【《微分中的数值逼近问题研究》9200字（论文）】

微分中的数值逼近问题研究【摘要】生活中许多问题很难得到精确答案,或是能得到答案但算法过于复杂,数值逼近方法可以帮助我们有效解决这类问题.数学中的逼近理论研究的是如何用一个简单函数来逼近所求的目标函数,并且能够量化所产生的误差,体现了以简代繁的数学思想.在该文章中,论述了近似计算的工具及应用举例、数值逼近的方法、数值逼近的定理及其证明、数值积分的公式推导及其应用、利用最小二乘法进行近似计算、求方程根的二分法和牛顿法等方面,这些都有助于我们更好的解决问题.【关键词】数值逼近；龙格库塔公式；泰勒公式；数值积分1绪论1.1引言一直以来,由于客观误差的存在,生活中许多问题很难得到精确答案,或是能得到答案但算法过于复杂,数值逼近方法可以帮助我们有效解决这类问题.在历史奔腾不息的发展长河中,我国著名数学家祖冲之曾利用逼近的思想求圆周率,刘徽利用割圆术求得了圆面积的公式,如此种种,皆为数学发展的大厦添砖加瓦,创作的数学珍宝璀璨而夺目.而当今,数学上对于数值逼近的研究仍在不断深入和发展,不仅如此,数学逼近的思想也在工程技术和提高计算机速度等方面得到了广泛的应用.1.2研究背景数学中的逼近理论研究的是如何如何用一个较为简单函数来逼近所求的目标函数,并且能够量化所产生的误差,体现了以简代繁的数学思想,在实际生活中广泛应用,从而也成为了现代计算数学的基本组成部分.计算机科学中,人们会思考在数学函式库中如何用计算机能够执行的功能尽可能的逼近某一数学函数；数学中,人们会思考如何用以正交多项式为基础的级数来实现逼近.一般可以利用较高次的多项式实现有效逼近,或者缩小多项式逼近的区间,从而实现逼近理论的目标,即在给定误差范围内尽可能的逼近实际的函数.数学中的逼近理论和方法在数学分析、数值分析上等数学分支上生长发芽,人们可以利用导数进行计算、应用泰勒公式、数值积分的计算方法、最小二乘法的应用等等.张鸿超学者致力于引导学生掌握数值逼近的解题方法,提高有关解决数值逼近问题的能力,他在《高等数学中数值逼近解题方法探究》一文中,提出了数值逼近问题中三种题目类型的解答方法,分别涉及到了二分法、微分以及泰勒公式；尹德玉、代美丽等学者探讨了微分在关于近似值计算时的三大应用,并分别举例计算,强调了微分在近似计算中的重要地位；周敬人学者在《关于泰勒公式的应用探究》一文中,探讨了泰勒公式在近似计算与相关证明等方面的应用；张培雨学者在《浅谈泰勒公式的应用》里,大致介绍了泰勒公式的若干不同形式和与泰勒公式有关的定理,该学者主要论述了与泰勒公式相关的定理、理论及证明,如极限运算、应用于近似计算等方面,着重了强调泰勒公式的应用多样性及其重要地位；顾颖学者介绍了泰勒公式和牛顿-莱布尼茨公式,之后对梯形公式展开证明,并且还对误差进行了分析；刘佳霖和臧婷学者共同阐述了两种不同的数值求解方法,最后举例对二者进行比较,得出了最小二乘法的结果与辛普森公式求得的结果十分接近的结论.出于最小二乘法的广泛应用,是解决数据优化问题的常用方法的考虑,姜伟和傅佳媛学者发表的论文《最小二乘法及其应用》中,从三个角度出发分别论述了最小二乘法的原理,并阐述了利用最小二乘法进行参数估计等的理论,最后还应用上述理论举例解决生活中的相关问题.郭晓梅学者的《常微分方程的数值解法》中,总结出了数值解法的基本思想,该学者分别介绍了欧拉法、改进的欧拉法以及龙格-库塔方法,并将三者进行比较,得出了龙格-库塔方法的精度最高的结论.苏金源学者在《二分法逼近解题的数学思想方法》里,通过提出一个与实际生活切实相关的问题,从而分析探求,借机引出二分法并加以证明,补充理论依据.进一步站在概率的视角下说明这种逼近解法的优势.在文末,该学者还介绍了二分法的其它适用范围,并总结概况了二分法的基本思想和其蕴藏的数学思想方法.总而言之,现在数值逼近理论研究已经在微分、积分等方面有了一定的成就,但局限性仍不容小觑,例如,泰勒公式也具有一定的局限性,因其是函数在固定点处的级数展开,一般来说只有在这个点附近的拟合效果比较好,因此,要想考虑其余点处的极限性质,就比较麻烦了.若是收敛于为无穷,则在无穷处的渐进性质更无法直接看出了；最小二乘法的局限性要求拟合函数为线性的、当样本特征非常大时计算耗时耗力、自变量的误差无法考虑等等,为了使得最小二乘法的适用领域能更加广泛,越来越多的研究者会根据实际需求,有针对性地对最小二乘法做出适当改进,或是结合实际与其他方法共同使用,给许多问题解决带来便利.2利用导数进行近似计算2.1综述我们常常在测量数值或者计算数据时不可避免地产生误差,对于一定的精度要求,我们可以把这些问题归类到近似计算问题中,尝试用较容易的方法进行计算,并用得到的结果作为求解问题解的近似值.下面介绍一种利用导数进行近似计算的方法.易知,当可微时,有当时,其中,是关于的高阶无穷小.因此,当充分小时,可以将高阶无穷小略去,得到近似公式充分小.即当充分小时,与近似相等.因为,则得到利用导数进行近似计算的公式,不等号左边为曲线,不等号右边为曲线在点处的切线,近似计算公式的几何意义为当趋于,可以用切线近似替代曲线.因此,当我们要求一条曲线在某一点的值的时候,可以利用近似计算公式,当趋于,求其在该点的切线值便可代替而得到一定精度的结果.[[]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010,118.][]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010,118.2.2计算函数增量的近似值例题1.计算函数增量的近似值.已知扇形的半径为,角度为,现将扇形的角度减少为,半径不变,在此情况下,扇形的面积改变了多少？[[]张鸿超.高等数学中数值逼近解题方法探究[J].包头职业技术学院学报,2014,15(01):91-93.][]张鸿超.高等数学中数值逼近解题方法探究[J].包头职业技术学院学报,2014,15(01):91-93.解：扇形面积,由于,将代入上式得：.2.3计算函数的近似值例题2.求函数的近似值.（1）求的近似值；,求的近似值.解:当充分小时,.由于,则要求的近似值,只需先求的近似值,令由近似公式得则的近似值为5.013.[[]尹德玉,陈为华,代美丽.浅谈微分在近似计算中的应用[J].科技信息,2014,11:158.[]尹德玉,陈为华,代美丽.浅谈微分在近似计算中的应用[J].科技信息,2014,11:158.(2)取则有实际生活中,只要保证足够小,便可以利用近似公式进行计算.于是,我们得到了第二种解法：由于足够小,则我们可以将看作,把近似公式代入可得.由此,我们知道,面对实际的计算问题,提取倍数的方法对提高计算精度而言是失效的.2.4公式的推广在近似公式中,当很小时,有,于是我们可以推导出一些常用的近似公式,设分别是,当上述函数接近原点时,由公式可分别得：2.5相对误差和相对误差限一般地,要求在某一点处的近似值,我们可以先找到的近似值,只要方便计算,我们便可以通过近似公式求得在某一点处的近似值.有了近似值便会有相对误差,不妨设通过测量我们得到,通过对函数进行计算我们得到.由于实际误差是客观存在的,例如测量设备的不灵敏性或是环境中的不稳定因素等导致的误差,致使实际情况下测量的结果总是无法等于真值,只能测得的近似值,因而将代入计算得到的也只是的近似值.若有,其中的称为给定测量值的误差限.则当很小时,有而相对误差限则为[[]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010,119.][]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010,119.例题3.已知某一精度为的测量工具,用其对一正方体进行测量,测得正方体棱长为,试求以此工具测得的棱长计算正方体体积时所产生的误差.解：将测量工具测得的棱长代入正方体体积公式得,则由公式得,正方体体积的绝对误差限为,相对误差限为.2.6牛顿切线法现实生活中,我们选择用方程来解决许多问题,但很多时候,我们无法利用方程得到准确的数值解,例如一般的函数方程以及高阶的代数方程,这时候可以利用导数求方程的近似解.下面介绍牛顿切线法,其基本思想是极限逼近.设有方程,其中的函数满足以下条件：(1)在上连续,且;（2）在内连续且符号不变；（3）在内连续且符号不变.我们先讨论的情况.设在内有一个根为,即,有,从而点即为函数与轴的交点.接下来求的近似解,即求的近似值.在曲线上任取一点记为,过该点作关于曲线的切线,交轴于点,记切线的斜率为,则有切线方程为令,解得,其中为切线与轴交点的横坐标.由于比更接近,我们把成为方程根的第一近似值,称为初值.接下来,过点作函数的切线,交轴于点,记切线的斜率为,则相应的切线方程为令,得切线与轴交点的横坐标为,由于比更接近,我们把成为方程根的第二近似值.以此类推,如此以往,得到的每一次近似值都比上一次的近似值更加精确,直到能够满足精度的要求.我们可以将各次精度值概括为如下公式：,其中.[[]复旦大学数学系.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社,1983,233-235.[]复旦大学数学系.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社,1983,233-235.例题4.用切线法求方程在内的近似根,使误差不超过0.0001.解：设,则从点即点开始作切线,于是计算可得,与的前五位数字相同,意味着与根的精确值已经非常接近了.进一步,为了说明精确度,我们令,可得,由此可得,如果取作为根的近似值,则误差不超过0.0001.3维尔斯特拉斯定理数值逼近中,面对复杂函数,我们难以表示或是计算时,可以化繁为简,用较简洁的函数取而代之,令其近似逼近该目标函数,下面介绍维尔斯特拉斯定理.设那么对于任意给定的都存在多项式使得即上的任何函数都已被多项式函数一致逼近.[[]王仁宏.数值逼近（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2012,1-4.][]王仁宏.数值逼近（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2012,1-4.根据证法：设函数的定义区间为令即可将定义区间由转为,即使得由x的多项式转为t的多项式,x的连续函数转为t的连续函数,接下来通过连续函数类证明定理成立.考虑多项式,现在证明在上一致收敛于.对于任意给定,考虑根据闭区间上连续函数的一致连续性定理,由于在上连续,可得在上一致连续,因此,对于存在一个,当时,有.对于这样找到的,可将整数分为两类：由三角不等式有,观察不等式右端,又有,由于有,所以令,有由贝努利大数定理知,取对正数当时,任取,都有把式代入式得,从而有：对于任意,总会存在一个,当时,对任意在上的,都有.证毕.[[]苏敏.维尔斯特拉斯定理证明(大学生习作)[J].工科数学,1985(01):54-56.][]苏敏.维尔斯特拉斯定理证明(大学生习作)[J].工科数学,1985(01):54-56.维尔斯特拉斯第二定理：设,则对任意给定的,都有三角多项式存在,使得.[[]王仁宏.数值逼近（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2012,1-4.][]王仁宏.数值逼近（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2012,1-4.后人将维尔斯特拉斯提出的这两条定理合称为维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理,它们奠定了函数逼近论的基础,在数学分析中具有不容小觑的地位.4由泰勒公式求函数的近似值4.1泰勒公式综述若函数在上存在直至n阶的连续导函数,在上存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得其中余项称为拉格朗日型余项.下面给出证明.证明：作辅助函数则函数在区间或上连续,且化简后有再引入函数,对函数和利用柯西定理,有至少存在一点介于与之间,有,此时有一并代入上式可得.借助带有上述余项的泰勒公式,能够完成近似计算.这是由于,有M为定数,则其余项不会超过,进而可以在相应的精度要求下,得到满足条件的数值结果.例题5.（1）计算的值,使其误差不超过.计算的值,使其误差不超过0.00001.[[][]周敬人.关于泰勒公式的应用探究[J].焦作大学学报,2020,34(04):95-97.DOI:10.16214/41-1276/g4.2020.04.027.求的近似值.解：（1）由当时有故当时,有从而略去而求得e的近似值为.（2）易知设由泰勒公式得,当,要使取其误差.[[]张培雨.浅谈泰勒公式的应用[A].读与写杂志,2020,1:035.[]张培雨.浅谈泰勒公式的应用[A].读与写杂志,2020,1:035.由于,又有,所以.下面介绍泰勒公式的积分型余项,设函数在的某邻域上有阶连续导函数.令、由得其中为泰勒公式的积分型余项.例题6.试用泰勒多项式逼近余弦函数,要求误差不超过.试以和两种情形分别讨论的取值范围.解：（1）当时,使其误差满足解得弧度,换算成度数为大约在原点左右范围内以近似,其误差小于等于.(2)当时,使其误差满足只需弧度,即大约在原点左右范围内,上述多项式逼近的误差不超过.例题7.求按的幂展开带有拉格朗日型余项3阶泰勒公式.解：5数值上近似积分的计算5.1数值积分的基本思想在实际应用中,我们会遇到如下问题：要求定积分的值,但用我们现有的知识无法计算；有时从理论而言,可以表示出其原函数,但求其原函数的计算过程过于冗长复杂,例如对于被积函数,其原函数计算仍然很困难.因此,考虑定积分的近似计算问题势在必行.我们引出了两种求近似积分的方法--梯形法和抛物线法.首先介绍梯形法公式.将区间划分成等份,得到分点,相应点的函数值为并记曲线上的相应点为利用以直代曲的数学思想方法,将这条曲线看作可以是由条小线段连接而成,每一条弦用来表示,从而整条曲线包含的面积可以由n块小梯形的面积之和近似代替以简化计算,由于梯形面积为于是,由定积分的定义可知,曲面梯形面积公式为即从而我们推导出了定积分的梯形法公式.我们可以利用泰勒公式展开对梯形法公式的证明：证明：假设在区间上,被积函数是原函数的导函数,利用泰勒定理,将分别在点进行泰勒展开,得,.将代入式子（1）中,得到,将代入式子（2）中,得到.-（4）得到,由莱布尼茨公式可得和式子（5）可得出数值积分的梯形公式,误差为,其中.[[]顾颖.利用泰勒公式证明梯形公式[J].科学咨询(科技·管理),2020(10):101.][]顾颖.利用泰勒公式证明梯形公式[J].科学咨询(科技·管理),2020(10):101.抛物线法是将积分区间分为2n个相等的区间,分点为,对应的被积函数值为曲线上的相应点为现用通过三点的抛物线来近似替代区间上的曲线,则同样的,在上用替代曲线,将得到最后,按把这些近似式相加,得到即这就是抛物线公式,又叫作辛普森公式.例题8.试计算定积分的近似值.将区间十等分,各分点上被积函数的值列表如下（取六位小数）：00.4975120.4901960.4784690.4629630.444440.910.4237290.4016060.3787890.3558720.333333解：1）利用矩形法公式计算：（取六位小数）利用梯形法公式计算：（取六位小数）利用抛物线法公式计算：（取六位小数）计算准确值得,将其与上述公式计算所得结果相比发现,矩形法的计算结果中有一位准确的有效数字,梯形法的计算结果有三位有效数字是准确的,而抛物线法的结果有四位有效数字是准确的,由此可见,矩形法、梯形法和抛物线法的计算精度是依次递升的.5.2牛顿-科特斯公式设将积分区间划分为等份,步长,选取等距节点构造出的差值型求积公式称为牛顿-柯特斯公式,令,有当时的求积公式就是我们上面提到的梯形法公式；当时的求积公式是辛普森公式：；当时的牛顿-柯特斯公式特称为柯特斯公式,其形式为这里这里当时,柯特斯系数出现负值,有特别地,假定则有.由定理知,n阶的牛顿-科特斯公式作为插值型的求积公式,至少具有n阶的代数精度[[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,97-109.].当时,求积公式是辛普森公式,因此该公式至少具有二阶代数精度,为了判断出具体的精度,我们将代入检验,由公式计算可得同时,直接求积可得便有.把代入检验,发现辛普森公式并不准确.因此,我们可知,辛普森公式实际上具有三阶代数精度.我们可以得到定理：当阶n为偶数时,牛顿-科特斯公式至少有n+1阶代数精度.[[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,105.][]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,97-109.[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,105.证明：要证明上述定理,只要先证明当n为偶数时,牛顿-科特斯公式对的余项为零即可.由余项公式,由于,从而有,引进变换,并注意到,有.若n为偶数,则为整数,再令,则进一步就有,由此,又因为被积函数为奇函数,则可证明此结论.5.3复合求积公式为了提高计算精度,我们提出复合求积法.将区间划分为等份,步长,分点,在每个子区间上采用梯形公式,得到记称为复合梯形公式,其余项为由则得复合梯形公式的余项为当时,又的求积系数为正,则可以得出复合梯形公式是稳定的结论.将积分区间划分为等份,在每个子区间上采用辛普森公式,若记则得记称为复合辛普森公式,其余项为[[]刘佳霖,臧婷.两种定积分数值计算方法的比较[J].电子技术,2021,50（07）:252-253.]通过分析可得,复合辛普森公式也是稳定的.[]刘佳霖,臧婷.两种定积分数值计算方法的比较[J].电子技术,2021,50（07）:252-253.例题9.对于函数,给出时的函数表如下图,要求使用复合求积法计算积分,并对其估计作出误差.解：将积分区间划分为八等份,应用复合梯形公式求得若将分为四份,应用复合辛普森公式求得积分的准确值.将上述两种算法与准确值比较,它们计算量相当,但由复合梯法求得的值只有两位有效数字是准确的,而复合辛普森法求得的值有六位有效数字是准确的,精度要比复合梯形法高得多.再应用余项公式计算相关误差,由于所以有于是从而复合梯形公式的误差为对复合辛普森公式的误差,有[[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,97-109.]通过对计算结果的误差进行比较,亦得出复合辛普森法所得值的精度更高的结论.[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,97-109.6曲线拟合的最小二乘法函数逼近问题,简而言之是对于已知函数,只在有限点集上给定相应的函数值,并且逼近的函数与已知的函数之间的误差值尽量的小,让我们来求逼近函数的一类问题.多项式函数正是作为逼近函数的首选,而在函数逼近问题中,最小二乘法的应用是非常广泛的.1794年,利用最小二乘法解决了天文学中有关多余观测的问题.从微分上进行分析,我们将最小二乘法分为了一元线性拟合和多元线性回归.我们先讨论一元线性拟合,设已知模型满足式子对于给定的n组数据,设拟合函数,则可得到相应的误差函数为,由于误差有正有负,考虑到平方可以简化计算,于是规定使最小,从而确定参数,我们将这个方法称为最小二乘法.在多元线性回归中,有模型满足式子,对于给定的随机抽取的n组样本数据,设拟合函数为,则可得到误差函数为,使得残差的误差平方和达到最小,即最小化,从而确定参数,s也可以表示为,,通过对各个参数进行求偏导等于0,得到,通过求解,我们可以得到个参数的近似值,当时,便得到一元线性回归.[[]姜伟,付佳媛.最小二乘法及其应用[J].中国传媒大学学报(自然科学版),2020,27(05):72-78.DOI:10.16196/ki.issn.1673-4793.2020.05.012.][]姜伟,付佳媛.最小二乘法及其应用[J].中国传媒大学学报(自然科学版),2020,27(05):72-78.DOI:10.16196/ki.issn.1673-4793.2020.05.012.例题10.设已知函数的表列值如下,试由最小二乘法构造的二次近似多项式.x0.851y1.2211.6492.0142.3402.718解：解得.故.并且得到了在结点处的误差：x0.851y1.2211.6492.0142.3402.7181.2231.6442.0172.3442.715-0.0020.005-0.003-0.0040.0037常微分方程初值问题的数值解法7.1常微分方程初值问题综述考虑满足一阶常微分方程的初值问题的解.如果存在实数,使得则称关于满足利普希茨条件,称为的利普希茨常数.关于解是否存在的问题,有定理如下：设在区域上连续,关于满足利普希茨条件,则对任意常微分方程的初值问题,当时存在唯一连续的可微解.[[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,279.]由于原函数无法精确求出,我们只需要求解出函数在某点的值即可.[]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社,2008,279.7.2简单的数值方法取等距节点在点处,以为斜率,作直线与直线交于点.若步长h较小,则可用上述所作直线近似代替,即.同样地,作直线,将其作为的近似值,即,以此类推,每个节点处的值都能被我们近似地表示出来.一般地,若记为的近似值,则由直线公式,过点且以为斜率的直线为：,从而的近似值为：.我们便得到了欧拉公式,又叫欧拉折线法.为了进一步地提高精度,我们可以从一个全新的视角出发考虑初值问题的相关解法.考虑微分方程：,将方程两边从到积分,就有：,即,观察式子我们可以发现,只要能够近似表示出积分的值,进而表示出微分方程的近似解便不在话下了.为了减小近似计算带来的误差,不妨利用梯形公式对积分进行近似计算：,从而可以得到.接下来,分别用代替,我们就得到了一种全新的求解初值问题的算法格式：（1）.对于实际的计算过程,由于欧拉公式的精确度较低,人们常常先用其大致地求出一个近似值,并称为预报值,并记作,再用代替式（1）中的进行计算,得到的结果称为校正值,记作.如此,我们便得到了预报公式和校正公式,即.在求解初值问题时,我们将用这两种公式进行求解的方法称为改进的欧拉方法.比较两种方法可以发现,在计算量方面,欧拉法较小,但在计算结果的精度方面,改进的欧拉方法要高得多.[[]郭晓梅.常微分方程的数值解法[J].网络财富,2009(08):132.][]郭晓梅.常微分方程的数值解法[J].网络财富,2009(08):132.7.3龙格-库塔方法龙格库塔法是一种求解非线性常微分方程数值解的单步算法.与泰勒公式相反,泰勒公式是用某点的n阶幂级数展开来近似得到小领域内的函数值,而龙格库塔法这是通过一系列一阶导数值来得到某点幂级数展开的预测效果.龙格库塔方法主要是用于求解初值问题,我们将区间分成了等分,离散化为,对应离散化为,其中通过初始值和迭代求解得到一系列,这样就可以得到原微分方程P阶龙格库塔一般格式为,其中.而参数需要根据实际情况确定..0,而各个,即为微分方程的数值解.我们比较常用的就是四阶的龙格库塔算法,其算法形式为.比较之下,四阶龙格库塔公式的计算量与精度都较为突出,在面对实际问题时最为常用.8非线性方程的数值解法8.1方程求根与二分法数值计算中,要求连续一元函数的零点问题,可以利用到二分法.我们可以先从最为直观的具体问题来理解,即金币问题.问题内容如下,已知有一堆硬币,其中放着一枚质量大的金币,其余硬币质量均相同,现在讨论如何只利用一个天平,在保证次数最少的情况下,找出其中质量大的金币.面对这个问题,我们可以利二分法的思想,即需要将硬币按数目平均分成两份,根据天平选择质量重的那个,通过不断重复以上操作,就可以得到重量大的硬币.[[]苏金源.二分法逼近解题的数学思想方法[J].中国科技信息,2005(22):70-85.]二分法的思想不仅可以应用于简单而具体的事物,也适用于函数.由之前的学习我们可以得到一个关于确定函数根的结论：如果有一个连续函数在某个开区间左端的值和右端的值乘积小于零,即,那么这个函数在区间内至少有一个根.为了更加精确这个零点所在区间的范围,我们不妨通过求取区间中点的函数值来快速简化计算,如果这个点的函数值与函数在右端点的值符号相同,即,那么零点所在区间应介于中点和右端点的横坐标之间,从而我们可以将区间的左端点更新为原区间的中点,接着在缩小的区间范围内进一步地求新区间的中点,反之亦然,反复多次,我们便可以达到一定精度的要求.[[]侯园.高等数学数值逼近解题思路和应用探讨[A].江苏安全技术职业学院,2020,19:050.][]苏金源.二分法逼近解题的数学思想方法[J].中国科技信息,2005(22):70-85.[]侯园.高等数学数值逼近解题思路和应用探讨[A].江苏安全技术职业学院,2020,19:050.利用二分法,我们可以求解方程解个数的问题.例题11.方程有几个实数根？解：设 令,得稳定点为.当时,,在内为单调递增函数；当时,,在内为单调递减函数.当；当,所以有当有一根,有一根,则方程有且仅有两个实根；即无根,无根,即方程没有实根；即,则方程仅有一个实根.[[]李少文.高等数学数值逼近解题思路及具体做法初探[J].景德镇学院学报,