建立空间直角坐标系课件2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章

空间向量与立体几何

2.1.1建立空间直角坐标系

1．数轴Ox上的点A，用代数的方法怎样表示呢？可用与它对应的实数x表示xO数轴上的点可以用唯一的一个实数表示-1-2123AxyPOxy(x,y)平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点2.直角坐标平面上的点P，怎样表示呢？问题1:在空间中怎样表示每个点的位置呢？如图，如何描述在海面上空飞行的飞机的位置？利用坐标定位对于图中黄色潜艇，若其坐标为（2，3，-0.5），就说明它位于海平面坐标P'（2,3）的位置的正下方，且在海平面以下的0.5km处.同理，要确定飞机的位置P，可以从飞机在空中所在位置P向海平面作垂线PP'，垂足为P'，则飞机在P'上空．若(x，y，z)=(2，3，2)，单位长度为1km；就说明飞机在海平面坐标为(2，3)的位置上空，高度为2km．x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)可以表示空间中每个点的位置1.空间直角坐标系O-xyz的建立（1）在空间取定一点O（2）从O出发引三条两两垂直的直线（3）选定某个长度作为共同的单位长度(原点)(坐标轴)•Oxyz111作图：一般地，使问题2:根据上述实例，我们该怎么建立空间直角坐标系呢？斜二测画法斜二测画法画空间直角坐标系需要注意:

①在y轴、z轴上的线段长度都与原来的长度相同；②在

x

轴上的线段长度则取原来长度的一半．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,O为坐标原点x轴,y轴,z轴叫坐标轴分别为xOy平面，yOz平面，xOz平面．ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ•O空间直角坐标系共有八个卦限2.空间直角坐标系的划分右手直角坐标系建立空间直角坐标系时，一般将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系(如右图).3.空间中点的坐标有了空间直角坐标系，我们就能够建立空间中对于空间任意一点P与三个实数组成的有序实数组(x,y,z)之间的对应关系.

如图，若点P不在三个坐标平面内，则过点P分别作垂直于x轴,y轴,z轴的平面，依次交x轴,y轴,z轴于点A、B、C.设交点A,B,C分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按照顺序排成(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).

x称为点P的x坐标O

x

y

z

PxPzx

z

yPPyy称为点P的y坐标z称为点P的z坐标反之：（x,y,z)对应唯一的点P空间的点P有序数组一一对应具体过程如下：问题3：在空间直角坐标系中，原点、坐标轴和坐标平面上点的坐标有何特点？POP′（a，b，c）yxzMaQbRcAB观察右图所示的长方体，并完成下面的填空.C'D'B'A'COAByzxxOy平面是坐标形如

的点构成的x轴上的点坐标为

;z轴上的点坐标为

.y轴上的点坐标为__________;③坐标平面内的点②坐标轴上的点yOz平面是坐标形如

的点构成的xOz平面是坐标形如

的点构成的(x,0,0)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)①原点坐标为（0,0,0）(0,y,0)(0,0,z)例1在空间直角坐标系中，描出下列各点：

（1）A(0，0，4)；

（2）B(3，－3，0)；

（3）C(1，2，3)．例2

长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8，|AD|=3，|AA'|=5．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标．解：如图，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)．问题4

空间中点关于轴和平面的对称点有何特点？尝试画一画.xyOx0y0(x0,y0)P(x0,-y0)P1(-x0,y0)P2P3-y0-x0(-x0,-y0)横坐标相反，纵坐标不变横坐标相反，纵坐标相反横坐标不变，纵坐标相反对称点：一般的P(x,y,z)关于：（1）x轴对称的点P1为__________;（2）y轴对称的点P2为__________;（3）z轴对称的点P3为__________;关于谁对称谁不变关于坐标平面对称：一般的P(x,y,z)关于：（1）xoy平面对称的点P1为__________;（2）yoz平面对称的点P2为__________;（3）xoz平面对称的点P3为__________;（x,y,-z）（-x,y,z）（x,-y,z）关于谁对称谁不变(1,-1,-1)(1,1,1)(1,1,-1)(-1,1,1)(-1,-1,1)(1,-1,1)(-1,-1,-1)关于谁对称谁不变其余坐标变相反数例3

空间直角坐标系中，点P（1，-2，3）（1）求点P关于x轴的对称点A坐标？（2）求点P关于yoz平面的对称点B坐标？答案（1）A（1，2，-3）（2）B（-1，-2，3）1.知识清单：(1)空间直角坐标系的相关概念.(2)空间直角坐标系中点的坐标.(3)空间直角坐标系中点的对称问题.2.方法归纳：数形结合、类比联想.3.常见误区：由空间点的位置求点的坐标时，坐标的符号容易出错.本节课你学到了哪些知识与方法？1.z轴上点的坐标的特点是()A．竖坐标为0B．横坐标，纵坐标都是0C．横坐标为0D．横，纵，竖坐标不可能都是0B2.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上

D．yOz平面上C4.如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中|OA|=3,|OC|=4，|OD′|=2,写出长方体以下顶点的坐标.ABCOxA′yzB′C′D′3.在空间直角坐标系O－xyz中，点P(1,2,3)关于xOz平面的对称点的坐标是________．（1，-2,3）点D′坐标为

;点A′坐标为