2026年中考数学第一轮综合培优测试题：二次函数的最值【附答案】

中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数的最值

一、综合题

1.居民小区要在一块一边靠墙（墙长15”？）的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠

2

墙，另三边用总长为40阳的栅栏围成.如图，若设花园的一边为AB=x（m）,花园的面积为六加）.

////////////

/D

r---------1

（1）求y与x之间的数关系式，写出自变量x的取值范围；

2

（2）满足条件的花园面积能达到200"广吗？如果能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由;

（3）请结合题意判断：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

2.用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm,面积为ycm?.

（1）求出y与x的函数关系式.（不写自变量的取值范围）

（2）当边氏x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

3.某种商品每天的销售利润y（元）与销出单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bxn75.其图象如

图所示.

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

4.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门

后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为丫=

1/20

^V2,0<X<30

伙厂90)2+〃,30<xW90,I。：00之后来的游客较少可忽略不计.

(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；

(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从

10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，

馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？

5.已知二次函数歹=一'2+〃a-〃?一3(m为常数).

(1)当加=4时，求二次函数的最值；

(2)当抛物线的顶点恰好落在％轴上时，求抛物线的顶点坐标；

(3)当TWxW5时，与其对应的函数值V的最大值为2,求二次函数的解析式.

6.已知二次函数y=ax?+bx—3(a#0).

(1)若函数图象的对称轴为直线x=l,且顶点在x轴上，求a的值；

(2)若a=l,b=2,点(m,n)为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m,n的取值

范围；

J+户>3

(3)若点P(a,a-3)始终是函数图象上的点，求证：一4

7.已知二次函数y=ax?+bx+c,当x=3时，y有最小值4,且图象经过点(01,12).

(1)求此二次函数的解析式：

(2)该抛物线交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,在抛物线对称轴上有一动点

P,求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标.

8.小佳同学在学习乘法公式(a+b)2=a2±2ab+b?的多种运用后，发现可以运用所学知识上数学课

时，求代数式x2+4x+5的最小值？他的解答方法如下：

解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1

•••(x+2)2>0,

2/20

当x=U2时，(x+2)2的值最小，最小值是0,

:.(x+2)2+1>1

二当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小,最小值是1,

.-.x2+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题

(1)知识再现：当乂=时，代数式x2(Z16x+12的最小值是；

(2)知识运用：y=Zx2+2xD3,当x=取何值时，y取得最大值？

9.一块三角形材料如图所示，ZA=3O°,zC=90°,AB=12,用这块材料剪出一个矩形CDEF,其中

(1)若设AE=x,则AF=：(用含x的代数式表示)

(2)要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？

k

y=-

10.如图，一次函数y=L]x+b与反比例函数》(x>0)的图象交于点A(m,3)和

B(3,1).

<1)填空：次函数的解析式为,反比例函数的解析式为；

k

(2)请直接写出不等式组^<Dx+b的解集是；

(3)点P是线段AB上一点，过点P作PDlx轴于点D,连接OP,若APOD的面积为S,求S的

最大值和最小值.

11.已知抛物线y=ax2+bx+l经过点(1,-2),(-2,13).

(1)求a,b的值:

3/20

（2）若（5,yi）,（n,y2）是抛物线上不同的两点，且丫2=12-力,求n的值；

（3）将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足・1%与时，与其对应的

函数值y的最小值为6,求m的值.

12.已知二次函数"=’+版+26加为常数）.

（I）若图象过（2,8）,求函数的表达式.

（2）在（1）的条件下，当-2AW2时，求函数的最大值和最小值.

（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围

13.如图，抛物线y=ax?+bx+c经过A（匚3,0）、C（0,4）,点B在抛物线上，CB||x轴，且AB

平分NCAO.

（1）求抛物线的解析式：

（2）线段AB上有•动点P,过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M,使aABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求

出点M的坐标；如果不存在，说明理由.

14.重庆市的重大惠民工程□匚公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，

1

前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=%

x+5,（x单位：年，1刍36且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万

!19

平方米），与时间x的关系是y，Gx+4（x单位：年，7勺W10且x为整数）.假设每年的公租房

全部出租完.另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用

的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，理xSO且x为整数）满足一次函数关系如

下表：

z（元/1指）5052545658...

4/20

x（年）12345...

（1）求出z与x的函数关系式；

（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元：

（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租

房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%,这样可解决住房的人

数将比第6年减少1.35a%,求a的值.

（参考数据：《315x17.7,<519-17.8,^21^17.9）

15.如图，斜靠在墙上的一根竹竿AB长为13m,端点B离墙角的水平距离BC长为5m.

（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m,则B端将沿CB方向移动多少米？

（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，则B端将沿CB方向移动多

少米？

（3）在竹竿滑动的过程中，当A端下移多少距离时，AABC面积最大？简述理由，并求出最大

值.

16.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出

400件：第二个月，商店准备;生不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单

价会导致销售量的减少.销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数表达式;

5/20

（2）笫二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

6/20

答案解析部分

1.【答案】(1)解：根据题意得:BC=40-2x,

AD

花国

-----------------C

y=x(40-2x),

...y=~2x2+40x,

•••墙长15m,

.­.0<40-2x<15,

252

彳8V20

自变量x的取值范围是2；

(2)解：当y=200时，即200=-27+4°x,

解得：阳='2=1°,

252

—<x<20

v2,

•••此花园的面积不能达到200m2；

(3)解：y=-2x2+40x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=10.

25.

—<x<20

•••当2时，y随x的增大而减小，

252525

--2x(—)22+40x—=187.5

•••Sx=2时，y有最大值，此时y=22

25

x=-

即当2时，花园面积最大，最大面积为187.5m2.

2.【答案】(I)解：已知一边长为xcm,则另一边长为(10-x).

则yr(10x)化简可得y-lOx-x2；

(2)解：y=10x-x2=-(x2-10x)=-(x-5)2+25,

所以当x=5时，矩形的面积最大,最大为25cm2.

3.【答案】(1)解;产ax2+bxD75图象过点(5,0)、(7,16),

(25a+5b-15=0

/49Q+7b-75=16,

[a=-1

解得[b=20,

7/20

尸□x2+20xEI75的顶点坐标是(10,25)

当x=10时,y最大=25,

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元;

(2)解；・.•函数y=Dx2+20x]75图象的对称轴为直线x=10,

可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16),

又；函数丫=匚*2+2(改75图象开II向卜，

.•.当7WXW13时，y>16.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.

1

4.【答案】(1)解:由图象可知，300=ax302,解得a=3,

1

n=700,bx(30D90)2+700=300,解得b=E]9,

-12

-X2(0<X<30)

y=

-^(X-90)2+700(30<x<90)

(2)解：由题意(xl90：2+700=684,

684—624

解得x=78,4=15,E5+3O+(90口78)=57分钟

所以，馆外游客最多等待57分钟.

5.【答案】(1)当m=4时，二次函数的解析式为

.•.当x=2时，二次函数取得最大值，最大值为-3.

(2)当抛物线的顶点恰好落在x轴上，

那么△=m~-4x(-1)x(-/z/-3)=0,

即渊礴船,解得碰厘统心翦.

当m=6时，二次函数的解析式为叩承统布=聊嘲,

此时抛物线的顶点坐标为;

当m=-2时，二次函数的解析式为'二一'J八T二

8/20

此时抛物线的顶点坐标为i-L0l.

••・抛物线的顶点坐标为或TOI

_m

（3）二次函数图象的对称轴为直线X-2,

nt

—v-[

①当2时，即m<-2时，

在自变量x的值满足-14x45的情况下，，随x的增大而减小，

...当X=7时，y=@燧回淡31■端为最大值，

,解得力--3,此时二次函数的解析式为y=-f-3x.

m

-1W—S5

②当一2一时，即一210时，

mg.

x=—辣匚仁音母百上^加总

当2时，一次函数的最大值为4篱=2,

...蟠」礁讲携虹员,配方得，1吁】「一”,解得一一・二JB.F：

V-2</H<10，:正应舍去，取mdX,

此时二次函数的解析式为Z承喇^.

m

—>5

③当2时，即m>lO0寸，

在自变量X的值满足-1<X<5的情况下，y随X的增大而增大，

.•.当x=5时，y=-k-M-刑-37*”取得最大值，

15

m——

...4不—，解得2,

m——

vm>10,:.-舍去.

综上所述：此时二次函数的解析式为尸v-3x或Jf15*©嗓疆触

6.【答案】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1,0）,

4=1

2。,b2+12a=0,

.,.4a24-12a=0>

9/20

(2)解：把a=l,b=2代入，y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

二其顶点坐标(一1，一4),

令y=0,Bpx2+2x-3=0,解得X[=LX2=-3,

与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0),

与y轴的交点坐标为(0,-3),

•••-3vm〈o,-4<n<o,

(3)证明：-.p(a,a—3)始终是函数y=ax?+bx—3(a#0)图象上的点,

...J+ab-3-。-3即。3+ab-a=0

；.cT+b-\=0,

...Q2=l-b

a2+62=/?+1-b=(d-1)2+(

由/=1-6>0得力<1

1

二(弓产2>0

a2+b2>^

7.【答案】(1)•••当x=3时，y有最小值4

・••设二次函数解析式为产a(x-3)24

•••二次函数图象经过点(-1,12),

12=16a-4,

•••二次函数的解析式为y=(x-3)2-4=x2-6x+5.

(2)当y=00'j,有X2-6X+5=0>

解得:X|=l,X2=5,

•••点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(5,0)；

当x=0时，y=x?-6x+5=5,

10/20

•••点C的坐标为（0,5）.

连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，最小值为BC,如图所示.

设直线BC的解析式为y=mx+n(m±0),

将B(5,0)、C(0,5)代入y=mx+n,得：

5m+〃=0仅=-1

.〃=5,解得：1〃=5,

.•.直线BC的解析式为y=-x+5.

vB(5,0)、C(0,5),

••.BC=5也.

•••当x=3时，y=-x+5=2,

・•・当点P的坐标为(3,2)时，PA+PC取最小值，最小值为5,2.

8.【答案】(1)3：3

(2)解：y=Dx2+2xD3=D(xDl)2L2,

则当x=l时，y取得最大值是2

9.【答案】(1)2x

(2)解：•・・四边形CDEF是矩形，

.-.ZAFE=9O°,

vzA=30°,

11

••.EF=5AE=$x,

在RQABC中，zC=90°,AB=12,

1

.--BC=2AB=6,

根据勾股定理得：AC=加］=6、回，

11/20

.••CF=ACC1AF=6由□2x,

IMM

，S矩形CDEF=CF・EF=2x(6百口3x)=□4(xD6)2+9<3,

••・当x=6时，矩形CDEF的面积最大，

即当点E为AB的中点时，，矩形CDEF的面积最大.

3

y=-

1().【答案】(1)y=Cx+4：x

(2)l<x<3

(3)解：•.•点P是线段AB上一点，设P(n,On+4),

1111

22

.•.S=，OD・PD=5・n(Cn+4)=□2(nn4n)=□2(n^2)+2,

2<o,且l<n<3,

.•.当n=2时，S有最大值，且最大值是2,

3

，当n=l或n=3时，S有最小值，旦最小值是2.

—2=a+b+1

11.【答案】(1)解：把点(1,-2),(-2,13)代入y=ax2+bx+l得，13=4a-2/?+1,

fa—1

解得：3=—4；

(2)解：由(1)得函数解析式为y=x2-4x+l,

把x=5代入y=x2-4x+l得，yi=6,

.•.y2=12-y1=6=yi,

,:(5,y。，(n,y2)是抛物线上不同的两点,

•••(5,yi)与(n,y2)关于对称轴对称，

••・对称轴为直线x=2,

.•.n=4-5=-L

(3)解:由(1)得函数解析式为歹=f-以+1=。-2尸一3,

12/20

•••此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，

・•・①当向右平移时，平移后的解析式为a—2-⑼2-3,

工对称轴为4=2+加>2,

当-1S2+〃?W3时，顶点处取最小值，此时最小值为・3,不合题意;

当2+m>3即〃?>1时，对称轴-ifq的右边，

此时当-1%W3时y随x的增大而减小，

・•・当x=3时，有最小值6,即6=（3-2-〃?）2-3,

解得加=4,w=-2（舍去）；

②当向左平移时，平移后的解析式为V=（犷2+加9-3,

对称轴为'=2-m，

当-102-〃叱3时，顶点处取最小值，此时最小值为-3,不合题意;

当2-〃叱-1,〃吐3时，当-隆仁3时y随x的增大而增大，

.•.当x=T时，有最小值6,即6=（-1-2+机）2-3,

解得冽=6,m=0（舍去）,

综上所述，m的值为4或6.

12.【答案】（1）解：•••图象经过点（2,8）,

...8=4+26+24

解得力=1.

2

.••此函数解析式为y=x+x+2.

y=x2+x+2=(x+1)2+^

（2）解:

••・抛物线的开口向上,

—2<x<——

.••当2,y随x的增大而减小,

17

X=—―

・•・当2时，y的最小值为4,

1

-T<X<2

当2时，y随x的增大而增大,

（2+一）’+8

...当x=2时y的最大值为'2,r

13/20

7

答：最小值」最大值8.

(3)解：•••图象不经过第三象限，且开口向上,

:2b之0,即6",

b八

x=--<0

•••对称轴直线2,在y轴左侧，

・••图象必在X轴上方(包括X轴),

：.△=7-8/”0,

13.【答案】(1)解：如图1,

•••A(U3,0),C(0,4),

.••OA=3,OC=4.

vzAOC=90°,

•••AC=5.

vBCHAO,AB平分4CAO,

.-.ZCBA=ZBAO=ZCAB.

•••BC=AC.

•BC=5.

vBCIIAO,BC=5,OC=4,

•••点B的坐标为(5,4).

•••A(D3,0)、C(0,4)、B(5,4)在抛物线y=ax2+bx+c上,

9a-36+c=0

c=4

•J25t?+5/)+c?=4

1

a~~6

6

解得：1。=4

[5

•••抛物线的解析式为y=n6X2+6x+4

14/20

设直线AB的解析式为y=mx+n,

•••A(口3,())、B(5,4)在直线AB上，

(-3m+〃=0

,•.(5m+〃=4

1

m=-

2

_3

解得：r-2

13

直线AB的解析式为y=?x+5.

设点P的横坐标为t(口3055),则点Q的横坐标也为t.

\_35

•••yp=2t+2,yQ=Q61+6t+4.

1513

2

.•.PQ=yQ3yP=Z)6t+6t+4Q(2t+2)

1513

=-6t2+6t+4n2tn2

Iz5

=口6t2+3+2

=□%(t2n2tni5)

\_

=n6[(tni)2ni6]

!?

=0%(tni)2+3.

i

•••□%<0,C3<t<5,

8

••・当t=l时，PQ取到最大值，最大值为3.

8

••・线段PQ的最大值为3.

15/20

fAO

（3）解：①当NBAM=90。时，如图3所示.

抛物线的对称轴为x=□汇=」2＞（4）=5.

•••XH=XG=XM=2.

153H

.".yG=2x2+2=4.

11

••.GH=4.

vzGHA=zGAM=90°,

.ZMAH=90。口ZGAII=ZAGM.

VZAHG=ZMHA=9O°,ZMAH=ZAGM,

.-.△AHG-AMHA.

GHAH

...而一~MH

---'(-3)

=MH

解得：MH=11.

•••点M的坐标为（2,

②当心ABM=90。时，如图4所示.

115

vzBDG=90°,BD=5D2=2,DG=4口4=4,

..73+於

16/20

5/5

=4.

11<5

同理：AG=4.

•.ZAGH=ZMGB,ZAHG=ZMBG=9O°,

•••△AGH〜△MGB.

AG_GH

■MG~~GB.

LH

“W7

4--

—_5J5

...MG=T.

25

解得：MG=4.

•••MH=MG+GH

2511

=T+T

=9.

5

.••点M的坐标为（2,9）.

55

综上所述：符合要求的点M的坐标为（2,9）和（2,□!!）.

14•【答案】（1）解：由题意，z与x成一次函数关系,设2=1^+5("0).把(1,50).(2,52)

17/20

代入，

[〃+6=50=(女=2

得[2k+b=52®=48...Z=2X+48.

11

(2)解：当10x06时，设收取的租金为W]百万元，则Wi=(-6x+5)•(2x+48)=-3

b

x2+2x+240,•对称轴x=・2a,=3,而lgxW6,•♦.当x=3时，W[最大=243(百万元).

当7<xvi0时，设收取的租金为W2百万元，则

112

W2=(-8X+4).(2X+48)

£7b_961

24

=-4X+2X+228.•••对称轴X=-24=7,而7SxW10,••.当x=7时，W2最大=(百万元).

961

••・243>4,

・••第3年收取的租金最多，最多为243百万元.

(3)解：当x=6时,y=-6x6+5=4百万平方米=400万平方米；当x=10时，

!19

y=・WxlO+4=3.5百万平方米=350万平方.

•••第6年可解决20万人住房问题，

人均住房为400-20=20平方米.

由题意20x(l-1.35a%)x20x(1+a%)=350.

设a%=m,化简