是直线ED和直线BD被直线AB所截而产生的同位角;

乙2和N6是直线AB和直线AC被直线BD所截而产生的内错角；

乙6和ZA是直线AB和直线BD被直线AC所截而产生的同位角；

乙3和25是直线ED和直线CD被直线EC所截而产生的同旁内角；

乙3和N4是直线ED和直线BC被直线EC所截而产生的内错角；

乙4和Z7是直线BE和直线BC被直线EC所截而产生的同旁内角.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【没计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1.如图(1),直线AB.CD被直线EF所载.则乙3的同旁内角是()

A.Z1B.z2C.z.4D.Z.5

2.如图(2),下列说法正确的是()

①乙1和乙3是同位角；②乙1和45是同位角；

③人和44是内错角；④44和45是同旁内角.

A.zAfllzB是同旁内角B.zA和是内错角

C.Z1和匕3是内错角D.ZC和43是同位角

4.如图(4),按各组角的位置，判断错误的是()

A.Z1与乙A是同旁内角B.Z3与44是内错角

C.Z5与46是同旁内角D/2与45是同位角

5.如图(5),下列说法正确的是()

A.zl与乙4是同位角B.rl与乙3是同位角

C.Z2与乙4是同位角D/2与乙3是同位角

8.如图:(1)乙1、△2、△3、44、25、46是直线、被第三条直线所截而成的;

(2)乙2的同位角是______,41的同位角是______.

(3)乙3的内错角是______，乙4的内错角是.

(4)乙6的同旁内角是____________，45的同旁内角是.

9.如图，请从:①同位角;②内错角;③同旁内角;④对顶角;⑤邻补角;⑥以上都不是.选出正确答

案,并把它的代号填入题后的括号内.

(1X1与NB();

(2)乙2与zlB(___);

(3)乙3与乙B();

(4)乙4与4EAF();

(5)乙C与NBAE();

(6)乙BAF与4DAG();

⑺乙B与NBAF().

E

G

w

10.如图,直线AB、CD被EF所截，如果内错角乙1和/2相等,那么同位角乙1和乙4相等吗?

同旁内角乙1和互补吗?请说明理由.

【参考答案】

1.B

2.C

3.B

4.C

5.D

6.⑴⑵⑶

7.4EAF、ZCAF

8.(l)AB,AC,EF;(2)z5,(3)z6,z5；(4)NA、Z5,乙3.

9.⑴⑥;⑵②;⑶③;(4)⑤;(5)①;(6)④;⑺③.

10.解:41二44,乙1和乙3互补.理由如下：

"1二乙2,且乙2二44(对顶角机等)

-,.zl=z.4

•.•42+43=180。(邻补角定义)

••21+23=18()。

即乙1和23互补.

四、教学反思：

本节课以学生交流、合作、探究贯穿始终，在教学过程中，给学生的思考留下了足够的时间和

空间，由学生自己去发现结论.学生在经历发现问题、探究问题、解决问题的过程中，对“三

线八角”的概念准确理解并掌握.培养学生动手、合作、概括能力，同时也提高思维水平和探

究能力.

人教版初中数学七年级下册

7.2课时1平行线的概念教案

一、教学目标：

1.理解平行线的定义；

2.掌握平行线的画法及平行公理及其推论.

二、教学重、难点：

重点：能借助三角板，方格纸等画平行线并探索平行线的基本事实及推论.

难点：探索平行线的基本事实及推论.

三、教学过程：

情境引入

你喜欢滑雪运动吗？早在5000年前，人们就把滑雪作为雪上旅行的一种方式，今天滑雪在许

多国家和地区都是一项十分普及的运动.

你知道滑雪运动最关键是什么吗？滑雪运动最关键是要保持两只雪橇板的平行！

知识精讲

思考：如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三

条直线.转动直线a,想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？

平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

（在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.）

平行线在生活中是很常见的，你能在下面的图片中找出平行线吗？

我们知道了平行线的定义后，如何用几何语言来描述平行线呢？

通常用"II”表示平行，读作“平行于

如下图中直线AB与直线CD平行，记作ABIICD.

如果用1,m表示这两条直线，那么直线I与直线m平行记作l||m.

思考：在图中转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与b平行?

（，

平行线画法

一放

思考：如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，它和

前面过点B画出的直线平行吗？

C.c

B.B

可以发现一个基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

（平行公理的推论）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

----------------c

----------------h

也就是说：如果blla,clla,那么bile.几何语言：・・・b||a,clla,・・.b||c.

典例解析

例L下列说法中，错误的有（）

①若a||b,b||c,则a||c；②若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；

③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】根据平行线公理及推论可知，①正确；

若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，②错误;

对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误.

故错误的有3个，故选：A.

【针对练习】下列说法中，正确的是（）

A.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行

B.不相交的两条直线一定平行

C.有旦只有一条直线垂直已知直线

D.连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短

例2.如图，在4AOB内有一点P.

⑴过点P画h〃OA;

（2）过点P画h//OB;

（3）用量角器量一量11与12相交的角与NO的大小有怎么关系?

解:（1）、（2）如图所示，

⑶相等或互补.

B,

h

D/%h

【针对练习】如图，P是NABC内一点，按要求完成下列问题:

⑴过点P作AB的垂线，垂足为点D：

⑵过点P作BC的平行线，交AB于点E；

(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由.

(2)如图所示：PE即为所求;

(3)PD<PE,

理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

例3.如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1,点M、N、P、Q均为格点(格

点是指每个小正方形的顶点)，线段MN经过点P.

⑴过点P画线段AB,使得线段AB满足以下两个条件：①AB1MN；②AB=MN；

（2）过点Q画MN的平行线CD,CD与AB相交于点E；

⑶若格点F使得△PFM的面积等于4,则这样的点F共有个.

解:（1）（2）作图如下；

（3）如图,符合题意的点F有6个.

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

I.同一平面内的两条线段，下列说法正确的是（）

A.一定平行B.一定相交C.可以既不平行又不相交D.不平行就相交

2.在同一平面内，下列说法中错误的是（）

A.过两点有且只有一条直线

B.过一点有无数条直线与已知直线平行

C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

3.在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则它们交点的个数为（）

A.OB.lC.2D.3

4.下面语句，错误的是（）

①直线AB与CD平行，则AB上所有点都在CD的同侧；

②在同一平面内，如果射线AB与射线CD不相交，那么直线AB和直线CD平行;③在同一平面

内，如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；

④如果a//b,b〃c,那a//c.

A.②和④B.①和②C.②和③D.①和④

5.已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平行也不垂直的直线是

()

A.EAB.GHC.EFD.HC

6.如图的网格纸中，AB//,AB1

7.直线1同侧有A,B,C三点，若过A,B的直线h和过B,C的直线12都与I平行，则A,B,C

三点,理论根据是________________________________________________.

8.如图，取一张长方形的硬纸片ABCD,将其对折，MN是折痕，把而ABNM平摊在桌面上，

另一面CDMN不论怎样改变位置，总有MN//，MN//,因此

9.读下列语句，并画出图形：

(1)点P是直线AB外一点，直线CD经过点P,且与直线AB平行；

⑵直线AB,CD是相交直线，点P是直线AB,CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB

平行，与直线CD相交于点E.

10.在如图方格纸中有三条直线l,m,n,请在图中分别画出三条直线的平行线，并用符号表示它

【参考答案】

I.C

2.B

3.C

4.C

5.D

6.CD,AE

7.在一条直线上，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8.AB,CD,AB,CD

9.解：

本节课以学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的生活密不

可分.经历观察多媒体的演示和通过画图等操作，交流归纳与活动，进一步培养学生的空间想

象能力.

人教版初中数学七年级下册

7.2课时2平行线的判定教案

一、教学目标:

1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判断两条直线是否平行；

2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.

二、教学重、难点：

重点：理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进夕亍简单的推理应用.

难点：平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.

三、教学过程：

复习回顾

1.平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.记作：allb.

--------------------b

2.基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

3.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（也就是

说:如果b||a,c||a,那么bile几何语言：b||a,c||a,Abile.)

C

b

做做

如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.

P

AB

知识精讲

思考：在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别起着什么样的作用？

可以看出，画直线AB的平行线CD,实际上就是过点P画与42相等的N1,而42和

正是直线AB,CD被直线EF截得的同位角，这说明，如果同位角相等，那么ABIICD.

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

几何语言:

vzl=z2.-.ABIICD

如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？

vzBEF=z.ECD

.♦.CDIIEF(同位角相等，两直线平行)

思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角.由同位角相等，可

以判定两条直线平行，那么，能否利用内错角，或同旁内角来判定两直线平行呢？

猜一猜：

(1)内错角满足什么关系时？两直线会平行?

（2）同旁内角满足什么关系时？两直线会平行?

如图，如果22=43,你能得出a||b吗?

解：a||b

•••，2=43（已知）

41二3（对顶角相等）

/.zl=z2（等量代换）

・••allb（同位角相等,两直线平行）

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

vzl=z2ABHCD

如图，如果42+乙4=180。,你能得出allb吗?

解:allb

•••/2+44=18（）。（已知）

ZJ+44=180。（邻补角定义）

.••一=42（同角的补角相等）

allb（同位角相等,两直线平行）

还有其他的方法吗？

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

vzl+z2=180°/.ABHCD

感悟：遇到一个新问题时，常常把它转化为己知的（或己经解决的）问题来解决.这一节中，我

们利用“同位角相等，两直线平行”得到了“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直

线平行”.因此，在解题的过程中，可以用这种思路去分析实际问题，从而解决问题.

【归纳】

同位角相等，两直线平行.

内错角相等，两直线平行.

同旁内角互补，两直线平行.

几何语言：

判定1：vzl=z2ABHCD

判定2：vzl=z4.-.ABHCD

判定3：•••41+43=180。AB||CD

典例解析

例1.如图，AB1EF于点B,CD_LEF于点D,Z1=42,试判断BM与DN是否平行，为什么？

解：BM||DN；理由如下：

vABlEF,CD1EF,

.ZABE=4CDE=9O。（垂直的定义），

,・21=22,

AZABE—z.1=z_CDE一乙2,

即匕MBE=4NDE,

.•.BM||DN（同位角相等，两直线平行）.

【针对练习】已知：如图，CF平分乙ACM,乙1=72。，Z2=36°,判断CM与DN是否平行，并

说明理由.

ACDB

F\M

解：CMIIDN

vCF平分4ACM

/.zACM=2zl

vzl=72°

/.ZACM=2Z1=144°

.•.zBCM=180°-144°=36°

♦・22=36。，

.•z2=ZBCM.

.••CMIIDN

例2.如图，点G在CD上，已知NBAG+NAGD=180。，EA平分/BAG,FG平分NAGC.

请说明AEHGF的理由.

解：因为乙8人6+乙*3口=180。[已知)，

△AGC+NAGD=180°(),

所以4BAG二4AGC().

因为EA平分4BAG,

所以4]=|zlBAG().

因为FG平分4AGC,

所以乙2带________,

得21=42(等量代换)，

所以(____________________

【针对练习】已知如图所示，4B=A,点B、A、E在同一条直线上，ZEAC=ZB+ZC,且AD

平分NEAC,试说明ADIIBC的理由.

解：理由如下：

•；AD平分NEAC,

•••Z.1=—Z.EACj

2

vzEAC=Z.B+z.C,Z.B=ZC.

AZC=-ZEAC,

2

••zC=zJ,

.-.ADIIBC.

例3.如图，己知乙1=23,zl+z2=180°.

(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由;

(2)若BF1AC,Z2=140°,求，AFG的度数.

(1)解：BFIIDE,理由如下：

VZ1=z3,Z14-Z2=180°.

.-.z3+Z2=180°.

.-.BFHDE；

(2)解：vz.1+Z2=180°,Z.2=140°,

••21=40。，

vBFlAC,

/.ZAFB=9O°,

.•.ZAFG=ZAFB-Z1=5O°.

【针对练习】如图，已知乙A=/C,41与乙2互补，试说明AB和CD的位置关系并说明理由.

解：ABHCD,理由如下：

・21与N2互补,即乙"乙2二180。，

.-.ADHBC,

.•.ZA+ZABC=18O°,

vz.A=Z.C,

.-.zC+zABC=180°,

.-.ABHCD.

课堂小结

1.不节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

I.如图所示，直线a,b被c所截，现给出下列四个条件：

①乙"/5；②乙3+/6=180。；③42+43=180。；④44=45.其中能判定a//b的条件有序号是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

2.如图，下列条件中，能判断直线5//12的是（）

A.z2=z3Bxl=z3C.z4+z5=180°Dx2=z4

3.如图，下列条件中，能判断直线h//12的是()

Azi二42B.z1=z5C.zl+z3=180°D,z3=z5

A.若zJ=z_4,贝ijm//cB.若zJ=z_2,则a//b

5.如图⑴，光线AB,CD被一个平面镜反射，此时乙1二/3/2二44,贝ljAB〃BEDF.

6.如图(2),已知NOIOO。，若增加一个条件，使得AB//CD,试写出符合要求的一个条

件:.

7.如图，4B=Z3,则//,根据的是;若42=乙^,则

//，根据的是_______________________________;若42=4E,则//,根据的

是;^zB+zBCE=18O°,5!iJ//,根据

(1)由2CBE=NA可以判定哪两条直线平行？根据什么？

⑵由NCBE=NC可以判定哪两条直线平行？根据什么？

9.如图,21=42=55。，43等于多少度?直线AB、CD平行吗?说明你的理由.

AC

BD

10.如图,已知NB=60。,ZADE是乙B的2倍，那么直线EF与BC平行吗?请说明理由.

11.小明有一块小画板，他想知道它的上、下边缘是否平行，而小明身边只有一个量角器，你

能帮他解决这一问题吗?

【参考答案】

1.A

2.B

3.C

4.C

5.CD,||

6.zFEB=100°

7.AB,CE,同位角相等,两直线平行;AB,CE,内错角相等,两直线平行;AC,DE,内错角相等,

两直线平行;AB,CE,同旁内角互补，两直线平行.

8.解：（1）VZCBE=ZA

ADIIBC（同位角相等，两直线平行）

（2"ZCBE=ZC

「.CDIIAE（内错角相等，两直线平行）

9.解：z3=55°,AB//CD.

4=42=55。（已矢口）

△2二匕3（对顶角相等）

二/3=41=55。（等量代换）

AAB//CD（同位角相等，两直线平行）

1（）.解:EF//BC.

vZB=6O°（已知）

AZADE=2ZB=12O°（已知）

ZBDF=^ADE=12O°（对顶角相等）

:.zB+z.BDF=180°（等式的性质）

EF//BC（同旁内角互补，两直线平行）

11.解:在上、下边缘之间画一条线段AB（如图所示），得到四个角.利用量角器测量出"和44（或

乙1和乙3或n2和/3或22和4）中的一组角的度数.然后利用内错角相等，两直线平行或同旁内

角互补，两直线平行来判定上、下边缘是否平行.

A

B

四、教学反思:

平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的

性质、三角形、四边形等知识打下基础，在整个初中几何中占有非常重要的地位.学生虽然已

经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的基础，但学生在文字语言、符号语言

和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡，还需

逐渐提局.

人教版初中数学七年级下册

7.2课时3平行线的性质教案

一、教学目标：

1.掌握平行线的性质，会运月两条直线是平行关系判断角相等或互补;

2.能够根据平行线的性质进行简单的推理.

二、教学重、难点：

重点：理解平行线的性质

难点：能运用平行线的性质进行推理证明.

三、教学过程：

复习回顾

根据右图，填空：

①如果N1=4C,

那么—II—()

②如果ZJ=NB

那么II()

③如果Z2+4B=18O。，

那么—II—()

E

CD

问题：通过上题可知平行线的判定方法是什么？

1,同位角相等।

2.内错角相等1小两宜线平行

3.同旁内角互补

思考：反过来，如果两条直线立行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?

知识精讲

探究：利用坐标纸上的直线或者用直尺和三角尺画两条平行线allb,然后，画一条截线C与这

两条平行线相交，度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：

角N2Z3N4-----------务卜

------a

度数________

------b

/C

猜一猜：两条平行线被第三条直线所截，同位角______,内错角______,同旁内角______.

平行线的性质

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.Vi

简单说成：两直线平行，内错角相等.

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.\°

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

几何语言：

性质1：a||bz.l=z3性质2：a||bz.2=z4

性质3：TalibZ2+Z3=18O°

思考：如图，你能根据性质1,说出性质2成立的道理吗？

va||b（已知）c

•••z1=z2（_______________________）----—a

又•・•匕1二—（对顶角相等）卜b

：♦42二43（）

如图，你能根据性质1,说出性质3成立的道理吗？

va||b（已知）

AZ1=Z2（两直线平行，同位角相等）%

又•・•41+乙3=180。（邻补角定义）~P―

乙2+乙3=18（）。（等量代换）----4-----b

典例解析

例1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得4A=100。，ZB=115°,梯形的另外两个角分别是多

少度？

解：如图，因为梯形上、下两底AB与CD互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可

得2A与乙D互补，4B与乙C互补.

D；1------------，C

t/

于是ND=