过关检测5 解析几何-2026新高考数学二轮复习突破训练

专题过关检测五解析几何

（分值.150分）

一'选择题:本大题共8小题.每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1.（2025四川眉山三模汜知点A（4.2百）.6（1.怖），若向量而是直线/的方向向量，则直线/的倾斜角为（）

430°R60°Cl20°O.I5（T

2.（2025湖南湘潭三模）已知椭圆。:《+）2=1。心0）的离心率为百见则C的短轴长为（）

4.；B.\C.20.3

3.（2025浙江温州三模汜知圆.F+y=l和圆。勺＞+产*#〉。）有公共点，则,•的取值范围为（）

A[2,+8）B.[2A]

C[3,4]D.|l,4]

4.（2025陕西咸阳三模）如图.已知曲线C由一段以坐标原点。为圆心的圆弧和双曲线（该双曲线的中心为坐标原点

为其左、右焦点）右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为人8、若八、民人三点共线.1人B|=25.|/18|=14.则

圆弧的方程为（）

2

（4.x+^=144（x5=10）

8.9+）。=193（x212）

C.x2+^=144（r^l0）

D.^+/=I93（A＜I2）

5.（2025北京石景山一模）已知抛物线。:.\2=除的焦点为匕点而在C上,若|,必为＞4,则（）

AMw（0,2）Rwe（0,2）

CAD£（2,+co）D）p£（2,+g）

6.（2025江西景德镇三模）动园M经过直线/:y=x与。C：（x-6）2+.y2=20的交点A及过原点O向动圆M作切线，切点为P.

若港•丽＞久恒成立，则实数z的最大值是（）

A8V2-12R20-I2V2

C20V2-300.32-24日

7.（2025江苏南京二模）在平面直角坐标系xOv中,双曲线C:弓-]=1（»0,8＞0）的右焦点为R点MN在C的右支上，且

而=3丽.点N关于原点O的对称点为P.若PELMM则C的离心率为（）

樽衅弓。弓

8.（2025山东模拟预测）已知心后为椭圆与双曲线的公共左、右焦点,P为它们的一个公共点，且-0|=尸2。|,。为坐标

原点刈⑼分别为椭圆和双曲线的虚心率，则二十上的最大值为（）

61«2

4.2匹B.V10C.2y/3D当

二'选择题:本大题共3小题.每小题6分,共计18分在每小题给出的四个选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得

6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2025河北邢台模拟）已知H0,a£R,圆+产2办-4产〃=0与直线上="交于A4两点,0为坐标原点，则（）

A.a=\,t=0时,|AB|=2

8.过点。向圆C所引的切线长为同

C.a=2时,AB中点的轨迹长度沏岳

D.\OA\\OB\=tr

10.（2025河北秦皇岛三模）已知曲线“+/=1,则下列说法正确的是（）

八.当a=-1时，曲线5关于直线y=.对称

8.当2=0时,E是两条直线

C.当2=1时，若点P（xj）是曲线E上的任意一点，则卬＞1

。.当2=2时，曲线E上的点P（.rj）到原点距离的最小值为在+1

11.（2025山东滨州二模）已知小乃居双曲线。:£群1（，，＞0力＞0）的左、右焦点，抛物线E:产2*仍＞。）的焦点与双曲

线C的右焦点市合.旦M是双曲线C与抛物线E的一个公共点.若△MAE是等腰三角形,则双曲线。的离心率为

（）

4.V2+1B.＞/2+2

C.V3+2D.V3+1

三、填空题:本大题共3小题.每小题5分，共计15分.

12.（2025河北秦皇岛三模）已知双曲线嗒-3=1（〃＞0力＞0）的左焦点为上直线/经过点尸与C的左、右两支各有一

个交点，若/与C的其中一条渐近线垂直，则。的离心率的取值范围为.

13.（2025上海杨浦二模）如图,阿基米德椭圆规是山基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块40组

成的一种绘图工具，横杆的一端。上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长,将滑块固定在带

孔的横杆上，令滑块人在其中一条空槽上滑动.滑块8在另一条空槽上滑动.铅笔C随之运动就能画出椭圆.当A,B之

间的距离为14厘米时，若需要画出一个离心率为;的椭圆，则之间的距离为__________厘米.

□

■工仆打y

A6

14.（2025福建厦门三模）已知直线/:广2=0与圆。个+尸=4相切于点了工是圆。上一动点，点P满足PO_LOA,且以P为

圆心,PA为半径的圆恰与/相切，则sin/P7O的最大值为.

四、解答题:本大题共5小题，共计普分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2025湖北宜昌二模）已知双曲线。:1―券1（“〉06＞0）的左、右焦点分别为R.3,点A（2当在C匕且g

±FIF2.

⑴求C的标准方程；

2

（2）过22的直线交双曲线。于MN两点（M.N两点均位于x轴下方,M在左,N在右），线段4M与线段RN交于点凡若△

F\RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|.

16.（15分）（2025山东烟台二模）已知双曲线"：冬一，=1（〃＞0,。＞0）的焦距为4,点（后,1）在厂上.

⑴求〃的方程；

（2）设过/'的左焦点乃的直线交/'的左支于点儿比过/'的右焦点Fi的直线交/.的右支于点CD.若以AJ3.CQ为顶点

的四边形是面积为4遍的平行四边形.求直线AB的方程.

17.（15分）（2025广东深圳二模）己知椭圆在普+，=1（“乂＞0）/为£的右焦点/为£上的动点,当直线勿与x轴垂直

时,|PQ=p?是直线y=2上一动点,|PR|的最小值为1.

（1）求E的方程：

（2）过点R作E的两条切线分别交工轴于•M,N两点，求△RMV面积的取值范围.

18.（17分）（2025江苏南京二模）在平面直角坐标系屹），中，点4-1.0）,8（lQ）Q-4.0）,动点?满足|户川+|PB|=4,记点尸的

轨迹为C.

（1）求。的方程.

（2）过点。且斜率不为0的直线/与C相交于两点£"（E在"的左侧）.设直线AE.A"的斜率分别为丘h

①求证:皆为定值；

K2

②设直线AE8E相交于点M.求证为定值.

19.（17分）（2025广东中山模拟预测疝平面宜角坐标系xOy中，若在曲线Ei的方程F（.t,y）=0中，以&冉我为非零的正

实数）代替（叼）得到曲线Ei的方程F（〃M=0,则称曲线修廊关于原点“伸缩”，变换（叫）-＞（"□）称为“伸缩变换称

为伸缩比.

⑴已知曲线Ei的方程为三炉=1.伸浦比2=：,求昌关于原点“伸缩变换”司听得曲线良的方程；

⑵射线/的方程产或NG0）,如果椭圆昂:?+产I经“伸缩变换”后得到椭圆反,若射线/与椭圆上店分别交于两点

A,反且|AA|=g，求椭圆反的方程；

（3）对抛物线臼:F=2p.作变换（工,），）一（2共力》得抛物线反:.F=2〃2.v;对E作变换（x,y）T&".2y）,得抛物线氏3=2内，；

如此进行下去,对抛物线反：.¥2=2〃武作变换（人¥）-*&5.丫）,得抛物线En+….若p\=14=2".求数列］的通项

公式P”.

3

答案:

1.A解析直线/的斜率〃=0竽=4,所以直线/的倾斜角为30°.故选A.

4-13

2.B解析依题意,0〈遍切〈1,即0,《，则。的焦点在)，轴上，因此百〃尸得，所以，，心故。的短轴长为为=1.故选

B.

3.B解析由题可得|r/|W3Wr+l鬲得2Wr<4.故选B.

4.D解析由题可知圆瓠和双曲线效的公共点为",若人睨乃三点共氮故所以|AB|=|研|=初8|=7,所以

IBF2|=J|AFi|2-|AF2|2

=\，2527=24=2c则OB|=c=12,

222

故|。川=]|。f2『+|/1F2|=V12+7=/而，即圆弧的半径为，HI贝|圆弧的方程为好+尸=】93。£】2).故选D.

5.C解析抛物线C：r=8A的准线万程为x=2又点Mxo,和)在C上，且附月>4,则|Mf]=xo+2>4,所以.e>2,即加仁

(2,+8),故A错误,C正确汉y5=8xo,所以羽£(16,+8),所以.voe(4,+oo)U(<o「4),故B,D错误.故选C.

6.D解析将直线/与。C的方程联立，得A(2.2),8(4,4),设动圆M的方程为(X-6A+产20+2(x-y)=0,.：切线长

|OP|=J(0-6)2+02-20+入(0-0)=4,即点P的轨迹是以0为圆心,r=4为半径的圆,设线段48的中点为ZX33).

VPA•丽二产/片川行二巴乃以,而俨"l>|OD|+=3，2-4(O,P,。不能三点共线),,：丸的最大值是32-24VZ故选D.

7.D解析设双曲线的左焦点为凡连接PRPFLNFLMFI.如图所示.

根据双曲线的对称性可知四边形PFW厂为平行四边形,又因为。凡LMN,所以四边形PQN/为矩形，设|NQ=W>0),因

为而=3丽.则|MF|=3i,

由双曲线的定义可得|NP|=2〃+八|朋人|=2〃+3]，又因为AMNFi为直角三角形，

所以|MNF+WQ|2=|MF||2,

即(4r)2+(2o+r)2=(2fl+3i)2,解得/=«,

所以Wn|=3a,|N尸|=〃,

又因为4NFF\为直角三角形,|FR|=2c,

所以|N砰+|NQ|2=/E|2,即〃2+9*=4/.

所以0=?即T=孚故选D.

a24a2

8.B解析由题意可设椭圆和双曲浅的方程分别为提+*1(“>〃>0噂一*13>0,力>0).

因为二者共焦点，所以c2=a2-b2=a~+b'2,^S.

设|PFI|=，〃,|PF2|=〃,由椭圆和双曲线的定义可知m+n=2a,m-n=2a\

4

由此解得m=a+a\n=a-a\

由题意知|PO|==IQ0|=c,

所以/尸1尸巴=//①。+/0尸产2=3/尸画+/所0)+3/后尸0+/"。=90°,

2

故在RtAPFiF2中，由勾股定理可知加+，产=4日代入m,n的表达式可得a^a^lc,

由离心率的定义可得考+表=2,设%U，y吩，则/+产2,问题转化为求2v+y的最大值，设p=(x,y),q=(2,1),由

p・qW|pHql可得2r+yW，22+17♦,/%2+y2=V10.

当且仅当两向量同向共线时即x=2户部等号成立，所以W的最大值为au.

故选B.

9.BCD解析圆C:(x-fl)2+(y-2)2=4的圆心C(a2),半径r=2.

当"=1』=0时，点C(l,2)到直线x=0的距离d=l,

则|A8|=2后&=2V3,A错误；

切线长为J|OC『-r2=|a|.B正确；

当〃=2时，点C(2,2),令弦人8中点为M,则CM_LA伐点M的轨迹是以OC为直径的半圆(不含端点)，轨迹长度为

；|。。|兀=企冗,C正确；

田(x24-y2-2ax-4y+a2=0,

消去x得(产+1)产(2什4»+/=0.

,2

设A(xiJI)、8(X2J,2),则.\仇=言不|0川|。8|=|函-OB|=\x\X2+>'i)2|=|(/+1)yi¥21=rr.DE确.故选BCD.

10.BCD解析当％=-l时，曲线EA-j=I,设点(xJ)在曲线上，则点(x,y)关于产-x对称的点为(-y,-x),所以小一

点=],即点故点(啖㈤不在曲线E上，所以曲线E不关于直线产、对称，故A错误；

因为4=0,所以妥=1,则f=l,所以x=±l,即E是两条直线，故B正确；

当2=1时,曲线呜+去=1,则去=1/0、所以攀=竺詈3>0.解得.3或x<-l,所以|x|>l.故C正确；

当x=2时，曲线E点+廿,则.1+卢(/+2Q+J=3+§+毯23+2J1号=3+2心当且仅当3=*即

1++/时等号成立.所以此+y2>73+2^2=J(V2+I)2=&+1.所以曲线E上的点P(x,.\，)到原点距

离的最小值为或+1,故D正确.故选BCD.

5

11.AC解析由题设且〃>0,/+〃=/=?,

当|M尸2|-时,由抛物线的性质可知|MF”-,l,W+C,所以AA/-C,

故点=2〃.=4己

所以W-警“即乌一£=1.

a2b2a2c2-a2

化简得If/aZ+a'o,

所以/-6/+]=0,求得e?=3+2&或/=3-2a，

又心1,得到/=3+2注，解得e=/+l（负值舍去）；

当|MP|=|Q月|=2c时，则|MF2|=2c-2a,

由抛物线的,性质可知|“人|=x”+c,则XM-C-III,

所以资1=2px.“=4c（c-2a）,所以、：；）-"詈色=I,

即空算一笔等],

a2c2-a2

化简得cA-4ac3-2c2a2+12c«3-3ti4=O,

所以e4-4A2e2+12e-3=0.

所以（/-4e+l）（A3）=0,

所以/-4e+l=0或/-3=0,解得e=2+百或e=®

又。2〃>0,所以e>2,解得e=2+V3.

粽上,6=或+1或e=2+VI

故选AC.

12.（夜.+8）解析由题意可得双曲线若一台13>0力〉0）的两渐近线方程为产今;

由时称性不妨设直线/与渐近线卢•）垂直，由题意可得直线/的斜率为今

又直线/与双曲线C的左、右两支各有一个交点，则

所以东<尻所以/<片东.所以2a2<己所以2<£即2<e，解得e>Vl

所以C的离心率的取值范围为（或,+8）.

13.21解析依题意，当滑块“在两条空槽的交点处时,BC长为椭圆的短半轴长b,

当滑块A在两条空槽的交点处时dC长为柄圆的长半轴长4则a=l4+A

由椭圆的离心率为三得鼻=足序解得±即2=之解得6=21,所以8c之间的距离为21厘米.

5aYa5a514+o5

14.y解析设P（x.y）,则.#0.

6

则T(0.2),

又以P为圆心.PA为半径的圆恰与/相切,

则可得Iy-2|=|PA|=VO/12+op2=J%2+y2+4,化简可得/=且中),

从而可设P，且x#0.

则sinNP7O=留=।㈣

第•皆+2=3,当且仅当您=点即刈=±2&时，等号成立,

16xl

所以sinZPTO=,1<-^=v.

二鼻3

故sin/"。的最大值为冬

15.解(1)因为且A(2§),

所以焦点尸2(2,0),即“2,

又三-白，由可亦「I'解喉:

2

aa2+d2=4.

所以双曲线

(2)由题知直线斜率不为0,设过凡(2,0)的直线为x=〃p+2Q〃>0),

x=my+2,

♦2_1消式得到(〃落3)尸+4,〃)，+1=0,

(T~y=1，

则A=(4m)2-4x(/n2-3)=12(/M2+1)>0,f.nr^/3.

设Af(xi,yi),N(.V2.y2).

则急,”"=高—

因为S&F]RM=S,"KN、所以SA&NM=SA/MW,

即点Q(20)和点A(2.乎)到直线x=冲+2的距离相等.

2倔疗+1)_98仃

则有，解得加=所以为产•为丫?

=U48,|MN|=J1+m2|yi-”|=yi+m2J(%+|m2-3|—-45'

7

16.解⑴由双曲线〃5一2=1(">0力>0)的焦距为4,点(历1)在〃上,

可得2c=4,所以c=2,且人一1、

22

又因为(^二标十〃，即a+b=4,

(Q2+82=4,

联立｛_L_L_i解得〃=3,炉=l,

(京一京=却

所以〃的方程为今产1.

(2)由题意知,四边形A8CD为平行四边形，可得直线A8与C。平行，

当直线A6斜率不存在时,令x=2代入双曲线方程冬产1.可得产尊，

此时四边形A8CO为矩形，面枳为4乂手=手，不合题意；

所以直线AB斜率存在,设直线AB为方程为产总+2)则直线CD的方程为y=k(.x-2\

直线A8和CD的距离｛1=矣*

设A(xi,yi),8(必然),联立［三,-1'

(y=k(x+2),

整理得(1-3好)『-12A-12A3=0.

则1-3/和/=I2伏2+l)>0,且XI+X2彳条黯.

又由双曲线的渐近线的方程为产士争，

要使得过〃的左焦点Q的直线交厂的左支于点4,8,可得&2>|,则依"=""|_13|=«^",

Ji)”=Ej鲁)2十留=钾

所以Si〃邛用止嘤产x盛=嘴詈=4疝

化简可得7m8同+1=0,解得吟或层=1.

因为炉>/所以尸=1,解得k=±l,

故直线A6的方程为y=±(A+2).

即x-y+2=0或A+y+2=0.

17.解⑴设点F(c,0)(c>0),

当直线P”与x轴垂直时，不妨设点P(舄)，

咋-2+($1)2=】•

因为IPRI的最小值为26=1,所以〃=1,又由东=〃+3

解得a=2、c=6.故E的方程为彳+)二=1.

⑵如图，

8

设点儿0)./?&2),显然直线RM.RN斜率不为0.

设lRM：x=^-y+mjRN：x=^-y+n,

2

X2z1

联立1—4+Ly=1,

t-Tfl

x=—y+m,

得116+(7-加1ly2+4Q-"0〃r+4(加-4)=0.

因为直线RM与E相切，所以4=［4(卜加)加］2~4［16+“切02M(评-4)=0,

于是16(f-帆)2〃尸-16|16+(/-/M)2］(/n2-4)=0,

化简得3〃户+2〃”-凡］6=0,

又直线RN与E相切,同理有3〃2+23凡16=0,

故m,n是关于x的一元二次方程3.P+2/X-产-16=0的两根，

贝||，〃+〃=弓

所以|MN|=|/〃-〃l=J(?n+n)2-4mn=J(-2-4x(-=竺

又产20,所以SA”MN=；|MM-2=^^>=苧，

所以△/?“%面积的取值范围为［不,+8).

18.(1)解由⑷?|=2,|H4|+|P6|=4>|4B|,

所以点P在以A,8为焦点,4为长轴长的椭圆上.

设椭圆方程为摄+2=1伍>6>0),焦花为2G

则c=l,a=2.所以〃=4/=3,

所以C的方程为］+：=1.

⑵④！明由Q40),直线/的斜率存在且不为0.

设直线/的方程为A-=/Hy-4,E(.vi,VI),F(X2