小学数学三年级下册：除加除减混合运算的深层建模教案

小学数学三年级下册：除加除减混合运算的深层建模教案

一、教学内容顶层解析

（一）教材定位与大单元架构

本课隶属于苏教版三年级下册第四单元《混合运算》第2课时。本单元在整个小学阶段运算学习中具有里程碑式的意义：它标志着学生从单一的“横向静态口算”正式迈入“纵向动态递等”的结构化计算时代。本课“除加、除减”并非孤立的运算法则灌输，而是“两级运算顺序系统建构”的核心节点。此前学生已掌握“乘加、乘减”中乘法优先的算理，此处的除法介入将进一步丰盈“先乘除后加减”的认知模型，为后续小括号介入引发的运算“优先级反转”埋下关键的认知冲突伏笔【重要】【核心架构】。

（二）学情深层洞察

三年级学生正处于皮亚杰具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们在二年级已经熟练表内除法，能用分步算式解决“求单价”“求份数”的实际问题，并具备初步的综合算式尝试欲望【基础】。然而，此处存在两大深层认知障碍：其一，思维定势的负迁移——学生常将“先乘除后加减”机械记诵为“先乘后加”，当除法置于算式末尾（如12+40÷5）时，极易受到“从左到右”阅读习惯的干扰而先算加法【难点】；其二，算理与算法的断层——学生虽能通过情境说出“先算单价”，但在脱离情境的纯计算题中，易将运算顺序降格为无意义的记忆负担。因此，本课的核心攻关策略在于：将“运算顺序”重新定义为“数量关系的先后逻辑”，使顺序规定回归“解决问题必须遵循的步骤”这一本源。

二、教学目标分级与达成指标

【核心素养指向】

1.数感与运算能力：在具体情境中理解除法与加减法混合运算的意义，能准确运用递等式规范计算，将分步解题经验抽象为综合算式模型。

2.推理意识：通过“分步→综合”的转换，体悟运算顺序的确定不是人为规定，而是由问题中的数量关系逻辑决定的，经历“具体情境——数量关系——运算顺序”的完整建模过程。

3.应用意识：能识别现实问题中的“归一”结构，灵活运用除加、除减模型解决价格比较、工程分配、统计平均数等跨情境问题。

【具体行为目标】

1.结合购物情境，能准确列出除加、除减综合算式，并在递等式中用下划线标注先算的除法部分，正确率达到95%以上【高频考点】【技能】。

2.通过对比辨析，能用自己的语言完整表述“在没有括号的算式里，有除法和加减法，要先算除法，再算加减法”，并能举例说明“为什么除法要先算”【难点突破】【理解】。

3.能独立解决需要两步计算的归一问题，在分析过程中清晰说出“第一步用除法求什么，第二步再用加减法求什么”，实现解题策略的结构化【重要】【应用】。

三、教学重难点矩阵

【核心重点】掌握除加、除减混合运算的运算顺序，能正确使用递等式进行计算。重点落实为“三个一”：每道题第一步能准确划出先算部分；递等第二步书写时能把先算的得数和后算的符号、数字原位置照抄；能流利说出每步计算解决的实际问题是什么【高频】。

【深层难点】理解“除法优先”的必然性——即除法求出的“单一量”“每份数”是后续加减运算的前提条件。此难点需通过“分步算式与综合算式的意义对应”以及“错例归因分析”双轨突破【难点】。

【易错预警】除法在加法的后面（如12+40÷5）时，学生易受视知觉顺序干扰先加后除；递等式书写格式中，第二步的等号与算式的对齐位置不规范【易错】【需规范】。

四、课时规划与资源准备

本课时为新授课，时长40分钟。采用“大情境贯穿+任务群驱动”模式，核心情境锁定为“学校爱心义卖文具柜台筹备”。教具准备：多媒体交互课件（含隐藏式单价标签）、磁性板贴、学生微研究学习单、红蓝双色纠错笔。

五、教学实施过程精案（核心篇幅）

（一）预学启动：激活两级运算的已有图式（3分钟）

上课伊始，屏幕呈现“爱心义卖角”筹备现场全景图，图中商品暂不标价。教师快速闪出两组信息条，学生口答。

第一组：笔记本每包5本，共20元。小明买1包笔记本和1支单价4元的圆珠笔，一共多少元？（学生口述分步与综合，重点回顾20÷5=4，4+4=8，强调先算除法求单价）

第二组：彩笔每盒12支，原价36元，现降价促销每盒便宜4元，现在每盒多少元？（学生列式36-4，教师追问：这里只有减法和什么？没有乘除时怎么办？——唤醒“同级运算从左到右”的规则）

【设计意图】此环节非简单复习，而是精准定位两个认知锚点：一是当除法出现在加减之前，学生能轻松说出先除；二是将“归一”问题的解题结构（总价÷数量=单价）进行无意识复演，为后续除法出现在加减之后的核心冲突做隐性铺垫。

（二）任务一：除加混合——冲突中建模“除法先行”的逻辑必然性（10分钟）

1.信息呈现与问题聚焦

屏幕切换至“义卖文具——钢笔与订书机专区”。出示核心信息：

钢笔：5支装一盒，售价40元。（隐藏单支价格）

订书机：每个零售价12元。

问题驱动：买1支钢笔和1个订书机，一共应付多少元？

2.独立尝试与错例捕获

教师提出挑战性要求：“不写分步，请直接列出一道综合算式，看看谁列的算式既正确又能让人一眼看出你先算什么。”

学生独立书写于磁性白板。教师快速巡视，有目的地捕捉三类典型生成资源：

A类（标准正向）：40÷5+12=8+12=20（元）

B类（除法在后）：12+40÷5=12+8=20（元）【此为本环节核心讨论资源】

C类（潜在错例）：（40÷5）+12或40÷5=812+8=20（仍为分步，未完成综合）

3.聚焦辩论：12+40÷5，先算谁？

教师将B类作品放大投影，故意制造认知冲突：“有同学列的算式是12+40÷5，我们读书时从左到读，那计算时是从左算到右，先算12+40吗？”

生1：不行！12+40=52，52÷5除不尽，肯定错了。

生2：要先算40÷5，因为必须先知道一支钢笔多少钱，才能和订书机加起来。

教师顺势追问：“可是这个算式中，除法躲在加法的后面呀，为什么我们要越过前面的加法，先去揪出后面的除法？”

【深层追问】——此处是算理内化的黄金时刻。

生3：因为题目问的是一支钢笔和一个订书机的总价。不知道钢笔单价，就算不出总数。加法是最后把两个单价合并，除法才是第一步。

教师将分步算式竖写在旁侧：40÷5=8（钢笔单价）→8+12=20。再用红虚线将分步算式与综合算式12+40÷5进行上下对应连线，引导学生观察：无论是40÷5+12还是12+40÷5，这两个综合算式都在模仿分步算式的计算顺序——先求除法里的单价，再和另一个数相加。

【核心建模】教师板演递等式标准书写，并引入“第一步划横线”的视觉强制策略：

12+40÷5

=12+8（先算的除法下面划红线，得数8写在原位下方）

=20（元）（等号对齐，不跳步）

4.即时反刍与对比强化

同时呈现40÷5+12与12+40÷5两道算式。同桌互说：为什么两道算式长得不一样，计算时第一步却都是在算40÷5？引导学生提炼：不管除法在算式的前面还是后面，它都在求“一份是多少”，这是加减运算的前提，所以必须优先【重要】【高频】。

（三）任务二：除减混合——迁移中深化“求差必先求单”的逻辑（8分钟）

1.情境延续，问题升级

画面仍锁定义卖柜台，新增商品——彩色水彩笔。

信息：水彩笔1筒售价30元。（教师补充）钢笔仍是5支40元。

问题：1筒水彩笔比1支钢笔贵多少元？

2.顺向迁移，独立建模

教师放手：“这个问题留给大家独立完成，要求两步走：第一，列出综合算式；第二，在算式中用横线标出先算什么；第三，写出完整的递等式计算过程。”

学生独立作业，教师重点巡视辅导潜力生，捕捉典型问题。

3.多维交流，深化算理

汇报时聚焦两类算式：

主流算式：30-40÷5=30-8=22（元）

少数质疑：40÷5-30？——教师将此算式板演，请全班判断是否合理。

生：40÷5是钢笔单价8元，8-30不够减，说明这道题必须是贵的减便宜的，所以减法在后，除法在前必须先算。

教师顺势抽象：除减混合时，我们依然要“先算除法求出单价，再算减法求差价”。减法在除法的后面要先算除法，减法在除法的前面——比如30－40÷5——依然要先揪出藏在后面的除法。运算顺序只跟运算符号本身有关，跟数字的前后位置无关。

【核心提炼】——板书核心法则：

在没有括号的算式里，有除法（或乘法）和加减法，都要先算除法（乘法），再算加减法。除法或乘法优先的权利，不因它站在队伍的前面或后面而改变。

4.格式强化：递等式规范化训练

教师示范标准书写，重点强调“等号的位置”——在第二行书写时，等号要写在算式的左侧，第一个数字12或30要写在等号的后面，与第一行的数字对齐，体现“递等”的层次感。

学生修正自己的作业，用红笔补划第一步横线，同桌互查递等式的对齐规范。

（四）任务三：算法统整——从“两个例”到“一类理”（5分钟）

1.对比联结构建体系

屏幕并置四道算式：

（1）40÷5+12（2）12+40÷5（3）30-40÷5（4）40÷5-8（补充）

教师设问：“这四道算式，有的是除加，有的是除减；有的除法在前，有的除法在后。但是它们都有一个铁的纪律——第一步都必须算什么？”

生齐答：除法！

教师继续追问：“为什么我们这么固执，非要把除法先算了？”

生1：因为除法算出的是1份是多少。

生2：不管是求一共还是求相差，都要先知道单价。

生3：加法减法都是在等除法这个结果，除法是老大。

教师小结：数学里的运算顺序不是老师拍脑袋规定的，而是实际问题解决步骤的数学化。先除后加/减，本质上就是“先归一，再合并或比较”【核心】【本质理解】。

2.法则完整建构

请学生尝试用自己的话完整表述运算顺序。指名3-4人逐步补充完善，最终形成严谨表述，教师板贴：

在没有括号的算式里，有除法和加、减法，要先算除法，再算加、减法。

（五）任务四：分层进阶——在变式与错辨中形成技能自动化（12分钟）

本环节以“义卖筹备能力闯关”形式推进，共设三关，全员笔练，每关后即时反馈。

第一关：运算顺序标注员（基础性练习——全员达成）【重要】

出示题组，要求在算式中用“____”划出第一步，并口述先算什么，再算什么。

（1）56÷7+25（2）90-48÷6（3）15+72÷8（4）81÷9-6

重点追问第（3）题15+72÷8：划横线划在哪里？为什么加法在前面却不先算？强化“除法隐蔽在后也要先揪出”的核心技能。

第二关：火眼金睛小法官（错例辨析——难点爆破）【高频考点】【易错】

呈现四道典型错例，小组合作诊断“错在哪里？手术方案是什么？”

错例A：12+40÷5=52÷5=10.4（三年级尚未学小数除法，凸显顺序错误导致的运算障碍）

错例B：30-40÷5=30-40=-10÷5？=-2？（典型顺序错+递等格式混乱）

错例C：45-25÷5=45-5=40（此式正确，但需追问第一步算的什么？强化即使正确也要明确算理）

错例D：6×3+4=6×7=42（承前启后，回顾乘加运算，防止乘加、除加法则混淆）

纠错策略：不直接给答案，而是请学生当“小老师”上台，用红笔在原算式上圈画并改正，一边改一边说“我先算……因为……”。

第三关：信息转化与建模（结构化应用——素养提升）【难点】【热点】

本关呈现非标准结构的实际问题，需学生自主识别除加、除减模型。

题1（归一比较）：学校义卖，手工组做中国结。3个中国结用27米彩绳。现有1个已做好，还需要做5个。做完这些中国结一共要用多少米彩绳？

【思维路径】第一步求每个用几米：27÷3=9米；第二步求6个一共多少米：9×6=54米；综合算式：27÷3×（1+5）。此处若学生写出27÷3×6，需辨析：为什么这里不是先加再除了？因为小括号还没学，我们只能用分步或调整顺序。教师明确：在没有括号的情况下，27÷3×6是同级运算，从左到右恰好先除后乘，与题意吻合。此题作为思维弹性训练，不要求全体掌握综合算式，重在分步思路清晰。

题2（工程效率）：王老师计划用6小时做90个义卖发卡，实际只用了5小时就做完了。实际每小时比计划多做多少个？

【重要】此题极具思维价值。学生列式：90÷5-90÷6。教师引导观察：这个算式里有几个除法？要先算哪一步？——两个除法都要先算，但它们是同级运算，所以从左到右依次算。这里自然渗透“双归一”的初步感知，为四年级学习路程、工程问题建模。

（六）任务五：反思内化——从“学会”走向“会学”（2分钟）

1.思维复盘

教师提问：“今天我们解决的都是两步计算的问题。回忆一下，当你拿到一个需要除加、除减解决的问题时，你的大脑里要快速闪过哪三个问题？”

师生共建“三步自问清单”：

[1]这个问题第一步必须求出什么？（通常是单一量、每份数、单价、工作效率）

[2]求这个单一量要用什么运算？（除法）

[3]求出单一量后，第二步是合并（加法）还是比较（减法）？

2.情感升华

数学里的“先来后到”不仅是规矩，更是智慧。除法抢先算，不是因为它霸道，而是因为其他运算都在等它的结果。希望同学们以后遇到混合运算，不要只记顺序，更要想顺序背后的道理。

六、板书设计全息图谱

（左侧区域——情境建模）

钢笔：5支40元→单价：40÷5=8

订书机：12元/个

一共：40÷5+12=20

12+40÷5=20

（中间区域——核心法则）

▇除加、除减混合运算

▇核心：先归一，再合并/比较

▇算法：先算除法，再算加减

（无论除法在前或在后！）

（右侧区域——错例警示）

典型错误：12+40÷5

=52÷5

=10.4（?）

正解：12+40÷5

=12+8

=20

（下方区域——思想提升）

解决问题的“三步思维”：

1.第一步求什么？→归一（÷）

2.第二步求什么？→合并（+）/比较（-）

七、作业系统与评价设计

【基础性作业】（必做）

1.数学书第36页“想想做做