卫星追及与相遇问题试卷

卫星追及与相遇问题试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.地球同步卫星的追及问题已知地球同步卫星A和B均在赤道平面内运行，轨道半径分别为(r_A)和(r_B)（(r_A<r_B)）。某时刻两卫星恰好位于地球赤道上同一点的正上方，问至少经过多长时间两卫星再次相距最近？A.(\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}(r_A^{3/2}-r_B^{3/2}))B.(\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\frac{r_A^{3/2}r_B^{3/2}}{r_B^{3/2}-r_A^{3/2}})C.(\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}(r_B^{3/2}-r_A^{3/2}))D.(\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\frac{r_A^{3/2}r_B^{3/2}}{r_A^{3/2}-r_B^{3/2}})2.椭圆轨道与圆轨道的相遇问题卫星P在近地圆轨道运行，轨道半径为(R)；卫星Q在椭圆轨道运行，近地点和远地点的轨道半径分别为(R)和(3R)。若两卫星同时从近地点出发，忽略地球自转，下列说法正确的是A.卫星Q的周期是卫星P的(2\sqrt{2})倍B.两卫星下次在近地点相遇的时间为(\frac{4\piR^{3/2}}{\sqrt{GM}})C.卫星Q在远地点的速度大于卫星P的运行速度D.卫星P和Q的向心加速度大小始终满足(a_P>a_Q)3.不同轨道倾角的追及问题极地卫星C和地球同步卫星D的轨道倾角分别为90°和0°，轨道半径均为(4.2\times10^7,\text{m})。某时刻两卫星均经过北纬60°上空，问两卫星下次同时经过北纬60°上空的最短时间为A.6小时B.12小时C.24小时D.无法相遇4.卫星变轨后的追及问题卫星E原在半径为(r)的圆轨道运行，某时刻点火加速后进入椭圆轨道，近地点和远地点的半径分别为(r)和(2r)。若另一卫星F始终在半径为(2r)的圆轨道运行，且变轨前两卫星恰好相距最近，则变轨后卫星E经过远地点时，与卫星F相距A.最近B.最远C.无法确定D.取决于变轨时刻5.三星追及问题三颗卫星A、B、C在同一平面内做匀速圆周运动，轨道半径之比为1:2:4，某时刻三卫星位于同一直线上且同侧。则再次出现三卫星同侧共线的最短时间为（已知卫星A的周期为(T)）A.(T)B.(2T)C.(4T)D.(8T)6.近地卫星与同步卫星的相遇问题近地卫星的周期约为85分钟，地球同步卫星的周期为24小时。若某时刻两者在赤道平面内同方向运行且相距最近，则下次相距最近的时间间隔约为A.1.1小时B.12小时C.24小时D.1.5天7.椭圆轨道的近地点相遇问题卫星M和N在同一椭圆轨道运行，M从近地点出发，N从远地点出发，轨道半长轴为(a)，半短轴为(b)。若两卫星同时出发，则第一次相遇的位置在A.近地点B.远地点C.轨道的某一对称点D.无法相遇8.卫星追及中的相对速度卫星X和Y在同一圆轨道运行，轨道半径为(r)，运行方向相反。某时刻两卫星相距最近，此时卫星X相对卫星Y的速度大小为（已知地球质量为(M)）A.(2\sqrt{\frac{GM}{r}})B.(\sqrt{\frac{GM}{r}})C.(0)D.(\sqrt{\frac{2GM}{r}})9.轨道面夹角的相遇条件卫星P的轨道倾角为30°，卫星Q的轨道倾角为60°，两轨道平面交于地球某直径。若两卫星的周期均为(T)，则它们在交点处相遇的最短时间间隔为A.(T/2)B.(T)C.(2T)D.无法相遇10.卫星燃料耗尽后的追及问题卫星Z因燃料耗尽，轨道半径缓慢减小（视为圆轨道衰减），初始半径为(r_1)，衰减后半径为(r_2)（(r_1>r_2)）。若另一卫星W始终在半径为(r_2)的圆轨道运行，则在卫星Z衰减过程中，两卫星相遇的次数为A.0次B.1次C.2次D.无数次二、填空题（共5题，每题6分，共30分）11.同步卫星的追及周期两颗同步卫星在赤道平面内运行，轨道半径分别为(r)和(1.01r)，则两者的追及周期为_________（用(r)、地球质量(M)、引力常量(G)表示）。12.椭圆轨道的相遇时间卫星在椭圆轨道运行，半长轴为(a)，若在近地点和远地点分别放置一颗静止卫星（视为瞬时静止），则从近地点释放的卫星追上远地点卫星的时间为_________。13.三星共线问题三颗卫星的轨道半径之比为1:8:27，某时刻三者同侧共线，则再次同侧共线的时间为_________（已知半径最小卫星的周期为(T)）。14.反向运行的相遇周期两颗卫星在同一圆轨道反向运行，轨道半径为(r)，则它们的相遇周期为_________（用(r)、(G)、(M)表示）。15.变轨后的相遇次数卫星A在半径为(r)的圆轨道运行，卫星B在半径为(2r)的圆轨道运行。若卫星A突然点火加速进入椭圆轨道，近地点和远地点半径分别为(r)和(2r)，则在卫星A的一个周期内，与卫星B相遇的次数为_________。三、计算题（共3题，共70分）16.（20分）地球半径为(R)，地球表面重力加速度为(g)。卫星甲在近地圆轨道运行，卫星乙在同步圆轨道运行，周期为(T_0=24,\text{h})。（1）求卫星甲和乙的轨道半径之比；（2）若某时刻两卫星在赤道平面内同方向运行且位于地球同侧，求至少经过多长时间两卫星再次位于地球同侧且相距最近。17.（25分）卫星P在椭圆轨道运行，近地点A和远地点B的轨道半径分别为(R)和(3R)，地球质量为(M)，引力常量为(G)。（1）求卫星P的周期；（2）若卫星Q在半径为(3R)的圆轨道运行，方向与P相同。某时刻P经过B点时，Q恰好位于B点正上方，求下次两卫星相距最近的时间。18.（25分）三颗卫星A、B、C在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，轨道半径分别为(r)、(2r)、(4r)，运行方向相同。某时刻三颗卫星位于同一直线上且地球球心在该直线上，如图所示。（1）求卫星A与B、B与C的周期之比；（2）求卫星A相对卫星B的角速度；（3）若卫星A的周期为(T)，求至少经过多长时间三颗卫星再次共线且地球球心在该直线上。四、分析题（共2题，共50分）19.（25分）某科幻电影中描述了“卫星拦截”场景：敌方卫星在半径为(5R)的圆轨道运行，我方卫星在半径为(4R)的圆轨道运行，两卫星初始时刻相距最近且同向运行。为实现快速拦截，我方卫星需在最短时间内变轨至敌方轨道并追上目标。已知地球半径为(R)，表面重力加速度为(g)。（1）通过计算说明，我方卫星应选择椭圆转移轨道还是直接加速进入圆轨道？（2）若选择椭圆转移轨道（近地点4R，远地点5R），求从变轨到追上敌方卫星的时间。20.（25分）在“双星系统”中，两颗恒星的质量分别为(M_1)和(M_2)，相距为(L)，绕共同质心做匀速圆周运动。（1）求两恒星的轨道半径之比；（2）若在质心处放置一颗探测器，求探测器与两恒星再次同时相遇的周期。参考答案及解析一、选择题B解析：由开普勒第三定律(T^2\proptor^3)得周期(T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}})，角速度(\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{GM}{r^3}})。因(r_A<r_B)，则(\omega_A>\omega_B)，追及条件为((\omega_A-\omega_B)t=2\pi)，解得(t=\frac{2\pi}{\omega_A-\omega_B}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\frac{r_A^{3/2}r_B^{3/2}}{r_B^{3/2}-r_A^{3/2}})。B解析：卫星Q的半长轴(a=\frac{R+3R}{2}=2R)，由开普勒第三定律(\frac{T_Q^2}{T_P^2}=\frac{(2R)^3}{R^3}=8)，得(T_Q=2\sqrt{2}T_P\approx2.828T_P)，A错误；设相遇时间为(t)，则(\frac{t}{T_P}-\frac{t}{T_Q}=1)，解得(t=\frac{T_PT_Q}{T_Q-T_P}=4T_P)，B正确；卫星Q在远地点的速度(v_Q<\sqrt{\frac{GM}{3R}}<\sqrt{\frac{GM}{R}}=v_P)，C错误；卫星Q在近地点的加速度(a_Q=\frac{GM}{R^2}=a_P)，D错误。C解析：同步卫星D的轨道倾角为0°，始终在赤道上空；极地卫星C的轨道倾角为90°，周期与同步卫星相同（轨道半径相同），每12小时扫过地球两极一次。但两卫星的轨道平面仅在赤道平面内有交点，且同步卫星D静止于赤道上空，因此只有当极地卫星C再次经过赤道平面时才可能相遇，周期为24小时。A解析：卫星E在椭圆轨道的周期(T_E=2\pi\sqrt{\frac{(1.5r)^3}{GM}})，卫星F的周期(T_F=2\pi\sqrt{\frac{(2r)^3}{GM}})，因(T_E<T_F)，卫星E在远地点时恰好完成半个周期，此时卫星F运行了(\frac{T_E}{2T_F}<\frac{1}{2})周期，两卫星再次相距最近。C解析：由开普勒第三定律得周期之比(T_A:T_B:T_C=1:2\sqrt{2}:8\approx1:2.828:8)。设再次共线时间为(t)，则(\frac{t}{T_A}-\frac{t}{T_B}=1)，(\frac{t}{T_A}-\frac{t}{T_C}=2)，解得(t=4T)。A解析：近地卫星周期(T_1=85,\text{min}\approx1.417,\text{h})，同步卫星周期(T_2=24,\text{h})，追及时间(t=\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\approx\frac{1.417\times24}{24-1.417}\approx1.1,\text{h})。C解析：椭圆轨道具有对称性，M和N的运动周期相同，从近地点和远地点同时出发，将在轨道的对称点相遇。A解析：两卫星的速度大小均为(v=\sqrt{\frac{GM}{r}})，方向相反，相对速度大小为(v+v=2v=2\sqrt{\frac{GM}{r}})。B解析：两卫星的轨道平面交于直径，周期相同，每经过半个周期在交点处相遇一次，但方向相反，因此最短相遇周期为(T)。B解析：卫星Z的轨道半径从(r_1)减小到(r_2)，周期逐渐减小，角速度逐渐增大。在衰减过程中，卫星Z的角速度从小于卫星W（(r_1>r_2)时(\omega_Z<\omega_W)）变为大于卫星W（(r_2)时(\omega_Z=\omega_W)），因此会出现一次追及相遇。二、填空题(\frac{2\pi(1.01r)^{3/2}r^{3/2}}{(1.01)^{3/2}-1}\sqrt{\frac{r^3}{GM}})解析：由追及条件((\omega_1-\omega_2)T=2\pi)，代入(\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}})得(T=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}(r^{-3/2}-(1.01r)^{-3/2})})。(\frac{\pia\sqrt{a}}{\sqrt{GM}})解析：椭圆轨道的周期(T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}})，从近地点到远地点的时间为(\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}})。(8T)解析：周期之比(T_A:T_B:T_C=1:2\sqrt{2}:8)，设时间为(t)，则(\frac{t}{T}-\frac{t}{8T}=2)（需满足A比C多转2圈），解得(t=8T)。(\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}})解析：反向运行时，相对角速度(\omega=\omega_1+\omega_2=2\sqrt{\frac{GM}{r^3}})，相遇周期(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}})。1次解析：卫星A在椭圆轨道的周期(T_A=2\pi\sqrt{\frac{(1.5r)^3}{GM}}\approx3.375T_0)（(T_0)为半径(r)的周期），卫星B的周期(T_B=2\pi\sqrt{\frac{(2r)^3}{GM}}=2.828T_0)，因(T_A>T_B)，在一个周期内卫星B比卫星A多运行(\frac{T_A}{T_B}-1\approx0.19)圈，不会再次相遇。三、计算题（1）由(mg=\frac{GMm}{R^2})得(GM=gR^2)。近地卫星甲的周期(T_甲=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx85,\text{min})，同步卫星乙的周期(T_乙=24,\text{h}=1440,\text{min})。由开普勒第三定律(\frac{r_甲^3}{r_乙^3}=\frac{T_甲^2}{T_乙^2})，得(\frac{r_甲}{r_乙}=\left(\frac{85}{1440}\right)^{2/3}\approx0.067)。（2）追及时间(t=\frac{T_甲T_乙}{T_乙-T_甲}\approx\frac{85\times1440}{1440-85}\approx90,\text{min}=1.5,\text{h})。（1）半长轴(a=2R)，周期(T_P=2\pi\sqrt{\frac{(2R)^3}{GM}}=4\piR\sqrt{\frac{2R}{GM}})。（2）卫星Q的周期(T_Q=2\pi\sqrt{\frac{(3R)^3}{GM}}=6\piR\sqrt{\frac{3R}{GM}})，设相遇时间为(t)，则(\frac{t}{T_P}-\frac{t}