第五章☆问题解决策略转化-核心素养导向下的大单元教学设计（初中数学七年级下册）

第五章☆问题解决策略转化——核心素养导向下的大单元教学设计（初中数学七年级下册）

一、教学内容解析

【基础】本节内容选自北京师范大学出版社义务教育教科书《数学》七年级下册第五章“生活中的轴对称”后的一个专题——问题解决策略转化。从知识体系上看，本章系统研究了轴对称的基本性质、简单的轴对称图形（线段、角、等腰三角形）等。而“转化”作为一种普适性的问题解决策略，不仅是对本章知识的深化与应用，更是连接几何直观与逻辑推理、串联新旧知识的关键纽带。

【重要】从数学思想方法层面剖析，“转化”亦称为“化归”，是数学中一种最基本、最核心的思想方法。其本质是将一个陌生的、复杂的、未解决的问题，通过某种方式（如轴对称变换、等积变形、数形结合等）归结为一个熟悉的、简单的、已经解决的问题。本节课并非孤立地讲授一种新知识，而是引导学生将隐藏在具体知识背后的“大道理”显性化，帮助学生构建从“学会”到“会学”的思维桥梁。

【非常重要】教材编排在此处用意深远。它并非简单呈现几道难题，而是通过一个典型的“最短路径”问题（几何背景）和一个“分数求和”问题（代数背景），双线并进，旨在让学生经历“理解问题—拟定计划—实施计划—回顾反思”的全过程，深刻体会转化策略在数学学习乃至现实生活中的广泛应用，最终达成对数学思想方法的领悟与迁移。

二、学情分析

【基础】认知起点：七年级学生已具备了一定的几何直观和代数运算能力。他们学习了轴对称的性质，掌握了“两点之间线段最短”的基本事实，也熟悉分数加减法的运算法则。这些知识和经验是本节课实施转化的“武器库”。然而，学生此前对“转化”的运用往往是自发的、无意识的，处于一种“知其然不知其所以然”的状态。

【难点】思维障碍：学生面临的主要困难在于如何找到转化的“切入点”。在面对“同侧两点到直线上一点距离和最短”的问题时，学生很难自发地将“同侧”与已经掌握的“异侧”模型联系起来。这种从“静态”图形到“动态”变换（轴对称）的思维跳跃，对学生空间想象和逻辑构造能力提出了挑战。同样，在代数问题中，如何跳出“通分”的思维定式，转而从“数形结合”的角度寻找转化路径，也需要教师的精心引导。

【重要】已有经验：学生在生活中（如“牧马人饮马”、“修泵站”等问题）对此类“最短路径”问题有朦胧的感性认识，这种生活经验可以转化为强大的学习内驱力。同时，通过前四章的学习，学生已初步经历了观察、操作、猜想、验证的数学活动过程，为本节自主探究活动的开展奠定了基础。

三、核心素养目标

1.【基础】知识与技能：理解转化策略的含义，掌握利用轴对称变换将“同侧和最短”问题转化为“异侧和最短”问题的方法；掌握利用数形结合（如面积法）将特殊的分数求和问题转化为简单减法问题的方法。

2.【重要】过程与方法：经历“问题情境—建立模型—求解验证—反思拓展”的活动过程，在解决具体问题的过程中，体会转化的本质是“将未知转化为已知，将复杂转化为简单”，提升观察、类比、联想、构造的数学思维能力。

3.【非常重要】情感态度与价值观：通过“将军饮马”等经典问题的探讨，感受数学文化的魅力；在克服困难、解决问题的过程中，树立数学自信，体会转化策略的普适性与巧妙性，形成有逻辑、有策略地思考问题的科学态度。

四、教学重难点

【非常重要】教学重点：理解转化策略的意义，掌握运用轴对称变换解决最短路径问题的方法。

【重要】教学难点：根据问题的具体特征，寻找并确定合理的转化方向与转化方法（尤其是从“同侧”到“异侧”的模型转化）。

五、教学策略与方法

本节课坚持“以学生发展为本”的理念，采用“引导—探究—反思”的教学模式。教师作为“导演”，通过创设层层递进的问题链，激发学生的认知冲突，引导学生经历独立思考和小组合作。具体采用：

1.【基础】启发式教学：通过核心问题驱动思维，如“以前遇到过类似问题吗？”“这个问题与我们熟悉的问题有何异同？”“如何让它变得熟悉？”

2.【重要】探究式学习：给予学生充分的动手（画图）、动口（讨论）、动脑（反思）的时间与空间，让学生在操作中感悟，在交流中碰撞，在反思中升华。

3.【重要】多媒体辅助教学：利用几何画板动态演示点的运动过程，直观展示路径长度的变化规律，验证当三点共线时和最小，突破教学难点，增强几何直观。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，引入新知

教师通过多媒体展示一个生动画面：古时候，一位将军从军营A出发，先到一条笔直的河边l饮马，然后返回营地B。请问，将军应该在河边的哪个位置饮马，才能使行走的总路程最短？

【基础】问题抛出后，教师引导学生将实际问题抽象为数学问题：将军营A、营地B视为两个点，河边视为一条直线l，在直线l上找一点C，使得AC+BC最小。

设计意图：从富有历史趣味的“将军饮马”问题入手，迅速吸引学生注意力，将生活实际问题数学化，点明本节课的核心任务。此情境为后续探究奠定了坚实的认知基础。

（二）温故知新，搭建阶梯

【重要】教师并不直接讲解新问题，而是引导学生回顾旧知：请同学们在练习本上迅速解决一个我们已经非常熟悉的问题——如图，直线l的两侧有A、B两点，请在直线l上找一点C，使得AC+CB最短。

学生根据“两点之间线段最短”的经验，很快就能得出答案：连接AB，与直线l的交点即为所求点C。

教师追问：为什么这一点最短？你能解释其中的道理吗？引导学生复述原理：对于直线l上任意异于C的点C‘，根据三角形两边之和大于第三边，总有AC’+C‘B>AB=AC+CB。

【基础】此环节设计意在“以旧引新”，激活学生已有的知识储备（异侧两点模型），为后续将“同侧”转化为“异侧”提供了明确的“目标状态”和理论依据，为转化策略的实施搭建了第一个脚手架。

（三）聚焦核心，探究转化

1.【非常重要】对比分析，明确障碍

教师将“将军饮马”问题的抽象图（A、B两点在直线l同侧）与刚才解决的“异侧”问题图并置展示。

【重要】核心问题驱动：请大家仔细观察这两个问题，它们有什么相同点和不同点？

学生通过观察明确：相同点都是求线段和最短；不同点在于，我们已经解决的模型中，两点在直线两侧，而新问题中，两点在直线同侧。

教师进一步引导：我们能用解决异侧问题的方法直接解决同侧问题吗？如果不能，我们能不能想办法把“同侧”转化为“异侧”呢？这个“转化”就是今天要学习的核心策略。

设计意图：通过对比，让学生清晰地看到新旧问题的联系与区别，找准思维的“卡点”，从而激发强烈的转化动机。转化不是盲目尝试，而是有明确目标（转化为熟悉模型）的思维活动。

2.【非常重要】合作探究，寻求突破

教师将学生分成若干小组，提供如下探究建议：利用轴对称的性质，你能通过构造一个点，将同侧的两点“变”到直线的两侧吗？

学生在小组内展开热烈讨论、尝试画图。教师巡视，收集典型资源（如有的学生尝试过A或B做垂线，有的学生尝试做其中一个点的对称点）。

【难点突破】教师适时引导：如果我们能在直线的另一侧找到一个点B’，使得对于直线l上的任意一点C，都能保证BC=B‘C，那么AC+BC=AC+B’C。此时，问题就转化为在直线l上找一点C，使AC+B‘C最短。大家看，这变成了什么问题？

学生恍然大悟：变成了我们刚解决的“异侧”问题！

教师追问：那么，这个神奇的B’点应该满足什么条件？它在哪里？

学生结合轴对称的性质得出：B‘点应该是B点关于直线l的对称点。

设计意图：通过小组合作和教师的启发式追问，让学生亲自经历“转化”的核心环节——构造对称点。这个过程不是教师的灌输，而是学生在“最近发展区”内通过协作探究自主发现的，深刻体会了转化的关键技巧。

3.【非常重要】规范作图，验证说理

各小组展示探究成果后，教师引导学生规范作图步骤，并书写推理过程。

（1）作法：①作点B关于直线l的对称点B‘；②连接AB’，交直线l于点C。点C即为所求。

（2）说理：在直线l上任取一点C‘（不与C重合），连接AC’、BC‘、B’C‘。

由轴对称的性质可知，BC=B’C，B‘C’=BC‘。

∴AC+BC=AC+B’C=AB‘（两点之间线段最短）。

AC’+BC‘=AC’+B‘C’＞AB‘（三角形两边之和大于第三边）。

∴AC+BC＜AC‘+BC’。

因此，点C即为使路径最短的点。

【热点】教师利用几何画板进行动态演示：拖动点C‘在直线l上运动，实时计算并显示AC’+C‘B的长度，让学生直观地看到，只有当C运动到AB’与l的交点时，和最小。几何直观与代数推理相互印证，进一步强化了认知。

4.【基础】回顾反思，提炼策略

问题解决后，教师引导学生进行回顾反思：

（1）我们是怎么解决这个“新”问题的？

（2）在这个问题中，“转化”起到了什么作用？

（3）我们是用什么方法实现转化的？

学生总结发言，教师提炼升华：我们通过“做对称”这一几何变换，将一个“同侧”的陌生问题，成功转化为了一个“异侧”的熟悉问题。这就是转化策略的魅力所在。其核心步骤可以概括为：分析问题，明确目标（熟悉模型）；寻找联系，实施转化（轴对称）；解决问题，验证反思。

设计意图：反思环节至关重要，它促使学生的思维从具体的解题技巧上升为抽象的策略层面，真正理解了转化的内涵、意义和方法，实现了从“经历”到“经验”的飞跃。

（四）变式拓展，深化理解

【重要】为了让学生更全面地理解转化，教师将视野从几何引向代数。

出示例题：计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64。

【基础】初步尝试：看到这个算式，你想怎么计算？学生第一反应往往是“通分”，但分母64、128...计算繁琐。

【重要】启发转化：这个算式有什么特点？（后一个分数是前一个的一半）。请大家观察老师手里的一张正方形纸，如果它的面积是1，你能在这个正方形上找到1/2、1/4、1/8...吗？

通过动手折纸或观察多媒体演示，学生发现：不断取正方形一半的过程，就是不断分割的过程。

【非常重要】数形结合：教师引导学生思考，这个加法算式，从图形上看，求的是什么？（求的是这些不断减半的部分的总面积）。观察图形，这些部分加起来，跟整个正方形“1”有什么关系？是不是还差了最后那一小块1/64？

学生恍然大悟：整个算式的结果，不就是“1-1/64=63/64”吗？

【重要】反思归纳：教师引导学生对比“通分”与“数形结合”两种方法。通分是常规方法，但复杂；数形结合则巧妙地利用图形，将一个复杂的无限（此处是有限项）等比数列求和问题，转化为了一个简单的“整体减空白”的面积问题。这同样是转化——将“数”的问题转化为了“形”的问题。

设计意图：通过此环节，打破学生的思维定式，让他们看到转化策略不仅在几何中大放异彩，在代数领域同样威力无穷，进一步拓宽了转化的视野，即转化可以是多维度、多途径的。

（五）巩固训练，应用迁移

【基础】必做题：

1.如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB上一点，且AE=1，F为对角线AC上一动点，求BF+EF的最小值。（提示：利用正方形的轴对称性，找到B点关于AC的对称点D，连接DE即可）

2.计算：1/3+1/9+1/27+1/81。

【热点】选做题：

3.如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，且OP=10，分别在OA、OB上找两点M、N，使三角形PMN的周长最小。（提示：分别作P关于OA、OB的对称点）

4.如图，在一条河的同岸有A、B两个村庄，现要在河上垂直于河岸建一座桥MN，使从A到B的路径（A-M-N-B）最短。桥应该建在哪里？（提示：将河宽MN视为定长，通过平移变换转化为两点间线段最短问题）

设计意图：练习设计层层递进，从直接应用本节课的“轴对称转化”模型，到综合运用、多步转化，让不同层次的学生都能在练习中获得发展，学以致用，将知识转化为能力。

七、板书设计

（左侧）第五章问题解决策略：转化

一、几何转化——“将军饮马”问题

1.原问题：同侧两点

2.转化桥梁：轴对称变换（作对称点）

3.目标问题：异侧两点（熟悉模型）

4.依据：两点之间线段最短

（中间）核心思想

未知→已知

复杂→简单

（右侧）二、代数转化——分数求和

5.原问题：异分母分数连加

6.转化桥梁：数形结合（面积模型）

7.目标问题：整体减空白（1-1/64）

三、反思总结

转化的关键：寻找新旧知识的联系点

八、教学反思

本节课的设计，始终贯穿“以转化思想为魂，以问题探究为线”的理念。通过精心选择的经典问题，引导学生不仅解决了题目，更亲历了“转化”这一创造性思维活动的全过程。

【重要】成功之处在于：准确把握了学生的认知起点，通过“温故”环节的铺垫，为“转化”指明了方向；在探