高考数学复习 圆锥曲线大题综合 （新高考）原卷版

2023届新高考题型模拟训练】

专题31圆锥曲线大题综合(新高考通用)

1.(2023春・江苏扬州•高三统考开学考试)已知44为抛物线G:)，2=2px(〃＞0)的弦，

点C在抛物线的准线/上.当A8过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到》轴的距

离为3.

(1)求抛物线G的方程；

(2)若/AC8为直角，求证：直线A4过定点.

2.(2023•江苏泰州•统考一模)已知双曲线C：*■-京一Ka〉。力＞0)的左顶点为A,过左

焦点尸的直线与。交于RQ两点.当尸QLt轴时，|川=加，△尸AQ的面积为3.

(I)求C的方程；

(2)证明：以R2为直径的圆经过定点.

3.(2023秋•浙江绍兴•高三期末)在平面直角坐标系中,已知点4-2,0),8(2,0),

直线PA与直线PB的斜率之积为-!，记动点P的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程；

⑵若直线/：、=履+加与曲线。交于M，N两点，直线AM,N8与)，轴分别交于E,F

两点，若EO=3OF,求证：直线/过定点.

4.(2023秋•浙江•高三期末)已知点A;，亭是双曲线"方=1(00力＞0)上一点,

\Z

8与4关于原点对称，尸是右焦点，ZAFB=1.

⑴求双曲线的方程；

⑵已知圆心在y轴上的圆C经过点。(-4.0),与双曲线的右支交于点M,N,且直线MN

经过F,求圆C的方程.

5.(2023春・广东揭阳•高三校考阶段练习)已知抛物线E：V=2px(〃＞0)的焦点为人

点尸关于直线y=的对称点恰好在y轴上.

(I)求抛物线E的标准方程；

⑵直线/：＞=%22乂原时与抛物线£交于4,4两点，线段"的垂直平分线与x

轴交于点C,若。(6,0),求局的最大值.

6.(2023・湖南邵阳•统考二模)已知双曲线C:。一^的右顶点为A,

左焦点网-G。)到其渐近线bx+ay=0的距禽为2,斜率为g的直线乙交双曲线。于4,

B两点，且|AB|=平.

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点7(6,0)的直线〃与双曲线。交于P,Q两点，直线AP,4Q分别与直线x=6相

交于M,N两点，试I向：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐

标；若不过定点，请说明理由.

7.(2023春•湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当丸>0且4x1时,

我们把方程=十与=2(〃>/,>0)表示的椭圆G称为椭圆二+与=1(〃>/,>0)的相似

a-b~a-b-

椭圆.

⑴如图，已知£(-6,0储(乙0),M为CO：/+y2=4上的动点，延长耳”至点N,

使得|MN|TM/34N的垂直平分线与玛N交于点夕，记点尸的轨迹为曲线C,求C的方

程；

⑵在条件(1)下，已知椭圆G是椭圆C的相似椭圆，必,乂是椭圆以的左、右顶点.

点。是G上异于四个顶点的任意一点，当4=/(e为曲线。的离心率)时，设直线QM1

与椭圆C交于点A3,直线QY与椭圆C交于点。,七，求|A8|+|。目的值.

8.(2023•湖北武汉•统考模拟预测)过坐标原点。作I员C:(x+2)2+)，2=3的两条切线，

设切点为只。，直线夕0恰为抛物七：V=2%(〃>0)的准线.

⑴求抛物线E的标准方程；

(2)设点7'是圆。上的动点，抛物线£上四点4氏M,N满足：TA=2TM、TB=2TN,设AB

中点为£).

(i)求直线7D的斜率;

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（ii）设△窗3面积为S,求S的最大值.

9.（2023・山东•潍坊一中校联考模拟预测）己知产为抛物线C：V=2px（〃>0）的焦点,

。为坐标原点，”为。的准线/上的一点，直线用”的斜率为一1，▲OEM的面积为I.

（I）求。的方程；

⑵过点b作一条直线交。于A8两点，试问在/上是否存在定点N,使得直线仍与

N8的斜率之和等于直线N尸斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说

明理由.

2j

10.（2023•山东荷泽・统考一模）如图，椭圆C:二+与=1（〃>〃>0）的焦点分别为

alr

耳卜6,0）,8（G,o）,A为椭圆c上一点，/A6的面积最大值为右.

（I）求椭圆。的方程；

（2）若8、。分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线/交椭圆C于（/）在上

方，Q在下方，H均不与良。点重合）两点，直线PB,QD的斜率分别为4,&,旦七=一3"，

求.PBQ面积的最大值.

II.（2023•福建泉州•统考三模）已知椭圆C:上+上=1的左、右顶点分别为4,B,直

43

线/与C相切，且与圆。:/+），2=4交于M,N两点，/在N的左侧.

（1）若|MN|=拽，求/的斜率；

5

⑵记直线AM，BN的斜率分别为证明：匕占为定值.

12.（2023•江苏南通•统考模拟预测）已知A（XQJ,3（孙必），C（%达）三个点在椭圆

2

-y+y2=1»椭圆外一点P满足。尸=2AO，BP=2CP，（。为坐标原点）.

⑴求内9+2凹％的值；

（2）证明：直线AC与08斜率之积为定值.

13.（2023•浙江嘉兴・统考模拟预测）已知抛物线C：y2=2〃x（〃>。），过焦点产的直线

交抛物线C于A,B两点，且|A同=|A斗忸F|.

⑴求抛物线C的方程；

⑵若点夕(4,4),直线尸八，分别交准线，于N两点,证明：以线段MN为直径

的圆过定点.

14.(2023•江苏连云港•统考模拟预测)已知椭圆E：,*=l(a>b>0)的焦距为26,

且经过点0卜反；).

⑴求椭圆E的标准方程：

⑵过椭圆E的左焦点耳作直线/与椭圆月相交于A,8两点(点A在x轴上方)，过点4

B分别作椭圆的切线，两切线交于点M,求瑞的最大值.

15.(2023春・江苏常州•高三校联考开学考试)已知点尸(2,-1)在椭圆

7•>

C:「十:=1(。>〃>0)上，。的长轴长为4&,直线/：y=代+〃?与C交于A8两点，

ab

直线尸APB的斜率之积为!.

4

(I)求证：&为定值；

⑵若直线/与x轴交于点Q,求『+|QB『的值.

16.(2023春•江苏苏州•高三统考开学考试)已知抛物线丁=/1的焦点也是离心率为且

2

22

的椭圆£+1=1(4〃>0)的一个焦点F.

(1)求抛物线与椭圆的标准方程；

(2)设过厂的直线/交抛物线于A、B,交椭圆于C、。，且A在B左侧，。在。左侧，4

在C左侧.设。=|A[,曾，c=\DB\.

①当〃=2时，是否存在直线/,使得a,b,c成等差数列？若存在，求出直线/的方程；

若不存在，说明理由；

②若存在直线/，使得a,b,c成等差数列，求〃的范围.

22

17.(2023秋•江苏无锡•高三统考期末)已知椭圆G：*+点■=1("/»0)的右焦点尸和

抛物线6：/=2/*(〃>0)的焦点重合，且0】和。2的一个公共点是停手).

⑴求G和C?的方程：

⑵过点厂作直线/分别交椭圆于A,B,交抛物线C?于P,Q,是否存在常数4,使

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1A

R司一俨百为定值？若存在，求出入的值；若不存在，说明理山.

18.（2023秋・江苏•高三统考期末）如图，己知椭圆上+/=|的左、右顶点分别为45,

4

点。是椭圆上异于AB的动点，过原点。平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中

点为点。，直线OO与椭圆交于点尸,。，点P,CM在上轴的上方.

⑴当|AC|=6时，求cos/POM；

⑵求的最大值.

炉

19.（2023•浙江•校联考模拟预测）设双曲线C：二—二1的右焦点为尸（3,0）,尸到其

a~b~

中一条渐近线的距离为2.

⑴求双曲线C的方程;

（2）过”的直线交曲线。于48两点（其中4在第一象限），交直线x=/于点M,

」、|4用IBM|—

（I）0|.|BF|的值;

（ii）过M平行于04的直线分别交直线。8、x轴于P,Q,证明：|孙=|尸

20.（2023春・浙江绍兴・高三统考开学考试）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C：

^+/=1,Z?（l,0）.

⑴设尸是椭圆。上的一个动点，求POPB的取值范围；

（2）设与坐标轴不垂直的直线/交椭圆。于M,N两点，试问：是否存在满足条件的直线/,

使得△M8N是以8为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线」的方程，若不存

在，请说明理由.

21.（2023春・浙江高三开学考试）已知椭圆C,3=1（。>/?>0）的离心率为g,且

经过点加（-2,0）,0用为椭圆C的左右焦点，Q（A），%）为平面内一个动点，其中%>°，

记直线。£与椭圆C在大轴上方的交点为A（z，x）,直线与椭圆。在X轴上方的交点

为8（孙），2）.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)①若人入〃4耳，证明：-+—=—；

>\)’2>0

②若|Q£|+|Q段=3,探究加%%之间关系.

2

22.(2023春・浙江温州•高三统考开学考试)如图，椭圆二十丁=1的左右焦点分别为人，

4

尸2,点尸(毛，儿)是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，F1,尸2的圆与)，轴正半轴

交于点A(O.X)，经过点6(3.0)且与X轴垂直的直线/与直线”交于点Q.

(1)求证:先凹=1.

(2)试问：x轴上是否存在不同于点3的定点满足当直线MP,MQ的斜率存在时，

两斜率之积为定值？若存在定点用，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理

由.

23.(2023春•广东•高三校联考阶段练习)已知双曲线二=1(〃>0力〉0)的右顶

a~b~

点为A(2,0),直线/过点P(4,0),当直线/与双曲线E有且仅有一个公共点时，点A到

直线/的距离为半.

⑴求双曲线E的标准方程；

⑵若直线/与双曲线E交于M，N两点，且x轴上存在一点Q(/,0),使得/MQP=/NQP

恒成立，求九

24.(2023•广东梅州・统考一模)己知动圆M经过定点片(-6,。)，且与圆尸2：

卜_可+/=]6内切.

(1)求动圆圆心用的轨迹。的方程；

⑵设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A8,点尸为轨迹C上异于4B的动点，设必交

直线x=4于点丁，连结AT交轨迹C于点。.直线人户、AQ的斜率分别为小、kAQ.

(i)求证:•3Q为定值:

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（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

25.（2023春・湖北武汉•高三华中师大一附中校考阶段练习）己知双曲线E：—-/=1

4

与直线/：），=米-3相交于小8两点，M为线段48的中点.

⑴当k变化时，求点M的轨迹方程；

⑵若/与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、。两点，问：是否存在实数女，使得4、

8是线段C。的两个三等分点？若存在，求出&的值；若不存在，说明理由.

22

26.（2023•山东•日照一中校考模拟预测）已知双曲线C:=-5=的左、右焦

a~b~

点分别为0鸟，斜率为-3的直线/与双曲线C交于两点，点"（4,-2世）在双曲线

C上，且阿耳|.阿玛|=24.

⑴求△〃/但的面枳；

⑵若08+09=0（。为坐标原点），点N（3,l）,记直线的斜率分别为勺£,|a：

4"是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

27.（2023秋・山东泰安・高三统考期末）已知椭圆£：・+}=1（〃>〃>0）过人，半）

“疯孝卜点.

⑴求椭圆石的方程;

（2）已知Q（4,0）,过尸（1,0）的直线/与E交于M,N两点，求证：*

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