立体几何初步必刷12大题型87题（原卷版）-2026年高一数学（人教A版必修第二册）

立体几何初步必刷好题（12大题型87题）

不做说明默认为单选题

【题型01：斜二测画法】

1.（24-25高一下•辽宁•期末）一人平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△04夕是等腰百角三角

形且=方，其中斜边。*=#，则这个平面图形的面积是（）

2.（24-25高一下•黑龙江大庆•期中）如图，四边形力4CD的斜二测画法的直观图为等腰梯形44977,已

知Nb=4,「。'=2,则下列说法正确的是（）

C.四边形力4c。的面积为36

D.四边形48CZ）的周长为6+2G+2右

3.（24-25高一下•广东广州•期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形

。力8C的直观图，其中OW=3,=那么口O48C的面积为（）

4.（24-25高一下•吉林松原•期中）如图，△/BC斜二测画法的直观图是AHB'C,AHB'C的面积为6,那

5.（24-25高一下•福建漳州•期中）如图，△HB'C'为水平放置的△/IBC的直观图，其中H8'=4C'=2,

A'BUO'B',则原平面图形△如大?的面积为（）.

A.4B.272C.472D.8

6.（2024高一下•全国•专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3cm,高为3cm,画出这个E六棱锥的直

观图.

［题型02：空间几何体的表面积与体积】

1.（24-25高一下•广东佛山•期中）已知一个圆锥的底面半径为3,其体积为12兀，则该圆锥的侧面积为

（）

A.6nB.9兀C.12兀D.15兀

2.（24-25高一下•天津滨海新•期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一

53

—a

6

3.已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥

与圆柱的体积之比为（）

A.-B.3C.—D.

33

4.（24-25高一下•黑龙江哈尔滨•期中）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，

用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆

中积水深九寸，则平地降雨量是1注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

（）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

5.（24-25高一下•山西•期中）若正四棱锥的高为26，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱

锥的表面积为（）

A.12B.24C.32D.48

6.（24-25高一下•浙江杭州•期中）已知正四面体的表面积为46,则它的体积为（）

2&

A.3C.2D.41

'"I"

7.(24-25高一下•广东深圳♦期中)已知正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,侧棱长为1,则其体积为

()

A76n65/3「7&n672

6767

8.(24-25高一下•广东湛江•期中)如图所示，三棱柱48C-45C中，若E,尸分别为/C,的中点，平

面EC夕厂将三棱柱分成体积为力(棱台力七/一4C7T的体积)，V2的两部分，那么匕：匕=()

A.6：5B.7：5

C.8：3D.4：3

【题型03：几个基本事实及其推论】

1.(24-25高一下•全国•课后作业)如图，已知：aua、bua,a(}b=A,Peb,PQHa,求证:

PQua.

2.如图所示，在空间四边形48C。中，E,厂分别为48,4。的中点，G,，分别在8C,CQ上，且

BG:GC=DH:HC=l:2,求证:

(l)E,F,G,〃四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC±.

3.(24-25高一上•上海•期中)如图，已知瓦EG,“分别是正方体48CQ—44CQ的棱48,BC,CC,,CQ

的中点，且£户与AG相交于点Q.

(1)求证：点。在直线。。上；

(2)求证：E/与是异面直线.

4.如图，在正方体力8c0-4862中，点〃、N分别是44、4G的中点.求证:

D]__________C,

(1)直线/1河和CN在同一平面上；

(2)直线4W、84和CW交于一点.

5.如图，在正方体力4co-4"£功中，E,“分别是力优上的点，且力尸=2尸48七=2力七.

(1)证明：瓦。,〃,尸四点共面；

(2)设。尸cCE=。，证明：A,0,。三点共线.

6.如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2,点瓦尸分别为力CCG的中点，点。满足

而二；而.求证：外。,瓦尸四点共面.

B

7.(1)已知直线。〃〃，直线/与。，力都相交，求证：过。，b,/有且只有一个平面；

(2)如图，在空间四边形/BCD中，H,G分别是4。，CO的中点，E,/分别是边48,4c上的点,

CFAF1

且百工百方求证：直线切,弧尸G相交于一点.

8.(24-25岛一下•福建福州•期中)在正方体力BCD-481GA中.

图1图2图3

(I)如图1,若力。口4。=。，4。八平面3Z)G=£,求证：G，E,。三点共线;

(2)M,N分别为力8和CB的中点，尸,。分别为和CG的一个三等分点(都靠近C端).

①如图2,求证：4P,OC,。。三线共点；

②过点M,M。三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕

迹).

【题型04：平行、垂直关系的符号语言】

1.(24-25高一下•福建厦门•期中)设。力是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的

是（）

A.若a1/a,bl/a,则方//aB.若a"a、blla,au0、bu0,则/7//a

C.若a///,b//a,贝必//D.若a/R,aua,贝Ija/R

2.（24・25高一下•湖南•期中）已知a,4是两个不同的平面，直线I邛,则“a/力”是“/〃”的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高一下•天津滨海新•期中）已知“，力是互不重合的直线，a,6是互不重合的平面，下列命题正

确的是（）

A.若a\\h,bua,则a||aB.若ala,bc.fi,则alh

C.若alia,贝！Ja\\fiD.若aC\fi=b,aca,alb,则a邛

4.（24-25高一下•福建龙岩•期中）设机，〃是两条不同的直线，。，〃是两个不同的平面，则下列命题正

确的是（）

A.若/〃ua,〃ua,mH。，nHp,则a//£

B.若"Iua,nuP,a//〃，则ni/in

C.若〃"/a,w/Ip,a[}/3=nt则〃?〃“

D.若m//a,n!!P,aHP,则〃?〃〃

5.（24-25高一下,重庆渝北•期中）已知是两条不同的直线，⑸7是三个不同的平面，则下列命题中正

确的是（）

A.若aua,a/,则a/RB.若bA.a,bu0,则a_L/

C.若a工0,0工y,则a_L/D.若a/必,b〃a,则a//a

6.（24-25高一卜・•云南•期中）己知/,〃?是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，则下列命题中，正确

的是（）

A.若a〃氏/〃/7,〃？〃。，则/〃

B.若/〃〃?」〃/，则〃？//0

C.若/JL加若_L夕,/JLa,则mJL3

D.若/_La,a_L£,则/J.相

【题型05：异面直线所成角】

1.（24-25高一下•重庆渝北•期中）在长方体ABCD-4片中，AAX=2g和A.D与底面所成的角分别为

30°和45°,则异面直线8。与8。所成角的余弦值为（）

A.且B.—C.-D.正

4444

2.（24-25高一下•吉林长春・期中）如图，正方体48CQ-481C0棱长为2,点M,N分别为84，的中

点，则异面直线用N和。g所成隹的余弦值为（）

3.（24-25高一下•河北邢台期中）在正三棱锥尸-44c中，月8=4,PA=6,。是4c的中点，则异面直

线/。与心所成角的余弦值是（）

A.BB.且C.迈D.近

9393

4.（23-24高一下•吉林长春•期末）在直三棱柱力8C—44G中，AA]=2AB=2AC,且力则异面直

线4/与4G所成角的余弦值是（）

A403V2n1

A-?B.Mc.?D.5

5.（23-24高一下•青海西宁・期末）在正方体力8C。-44GA中，E是8。的中点，则OE与C"两条异面直

线所成角的余弦值为.

6.（24-25高一下•江苏南通•期中）已知圆锥S。的轴截面"8是正三角形，P为圆锥SO底面圆上的一点,

若NPR4=g则异面直线SP与48所成角的余弦值为____.

6

7.（24・25高一下•安徽合肥・期中）已知M,N是正四面体ABC。棱力3,〃。的中点，正四面体校长为4,

则异面直线CM,ON所成角的余弦值为.

【题型06：线面、面面平行的判定与性质定理】

1.如图，点E不在平面48c。上，力BCD是正方形,尸为8七的中点.求证：。口|平面4CR

2.如图所示，在三棱柱44C-4BG中，若口、D分别为BG、8c的中点，求证：平面4BR//平面

AC}D.

3.（24-25高一下•陕西汉中•期末）由正方体截去三棱锥G-8CA后得到的匚何体如图所

示，。为力C与BD的交点.

⑴求证：4。〃平面8c

（2）求证：平面平面耳CR.

4.：24-25高一下•全国,课后作业）如图所示，在四棱锥尸-436中，底面48C。是平行四边形，AC与BD

交于点O,M是PC的中点，在DW上取一点G,过G和4H乍平面交平面8DW于G”,求证：

AP//GH.

5.（24-25高一下•全国•课后作业）如图①，在直角梯形力4cp中，AP||BC,APLAB.AB=BC=^AP,

。为力P的中点，旦£G分别为PCJDC8的中点，将△PCQ沿。。折起，得到四棱锥P-48C。，如图

②.求证:在四棱锥P-48C。中，4Pll平面EFG.

图①图②

6.(24-25高一下•贵州・月考)如图，在正方体中，点G,E,F,〃分别为棱,

3

B£,44的中点，点历是棱44上的一点，且〃4二:4。1

(1)求证：D,B,F,£四点共面；

(2)求证：RG〃平面DBFE；

(3)棱4用上是否存在一点N使平面EWN〃平面。见花？若存在，求装的值；若不存在，请说明理由.

4d

【题型07：线面、面面垂直的判定与性质定理】

1.如图，在四棱锥尸一川?。。中，尸N1.平面48c。，底部49CD为菱形，七为CQ的中点.求证：8。工平

面PAC；

2.(2024高一下•全国•专题练习)在四面体力4c。中，8C_LC，/1。="C旦尸分别是C。和双)的中点.证

明：平面4CQ_L平面空/；

3.（2024高一・全国・专题练习）如图，在四棱锥尸-48。。中，底面.48。。是平行四边形，48。=：20。，/18=1,

BC=4,/为夕。的中点，PD1DC.证明：AB±PM.

AB

4.如图，在四棱锥尸-48CQ中，底面力4c。为正方形，侧面4）夕是正三角形，侧面47PJ■底面/14CQ,M

是D0的中点.证明：4W1平面COP.

5.如图，在三棱柱月8c-4MG中，侧面88CC为菱形，NC84=60。，AB=BC=2,AC=AB}=V2.iiE

明：平面力Cg_L平面84GC：

6.123-24高一下•广东湛江期末）如图，。彳1平面48。。，底面48。。为矩形，AE上PB于尽E,AF1PC

于点尸.

p

(1)求证：力E_L平面P8C；

(2)设平面/E尸交尸。于点G,求证：AGLPD.

7.如图，在四棱锥O-MNST中，底面MNS7为平行四边形，平面ONT_L平面MNS7,G为ON中点

TG=NG,MO=SO,证明：SM1ON.

8.(2025高一•全国•专题练习)如图，已知尸为矩形月片。。所在平面外一点，尸4_L平面力8C0,过点力作

AELPB于点、E,过点E作E£_LPC于点尸，平面彳c平面P4Z)=/1G.

求证:

(l)PCl^AEFG；

(2)AG±PD.

9.(23-24高一下•海南省直辖县级单位•期末)如图，平面四边形48。。中，48=8,CD=3,AD=50

/4QC=90°,/比1力=30°，点E,/满足=g而，/而，将△力勿'沿斯翻折至△PE/L使

得PC=4后.

(1)证明：EF1PD；

(2)求五棱锥P-BCDEF的体积

1().如图，在四棱锥P-48c。中，4B=AD<BC=CD,NPAB=NPAD,证明：平面P4CJ.平面尸8。.

【题型08：线面角】

1.(24-25高一下•广东东莞•期末)如图，在四棱锥P-/4CO中，底面川?。。是边长为2的正方形，点旦尸

分别是8。,/尸的中点.

(1)证明：EF〃平面PBC；

(2)若PA=PC=2五,求直线0C与平面PBD所成角的大小.

2.(24-25高一下•浙江嘉兴•期末)如图，平面四边形力8c。中，ZiAC力是边长为2的等边三角形，且

AD=20乙104=90°,E为48的中点，将△CB。沿8。翻折至△〃%).

(1)证明：BD1PE；

(2)柠4P=26，求直线EP与平面PBD所成角的余弦值.

3.(24-25高一下•黑龙江牡丹江•期末)如图，在四棱锥P-48CO中，底面＜8。。为平行四边形，△PCO

为等边三角形，平面E4CJ_平面PC。，PA1CD,CZ)=2,AD=3.

(1)求证：P//_L平面PCQ；

(2)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值.

4.(24-25高一下・山东威海・期末)如图，在五面体川“?。所中，平面/18。。/平面。。"',DC//EF,AB工BE,

AD1DC,AB=DC=2,AD=\.

(1)证明：ABHDC；

(2)若直线8七与平面。EF所成角的正切值为:，求直线力石与DC所成角的余弦值.

5.(24-25高一下•福建福州•期末］如图,在二棱柱48。一48c中,4CG4是正方形.A.A1BC.

B

(I)求证：平面/1BC_L平面月CG4；

⑵若四=4,48=3,BC=5,求直线4G与平面4/G所成角的正弦值.

6.(24-25高一下•湖南衡阳•期末)如图，在四棱锥尸-488中，底面力8CQ为正方形，侧面口。是正三

角形，侧面P4)_L底面力8。。，必是线段产。的中点，N是线段尸C的中点.

p

(1)求证：MN_L平面尸/ID:

(2)求PC与面P48所成角的正弦值.

【题型09:二面角】

1.(24・25高一下,云南玉溪期末)如图，在正方体48CO-48cA中，尸为8a的中点.

(1)证明：力仅〃平面8PG；

⑵求二面角4-pq-8的正弦值.

2.(23-24高一下•四川凉山•期末)如图，在四棱锥尸-48c。中，底面48C。为正方形，侧面尸是正三

角形，侧面48,底面/8CO,£是尸4的中点.

(1)求证：力EJ.平面P8C；

(2)求侧面PCQ与底面48CQ所成二面角的正弦值.

3.(24-25高一下・山东威海・期末)如图,在三棱锥。-48。中，侧面相。是边长为2的等边三角形，AC1BCt

E、产分别为48、8C的中点.

(1)证明：EF"平面P4C；

(2)证明：平面尸££1平面P8C：

(3)若/C=3,二面角P—8C—4的大小为30°,求P4.

4.124-25高一下•河北•月考）如图，在四棱柱/BCD-44GA中,AA,=2,AB=瓜AC=2、BC=\,AAt1

平面ABCD.

(1)若NO_L48,证明：力。〃平面48C；

(2)若力。_LOC,且二面角力―4C—。的正弦值为理，求40.

3

5.如图，在正方体48CO-48G。中，E,E分别是棱CG的中点.

(2)求平面助打与平面48C。夹角的正弦值.

6.(24-25高一下•河北石家庄•期末)如图，在四棱锥中，底面"C。是菱形，48c=120',E

为棱产力的中点，PA=PB=4,PD=2扣,直线尸力与8C所成的角的大小为601

£

/Q：C

---------B

⑴证明：PC//平面BDE：

（2）求三棱锥E-/8。的体积：

（3）求二面角E-BD-A的正切值.

【题型10：距离问题】

1.（24-25而一下•云南曲靖期末）棱长为2的正方体力8CO-.4SGA中，E,尸分别是48、CG的中点,

则点4到平面4E尸的距离为（）

A2MR4V2T「4Mn2V2T

19211921

2.（24-25高一下•福建福州•期末）如图,各棱长均为2的直三棱柱45C-N4G中,。为8C的中点，点4

到平面4DG的距离为（）.

A.拽B.2C.V5D.—

55

3.已知四棱锥中，底面48CQ为边长为2的正方形，PA=PB=2,PC=PZ）=JL则直线

到平面P//3的距离为（）

A倔RV69rV23nV23

6363

4.在正三棱柱ABC-48c中，.48=44=2,则直线44到平面84C。的距离为

5.（2025高一•全国•专题练习）如图，四边形48CQ为矩形，4B=4,/。=3+石.△RQC是等边三角形,

△£48是等腰直角三角形，AE13E.将△"4和△切。分别沿虚线/出和C。翻折，且保持平面"4〃平

面kQC.当所_L平面48co时，平面E/8与平面广QC的距离等于.

【题型11:外接球与内切球问题】

1.（24-25高一下•黑龙江•期末）在三棱锥P-48c中，P4=PB=2,PC=2瓜PA,PB,PC西西垂直,则该

三棱锥外接球的表面积为（）

A.18兀B.20nC.24兀D.287t

2.（24-25高一下•四川成都•期中）将一个长、宽、高分别5,4,3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则

可能制作的最大零件的表面积为（）

A.25TIB.16nC.9万D.4冗

3.（24-25高一下•吉林长春期中）在三棱锥产一力8c中，E4=BC=由，PB=AC=6

PC=AB=拒,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.28兀B.型储C.7兀D.14兀

3

4.（24・25高一下•贵州•月考）球面上有4B,C三点，45c=90。，BA=BC=2历,球心0到平面48C

的距离是2后，则球。的体积是（）

A.32HB.48兀C.32GD.9667c

5.（24-25高一下•甘肃酒泉・期末）已知直三棱柱用C中，底面48C是等腰直角三角形，

Z£JC=90°,AB=AC=\,若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）

A.B.萼C.2兀D.4冗

33

6.（24-25高一下•福建三明•期中）已知正三棱台力8C-44。上下底面边长分别为仃、而为1,则

正三棱台48。-44c外接球的体枳为（）

A.20KB.也C.型叵D.3

333

7.（24-25高一下•广东广州•期中）某圆锥的高是底面半径的百倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧

面均相切）半径为1,则该圆锥外接球的表面积为（）

3216

A.32兀B.16TIC.-71D.—71

33

8.（24-25高一下•黑龙江哈尔滨•月考）已知正四棱锥的侧棱长为石，底面边长为2,则该四棱锥的内切球

的体积为（）

A.生国B.4扃C.fD.逋兀

2733

9.（25-26高一上•广东广州•期末）已知在正四棱台48CO-48cA中，。5=6,4£=2,若此正四棱台存

在内切球，则此正四棱台的体积为（）

A5272R5273「104>/2n10473

3333

10.（24-25高一下•安徽•期中）棱长为〃的正四面体力-88,下列说法错误的是（）

A.正四面体的体积是3/B.正四面体外接球半径是巫q

124

C.正四面体内切球的半径是除aD.正四面体表面积是

11.（24-25高一下•浙江衢州•期末）在△48。中，JB=2,C=45°,尸力1平面力8C,且尸力=2,则三棱锥

0-/4。外接球的表面积为（）

A.271B.4也itC.1271D.367r

12.在四棱锥S-/18C。中，侧面S/10_L底面力8CQ,侧面S4）是正三角形，底面力8c。是边长为26的

正方形，则该四棱锥外接球表面积为（）

A.5nB.10nC.28花D.56兀

【题型12：截面与轨迹问题】

1.（24・25高一下•河南郑州•期末）已知正方体力8CO-44GA，点E是上底面力心G"上任意一点，过

A,C,七三点作平面截正方体，则械面形状不可能是（）.

A.等边三角形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

2.己知