江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学（普惠路校区）2025-2026学年第二学期高一阶段练习数学试题（含解析）

江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学（普惠路校区）2025-2026学年第二学期高一阶段练习数学试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分命题范围：新人教A版高一数学下册平面向量及其应用、复数（核心章节），兼顾基础巩固与能力提升，贴合校区高一教学进度考生注意：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置；2.所有答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效；3.选择题用2B铅笔涂卡，非选择题用黑色签字笔作答，字迹工整、卷面整洁；4.解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，否则不得分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列说法正确的是（）

A.向量的模是一个正实数

B.零向量没有方向

C.共线向量一定在同一条直线上

D.相等向量的模相等且方向相同已知复数\(z=(m^2-3m+2)+(m^2-5m+6)i\)（\(m\in\mathbb{R}\)），若\(z\)为实数，则\(m\)的值为（）

A.2或3B.2C.3D.1或2

在\(\triangleABC\)中，已知\(AB=2\)，\(AC=3\)，\(\angleBAC=60^\circ\)，则\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)的值为（）

A.3B.6C.\(3\sqrt{3}\)D.\(6\sqrt{3}\)

已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,k)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则实数\(k\)的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

复数\(z=\frac{2-i}{1+i}\)（\(i\)为虚数单位）的共轭复数\(\overline{z}\)为（）

A.\(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)B.\(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)C.\(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)D.\(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\)

在\(\triangleABC\)中，根据正弦定理，下列等式一定成立的是（）

A.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)B.\(\frac{a}{\cosA}=\frac{b}{\cosB}\)

C.\(a\sinB=b\cosA\)D.\(a\cosB=b\sinA\)

已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=3\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(60^\circ\)，则\(|\vec{a}+\vec{b}|\)的值为（）

A.\(\sqrt{19}\)B.\(\sqrt{13}\)C.19D.13

已知复数\(z\)满足\(|z-1-i|=2\)（\(i\)为虚数单位），则\(|z|\)的最大值为（）

A.\(2+\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{2}-2\)C.\(2-\sqrt{2}\)D.\(\sqrt{2}\)

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分）下列关于复数的说法正确的是（）

A.复数\(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），若\(b\neq0\)，则\(z\)为虚数

B.复数的模一定是非负实数

C.若复数\(z_1,z_2\)满足\(|z_1|=|z_2|\)，则\(z_1=z_2\)

D.实数集是复数集的真子集

已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，则下列说法正确的是（）

A.\(\vec{a}+\vec{b}=(1,5)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(3,1)\)

C.\(2\vec{a}-3\vec{b}=(7,0)\)D.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=4\)

在\(\triangleABC\)中，下列条件能判定\(\triangleABC\)为直角三角形的是（）

A.\(\angleA+\angleB=\angleC\)B.\(AB^2+BC^2=AC^2\)

C.\(\sinA=\frac{1}{2}\)D.\(\cosB=0\)

已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)满足\(\vec{c}=\vec{a}+2\vec{b}\)，则下列说法正确的是（）

A.若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则\(\vec{a}\)与\(\vec{c}\)共线

B.若\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\)，则\(|\vec{c}|\leq3\)

C.若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(|\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+4|\vec{b}|^2}\)

D.\(\vec{c}\)的方向由\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的方向共同决定

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，则\(|\vec{a}|=\)________。

复数\(z=3-4i\)（\(i\)为虚数单位）的模为________。

在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=3\)，\(\angleC=120^\circ\)，则\(c=\)________。

已知向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则\(m=\)________。

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）已知复数\(z_1=2+3i\)，\(z_2=1-2i\)（\(i\)为虚数单位），求：

（1）\(z_1+z_2\)；

（2）\(z_1\cdotz_2\)；

（3）\(\frac{z_1}{z_2}\)。

（12分）已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)。

（1）求\(2\vec{a}-\vec{b}\)的坐标及模；

（2）求\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角的余弦值；

（3）若\(\vec{c}\)满足\((\vec{c}-\vec{a})\perp\vec{b}\)，且\(|\vec{c}|=2\sqrt{5}\)，求\(\vec{c}\)的坐标。

（12分）在\(\triangleABC\)中，已知\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=2\)，\(\angleA=60^\circ\)，求\(\angleB\)，\(\angleC\)及边长\(c\)。

（12分）已知复数\(z\)满足\(z(1+i)=2-4i\)（\(i\)为虚数单位）。

（1）求复数\(z\)；

（2）若复数\(w=z+ai\)（\(a\in\mathbb{R}\)），且\(|w|\leq\sqrt{10}\)，求实数\(a\)的取值范围。

（12分）在\(\triangleABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且满足\(b\cosA+a\cosB=2c\cosC\)。

（1）求\(\angleC\)的大小；

（2）若\(c=2\sqrt{3}\)，\(\triangleABC\)的面积为\(2\sqrt{3}\)，求\(a+b\)的值。

（12分）已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(120^\circ\)。

（1）求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)及\(|\vec{a}-2\vec{b}|\)；

（2）若\((\vec{a}+k\vec{b})\perp(2\vec{a}-\vec{b})\)，求实数\(k\)的值；

（3）求向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{a}+\vec{b}\)方向上的投影向量的模。

参考答案与详细解析一、单项选择题（每小题5分，共40分）【答案】D

【解析】A选项错误，零向量的模为0，不是正实数；B选项错误，零向量的方向是任意的，并非没有方向；C选项错误，共线向量（平行向量）是指方向相同或相反的向量，不一定在同一条直线上；D选项正确，相等向量的定义就是模相等且方向相同。故选D。

【答案】A

【解析】复数\(z\)为实数的充要条件是虚部为0，即\(m^2-5m+6=0\)，解得\(m=2\)或\(m=3\)。验证：当\(m=2\)时，\(z=(4-6+2)+(4-10+6)i=0+0i=0\)（实数）；当\(m=3\)时，\(z=(9-9+2)+(9-15+6)i=2+0i=2\)（实数），均符合题意。故选A。

【答案】A

【解析】根据向量数量积的定义：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cos\angleBAC\)，代入已知条件，\(|\overrightarrow{AB}|=2\)，\(|\overrightarrow{AC}|=3\)，\(\angleBAC=60^\circ\)，则\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times3\times\cos60^\circ=6\times\frac{1}{2}=3\)。故选A。

【答案】A

【解析】向量垂直的充要条件是数量积为0，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,k)\)，则\(1\times2+2\timesk=0\)，解得\(2+2k=0\)，\(k=-1\)。故选A。

【答案】B

【解析】先对复数\(z=\frac{2-i}{1+i}\)进行化简，分子分母同乘以分母的共轭复数\(1-i\)：

\(z=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2\times1-2i-i+i^2}{1^2-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)。

共轭复数\(\overline{z}\)是将虚部符号改变，故\(\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。故选B。

【答案】A

【解析】正弦定理的核心内容是：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为三角形外接圆半径）。因此A选项正确，B、C、D选项均不符合正弦定理的定义。故选A。

【答案】A

【解析】根据向量模的平方公式：\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)。

已知\(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=3\)，夹角为\(60^\circ\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos60^\circ=2\times3\times\frac{1}{2}=3\)。

代入得\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=2^2+2\times3+3^2=4+6+9=19\)，故\(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{19}\)。故选A。

【答案】A

【解析】复数\(z\)满足\(|z-1-i|=2\)，几何意义是：复数\(z\)对应的点在以\((1,1)\)为圆心，2为半径的圆上。

\(|z|\)表示复数\(z\)对应的点到原点\((0,0)\)的距离，根据圆的性质，\(|z|\)的最大值为圆心到原点的距离加上半径。

圆心\((1,1)\)到原点的距离为\(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，故\(|z|_{\text{max}}=\sqrt{2}+2\)。故选A。

二、多项选择题（每小题5分，共20分）【答案】ABD

【解析】A选项正确，复数\(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），虚部\(b\neq0\)时，\(z\)为虚数；B选项正确，复数的模\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)，一定是非负实数；C选项错误，\(|z_1|=|z_2|\)只说明复数对应的点到原点距离相等，不一定是同一个点，故\(z_1\)不一定等于\(z_2\)；D选项正确，实数是复数中虚部为0的特殊情况，故实数集是复数集的真子集。故选ABD。

【答案】ABCD

【解析】A选项：\(\vec{a}+\vec{b}=(2-1,3+2)=(1,5)\)，正确；B选项：\(\vec{a}-\vec{b}=(2-(-1),3-2)=(3,1)\)，正确；C选项：\(2\vec{a}-3\vec{b}=2(2,3)-3(-1,2)=(4+3,6-6)=(7,0)\)，正确；D选项：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times(-1)+3\times2=-2+6=4\)，正确。故选ABCD。

【答案】ABD

【解析】A选项：\(\angleA+\angleB+\angleC=\pi\)，若\(\angleA+\angleB=\angleC\)，则\(2\angleC=\pi\)，\(\angleC=\frac{\pi}{2}\)，为直角三角形，正确；B选项：满足勾股定理的逆定理，\(\angleB=90^\circ\)，为直角三角形，正确；C选项：\(\sinA=\frac{1}{2}\)，则\(\angleA=30^\circ\)或\(150^\circ\)，无法判定三角形为直角三角形，错误；D选项：\(\cosB=0\)，则\(\angleB=90^\circ\)，为直角三角形，正确。故选ABD。

【答案】ABCD

【解析】A选项：若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则存在实数\(\lambda\)，使得\(\vec{b}=\lambda\vec{a}\)，则\(\vec{c}=\vec{a}+2\lambda\vec{a}=(1+2\lambda)\vec{a}\)，故\(\vec{a}\)与\(\vec{c}\)共线，正确；B选项：由三角不等式，\(|\vec{c}|=|\vec{a}+2\vec{b}|\leq|\vec{a}|+2|\vec{b}|=1+2\times1=3\)，正确；C选项：若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，\(|\vec{c}|^2=|\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4|\vec{b}|^2\)，故\(|\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+4|\vec{b}|^2}\)，正确；D选项：\(\vec{c}\)是\(\vec{a}\)与\(2\vec{b}\)的和向量，其方向由\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的方向共同决定，正确。故选ABCD。

三、填空题（每小题5分，共20分）【答案】5

【解析】向量模的计算公式：若\(\vec{a}=(x,y)\)，则\(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)。代入\(\vec{a}=(3,-4)\)，得\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。

【答案】5

【解析】复数模的计算公式：若\(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），则\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。代入\(z=3-4i\)，得\(|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5\)。

【答案】7

【解析】根据余弦定理：\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)。代入\(a=5\)，\(b=3\)，\(\angleC=120^\circ\)，\(\cos120^\circ=-\frac{1}{2}\)，得\(c^2=5^2+3^2-2\times5\times3\times(-\frac{1}{2})=25+9+15=49\)，故\(c=7\)（边长为正，舍去负根）。

【答案】2

【解析】向量共线的充要条件：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。代入\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，得\(1\timesm-2\times1=0\)，解得\(m=2\)。四、解答题（共70分）（10分）

【解析】（1）复数加法：实部相加，虚部相加（2分）

\(z_1+z_2=(2+1)+(3-2)i=3+i\)（3分）

（2）复数乘法：类比多项式乘法，\(i^2=-1\)（4分）

\(z_1\cdotz_2=(2+3i)(1-2i)=2\times1-2\times2i+3i\times1-3i\times2i=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i\)（6分）

（3）复数除法：分子分母同乘以分母的共轭复数（7分）

\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{1-2i}=\frac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{2+4i+3i+6i^2}{1-4i^2}=\frac{2+7i-6}{1+4}=\frac{-4+7i}{5}=-\frac{4}{5}+\frac{7}{5}i\)（10分）

（12分）

【解析】（1）先求\(2\vec{a}-\vec{b}\)的坐标：

\(2\vec{a}=2(1,-2)=(2,-4)\)，则\(2\vec{a}-\vec{b}=(2-3,-4-4)=(-1,-8)\)（2分）

模长：\(|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+(-8)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}\)（4分）

（2）设\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)（5分）

计算数量积：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+(-2)\times4=3-8=-5\)（6分）

计算模长：\(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}\)，\(|\vec{b}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)（7分）

故\(\cos\theta=\frac{-5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{-5}{5\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)（8分）

（3）设\(\vec{c}=(x,y)\)，则\(\vec{c}-\vec{a}=(x-1,y+2)\)（9分）

由\((\vec{c}-\vec{a})\perp\vec{b}\)，得\((\vec{c}-\vec{a})\cdot\vec{b}=0\)，即\(3(x-1)+4(y+2)=0\)，化简得\(3x+4y+5=0\)（10分）

由\(|\vec{c}|=2\sqrt{5}\)，得\(\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{5}\)，即\(x^2+y^2=20\)（11分）

联立方程组\(\begin{cases}3x+4y=-5\\x^2+y^2=20\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=3\\y=-4\end{cases}\)或\(\begin{cases}x=-\frac{21}{5}\\y=\frac{4}{5}\end{cases}\)

故\(\vec{c}=(3,-4)\)或\(\vec{c}=(-\frac{21}{5},\frac{4}{5})\)（12分）

（12分）

【解析】由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，代入已知条件\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=2\)，\(\angleA=60^\circ\)（2分）

得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\sin60^\circ}{2\sqrt{3}}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)（4分）

因为\(a>b\)，所以\(\angleA>\angleB\)，且\(\angleB\in(0,\pi)\)，故\(\angleB=30^\circ\)（6分）

由三角形内角和为\(180^\circ\)，得\(\angleC=180^\circ-\angleA-\angleB=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ\)（8分）

求边长\(c\)，方法一：正弦定理\(\frac{c}{\sinC}=\frac{a}{\sinA}\)，得\(c=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{2\sqrt{3}\times\sin90^\circ}{\sin60^\circ}=\frac{2\sqrt{3}\times1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\)（10分）

方法二：勾股定理，\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4\)（12分）

（12分）

【解析】（1）求复数\(z\)，两边同除以\(1+i\)（2分）

\(z=\frac{2-4i}{1+i}=\frac{(2-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-4i+4i^2}{1-i^2}=\frac{2-6i-4}{1+1}=\frac{-2-6i}{2}=-1-3i\)（6分）

（2）由（1）得\(w=z+ai=-1-3i+ai=-1+(a-3)i\)（7分）

复数\(w\)的模\(|w|=\sqrt{(-1)^2+(a-3)^2}=\sqrt{1+(a-3)^2}\)（8分）

由\(|w|\leq\sqrt{10}\)，得\(\sqrt{1+(a-3)^2}\leq\sqrt{10}\)（9分）

两边平方得\(1+(a-3)^2\leq10\)，即\((a-3)^2\leq9\)（10分）

解得\(-3\leqa-3\leq3\)，即\(0\leqa\leq6\)（12分）

故实数\(a\)的取值范围是\([0,6]\)。

（12分）

【解析】（1）由正弦定理，将边化为角：\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)（2分）

代入\(b\cosA+a\cosB=2c\cosC\)，得\(2R\sinB\cosA+2R\sinA\cosB=2\times2R\sinC\cosC\)（3分）

化简得\(\sinB\cosA+\sinA\cosB=2\sinC\cosC\)（4分）

由两角和的正弦公式，\(\sin(B+A)=\sin(\pi-C)=\sinC\)，故\(\sinC=2\sinC\cosC\)（5分）

因为\(C\in(0,\pi)\)，所以\(\sinC\neq0\)，两边除以\(\sinC\)得\(2\cosC=1\)，即\(\cosC=\frac{1}{2}\)（6分）

故\(\angleC=\frac{\pi}{3}\)（60°）（7分）

（2）由三角形面积公式\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC\)，代入\(S=2\sqrt{3}\)，\(\angleC=60^\circ\)（8分）

得\(2\sqrt{3}=\frac{1}{2}ab\times\sin60^\circ=\frac{1}{2}ab\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)，化简得\(ab=8\)（9分）

由余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，代入\(c