平行四边形（学生版）

一、平行四边形的定义和表示:

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫

£7

做平行四边形(如图)，记作“ZZ7ABa)”.AB//CD

四边形人也力叫

平行四边形的表示：一般按一定的方向依次

AB

表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示做平行四边膨

散口ACBD,也不能表示成ZZ7AD3C.

二、平行四边形的性质：

四边形ABCD为平行四边形

①平行四边形的对边平行且相等

口=>AB//CD,AD/^BC,

四边形ABCD为平行四边形

②平行四边影的对角相等；

:口:=>Z4=ZC,ZB=ZD.

四边形ABCD为平行四边形

③平行四边形的对角线互相平分.

=OA=OC,OB=OD.

④平行四边形是中心对称图形，对称中心

就是两条对角线的交点；连接四边上任意四边形ABCD为平行四边形，£、

一点和平行四边形的对称中心，与另一条/在A。，BC上，且线段E尸过

边相交于一点，则这两个点关于平行四边悬O=OE=OF:

形的对称中心对称；并且这条线段将平行S四边形ABFE=S四边形a)".

四边形面积分成相等的两部分.

~S△画X；=S△“元—0&*从

△AOB93OD

⑤平行四边形中重要结论：国△A8/△COZ?

△ABC四△CD4

△BCD咨ADAB

____E

f)SACf{r)=ADxEC；

⑥平行四边形的面积

平行四边形而积=底乂高

三、平行四边形的判定:

①定义：两组对边分别平行的AD//BC

=＞四边形ABCD是平行四边形

AB//CD

四边形是平行四边形.

AB//CD]

②一组对边平行且相等的四边=四边形ABCD是平行四边形

AB=CD

形是平行四边形.口

AB=CD\

③两组对边分别相等的四边形=＞四边形A8C3是平行四边形

AD=BC\

是平行四边形.

ZA=NC]

④两组对角分别相等的四边形=＞四边形ABCD是平行四边账

NB=ZD

是平行四边形.

OA=OC=-AC

⑤对角线互相平分的四边形是W

2，二*四边形ABCD是平行四边形

平行四边形.OB=OD=-BD

2

@模块一平行四边形的性质I1J

•例题1

(1)如图1-1,Z7ABCD的周长为20cm,AE平分4钮9,若CE=2cm,则AB的长度是______.

(2)(棕北半期)如图1-2,0ABCD的对角线AC、5。相交于O点，点、E、F分别是线段AO、BO

的中点，若4C+BD=24cm，△OA4的周长为18cm,则£F=.

(3)如图1-3,在LZ4BCD口，DB=DC,ZA=65°,CELBD于E,则ZBCE=.

(4)如图1-4,匚7AB6与U7XAE的周长相等，且NB/V)=60。，ZF=110°,则少4E的度数为

•例题2

(1)如图，0ABeO中，P是四边形内任意一点，△皮:尸，△COP,D

△AQP的面积分别为酬，工，S,,S.,则一定成立的是()

A.5,+52>53+S4B.Si+S2=S

S弋

C.S+S2VS3+S4D,S,+S3=2+、4B

(2)如图，口ABC”,平行于边的两条线段EF,G〃把GBa)分成四部分，分别记这四部分的

面积为S1,邑，S3和S4，则下列等式一定成立的是().DH

A.S|=S3B.S}+S3=S2+SAE/SA/S3/

C.53-5]=S2-S4D.5)x53=5,xS4

A八八二'B/

(3)现有如图的铁片，其形状是•个大的平行四边形在•角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想

用一条直线将其分割成面积相等的两部分,请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.

1__1J-

(西川2014-2015期中)如图,已知四边形ABQE是平行四边形，。为边3。延长线上一点，连接

AC、CE,使AB=AC.

(1)求证：△RADg/MfC；

(2)若N8=30°,ZADC=45\BgO,求平行四边形A8QE的面枳.

BDCBDGC

•例题4

已知在UMBCZ）中，A£_L8C于E,/）产平分NADC交线段AE于F.

（i）如图4-1,若AE=人力，NADC=60。，请直接写出线段CO与4尸+4E之间所满足的关系;

（2）如图4-2,若AE=4）,你在（I）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证

明.若不成立，请说明理由.

图4-2

模块二平行四边形的判定及综合111

・例题5

对于下列说法，正确的请给出证明，错误的请举出反例.

（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.

（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.

（3）一组对角相等，一条对侑线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

（4）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

（5）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.

•例题6

己知四边形八8C。，从下列条件中：①AD//BC：②八B〃CQ：③AB=CD；®AD=BC；⑤NA=NC；

⑥N4=N£＞；任取其中两个，可以得出“四边形48CQ是平行四边形A8C。”这一结论的情况有

().

A.4种B.9种C.13种D.15种

・例题7

在匚7ABe。中，E、尸在8。上，且BE=DF,点、G、”分别在A。、8c上，且AG=S,GH与BD

交于点。，求证：EG//HF,EG=HF.

•例题8

如图，四边形A8C。的对角线AC、BD交于点、P,过点。作直线交AQ于点£,交BC于点F.若

PE=PF,且AP+AE=C『+B.求证：四边形人8co是平行四边形.

课后作此

1.在U7A8C力中，若周长为54cm,AB-BC=5cm,则=cm.

2.在平行四边形ABC。中，ZA:Zfi:ZC=l:2:l,则NQ等于().

A.0°B.60°C.120°D.150°

3.在平行四边形48CQ中，点4、&、A3、4和CrG>G、C分别为48和C。的五等分点，

点用、区和R、2分别是和QA的三等分点，已知四边形432Gz）2的面积1，则平行四边形

ABC。面积为().

A.2B.-c.-

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・演练2

4.（西川期中改编）如图，在UZABC。中，AD=2AB,尸是A。的中点，作CE_L/W,垂足£在线

段48上，连接ERCF,则下列结论中一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横

线上）

®Z.DCF=^Z.BCDx®EF=CF；③S△的°=25根呼：®ZDFE=?>ZAEF.

・演练3

5.在DABCD中,E是4。边上的中点，连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F.已知AB=2g,

ZA=