2025-2026学年八年级数学期中模拟卷（全解全析）（湖北专用人教版八年级上册第13~15章）

2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版八上第十三-十五章。

5.难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.5、5、11B.7、8、15C.12、20、13D.13、5、7

【答案】C

【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.根据三角形

三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大广第三边，任意两边之差小于第三边.

【详解】解：A.V5+5<11,.\5,5,11不能组成三角形，故A错误；

B.v7+8=15,/.7,8,15不能组成三角形，故B错误；

C.•••13+12>20,「.12,20,13能组成三角形，故C正确；

D.•.•5+7<13,「.13,5,7不能组成三角形，故D错误.

故选：C.

2.下列图标是轴对称图形的是（）

A.£C.且D.令

【答案】D

【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：”将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重

合的图形是轴对称图形”是解题的关键.

1/26

根据轴对称图形的定义分析求解艮］可.

【详解】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；

B、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意：

C、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；

D、符合轴对称图形定义，故此项符合题意；

故选：D.

3.根据下列条件，不能画出唯一确定的。的是（）

A.4B=4,BC=5,AC=6B.ZJ=65°,AB=8,Z5=40°

C.AB=4,BC=3,ZA=45°D.ZC=90°,AB=8,BC=4

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的几种判定定理是解题关键，根据选项中所给

的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可.

【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理SSS,能画出唯一的△力BC,故该选项不符合题意；

B、符合全等三角形的判定定理4s4,能画出唯一的△ABC,故该选项不符合题意；

C、不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△48。，故该选项符合题意；

D、符合全等三角形的判定定理HL,能画出唯一的△48C,故该选项不符合题意；

故选：C.

4.如图，直线〃/人,等边的顶点C在直线6上，若Nl=32。，则N2的度数为（）

A.92°B.128°C.98°D.142°

【答案】A

【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平

行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键.设直线。与44交于点Q,与4C交

于点E,先由对顶角的性质得乙4DE=N1=32。，再由等边三角形的性质得乙4=60。，然后由三角形的外角

定理可求出ZAEF=92°,最后再艰据宜线。〃6可得N2的度数.

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【详解】解：设直线。与48交于点。，与4。交于点心如图所示:

.•.4WE=N1=32。，

♦.•△48。为等边三角形，

.•.4=60。，

乙4EF为△ADE的一个外角，

ZAEF=ZADE+ZA=320+60°=92°,

•••直线。〃b

Z2=AAEF=92°.

故选：A.

5.如图，AABgADEC,若NBCE=65°,ZDCE=80°,则/4CE的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.根据全等三角形

的性质得到4c8=/以方=65。，再根据角的和差即可求出的度数.

【详解】解：•••△48。也△OEC,

N/C3=NOCE=80°,

VZBCE=65°,

ZACE=AACB-2BCE=80°-65°=15°.

故选：A.

3/26

6.如图，在△ABC中，ZC=90°,以/为圆心，任意长为半径画弧，分别交力C,4B于点、M,N,再分

别以M,N为圆心，大于长为半径画弧,两弧交于点O,作射线力O,交8c于点E.已知CE=2,

C.10D.12

【答案】A

【分析】本题考查了先平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得力上平分作

ET1AB，再根据角平分线的性质可得ET=EC=2,再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：过点E作ET_L/18,如图所示：

由题意可知：/E平分

VEC1ACtET1AB,

:.ET=EC=2,

SaTA匕FiRf=—2ABET=2-x6x2=6,

故选：A.

7.如图，△/出C与△4'8'C'关于直线/对称，连接力4交对称轴/于点M,若4=50。,7C'=30。，则下列

说法不正确的是（）

A.△ABC与"'B'C’的周K相等

4/26

B.4"=4'时且441/

C.Z^=100°

D.连接88'，CV,则44'，BB，，CC'三条线段不仅平行而且相等

【答案】D

【分析】本题考查图形的对称，熟练掌握对称图形的性质是解题的关键.

由448C与△HB'C'关干直线/对称,三角形C8C与三角形HB'C'的周长相等,AM=A'MR再利

用三角形内角和定理可求得的度数，从而可判断并得到答案.

【详解】解：•.•"8C与"5C'关于直线/对称，

.••三角形48c与三角形HB'C'的周长相等，NC=/C'=30。，=且力H_L/,

故A、B正确；

VZJ=50°,ZC=30°,

..Z25=I8O°-ZJ-ZC=1OO0,

故c正确；

•.・"BC与关于直线/对称，

AAA//BB'//CC\但AATBB，工CC,

故D错误，

故选：D.

8.如图，点。在线段8。上，ABJ.BD于点、B,EDA.BD于点、D,4c七=90。，且力C=7cm,CE=8cm,

点P从点4开始以2cm/s速度沿ZC向终点C运动，同时点。以3cm/s的速度从点£开始，在线段EC上往

返运动（即沿ETCFE运动），当点尸到达终点时，P、。同时停止运动.过P、0分别作80的垂线，

垂足分别为M、N.设运动的时值为/s,当以尸、C、M三点为顶点的三角形与△0CN全等时，/的值为

C.2或4D.1或4

【答案】B

【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键.分两种情况：①点尸在力C上,

5/26

点。在CE上时：②点。在/C匕点0第•次从点。返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即

可求解.

【详解】解：①当点P在4C上，点。在CE上时，

•・•以P,C,M为顶点的三角形与△OCN全等，

.*.7-2/=8-3/,

：.t=\,

②当点。在力C_L,点0第一次从点。返回时,

•・•以P,C,"为顶点的三角形与全等，

••・PC=CQt

A7-2/=3/-8,

z=3»

综上所述：，的值为1或3.

故选B.

9.如图，在./吕。中，Z5JC=90°,AB=3,AC=4,8c=5,,4。是高，HE是中线，CF是角平分线,CF

交/。于点G,交力。于点〃，给出以下结论：①SdwSwcE；@^AFG=^AGF^③NE4G=246；

④4。=2.4,以上说法正确（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线、三角形的面积公式等知识点，根据三角形角平分线和

高的性质可确定角之间的数量关系是解题的关键.

根据三角形的中线的性质即可判断①；根据直角三角形的性质可得

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ZAFG+ZACG=90°,ZDGC+ZDCG=90°,再根据角平分线的定义可得4CG=NDCG,再运用等量代

换即可判断②；先说明/E4G=4C。，再结合处平分线的定义即可判断③；直接运用三角形的面积公式可

计算即可解答.

【详解】解：•・•"是△力BC中线，

/.AE=ECt

:…ABE的面积等干△8CE的面积.即①正确：

VABAC=9^,是A/IBC高，

...Z.AFG+ZACG=90°,NDGC+ZDCG=90°,

•••CE是乙4台。角平分线，

:ZCG=/DCG,

AAFG=4DGC,

又：.4DGC=4AGF,

AAAFG=ZAGF,故②正确；

NFAG+NDAC=NDAC+NACD=90°,

AZFAG=ZACD,

•;ZACD=4ACF+/BCF=2ZACF,

：./FAG=2ZACF,故③正确；

•••SABC=2-2ABAC=-BCAD,

A-x3x4=-x5JD,解得：40=2.4.故④正确.

22一

综上，正确的有4个.

故选:D.

10.如图，△ABC为等边三角形,AAOE为等腰三角形，其中41EQ=12O。，AE=DE,且8,C,。在

同一直线上.连接8七和CE.则以卜.结论中止确的个数为（）

@Z5JE+ZCD£=180°；②4E为/48c的平分线；③AE=CE；®ZECD=60°.

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A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定,

线段垂直平分线的判定和性质.熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键.根据四边形内角和

等于360。可判断结论①正确；过E点作41的延长线于产点，作EG_LB。于G点，根据AAS证明

△EFA0EGD,则可得M=£G,根据角平分线的判定可得结论②iF确：根据等腰三角形三线合一的性质可

得班•垂直平分4C,根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确：由可得4。=60°,可得

结论④不正确.

【详解】解：•••△48C为等边三角形，

/.N4BC=60°,

*/乙4上。=120。，

..N4BC+乙4ED=18(F,

;四边形48DE中，ZABC+ZAED+ZBAE+ZCDE=36(y,

/.ZBAE+Z.CDE=360°-180°=l80。.

故结论①正确；

如图，过E点作石/，A4的延长线于尸点，作EGJ.8O于G点.

则CEFA=/EGD=90°,

•••ZBAE+NFAE=18(P,ZBAE+ZCDE=180°,

£FAE=4CDE,

又,：EA=ED,

.•.△EE4gEGZ)(AAS),

:.EF=EG,

，跖为“力BC的平分线.

故结论②正确；

8/26

•;BA=BC,8E平分/ABC,

:.BE垂直平分AC,

,EA=EC.

故结论③正确；

AACB+Z.ACE+NECD=180°,

而AACB=60°.ZACE*60°.

:.ZECD/600.

故结论④不正确；

综上，正确的结论有3个.

故选：C.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.如图，8C为四边形力30。的对角线，/A=/D,添加一个条件使△UCg/WBC,则你添加的条件

为__________________.

【答案】4BC=NDBC（答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案.解题的关键是掌握全等

三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（此方法仅用于直角三角形全等的判定）.

【详解】解：若添加：/ABC=NDBC,

在。和△O8C中，

Z4=ZD

ZABC=ZDBC,

BC=BC

cABC^DBC(W^)；

若添力口：NACB=NDCB,

在和△£>8c中,

9/26

ZJ=ZD

2ACB=4DCB,

BC=BC

：,LABC^DBC(W^)；

，添加一个条件使△"CgAQAC,则添加的条件可以为48C=NO4C或4C4=4)C4.

故答案为：/ABC=NDBC(答案不唯一).

12.如图，已知在“8。中，4=54。，N44C的外角平分线和/力。4的外角平分线交于点P.则

ZP=.

【答案】63。

【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

先由三角形的内角和算出ZABC+ZACB,再根据外角平分线即可求解.

【详解】解：・・・/4=54。，

:.ZABC+ZACB=\80°-54°=126°,

/.HDBC+/BCE=(18丫-/ABC卜(18(F-Z//C^)=36(T-匕ABC+4ACB>36(T-126=234=,

•；PB平分NDBC,PC平分乙BCE,

:./PBC+4PCB=-/DBC」/BCE」x234°=117\

222

:.ZP=l80o-117o=63°

故答案为：63。.

13.如图，NAOB内有一点P,点4,鸟分别是点P关于O4OB的对称点，g交OA于点M,交OB于点N.若

△PMN的周长是5cm,则PR的长为.

10/26

【答案】5cm

【分析】本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条直线对称，那么这两个图形的对应点的连线

被这条直线垂直平分是解题的关键.先根据轴对称的性质得出NP=Mb再由△PA/N的周长是

5cm,即可求出＜6的长.

【详解】解：••・点儿鸟分别是点P关于的对称点，£鸟交O/于点"，交08于点N,

:.MP=MP\,NP=NP1,

•••APMN的周长是5cm,

:,MP+MN+NP=5cm,

RP2=MR+MN+NP?=MP+MN+NP=5cm,

故答案为：5cm.

14.如图，△ABC中,AC=BC,ZC=90°,8。为。的平分线.若点力到直线B。的距离力力为石，

则BE长为.

【答案】2石

【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质.

延长/。、BC交于点、F,利用角平分线的定义和全等三角形证明且△q。，得出/伊的长度，再通过

角度关系证明/名△8CE,从而得到4七=力”.

【详解】解：延长力。、BC交于点F,

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A

AD1.BD,N4CB=90°,

ZABD=ZFBD,N4DB=/FDB=90°，

丁BD=BD,

:.“BD知FBD（ASA）,

AD=FD=V5»AF=AD+FD=2\[5.

•.•”8C是等腰直角三角形，/4C8=90。，

/.NBEC+NCBE=90。,

又「ZF+/CBE=9U,

£F=NBEC,

又；4CB=46=90。,AC=BC,

，△/CE%BC£（ASA）,

/.BE=AF=25/5.

故答案为：2石.

15.如图，在A/B。中，ZJ=30\将一块足够大的直角三角尺尸MN（NAZ=90。，ZMPN=30。）按如图

放置，顶点P在边力。上滑动，三角尺的直角边始终经过点8,斜边PN交AB于点、D,考点P在滑动

中满足力。时•，且△尸8c为等腰三角形，则NC的度数为.

【答案】30。或75。或52.5。

【分析】本题考查了等边对等角以及三角形内角和定理的应用，由题意推出4W=180。-75。-30。=75。；

分类讨论当8P=4C时，当6C=PC时，当尸C=PB时，即可求解；

12/26

【详解】解：VZJ30°,AP=AD,

:.N4PD=N4DP=-x(18(F-3。)=79，

•・•2MPN=30。,

:./BPC=180°-75°-30°=75°,

当BP=BC时，

・・・NC=NBPC=750；

当8c=PC时，

/.NCBP=/CPB=75。,

:.ZC=180°-75°-75°=30°:

当PC=P8时，

AZC=ACBP=yx(18(F-75s)=52.S5,

综上所述：NC的度数为30。或75。或52.5。；

故答案为:30。或75。或52.5。.

三、解答题(第16、17、18题，每题6分；第19、20、21题，每题8分；第22题10分；第23题11

分；第24题12分；共9小题，共75分)

16.已知b,c是AXBC的三边长，a=4,b=6.

(1)求。的取值范围:

(2)若c是小于8的偶数，试判断。的形状.

【答案】(l)2<c<10

(2〃/8c是等腰三角形

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出。的取值范围是解题关键.

(1)利用三角形三边关系进而得出。的取值范围，进而得出答案；

(2)利用等腰二角形的判定方法得出即可.

【详解】(1)解：因为4=4,b=6,

所以2vc<10.

故c的取值范围2<c<10.

(2)解：因为。是小于8的偶数，

所以c=4或c=6.

13/26

当c=4时，a=c=4,是等腰三角形；

当c=6时，b=c=6,△/AC是等腰三角形：

综上，△ABC是等腰三角形.

17.如图，ziMC中，AD1BC,小垂直平分力C,交力C于点八交4c于点£,且BD=DE,连接花.

(1)求证：AB=EC；

(2)若△力8c的周长为20cm,AC=9cm,求。C长.

【答案】(1)见解析

(2)5.5cm

【分析】本题考杳线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

是解题的关键.

(1)根据线段垂直平分线的性质得到ZE=£C,AB=AE,等量代换证明结论；

(2)根据三角形的周长公式得到X5+8C+4C=20,根据=BD=DE计算,得到答案.

【详解】(1)证明：:七尸垂直平分力C,

/.AE=EC,

•/ADIBC,BD=DE,

.•J。垂直平分BE,

/.AB=AE,

：.AB=ECx

(2)解：•.•△力〃。的周长为20cm,

AB+5C+JC=20,

,/AC=9cm,

/.AB+BC=11cm,

♦:AB=EC,BD=DE,

DC=DE+EC=-BE+-EC+-EC

222

14/26

=-BC^-AB

22

=^AB+BC)

=5.5cm.

18.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1,2,伞圈。沿着伞柄”滑动时，且4E=4F,DE=DF,

(1)求证：力。平分NA4C；

(2)如图2,当油纸伞撑开时，伞的边缘6,C与点。在同•直线匕若/历/C=140。，NBED=120。，求NFD力

的度数.

【答案】(1)见解析

(2)50°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

(1)证明"E0g”H>(SSS),则N刃〃=4FAD,即可证明；

(2)先由三角形的外角性质求出“4QE,再由全等三角形的对应角相等求解即可.

【详解】(1)证明：・・・力£：=/产,。£=。£力。=力。，

△/瓦注"研SSS),

:.4EAD=4FAD,

••・4。平分/氏4(7；

(2)解：VZ5JC=140°,力。平分/比1C,

J/EAD='/BAC=70。,

2

V/.BED=Z.EAD+ZADE,NBED=12G,

JADE=ABED-Z.EAD=120°-70°=50°,

LAED^AFD,

・・・/FDA=/ADE=50°.

19.在△力4c中，力。是角平分线.

15/26

AA

图1图2

(1)如图1,过点。作于点立若NB=35。，ZC=75°,求/ZD尸的度数.

(2)如图2,在力。上取一点七(不与人。两点重合)，过点E1作即,力。于点兄写出N8,NC,ZAEF

之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)55。；

(2"B+NC=24EF,理由见解析.

【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理.

(1)根据三角形内角和定理求出/胡。=7/，根据角平分线的定义得到/C4Q=35。，根据三角形内角和定

理计算即可；

(2)根据垂直的定义和三角形内角和定理得到/。。=90。-乙iEF,根据角平分线的定义得到

=180°-2ZJEF,进而根据三角形内角和定理即可得到NC,N4E/之间的数量关系.

【详解】(1)V/-B=35°,ZC=75°,

:./BAC=180°-Z5-ZC=180°-35°-75°=70°,

•二/分是角平分线，

・•.ACAD=/BAD=-ZBAC=ix70o=35°,

22

VDF1AC,

:.NADF=180°-90°-35°=55°；

(2)ZB+NC=24AEF,理由如下：

,:EFtAC,

・•・ZCJD=90°-ZJEF,

•・•4£＞是角平分线，

:.ABAC=2ZCAD=180°-2乙4EF,

■:Z5JC+ZB4-ZC=180°,

:.1800-2/AEF+N8+NC=180。，

即/B+NC=2NAEF.

16/26

20.如图，点4在线段力。上，点£在线段4。上，。3为1CO的高，AB=DB,EB=CB.

⑴求讦：“BEdDBC：

(2)如图：BF上AE于F,8GLCD于G,探究8歹与8G的关系，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)BF=BG且BF工BG,证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质：

(1)利用SAS证明"8石会乙。6。，即可；

(2)根据全等三角形的性质可得4E=CO,"孵=3.瓯,再由白跖x/1£=,可得BF=BG,

再证明Rt△aFgRtABq；,可得NEBF=NCBG,即可解答.

【详解】(1)证明：:OB为春8的高，

・••4BE=NCBD=90。,

在RtAC5D和Rt/^EBA中，

VAB=DB,/ABE=NCBD=9&,EB=CB,

：.^ABE^DBC(SAS)；

(2)解：BF=BG且BF工BG,证明如下：

VEABE^DBC,

:・AE=CD，2上二%8「

VBF1AE,BG1CD,

:BFxAE='BGxCD,

22

・•・BF=BG,

在RSEF和RaBCG中,

•:EB=CB,BF=BG,

ARtA/?/7?^RtA/76Z7(HL),

17/26

・••Z.EBF=ZCBG,

:.Z.EBF+Z.EBG=4CBG+Z.EBG=Z.CBD=90°,

即BF1BG,

综上所述，BF与BG的关系为BF=BG且BF工BG.

21.已知：OP平分NMON,息A,8分别在边。M,ON上,且NO/1P+NO8尸=180。.

（1）如图1,当/。4尸=90°时，求证：OA=OB；

（2）如图2,当0。＜/。4尸＜90。时，作尸C_LOM于点C.求证：

①PA=PB；

②请直接写出04OB,4C之间的数量关系为—.

【答案】（1）详见解析

（2）①详见解析：②3-08=2"

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差

等知识点，解题的关键是掌握以上性质.

（1）根据知的和差得出NO4P=/OBP=90。，根据角平分线定义得出/尸04=/尸。彳，证明^OPB迫AOPA,

即可得出结论：

（2）①过点P作尸QJ_ON于点。，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明△尸即可得

出结论；

②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系.

【详解】（1）证明：:NW+NO8〃=1XU°,NO4P=900，

/.2OAP=NOBP=90°,

•：OP平分NMON,

:."OB=ZPOA,

,：0P=0P,

...LOPB^OPA(W^),

18/26

：.OA=OB；

(2)解：①如图，过点P作PD1ON于点D,

图2

•：0P平分NMON,且PC_LOM,PDA.ON,

:・PC=PD,

,/£OBP+NPBD=180°,NOAP+ZOBP=180°,

:.£PBD=ZPAC,

Z.PCA=4PDB=90°,

&PBD%P4C(AAS),

/.PA=PB;

②，：4PBDHPAC,

：.AC=BD,

,/PC1OM,PD1ON,

"PDO=/PCO=90°,

由①得尸C=P。，且OP=OP,

Z.Rt△尸OOgRsPOC(HL),

・•・OC=OD,

：.OB=OD-BD=OC-AC=OA-2AC,

：.OA-OB=2AC.

22.如图，点尸、。分别是边长为4cm的等边△48C边力从8c'上的动点，点。从顶点力沿相向8点运动，

点。同时从顶点8沿8C向。点运动，它们的速度都为km/s,当到达终点时停止运动，设它们的运动时间

为/秒，连接力0、CP交于点M；

19/26

A

⑴求证：AABQ知CAP；

(2)点P、。在运动的过程中，NCM。变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；

(3)当t为何值时APBQ是直角三角形？

【答案】(1)见解析

(2)不变，/。〃。=60。

48

(3)当第鼻秒或第三秒时，△尸为直角三角形

JD

【分析】(1)利用等边三角形的性质可知48=/lC,NB=NC/tP=60。,结合力2-，。即可得证；

(2)由“PC知BQA知Z.BAQ=ZACP，再利用三角形外角的性质可证得ACMQ=60。；

(3)可用/分别表示出8P和也，分〃。8=90。和N8PQ=90。两种情况，分别利用直角三角形的性质可

得到关于/的方程，则可求得/的值.

【详解】(1)解：•••△48C是等边三角形

AAB=AC,N8=NC尸=60。，

又由条件得4尸=80,

在4/18。和△口尸中

AB=CA

-NB=NCAP,

BQ=AP

：,LABQ^^CAP(SAS),

(2)NCM。的大小不变，/CM。=60。，

理由如下:

rtl(1)知△/14。0△。尸，

£BAQ=/ACP,

•・,NQWC是AAMC的一个外角，

:.NCA/0=4ACP+/CAM=ZBAQ+ZCAM=ABAC=60°,

20/26

・•・£CMQ=60°.

(3)由题意知/＜尸=8。=/,PB=4-t

①当/PQ8=90。时，，

•IZ5=60°,

4

:.PB=2BQ,得4T=2,解得，=不

②当/«/竺二90。时，

•:N8=60。，

；・BQ=2BP,得/=2(4一)，解得"g；

48

・•・当第3秒或第3秒时，AP8。为直角三角形.

【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性

质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识.

23.【教材呈现】

(1)如图1,连接的顶点力和它所对的边8C的中点。，所得线段力。叫做△/出。的边8C上的中线.写

出图1中的一个等量关系

【尝试感悟】

(2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在“8。中，力8=8,AC=6,。是BC的中点，求8c上

的中线力。的取值范围.于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长力。到E,

使DE=NQ,请完成证明“△£7阳”的推理过程.

①求证：AADC—EDB.

②求力。的取值范围.

【问题解决】

(3)如图3,在乙4台。中，N8=90°,AB=2,X。是△/18C的中线，C£_L8C,C£=4,且N4O£=90。，求/E

长.

图1图2图3

21/26

【答案】(1)8。=。。

(2)①见解析；②

(3)6

【分析】本题主要考杳了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定,

构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键.

(1)根据中线的定义求解即可.

(2)①利用己知条件证明”。。丝4EDB即可：②根据三角形三边关系可得AB-BE<AE<AB+BE,再用

全等三角形的性质可得AD的取值范围.

(3)延长力。交的延长线于凡求证△48。包尸8(ASA),可得出b=48=2,4。=。/，再利用垂直

平分线的性质即可求得力上的长.

【详解】(1)解：•.FO是△力的边8c上的中线，

BD=CD,

故答案为：BD=CD；

(2)①由(1)可得8。=。。，

在△£08和△力。。中，

DE=AD

NEDB=ZADC,

BD=CD

「.△4。。包瓦M(SAS),

②•:“DCWAEDB,

BE=AC=6,

在〉BE中，AB=8,BE=6,

根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，

^AB-BE<AE<AB+BE,

•;AE=2AD,

.\8-6<2JD<8+6,

1<AD<7：

(3)延长力。交EC的延长线于凡如图所示：

22/26

E

A

vAB1BC,EF1BC,

B""