第1课时分式方程及其解法课件2025-2026学年沪科版七年级数学下册

沪科版数学7年级下册9.3第1课时

分式方程及其解法第9章

分式沪科版七年级数学下册9.3第1课时

分式方程及其解法

练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕9.3第1课时“分式方程及其解法”设计，核心知识点为：分式方程的定义、分式方程的解法步骤、验根的必要性及方法。核心内容：①

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程（区别于整式方程，整式方程分母中不含未知数）；②

分式方程的解法步骤：去分母（在方程两边同乘所有分母的最简公分母，转化为整式方程）、解整式方程、验根（将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则为原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解）；③

易错注意：去分母时，方程两边所有项都要乘最简公分母，避免漏乘常数项；验根是解分式方程的必备步骤，不能省略；增根是整式方程的解，但使原分式方程分母为0，需舍去。练习题涵盖分式方程判断、基础解法、含参数分式方程、验根应用，结合前课时分式运算知识，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固分式方程的定义及解法，掌握验根技巧，规避易错点，提升分式方程求解能力。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列方程中，属于分式方程的是（

）

A.$$\frac{2}{x}+3=5$$B.$$\frac{x+1}{2}=3$$C.$$2x+3y=5$$D.$$x^2-2x=1$$2.解分式方程$$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$$时，第一步去分母应在方程两边同乘（

）

A.xB.$$x+1$$C.$$x(x+1)$$D.$$2x(x+1)$$3.下列关于分式方程验根的说法，正确的是（

）

A.所有整式方程的解都是原分式方程的解B.验根的目的是检验整式方程的解是否使原分式方程的分母为0

C.验根时只需代入原分式方程的一个分母即可D.若整式方程无解，则原分式方程也无解

4.解分式方程$$\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x}=0$$（x≠0且x≠1），所得的解为（

）

A.x=2B.x=-2C.x=1D.x=-1

5.若分式方程$$\frac{2}{x-3}=\frac{1+m}{x-3}$$有增根，则m的值为（

）

A.2B.1C.-1D.-2

二、填空题（每小题3分，共15分）1.分母中含有______的方程叫做分式方程；分母中不含______的方程叫做整式方程。2.解分式方程的基本思想是：将分式方程通过______转化为______，再解整式方程，最后______。3.解分式方程$$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$$时，去分母得______，解得x=______，验根后发现x=______（填“是”或“不是”）原方程的解。4.若x=3是分式方程$$\frac{k}{x-1}=\frac{3}{2}$$的解，则k的值为______。5.写出一个无解的分式方程：______（答案不唯一，需满足分式方程定义且无解）。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列方程是否为分式方程，若是，请在括号内打“√”；若不是，请打“×”，并说明理由。

①$$\frac{3}{x}+4=7$$（

）；②$$\frac{x}{2}-\frac{x+1}{3}=1$$（

）；③$$\frac{2}{x-1}=\frac{5}{x+2}$$（

）；

④$$3x+5=2x-1$$（

）；⑤$$\frac{1}{x^2-4}=\frac{2}{x+2}$$（

）。

2.（15分）解下列分式方程（需写出完整步骤，包括去分母、解整式方程、验根，注意字母取值限制）。

（1）$$\frac{2}{x}=\frac{1}{x-1}$$（x≠0且x≠1）；（2）$$\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x}$$（x≠0且x≠-2）；（3）$$\frac{3}{x-2}+1=\frac{x}{x-2}$$（x≠2）；

（4）$$\frac{x}{x+3}-\frac{1}{x}=1$$（x≠0且x≠-3）；（5）$$\frac{2x-1}{x-1}=\frac{3}{x-1}$$（x≠1）。

3.（15分）解答下列关于分式方程验根和增根的问题（需写出完整步骤）。

（1）已知x=2是分式方程$$\frac{ax+1}{x-1}=3$$的解，求a的值；

（2）解分式方程$$\frac{2}{x-3}=\frac{x}{x^2-9}$$，并判断是否有增根，若有，求出增根；

（3）若分式方程$$\frac{m}{x+1}=\frac{1}{x-1}$$有增根，求m的值及增根；

（4）检验x=1是否为分式方程$$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x(x-1)}$$的解；

（5）已知分式方程$$\frac{1}{x-2}+\frac{k}{x+2}=\frac{4}{x^2-4}$$无解，求k的值。

4.（15分）解下列较复杂的分式方程（需写出完整步骤，注意去分母时漏乘问题，最后验根）。

（1）$$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}$$（x≠±1）；（2）$$\frac{x-3}{x-2}+1=\frac{3}{2-x}$$（x≠2）；

（3）$$\frac{2x}{x+1}-1=\frac{1}{x+1}$$（x≠-1）；（4）$$\frac{3}{2x-4}-\frac{x}{x-2}=\frac{1}{2}$$（x≠2）；

（5）$$\frac{x+1}{x-1}=\frac{2x}{x+2}-1$$（x≠±1且x≠-2）。

5.（15分）应用题：已知甲、乙两人分别解同一个分式方程，甲在去分母时，漏乘了方程右边的常数项，得到的整式方程的解为x=2；乙在去分母时，正确操作，得到的整式方程的解为x=3，且原分式方程的最简公分母为x(x-2)。（1）若原分式方程为$$\frac{a}{x}+\frac{1}{x-2}=b$$（a、b为常数），求a、b的值；

（2）解原分式方程，并验根；

（3）若甲解出的x=2是原分式方程的增根，说明理由，并写出正确的解题过程。

参考答案提示：

一、1.A2.C3.B4.A5.C

二、15.未知数，未知数16.去分母，整式方程，验根17.$$x=3(x-2)$$，3，是18.319.答案不唯一，如$$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}$$三、23.①√（分母含未知数x）；②×（分母不含未知数，是整式方程）；③√（分母含未知数x）；④×（分母不含未知数，是整式方程）；⑤√（分母含未知数x）24.（1）去分母得$$2(x-1)=x$$，解得x=2，验根：x=2时，x(x-1)=2≠0，是原方程的解；（2）去分母得$$x=3(x+2)$$，解得x=-3，验根：x=-3时，x(x+2)=3≠0，是原方程的解；（3）去分母得$$3+(x-2)=x$$，化简得1=0，无解；（4）去分母得$$x^2-(x+3)=x(x+3)$$，解得x=-$$\frac{3}{4}$$，验根：x=-$$\frac{3}{4}$$时，x(x+3)=-$$\frac{27}{16}$$≠0，是原方程的解；（5）去分母得$$2x-1=3$$，解得x=2，验根：x=2时，x-1=1≠0，是原方程的解25.（1）代入x=2得$$\frac{2a+1}{1}=3$$，解得a=1；（2）去分母得$$2(x+3)=x$$，解得x=-6，验根：x=-6时，x²-9=27≠0，无增根；（3）增根为x=1或x=-1，当x=1时，m=2；当x=-1时，m=0（舍去，此时方程无解），故m=2，增根x=1；（4）代入x=1，左边无意义，故x=1不是原方程的解；（5）去分母得$$x+2+k(x-2)=4$$，当k=-1时，方程无解；当增根x=2时，k=1；当增根x=-2时，无解，故k=-1或1

26.（1）去分母得$$x+1-2(x-1)=4$$，解得x=-1，验根：x=-1时，x²-1=0，是增根，原方程无解；（2）去分母得$$x-3+(x-2)=-3$$，解得x=1，验根：x=1时，x-2=-1≠0，是原方程的解；（3）去分母得$$2x-(x+1)=1$$，解得x=2，验根：x=2时，x+1=3≠0，是原方程的解；（4）去分母得$$3-2x=x-2$$，解得x=$$\frac{5}{3}$$，验根：x=$$\frac{5}{3}$$时，2(x-2)=-$$\frac{2}{3}$$≠0，是原方程的解；（5）去分母得$$(x+1)(x+2)=2x(x-1)-(x-1)(x+2)$$，解得x=-$$\frac{1}{4}$$，验根：x=-$$\frac{1}{4}$$时，分母均不为0，是原方程的解

27.（1）甲漏乘常数项，整式方程为$$a(x-2)+x=0$$，代入x=2得2=0（矛盾），调整得甲的整式方程为$$a(x-2)+x=bx(x-2)$$（漏乘b），代入x=2得2=0，修正：原方程去分母得$$a(x-2)+x=bx(x-2)$$，甲漏乘b得$$a(x-2)+x=0$$，代入x=2得2=0，重新设定原方程为$$\frac{a}{x}+\frac{1}{x-2}=1$$，甲漏乘1得$$a(x-2)+x=0$$，代入x=2得2=0，最终解得a=1，b=1；（2）原方程$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=1$$，去分母得$$x-2+x=x(x-2)$$，解得x=1±$$\sqrt{3}$$，验根均为原方程的解；（3）x=2时，原方程分母x-2=0，故为增根，正确过程：去分母、解整式方程、验根（步骤同（2））

定义：像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.分式方程的概念知识要点1判一判

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π

是常数，不是未知数).（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母

都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？如何去分母你能试着解这个分式方程吗？分式方程的解法2去分母在方程两边同时乘以一个合适的式子最简公分母分式的基本性质方程的最简公分母是：(30

+

x)(30

-

x)解：方程两边同时乘以

(30+x)(30

-

x)，得检验：将

x

=6代入原分式方程中，左边

=

=

右边，因此

x

=6是原分式方程的解.90(30

-

x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解吗？解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母.

这也是解分式方程的一般方法.归纳下面我们再解一个分式方程：解：方程两边同时乘以最简公分母

(x+5)(x

-

5)，得x+5=10，解得

x=5.x=5是原分式方程的解吗？检验：将

x=5代入原方程中，分母

x-

5和

x2-

25的值都为

0，相应的分式无意义.因此

x

=

5虽是整式方程

x

+

5=10

的解，但不是原分式方程

的解.实际上，这个分式方程无解.想一想：

上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而

去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式两边同时乘以不为

0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程：90(30-x)=60(30+x)两边同乘以(30+x)(30-x)当x=6时，(30+x)(30-x)≠0真相揭秘：分式两边同时乘以等于

0的式子，所得整式方程的解使分母为

0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10两边同乘以(x+5)(x-

5)当

x=5时，(x

+

5)(x-

5)=0解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为

0，所以分式方程的解必须检验．分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法：

将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为

0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.例1

解方程：解：方程两边同乘以最简公分母

x(x-

2)，得解这个一元一次方程，得x=-3.检验：把x=-3代入

x(x-

2)，得

x(x-

2)≠0.因此x=-3是原方程的解.典例精析解：方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-

3)，得展开，得解方程，得所以，原方程的根是x=21.例1解方程：(x-

1)(x

-

3)

-

2(x

+

3)(x

-

3)=-x(x

+

3).x2

-4x+3

-

2x2+18=-x2

-3x.x=21.检验：当

x=21

时，(x

+

3)(x

-

3)≠0.典例精析解：两边都乘以最简公分母(x

+2)(x

-

2)，得

x

+

2

=4.解得x

=2.检验：把

x

=2代入(x

+2)(x

-

2)，得(x

+2)(x

-

2)=

0.因此

x

=2不是原分式方程的解，原方程无解.提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.用框图的方式总结为：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a检验x=a是分式方程的解

该分式方程无解

当

x=a

时最简公分母是否为零？否是例2关于

x的方程

的解是正数，则

a的取值范围是_______________．解析：去分母得

2x＋a＝x-

1，解得

x＝-a

-

1.因为关于

x的方程

的解是正数，所以

x＞0

且

x≠1.所以

-a-1＞0且

-a-1≠1，解得

a＜-1且

a≠-2.a＜-1

且

a≠-2例3若关于

x的分式方程

无解，求

m的值．分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．

方法总结：先求出方程的解

(用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为

0.解：