2026年高考数学第一轮复习：第2课时 简单的三角恒等变换

第2课时简单的三角恒等变换

▼伊③提升明考向•直击考例考法.

考点一三角函数式的化简(基础型)

复习指导I三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降标或升寐.

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函

数式时，一般需要升次.

硒化简：(1)sin(a4-//)cos(y-//)—cos(^+a)sin(^~y)=；

[解析】(I)sin(a+”)cos(7一用一cos0+a)sin0一力

=sin(«+//)cos(/?-y)-cos(a+/?)sin(^—y)

=sin[(a+/?)—(£—y)]=sin(a+>).

si母sin/

原式=

(2)aa

cos引V

cos~^—sin*^cosAcosy+sin«siny

•------------------------------

.aaa

sin5cos5cosacos5

a

CCOS5r

2cosa_____22

・=~.

sinaasina

cosacos5

【答案】(l)sin(a+y)⑵嫌吃

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看角二通过看角之间的片别与联系，把角进行

"合理的拆分，从而正确使用公式

三

看二看：看函数名称之间的差异，从而确定使用

原筱五茶的公式，常见的有“切化弦”

则、..

:分析结构特征，找到变形的方向，常见

的有“遇到分式要通分”“整式因式分

解”“二次式配方”等

考法全练;

2sin(兀一a)+sin2a

1.(2020•长沙模拟)化简:

越

-2

_2sin(7i-a)+sin2a2sina+2sinacosa

解析：------------N---=1-------=

cos弓2(1+cosa)

4sina(14-cos«)

--------------------=4sina.

1+cosa

答案：4sina

2cos4x_2cos入+]

2.化简:

2tan住一工Ising+x

-2sin2Kos2工+:

解：原式=

；(I—sin22A)

sin

1

考点二三角函数式的求值（综合型）

复习

,|三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类.

指H导II

角度一给角求值

2cos10°—2小cos(—100°)

例2计算•

A/I-sin10°

2cos100-2V3cos(-100°)

【解析】

[l-sin10°

2cos10°+2Wsin10°

71—sin10°

4(Jcos10°

n10°

4cos500

yj1-2sin50cos5°cos5°-sin50

4cos50°r-

一班cos50。一2^2.

【答案】2巾

给角求值问题的解题策略

在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定

关系.

I基本思路I观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的

三角函数值转化为:

厂特殊角的三角函数值；

正、负相消的项和特殊角的三角函数值;

3)—可约分的项和特殊角的三角函数值等.

角度二给值求值

4亚

-

圆⑶已知a,夕为锐角，tana35

(1)求cos2a的值：

⑵求tan(a—用的值.

4

-

【解】(1)因为tana=*(an。=慧/，3

9

因为sin?a+cos2a=I,cos2«=25»

7

因此，cos2a=2cos21=一芽.

(2)因为a,夕为锐角，所以a+夕£(0,n).

又因为cos(a+6)=一坐，

J

所以sin(a+^)=,^I—cos2(«+^)=~^~,

因此tan(a+//)=-2.

42tana24

因为tana=?所以tan2a—=

—tIan~2a­r/

tan2a-tan(a+夕)2

因此,tan(〃—/?)=ta*L(a+如=]+32.(a+位-TT

给值求值问题的解题策略

已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值.

解题关键：把“所求角”用“已知角”表示

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为谀个“已知角”的和或差的形式或和

或差的二倍形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系,

然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解.

角度三给值求角

做⑷（一题多解）在平面直角坐标系xO），中，锐角a,6的顶点为坐标原点。，始边为x

轴的非负半轴，终边与单位圆0的交点分别为P,。.已知点P的横坐标为斗，点Q的纵

坐标为唔，贝I2a-fi的值为.

【解析】法一：由已知可知cosa=2^,sin夕

又a,夕为锐角，所以sincos/?=y^.

因此cos2a=2cos2a_1=sin2a=2sinacos«=­y»

4小、/3_1；3s小

所以sin（2a一份=X-X

7U7142•

因为a为锐角，所以0＜2。＜兀

又cos2a>0,所以0V2aV会

又力为锐角，所以一*20—价W，

A

又sin(2a一6)=半，所以2a—/?=/

13

法二：同法一得，COSB=

14'—用.

因为a,6为锐角，所以a一夕£（一看5

所以sin（«-^）=sinacosA一cosasin夕=挚乂1|一平义笔=答.

所以sin（a一4）＞0,故a一夕£（0，另,

故cos(o一份=d1-sin2(a-6)

7嗝=14,

又a£(0,

,所以2a-/?=a+(a-£)£(0,兀).

所以cos(2«—p)=cos[a+(a-fl)]=cosacos(a-//)-sina・sin(a-0)X■一吗

x叵

X14

所以2a—^=?.

【答案】I

⑴绐值求角问题的解题策略

①求相关角的某一个三角函数值.

②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已

知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解.

（2）在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；

②巳知正、余弦函数值，若角的范围是（0,习，选正、余弦函数皆可；

③已知正、余弦函数值，若角的范围是（0,兀），选余弦函数；

④已知正、余弦函数值，若角的范围是（一59,选正弦函数.

考法全练

1.已知tan(a+：)=；,且a为第二象限角，若外弋，则sin(«—2^)cos2^—cos(«—2/?)sin

2;7=()

A.B.|

4>4

C,~5D.5

解析：选D.tan(a+，)=［十，"=),所以tana=—又a为第二象限角，所以cosa

\4/1—tan«/4

4(ii\4

=一亍所以sin(a—2//)cos2Q—cos(a—20sin2*=sin(a—4/0=sin(a-—cosa=q,故选

D.

_____小tan120—3_______

2，sin120(4COS2120-2)=--------*

sin12°

小rX——-3

Anscos12

解析：原式=sinl20(4COS2120—2)

_______Ssin120—3cos12°_______

=2sin120cos120(2cos2120-1)

2小&in】2°一当cos12°)

sin240cos24°

_2小sin(12。-60°)_小

；sin48。

答案：一4小

3.（2020・湖南长郡中学模拟改编）若a,仅为锐角，且sina=坐，sin则，os（a

+夕）=，a+fi=.

解析：因为a,4为锐角，sina=乎，sin

c结〃3也

所以cosa=5,cosp=］（）,

2A/5..3遮差..遍=近

所以cos(a+/?)=cos«cos夕一sinasin0=5A105A10-2,

又0Va+/?〈7t,所以cos（a+W）=乎，a+片彳.

答案：堂匹

4

＞有@演练，③后突破练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练］

n

4tany^

1.计算：——--=()

Stan2^-3

A"B.纽

A.3坊3

C"D

J9u'9

2一

・

选

解析-f

D.3=一|x

2.若tan(a+800)=4sin420°,则tan®+20°)的值为()

A.邛B,第

C.*D.坐

解析：选D.由tan(a+80°)=4sin4200=4sin60°=2小，得tan(a+20°)=tan［(a+

ootan(a+80。)—tan6002小—小A/3..

80)-6°】=l+tan(a+80°)tan600=1+2/义小=7•故选D.

3.已知cos(2a—')=一；,则sin(a+5)—cosa=()

亚•州

3

解析:选D.sin^«+^J-cosa=sinacos^71+cosasincosa=sin

66

所以sin(a+*)—cosa=土孝，故选D.

4.若加;;，2：=小-2仇则sin20=()

cos，+。)

A.IB.T

C.-ID.—I

2(湛岭而夕)

解析：选C.由题意知=，5sin20,

cos〃—sin0

所以2(cos9+sin0)=，5sin28,

贝44(1+sin20)=3sin?20,

2

因此sin20=一§或sin2。=2(舍).

5.(2020・湖北八校联考)已知37rWeW47t,且1"广'_L"=坐则0=

)

1()71.Jinc37兀*47兀

A.丁或丁B.伺或记

_13;1^1571_19-»23兀

C丁或丁D.丁或丁

CC。

22-

解析：选D.因为3TIWJW47C,2

亚

迫

。

夕n

则---

22OSI2+-4-2

©

所

以OS+--

99

星

匹

乙

或

所

十

以

1依

=2一-

2+-462+-4*+2EkWZ,即户一处如或归一•f+M0.

因为3TCW9W4兀，所以夕=^^或故选D.

OO

6.(2020•贵州聆东南一模改编)已知sina+3cosa=-J而，则lan2a=.

解析：因为(sina+3cos6t)2=siir«+6sin«cosa+9cos%=10(siir«4-cos2«),所以9sin2«

-6sinacosa+cos2a=0,则(3tana-l)2=0,即tana=5.所以tan2a—"tan(\=7.

31-taira4

3

答幕

4一

2寸，若用铲

7.（2020•平顶山模拟）已知sina—2,则tan(a+4)

解析：因为sina=-,,[竽，2n,

所以cosa=].由3n>:六P1=2,得sin(a+/?)=2cos[(a+A)—a],PpTcos(«4-/?)=~sin(ct

JLU》J)JJ

+用，所以121](6(+尸)=去.

1J

答案晚

8.tan700•cos10°(小tan20°—1)等于.

解析：ian70°・cos10°(小tan20°-I)

sin70°(rzsin20°A

=五行・8sl。o限五/F

cos20。cos10。.bsin200-cos20。

sin20°cos20°

cos100・2sin(200—30°)—sin200

sin200=sin200=-1

答案：一1

9.已知lana=—/cos0=坐，兀)，g5方)求tan(a+J)的值，并求出a

+少的值.

解：由cos/?=坐，夕£(0，。

得sin尸==^一，tan/?=2.

J

”,tan«+tan/?

所以tan((z4-y?)="—;;~

l1—tanalan/i

10.已知sin（a+£）=告，仁仁停兀）求:

(1)cosU.的值；

(2)sin(2a-彳)的值.

解：⑴sin(a+{)=书

.兀।•兀啦

sinacos]Icosasin4=|Q,,

化简得sina+cosa=g,①

又sin2a+cos2«=1,②

4

3.-

由①②解得—《或

cosa—cosu.5*

因为兀）.所以cosct=一

⑵因为口£&兀），cosa=­I，

4

所以sina=5,

724

则cos2a=1—2siira=一行，sin2«=2sin«cosa=一行,

所以sin(2a-；)=sin2acoscos2asin匹=_小

4~50,

［综合题组练］

1.设a£（0,5）,4£（0,习，且tana」；：；”则下列结论中正确的是（)

A.a-p=^工

a+£=4

C.2a-p=lD.2a+4=：

I+sin2万(sin夕+cos夕)cos//+sin//

解析：选A.tantt=c〃-=

cos2pcos2^—sin2/?cos夕一sinP1—tanpV”

因为

所以。=夕咛，即a-fi=^.

2.若sin2a=坐，sin（£—a）=］^，且彳，兀，夕右兀，屈，则a+夕的值是（）

A7软

A.彳B-?

D.苧鳄

C.

解析：选A.因为去兀，0®兀，朗,

所以2ae52n.

J所以借，冗）,

又0<sin又=、<1,2a£

J

所以cos2a=—yj1-sin22a=

又sing—a)=[^,所以cosQ?-a)=

3710

—^1—sin2(/?—a)=

一10，所以cos(«+/?)=cos[2a+=cos2acos(y7—«)—sin

2«sinQ?-a)

又借5同叫《J

所以a+62，，所以a+/?=与，故选A.

3.（2020♦江西省五校协作体试题）若〃£（*，制，且2sin20+小sin2。=一5则

解析：由2sin%+"\/5$in20=—7.得I—cos29+小sin20=—7,得cos2。一小sin20=

JJ

当即cos（20+（=,,又〃£（—器,所以20+碧（0,X）,则tan（26+舒

4tan(2e+§J—taq1

-所以tan（2伊哈）=tan侬+今一引=

3)1十ian(2〃+0tan^，

答案：I

4.(2019•离者江苏卷)已知一,na=一条则sin(2a+W)的值是________.