初中相似三角形重点训练题

初中相似三角形重点训练题相似三角形的学习，如同在平面几何的画卷上添上了浓墨重彩的一笔，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是后续学习解直角三角形、圆以及高中立体几何的重要基石。能否熟练掌握相似三角形的判定与性质，并灵活运用于复杂问题的解决，直接关系到几何综合能力的提升。本次训练，我们将聚焦核心考点，通过精选例题与变式练习，帮助同学们深化理解，突破难点，真正做到知其然，更知其所以然。一、核心知识回顾与梳理在着手解题之前，让我们先静下心来，回顾一下相似三角形的“骨架”——那些最基本也最关键的定义、判定与性质。相似三角形的定义揭示了其本质：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似比（或相似系数）则是描述其大小关系的重要参数。判定三角形相似的方法是我们解决问题的“钥匙”，必须熟练掌握：1.预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是我们遇到的第一个判定方法，也是后续许多复杂图形中寻找相似三角形的“引路人”。2.判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两角对应相等，三角形必相似，这是应用最为广泛的判定方法之一。3.判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。这里的“夹角”二字至关重要，不可忽视。4.判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质，则是我们从已知相似中获取更多信息的“利器”：*对应角相等，对应边成比例（定义本身）。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。这些性质，在计算线段长度、角度大小、图形面积时，往往能起到事半功倍的效果。二、重点题型训练与深度解析（一）相似三角形的判定与性质综合应用例题1：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若AD=3，DB=2，BC=6，求DE的长。同时，若△ADE的面积为9，求△ABC的面积。思路引导：看到DE∥BC，首先应联想到哪个判定定理？没错，预备定理。这直接告诉我们△ADE与△ABC相似。相似比是多少呢？AD是3，DB是2，那么AB就是AD+DB=5，所以相似比k=AD/AB=3/5。知道了相似比，求DE就简单了，因为DE/BC=k，所以DE=BC*k=6*(3/5)=18/5。至于面积比，还记得吗？是相似比的平方。所以S_△ADE/S_△ABC=k²=(9/25)。已知△ADE面积是9，那么△ABC的面积就是9÷(9/25)=25。解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似)。∴AD/AB=DE/BC，∠ADE=∠B，∠AED=∠C。∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=3+2=5。∴3/5=DE/6，解得DE=18/5。∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，∴S_△ADE/S_△ABC=(AD/AB)²=(3/5)²=9/25。∵S_△ADE=9，∴9/S_△ABC=9/25，解得S_△ABC=25。反思与拓展：这道题是相似三角形预备定理及性质的基础应用，关键在于准确找到相似比，并区分清楚线段比与面积比的关系。如果题目中的DE不是平行于底边BC，而是平行于其他边，思路是否相同？（二）利用“AA”判定三角形相似及比例线段计算例题2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高。求证：AB²=BD·BC，AC²=CD·CB，AD²=BD·CD。（射影定理）思路引导：这是著名的射影定理，它的证明核心就是相似三角形。在这个基本图形（双垂直模型）中，有几对相似三角形呢？我们来分析一下。∠BAC是直角，AD是斜边BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。在△ABC和△DBA中，∠B是公共角，且∠BAC=∠ADB=90°，根据“AA”，是不是可以判定它们相似？同理，△ABC和△DAC呢？∠C是公共角，∠BAC=∠ADC=90°，也相似。那么△ABD和△CAD呢？试试看，∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，所以∠BAD=∠C，又有直角相等，所以它们也相似。有了相似三角形，对应边成比例。比如△ABC∽△DBA，那么AB/DB=BC/BA，交叉相乘就得到AB²=BD·BC。其他两个结论，同学们可以尝试用类似的方法，通过不同的相似三角形对应边成比例来证明。证明：∵∠BAC=90°，AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。在△ABC与△DBA中，∠B=∠B(公共角)，∠BAC=∠ADB(均为直角)，∴△ABC∽△DBA(两角对应相等的两个三角形相似)。∴AB/DB=BC/BA(相似三角形对应边成比例)，∴AB²=BD·BC。同理可证△ABC∽△DAC，从而得到AC²=CD·CB。在△ABD与△CAD中，∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠C。又∵∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△CAD(两角对应相等的两个三角形相似)。∴AD/CD=BD/AD，∴AD²=BD·CD。反思与拓展：射影定理是双垂直模型中非常重要的结论，它将直角三角形的边与高联系起来。这个模型及其结论在很多综合题中都会用到，同学们不仅要会证明，更要能在复杂图形中识别出这样的基本结构。（三）动态几何中的相似问题例题3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？思路引导：这是一道动态几何题，P、Q两点都在运动，我们要找的是在运动过程中，△PCQ与△ACB相似的时刻t。首先，我们需要用含t的代数式表示出相关线段的长度。AP=tcm，所以PC=AC-AP=(6-t)cm。CQ=2tcm。△ACB是直角三角形，∠C=90°，△PCQ中，∠C也是公共角。要使这两个三角形相似，根据“AA”，我们只需要另外一组角对应相等，或者夹∠C的两边对应成比例。因为∠C是公共角，所以“两边对应成比例且夹角相等（SAS）”的判定在这里就适用了。那么，夹∠C的边是哪些呢？对于△ACB，是AC和BC；对于△PCQ，是PC和CQ。所以可能存在两种情况：1.PC/AC=CQ/CB2.PC/CB=CQ/AC我们需要分别对这两种情况进行讨论，求出t的值，并检验t是否在0<t<4这个范围内。解答：由题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，则PC=AC-AP=(6-t)cm。∵∠C=∠C=90°，∴当△PCQ与△ACB相似时，有以下两种情况：情况一：PC/AC=CQ/CB即(6-t)/6=2t/8化简得：8(6-t)=12t48-8t=12t20t=48t=48/20=12/5=2.4情况二：PC/CB=CQ/AC即(6-t)/8=2t/6化简得：6(6-t)=16t36-6t=16t22t=36t=36/22=18/11∵0<t<4，∴t=12/5和t=18/11均符合题意。答：当t为12/5秒或18/11秒时，△PCQ与△ACB相似。反思与拓展：动态问题的关键在于用变量表示几何量，并根据几何关系（如相似、全等、勾股定理等）建立方程。对于相似三角形的存在性问题，尤其要注意分类讨论，考虑到对应边的不同情况，避免漏解。三、解题方法归纳与总结通过以上例题的训练，我们可以总结出解决相似三角形问题的一般思路与方法：1.仔细审题，识别图形：认真阅读题目，观察图形特点，寻找已知条件中的平行线、等角、比例线段等，这是判断相似的重要线索。特别留意一些基本图形，如“A”型、“X”型、双垂直型等。2.确定相似关系，选择判定方法：根据已知条件，选择合适的相似三角形判定定理。若有平行，优先考虑预备定理；若有两个角对应相等，用“AA”；若涉及边的比例关系，考虑“SAS”或“SSS”。3.找准对应关系，写出比例式：相似三角形的对应顶点一定要找准，这直接影响比例式的正确性。通常可以根据角的对应关系或边的大小关系来确定对应顶点。4.利用性质，进行计算或证明：一旦证明了三角形相似，就可以利用其性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等）来解决线段长度、角度、面积等计算问题，或完成相关的证明。5.分类讨论，避免漏解：在一些存在性问题或图形可能有多种位置关系的问题中，要注意分类讨论，确保考虑到所有可能的相似情况。6.辅助线添加：当直接证明或计算有困难时，可以考虑添加适当的辅助线，如作平行线构造“A”型或“X”型相似，或构造直角三角形利用射影定理等。四、巩固提升请同学们尝试独立完成以下练习题，检验自己的掌握程度：1.如图，△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B。若AC=4，AD=2，求AB的长。2.已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3。若△ABC的周长为16，面积为12，求△A'B'C'的周长和面积。3.如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，作AF⊥AE交CD的延