相交线与平行线（知识+13大题型+分层检测）原卷版-2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

相交线与平行线（必备知识+13大题型+分层检测）

工区

单元目标聚焦•明核心

1.了解邻补角、对顶角、垂线、点到直线的距离、平行线、命题、平移的意义，体会相交线与平行线相关

概念之间的整体联系。

2.能用对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质进行简单的推理和计算：能用平移的性质分析图形

的变换。

3.理解并利用同位角、内错角、同旁内角的数量关系，解决两直线平行的判定与性质相关问题；能区分命

题的题设与结论，判断命题真假。

又又

知识图造梳理•固基础

I.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）

2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）

相交成直角时，两条直线互相垂直

一、相交线3.垂线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

垂线段最短

4.点到直线的距商：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

相L定义：在同一平面内，不相交的两条直线

.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

交2

T二、平行线及其判定-同位角相等一两直线平行

线

3.判定方法内错角相等一两直线平行

与

同旁内角互补一两直线平行

平

I,两直线平行一同位角相等

行

2.两直线平行一内错角相等

线

2.两直线平行一内错角相等

定义：判断一件事情的语句

1.命题组成：器设（条件）+结论

真假命题：判断是否正确的命题

四、命题与平移’

定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离

2.平移平移前后，图形的形状、大小不变

对应点连线平行（或在同一直线上）且相等

对应角相等，对应线段平行目相等

教材要点精析•夯重点

一、相交线

1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。

2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。

3.垂线：

-相交成直角时.，两条直线互相垂直。

-过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

-垂线段最短。

4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

二、平行线及其判定

1.定义：在同一平面内，不相交的两条百•线c

2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.判定方法（满足其一即可）：

-同位角相等一两直线平行。

-内错角相等一两直线平行。

-同旁内角互补一两直线平夕亍。

三、平行线的性质

1.两直线平行一同位角相等C

2.两直线平行一内错角相等C

3.两直线平行一同旁内角互补。

（判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。）

四、命题与平移

1.命题：

-定义：判断一件事情的语句。

-组成：题设（条件）+结论。

-真假命题：判断是否正确的命题。

2.平移：

-定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。

-性质：

-平移前后，图形的形状、大小不变。

-对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。

-对应角相等，对应线段平吁且相等。

五、核心要点总结

-相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。

-垂线：关注“最短距离”。

-平行线：

判定：看角一证平行。

性质：有平行一得角关系。

-平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。

又JL

考点题型突破•拓思维

题型一对顶角、邻补角的识别

【例1】（25-26七年级下•全国•单元测试）下列选项中，N1与/2是对顶角的是（）

【变式1-1]（24-25七年级下•全国•课后作业）下列图形中，/与N2是邻补角的是（）

\

【变式1・2]（25-26七年级上•吉林长春・期末）下列图形中，N1与N2是对顶角的是（）

A.^4^B.八yc.X/_D

【变式1・3】（24-25七年级下•全国•单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（）

N3和Z4C.N2和N3D.N2和N4

题型二利用对顶角的性质求角

【例2】（25-26七年级上•全国•单元测试）如图，直线〃、/）相交于点O,Zl=500,Z2=.度・

【变式2・1］（25-26七年级卜.•江苏南京•月考）如图，百线。，小相交干点O,将量角器的中心与点O重合.

发现表示60。的点在直线。上，表示135。的点在直线b上，则4=

【变式2-2］（25-26八年级上•新疆吐鲁番・期中）如图，若加油站E到公路力〃的距离是80m,至lj公路CQ

的距离也是80m,且/力。£=24。，则/BOC的度数为.

CA

E（加油站）

BD

【变式2・3】（25-26七年级上•山东东营•月考）将一个含30。角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,

题型二利用垂线段最短

【例3】（25-26七年级上•全国・单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为

。4=4.56米，06=4.15米，/。=4.70米，则黎明的跳远成绩应该为米.

【变式3・1】（2025七年级上•全国•专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图，游戏时宾客依

次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜.若四位投壶者分别站在直线/上的点力，8,C,。处往点

〃处的壶内投箭矢，小明认为站在点。处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是.

【变式3・2】（25-26七年级上•北京昌平・期木）如图，某条公路可视为直线/,从公路外一点P向公路前进,

三条路线APC中最短的是，依据是.

【变式3・3】（25-26七年级上•江苏宿迁•月考）如图，CD上4B,垂足是点O,JC=8,Z?C=6,CZ）=4,

点E是线段上的一个动点（包括端点），连接。石，那么CE的长为整数值的线段有条.

题型四相交线中求角的度数问题

【例4】(25-26七年级上•江苏淮安•月考)如图，直线48,CD相交于点。，过点。作且

平分ZAOD.

(1)求证：/COF=NBOF；

(2)若NBOD=26。,求/次开的度数.

【变式4・1】(25-26七年级上•江苏泰州•期末)如图，已知直线力8、相交于点O,OF1AB,点。为

垂足，OE平分NCOA.

⑴若N8OE=67。,求NCO尸的度数;

(2)若/60万：/。0尸=5.4,求ZEO/的度数.

【变式4・2](25-26七年级上•江苏无锡•月考)已知，点O为直线//上一点，过点。作射线。C,11。°.

cCC

MM

（图1）（图2）（备用图）

（1）如图1,则/彳0C的度数为；

（2）如图2,过点。在直线48下方作射线OQ,使OZ）_LOC,作/4OC的角平分线OM,求的度数:

⑶在（2）的条件下，作射线OP,若NBOP与/AOM互.余,求NCOP的度数.

【变式4・3】（25-26七年级下•全国•课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为垂角,

例如：Zl=120°,N2=30。，|/1-/2|=90。，则N1和/2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180。

的角）.

⑴如图，。为直线力8上一点，GC工AB于点、O,于点。，//OE的垂角是,NBOE的

垂角是________

（2）在（I）的条件下，若/4。£的垂角比N8OE大40。，求/40E的度数.

题型五画垂线、平行线并求点到直线的距离

【例5】(25-26七年级.匕吉林长春•期末)如图是10x1()的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形,

其顶点称为格点.点4、。、B、P均在格点上，点P在/408的边04上.

(1)过点P画。/的垂线，垂足为〃.

(2)过点P画06的垂线，交。力于点C.

⑶线段尸〃的长度是点。到的距离.线段尸C、PH、0c这三条线段大小关系是(用“〈”号

连接)，依据是.

【变式5・1】(2025七年级上•江苏南京•专题练习)如图，点P,。分别是的边。4,。8上的点.

(】)过点。画。力的垂线，交04于点C；

(2)过点/，画08的垂线，垂足为H,连接产。；

(3)线段。。的长度是点。到的距离，的长度是点P到直线。8的距离；

(4)线段也、尸〃的大小关系是(用“V”号连接).理由.

【变式5・2](25-26六年级上•吉林长春•期末)在如图所示的方格纸中，C是N/04的边08上的一点，按

下列要求画图并回答问题.

(1)过点。画08的垂线，交。力于点。，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点;

(2)过点。面。4的垂线，垂足为E.

①线段CE的长度是点C到的距离，是点D到OB的距离；

②线段C'。、CE、OD、0c的大小关系是（用“v”号连接），依据是：.

（3）过点。画直线MN_LCO,（点A7与点。在直线CO的同侧）若NODM=x。,则NOCE=（用含式

的代数式表示）.

方格纸中每个小正方形的边长均为1，三角形48C

（1）过点月画8。的班线心与C8交于点。；

（2）过点4画片C的平行线上

（3）线段/C、AD./出中最短的线段是,依据

题型六同位角、内错角、同旁内角的识别

【例6】（25-26七年级上•江苏淮安•月考）下列图形中，N1和/2不是同位角的是（）

【变式6・2】（24-25七年级下•山西阳泉・期末）如图，直线〃，A被直线c•所截，则下列说法正确的是（）

3

x?_____

A.N1与/2是同旁内角B.N3与N4是内错角

C.N1与N5是同位角D.N2与N5互补

【变式6・3】（24-25七年级下•广西崇左•月考）如图，下列结论正确的是（）

A./5与N2是同位角B.N1与/6是内错角

C.N3与N4是同旁内角D.N6与/2是同旁内角

题型七判断条件是否使两直线平行

【例7】（25-26七年级下•全国•课后作业）如图，下列条件中,不能判定直线4〃4的是（）

■■

A.N1=N5B.Z4=z2C.N2=/3D.Zl+Z4=180°

【变式7・1】（25-26七年级上•河南南阳•期末）已知N1=N2,下列图形中，能确定/"〃C。的是（）

DACEF

【变式7・2】（25-26七年级上•江苏苏州•月考）如图，点石在8C的延长线上，对于给出的四个条件:

A

，D

BL------------------^

①N1=N3；②N2+N5=18（T；③N4=NB：@ZD+Z5CZ）=180°.

其中能判断4。〃8C的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7・3】（25-26八年级上•河北张家口•期末）将一块含有3。。、60。、90。的三角尺如图放置，点力、4分别

在直线〃八〃上，下列条件中一定能判断〃?〃〃的是（）

C.Z2=2Z1D./月C8=N1+N3

题型八平行线的性质与判定

【例8】（2026七年级下•全国•专题练习）如下图，在三角形718c中，CO_LZB,点石在8c上，过点E

作£/_L.

（1）试探究CQ与物的位置关系，并说明理由.

（2）若/CDG=NBEF,且/4GO=115。，求/4C8的度数.

【变式8・1］（25-26八年级上•贵州贵阳期末）如图，在一副三角板中,N8=ND=90。,4=45。,

々=30。.解答下列问题：

A

⑴当三角板按如图①的方式摆放时,若N/CE=105。，求证：AB\\DC,

（2）当三角板按如图②的方式摆放时,若48〃£。，求乙4。。的度数.

【变式8・2】（25-26七年级下•河南周口•期中）如图：己知，NHCO=/EBC,NBHC+NBEF=180。.

（1）求证：EF\\BH.

（2）若BH平分NEBO,EF上40于F,N〃CO=64。，求的度数.

【变式8・3】（25-26七年级下•全国•课后作业）如下图，在四边形力〃C。中，AB//CD,E是CD上一点,

连接力E,8E并延长分别交8c,.4。的延长线于点M,N,已知NB4D=NBCD.

（1）请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由.

（2）若/D4E=3O。，NCBE=20。,NDEN:NCEM=8:5,求NMEN的度数.

题型九判定命题的真假

【例9】（25-26八年级上•山西太原•期中）对于命题“如果N1与N2互补，那么=能说明这个命题

是假命题的反例是（）

A.Zl=Z2=90°B.Z1=Z2=45°

C.Z1=60°,Z2=30°D.Z1=60°,22=120°

【变式9・1】（25-26七年级上•江苏无锡•月考）下列命题中正确的是（）

A.同位角相等

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行

C.两点之间，直线最短

D.过一点作已知直线的平行线，有且只有一条

【变式9・2】（24-25七年级下•湖北襄阳•期中）下列命题为真命题的有（）

①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有

且只有一条直线与已知直线平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式9・3］（25-26八年级上•辽宁铁岭•期末）下列各命题是假命题的是（）

A.两个锐角之和一定是钝角B.同角的余角相等

C.平行同一直线的两条直线平行D.两直线平行，同旁内角互补

题型+生活中的平移现象

【例1（）】（25-26七年级上•上海松江・期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好

的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（）

D.ICT

【变式10・1］（25-26七年级上•上海宝山・月考）下列生活现象中是平移的是（）

A.钟摆的运动B.汽车雨刷的运动

C.过安检时传送带上行李箱的运动D.骑自行车时前后轮的转动

【变式10・2］（25-26七年级上•上海虹口•期末）二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排

列所形成的横式或纵式带状纹样.以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（）

【变式10・2］（25-26八年级上•全国•课后作业）下列现象中属于平移的是（）

A.升降电梯从一楼升到五楼B.卫星绕地球运动

C.树叶从树上随风飘落D.纸张沿着它的中线对折

题型十一利用平移的性质求解

【例11】（25-26七年级上•上海浦东新•期末）如图,将一个周长为10cm的△六C沿射线相方向平移到6所

的位置，（点力、B、C分别与点力、E、b对应），若四边形力EFC周长为14cm,则平移的距离为

cm.

【变式11-1］（25-26七年级上•上海宝山•期末）如图，将长方形48co沿着直线/出平移得到长方形

（其中4、4、CP。分别对应4B、C、。），联结力。、第，如果平移的距离为长度的?，且△486

3

的而枳为10,那么长方形力4CO的面枳为.

D

【变式11-2］（25-26七年级上•上海虹口•期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两

个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形力8。。沿对角线力C方向平移得到正方形EFGH,形成“方

胜”图如果平移距离为3,且4£=:力。，那么点力到点G的距离是一.

【变式11・3］（25-26七年级上上海宝山•月考）如图，在四边形力8CQ中，AD〃BC,BC>AD,将

AB,CQ分别平移到所和EG的位置，如果力。=2cm,4c=8cm,那么尸G=cm.

BFGC

题型十二利用平移解决实际问题

【例12】（25-26七年级上•上海•期末）某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路

（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总

面积为E，乙方案中小路总面积为其，则Bs2.（用—y"、"="填空）

甲乙

【变式12・1］（24-25七年级下•全国•课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区/出C。，长

^5=100m,宽8C=40m.为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为

2m.小明沿着小路的中间，从入口力到出口〃所走的路线（图中虚线）长为m.

【变式12・2］（25-26八年级上•全国・单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走:

①为折线段W8CQE/G,②为折线段4/G,③为折线段4用G.

三条路的长依次为。、b、c,则q,b,c的大小关系为

【变式12・3］（25-26七年级上•广西崇左・月考）某小区准备开发一块长方形空地.如图，将这块空地种上

草坪，中间修一条弯曲的小路.小路的左边线向右平移1m就是它的右边线.

①若长方形的长为32m,宽为21m,则这条小路的面积为；

②若原长方形的长为师，宽为bm,草坪面积为一,当。=10,6=5时，草坪面积为

题型十三平移与平行线的综合问题

【例13】(24-25七年级F•全国•课后作业)如下图，将三角形力8c沿直线/向右平移4cm得到三角形

FDE.

⑴若N3=45。，求的度数.

(2)若8C=6cm,求的长.

【变式13・1](24-25七年级下•河北•期末)如图，将三角形48c沿射线比I方向平移到三角形的位

置，连接4C'.

(I)与C。'的位置关系为

(2)试探索：N/f+NOC和N4C'C之间的数量关系，并说明理由.

(3)设乙4C'*=x,ZACB=y,试探索NC4C与x,y之间的数量关系，并说明理由.

【变式13・2](24-25七年级下•湖北荆州•期末)如图，已知线段点C是线段外一点，连接/1C,

NCAB=a(90°<«<180°).将线段4C沿48平移得到线段8。.点P是线段4B上一动点,连接尸C,

PD.

(2)过点。作直线/〃PO.在直线/上取点“，使NMDC=；NCDP.当。=120。时，画出图形，并直接用等

式表示/8DW与/8OP之间的数量关系.

【变式13・3](24-25七年级下•广西南宁•期末)在中，NACB=70、ZU8C的周长为12cm,边力8

在直线/上，将△力台。沿着直线/任意平移得到一)即(4B,C的对应点分别为0,E,F),连接CE.

CFC

图2备用图

（1）如图1,若平移距离为2cm,则阴影部分的周长为cm；

（2）如图2,若BCLBF,求N8"）的度数;

（3）若48=5cm,“8C以每秒1cm的速度向右平移.设△48C移动了（＞5）秒，则/为何值时，图2中的四

边形BCFD的面积是△48C的面积的3倍？

（4）在整个运动过程中，当N8广。与中一个角是另一个角的3倍时，则N8/力的度数为'

分层阶梯训博•提能力

基础巩固通关测

一、单选题

1.（25-26七年级上•江苏淮安•月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）

2.（25-26八年级上•辽宁沈阳•期末）下列命题中，真命题是（）

A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

B.相等的角是对顶角

C.等角的补角相等

D.平行于同一条直线的两条直线垂直

3.（25-26七年级上•海南省直辖县级单位•期末）如图，直线43、CQ相交于0,且N力OC=2N8OC,则

48的度数为（）

A

A.30°B.60°C.90°D.120°

4.(25-26七年级下•全国•课后作业)如图，Zl=Z2=50°,Z3=80°,贝叱4=()

二、填空题

5.（25-26七年级上•浙江•假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的

QQQQ☆空挈☆AAA

①②③④

6.（25-26七年级上•吉林・月考）如图，直线47、C。相交于点。，射线OE平分N4OQ,若

4OC=50°,则NBOE的大小为.

7.（25-26七年级下•全国•课后作业）如图，直线48与4c被直线4。所截得的内错角是:直线OE

与AC被直线力。所截得的内错角是；图中N4的内错角是.

8.（25-26七年级下•全国•课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必

不可少的一部分.如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中48,CO都与地面/平行,

NEC。=60。，NH4C=54。.要使4必与。8平行，则的度数为.

三、解答题

9.(2025七年级上•江苏连云港•专题练习)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点/、

(2)我一格点E,使得直线/IE，"。于点画出直线力£,并注明垂足产；

(3)我一格点G,使得直线4G_L/8,画出直线4G；

(4)ABAF；(填“〉皿＜”或“=")

10.(25-26七年级上•江苏盐城•月考)如图，在四边形8cOEE,力为C8延长线上一点，连接力力交

于点产，且/力=N/QE.

⑴若NEDC=3NC,求/C的度数；

(2)若NC=/E,判断8E与。。的位置关系，并说明理由.

11.(25-26八年级上•海南省直辐县级单位,期末)如图，直线相和。。相交于点。，ZCOE=90°,OD

平分NBOF.

⑵若NBOE=50°,

①求乙40。的度数：

②求/反加的度数.

12.（24-25九年级上•山西太原•月考）如图，点。，上分别在△48C的边力8、4C上，点尸在线段上,

且NEZ）E=NC,DE//BC.

（1）判断。尸与4C的位置关系，并说明理由;

⑵若。/平分4。民/"＞石=40。，求//ED.

能力提升进阶练

一、单选题

1.（24-25七年级下全国•周测）如图，直线力4,C3相交于点O,OE_L/8于点O,OF平今/AOE,

Zl=25°,则下列结论中，不正确的是（）

A.Zi=Z3B.Z2=45°

C.N4OO与N1互为补角D./I的余角等于75。

2.（25-26七年级上•山西长治•期末）如图，下列推理不正确的有（）

①若N1=N2,则力8〃CO：②若则/3+4=180。；③若/C+/CD4=180。，则/O〃8C：④

若AB〃CD,贝iJ/3=/4.

3.（25-26七年级上•江苏南通・期末）如图，锐角三角形48C中，N84C=45。，将三角形力4C沿着射线8C

方向平移得到三角形（平移后点48,。的对应点分别是点H,B=C）,连接。'，若在整个平

移过程中，/力。'和NCHZT的度数之间存在2倍关系，则N/1CH不可能的值为（）

A.15°B,30°C.45°D.90°

4.（25-26七年级上•上海普陀期中）如图，在三角形"C中，NB4c=90。,AB=3cm,AC=4cm,

8c=5cm,将三角形力〃。沿4c方向平移〃cm3<5）,得到三角形。Eb,且力C与QE相交于点G,连接

AD.下列结论：®AD=EC=acvn-②阴影部分的周长为12cm：③如果〃=2cm,那么三角形力8c的周

长比四边形被D的周长少2cm；④如果三角形4）G的面积比三角形£