2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第七章《二次根式》全章同步练习

第七章二次根式

I二次根式

基础夯实

知识点一二次根式的定义

1.（2024.东营文华学校月考）下列各式中二次根式的个数为（）

①一\；②）—8;③1;④店;⑤6.

A.4B.3C.2D.1

2.若F是二次根式，则a的值可以是（）

A.OB.-lC.-2D.-3

3.下列各式中，不属于二次根式的是（）

A.门（烂0）B.71+广

C.J（ci）2D.V-1-x2

知识点二二次根式有意义的条件

4.要使式子0F5在实数范围内有意义,则X应满足（）

A.烂;B,x>|C.x<|D.x>|

5.若若有意义,则x的取值范围是—.

y/x-\

知识点三二次根式的双重非负性

6.若口工―厂6口+国与=0,贝!Jx,y的值分别为（）

A.4,-2B.2,-4C.0,2D.1,1

7.（2024.烟台莱州市期中）已知实数x,y满足口厂4□+g=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是

（）

A.20或16B.20

C.16D.以上答案均不对

8.（2024.枣庄滕州育才中学月考）若a,b为实数，且斤叉;+倔11-力=5,则直线y=ax-b不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

知识点四（&）2=。（生0）

9.把心写成一个正数的平方的形式是（）

A团B.（后2

2

C.(±2J

D.

10［教材P33例2变式］计算:

2

(1)(V0.7)2;(2)；(3)(4V3)2.

易错点悟因考虑问题不全面而致错

11若式子学有意义，则x的取值范围是（）

A.x>3B.x>3

C.x>3且x彳5D.x>3且x,5

能力提升

12.（2024.威海蝌江中学期中）在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（

A.>/2+xB.（五）2

C.Vx2+1D.V-3-x2

13已知n是正整数，，石是整数，则n的最小值是（）

A.OB.lC.3D.-3

14若x,y为实数，且产而T+团行+2025,则xy=

15当x分别取下列值时，求二次根式后云的值.

(1)x=0;(2)x=2;(3)-一：.

16已知二次根式J3Vx.

⑴求x的取值范围；

⑵求当x=-2时，二次根式的值；

⑶若二次根式月彳的值为零，求x的值.

素养培优

17」新定义］任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m<T<n(其中m为满足不等式的最大

整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的行知区间”为如夜<2,所以近的行知区间为(1.2).

⑴无理数皿的“行知区间”是_______；

(2诺5/与+落^-乃，求a的“行知区间”；

(3)实数x,y,n满足j2x+3厂〃+J33+4k2〃=Jx+厂41+J41r-乂求n的算术平方根的“行知区间”.

2二次根式的性质

第1课时积的算术平方根的性质

基础夯实

知识点一用=。（生0）

1.下列各式中正确的是（）

A.V4=±2

C.7=9=-3

D.7（-2025）2=2025

2.|教材P37习题7.2T4变式偌J（L1）2=X-1,则x满足的条件是（）

A.x>lB.x<lC.x>lD.x<l

3.当x>2时、V（2-r）2=（）

A.2-xB.x-2

C.2+xD.±（x-2）

4.（2024.聊城冠县模拟）如图数轴上点A,B表示的数分别为m,n化简:|m—n|—而=_.

」」■A」」」B■」「

m01几

知识点二积的算术平方根的性质

5.若百=。,75^=友贝1|V90=（）

A.a/bB.-aC.abD.a+b

a

6.下面的计算和推导过程中，

［旧=V网，（第一步）

［何=36.（第二步）

匚-3件J（-3）2x3,（第三步）

匚-375=375.（第四步）

其中首先错误的一步是（）

A.第一步B.第二步

C.第三步D.第四步

7.如果/«丫_6）=7加病6那么（）

A.x>0B.x>6

C.0<x<6D.x为一切实数

8.已知n为正整数，若师是整数，则n的最小值为（）

A.4B.8C.21D.84

9.(2024德州宁津县苗场中学月考)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简g正-历炉的结果是

()

*1।1。।1,

-101

A.-2bB.-2a

C.2b-2aD.O

10若-4vxv3,贝1]匚x+4D+Ja-3)2-Vx2-10x+25=_.

11化简：(1)V5^;(2)旧;(3)J(-5)2x2.

易错点悟运用V=〃(aK))B寸，忽略心0而致错

12化简yl-a4(?.

能力提升

13下列各式中，一定能成立的有()

匚，(-2.5)2=(753)；nV?=(Va)x；

二Vx2-2r+1=x-1;：>/x2-9=yJx-3Vx+3.

A.©B.①④

C.①③④D.®®③④

14观察式子：

V4><9=V36=6,V4X-\/9=2X3=6;

1499_阿_21

J-100X4-j400-20,

匹xR="=旦.

>Jl00y]4102205

V0.25^0.04=V0?0T=0.1,

V025xVM4=0.5x0.2=0.1.

由比猜想y[ab=\[ciJVb(a>()fZ>>0).

上述探究过程蕴含的思想方法是()

A.特殊与一般B.类比

C.转化D.公理化

15已知a<2,则点Mg河，-胫列在第_____象限.)

A—B.二

C.三D.四

16已知匚且|a+b|=a-b用B么a+b的值是（）

A.2或8B.2或-8

C.-2或8D.-2或-8

17.甲、乙两个同学计算f的值，当a=3时得到不同的答案.甲的解答是a+V\~2a+a2=a+-/（\-af-=a^\

2/2

-a=l;乙的解答是a+v\~2a+a=a+v^T7=a+qT=2aT=5.下列判断正确的是（）

A.甲、乙都对B.甲、乙都错

C.甲对，乙错D.甲错，乙对

18不用计算器回答：已知V2-1.414,720=4.472,则“2000000—VM02=_.

19（2024・潍坊高密市月考改编）已知尸后至F5,当x分别取1,2,3,...,2012B寸.所对应的y值的总和是—

素养培优

2（）.观察下列各式及验证过程：

==

卜渭/验证：JHJS底=宙

（1放照上述三个等式及其验证过程的基本思路，①猜想：提二»=_；

②猜想田3s的变形结果，并进行验证；

（2时对上述各式反映的规律,写出用n（n>2且n为自然数）表示的等式,并进行验证.

第2课时商的算术平方根的性质

基础夯实

知识点一商的算术平方根的性质

1.下列计算中正确的是（）

a-看=言

册S+4呜

3卜行，卜行1=6

2.若m=李成立,则x的取值范围为（）

yjl-xVl-x

B.xX）或xvl

D.O<x<l

3化简:hM

4.计算：⑴尺;⑵符80）；⑶

知识点二最简二次根式

5.下列式子中，是最简二次根式的为（）

B.gC,VT5D.JI

6.写出一个最简二次根式a,使得2<a<3,则a可以是

7把下列二次根式化成最简二次根式：

⑴疝;⑵中;⑶区；

⑷后（””⑸

易错点悟化简二次根式时，因忽略隐含的条件而致错

g.已知xy>0.化简-的结果是（）

A.y/xB.y/-x

C.~y[xD.-y/-x

能力提升

9.下列计算正确的是（）

B.“房

1（）等式=篙成立的条件是（）

A.a¥-lB.aN-3且arl

C.a>-lD.a>3

11若下列左边的式子有意义，则运算正确的是（）

A.V?=aB.x[ab=\[ci\^yib

c（而=。D-Jl=S

12下列各式中，从左到右的变形正确的是()

'•5/=旧=夜

B.ayJab=Vc^b

C.(“+/?)，a+b=4Q+份3

D-52)舟

13已知75=。,6^=仇则10.063=()

ab门3abab、3ab

AA・mB.记C.而D.-

14在①E;②V?不审;③旧;：]，西中，最简二次根式有个.

15(2023•济宁金乡县月考)若最简二次根式-方中与最简二次根式V相等，则m+n=-------------

4〃一〃？

16将一组数V5,倔3,2近,店…商，3/10,,按下面的方式进行排列：

小，扁26辰,

3戊,际,2巫,36，同，

按这样的方式进行下去，将26所在的位置记为(1,4),同所在的位置记为(2,5),那么在(4.1)的位置上的数

是_______.(结果写成最简二次根式的形式)

17化简:

37^6+鼻＞。)・

（l）^7=i（2）a6

Zjab^

素养培优

18观察以下等式：

第1个等式：身弯;

第2个等式：历=竿；

第3个等式：肾=竿；

第4个等式：肾二等;

[5o~~yexTT

第5个等式：后—"一丁

按照以上规律，解决下列问题：

（1与出第6个等式；

（2写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）,并证明.

3二次板式的加减

基础夯实

知识点一同类二次根式

1.下列二次根式中，化简后与2夜可以合并的二次根式是（）

A.712B.V02C.V3D.V50

2.（2024.北京西城区开学考试）下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（）

A.而和强B.何和g

C.J8a，，和2A/^D.［和

3」教材P41习题7.4T1变式］（2024淄博博山区期中）在下列二次根式中：V8,1V80,4,4何箕疯5,

（1）能与V5合并的是___________；

（2）能与6合并的是__________.

4.如果最简二次根式岳寺与2戊是同类二次根式，那么a的值是______.

5.（2024.东营广饶县实验中学开学考试）把二次根式后三与电分别化成最简二次根式后，被开方数相同.

⑴如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？

（2）如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个?最大值为多少?有没有最小值？

知识点二二次根式的加减

6.［教材P41想一想变式］下列计算正确的是（）

A.2+V2=2V2

B-e-卜?

C.3V2-V2=3

D.^y^=V9-V4=3-2=l

7.（2024.临沂兰山区期中）设m=5Z+V45,,则实数m所在的范围是（）

X3

A.m<8B.8Vm<9

C.9<m<10D.m>10

8.(2024.淄博)计算：V27-2\/3=_.

9.若a<0厕/加“6=_

10化简:

(l)V32-2ji;

(2)/l8-V32+V2+V3.

11.计算下列各题：

⑴-2E+4m-6E+8E-1o/TT;

(2)(3V6-2A/2+5V3)-(4A/3-6A/2+7>/6);

(3)aV2-V5J+n3-V5n.

易错点悟未化为最简二次根式就合并导致错解

12.若诟=〃V5（n为正整数），则m的值可以是（）

A.jB.18C.24D.75

能力提升

13.下列计算正确的是（）

A.Vx+V5x=V6x

B.3A/2-2V2=1

C.2+V5=2x/5

D.5y/x-ly/x=-2>/x

14.（2024.济宁微山县期中）已知ab=6,那么代数式ab的值是_______.

15.（2024.青岛市南区校级月考）已知A=2eRT,8=34K,C=皿西，其中A,B为最简二次根式，且A+B=C,

则2y-x的值为.

16.已知最简二次根式a+b两和标可以合并，你能求出使反诉有意义的x的取值范围吗？

17计算：（1）仞一15卡+:瓦;

⑶;同+2如心肉

18已知7+逐和7-逐的小数部分分别为a,b,试求代数式（a+4b-3的值.

4二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘除

基础夯实

知识点一二次根式的乘法

1.对于二次根式的乘法运算，一般地，有心□〃=，近该运算法则成立的条件是（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0

C.a<0,b<0D.a>0,b>0

2.关于J及的变形，不正确的是（）

A.V3X/12=V3^T2

B.V3x7i2=V3xV2xV6

C.V3x7i2=V3+T2

D.V3X/T2=V3X2>/3

3.下列运算中正确的是（）

A.V（-2）2=-2

B.V5XV7=V35

C.2>/7x3V7=6V7

D.（4V2）2=8

4.计算:（（1）A/4XV25;（2）3限4限

知识点二二次根式的除法

5.下列等式不成立的是（）

D旧3V3

A.箸第B-m

V2727a历gx百

。V5=TD.^=—

6.下列计算错误的是（）

A.V8=2V2B.服75=2

C.V4=±2D.V2-V3=y

7」教材P44习题7.5T3变式］矩形的面积为18,一边长为2V3,则与它相邻的另一边长为（）

A.6V3B.9V3C.30D.24

8.已知：夜=12.3,7^=0.123,则，=_.

9.计算:

易错点悟忽视二次根式的被开方数为非负数

10.小东在学习了关=/后，认为』=*也成立，因此他认为化简过程户=等=*=通=3是正确的，你

认为他的化简正确吗。若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程.

能力提升

11（2024•盐城）矩形相邻两边长分别为〃，石皿,，设其面积为ScnR则S在哪两个连续整数之间?（）

A.I和2B.2和3

C.3和4D.4和5

12.（2024.济南章丘区月考）阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现:当心0,20时,

有（（〃-〃）2=。_2丽+6也得。+桁2而，当且仅当a=b时等号成立，即a+b有最小值是2而［翻］用这个结论解

答问题：当x>0时，2rM+*的最小值为（）

A.V2B.2C.2V2D.3

13.（2024•临沂河东区期中）电流通过导线时会产生热量.电流1（单位：A）、导线电阻R（单位：。）、通电时间［（单

位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：片/网已知导线的电阻5Q,1min的时间导线产生24COJ的热量，则电

流【为A.(结果用—次根式表示)

14」等面积法］直角三角形的两条直角边长为屈木,,则这个直角三角形斜边上的高为

15计算：⑴6+(巫xVTI)；

(2)/(W).

素养培优

16(2024.枣庄市中区期末)【阅读材料】小明在学习二次根式时।发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的

平方，如：

5+2巫=(2+3)+2A/5^=(⑷?+(73)2+2V2XV3=(V2+V3)2;

8+2/7=(l+7)+2Vh?7=12+(V7)2+2X1x/7=(l+V7)2.

【类比归纳】(1)请你仿照小明的方法将7+2，历化成另一个式子的平方；

(2)1青运用小明的方法化简：V11-6V2.

【变式探究】⑶若。+2西=(而+叮)~,且a,m,n均为正整数，求a的值

第2课时二次根式的混合运算

基础夯实

知识点一二次根式的混合运算

1.(2024.重庆B)估计gg+G)的值应在()

A.8和9之间B9和10之间

C.10和11之间D.11和12之间

2.计算：V3（V2-V3）-V24-DA/6-3D=

知识点二乘法公式在二次根式计算中的应用

3.下列各式计算正确的是（）

A.3V5-25/5=l

B.（1-V2）（1+V2）=-1

C.（2-V2）（3+V2）=4

2

D.（逐+H）~=12

4.（潍坊中考）从•一夜,6,乃中任意选择两个数，分别填在算式（口十口六直里面的廿与，。中，计算该算式的结

果是________.（只需写出一种结果）

5.计算（6+2）2匚（遇一2产5的结果是______.

易措点悟因忽视结果的北负性而致错

6.已知爪-3=6,则在十七的值为（）

A.±V5B.±/7C.V5D.V7

能力提升

7.下列计算正确的是（）

A.（6-275）（6+273）=36-2x3=30

B.（V5+1）=5+1=6

C.（VX+A/XH）（Vx-VrH）=（Vx）2-（V.r-l）2=l

D.（V3-V2）（^-^）=l

8.（2024.泰安新泰市模拟改编）如图，从一个大正方形中裁去面积为65*和15cm2的两个小正方形，则留下阻

影部分的面积为（）

A.6>/T0CW2B.2[cm2

C.2y/~15cni2D.4^6cni2

9.已知。=/+2力=/-2,则的值为（）

A.83B.34C.22D.8

10.（2024.德州陵城区期中）已知尸1-彼，尸1+VI则./+3戈止/的值为.

11（2024.临沂费县阶段练习）人们把守=0.618这个数叫做黄金比,著名数学家华罗庚优选法中的“0.

618法''就应用了黄金比.设。=与;6=与二记S[=*++S2=y^+j^,匚则$2024=_.

12计算:

(1)3720-V45-+(V5-2)(逐+2);

(2)(V3-1)2-(V2-V3)(V2+V3)；

(3)正7//广病衣1xfe(f)O).

13化简/将x=3-y5代入求值.

14.（2024.威海经济技术开发区期中）如图,正方形ABCD的面积为8,正方形ECFG的面积为32.

⑴求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；

⑵求阴影部分的面积.

素养培优

15［应用意识］王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a,b,如果a>b,那么夜〉然后

讲解了下面一道例题：

比较|V200?D2、2卤的大小.

方法一^V200=J/x200=｛，

2\f3=V4^3=VT2,

因为8<12,所以即^V2C0<2V3.

2

方法二：Q师)=±x200=8,

(2V5)，4x3=12,

因为8V12,所以^V200<2>/3.

参考上面例题的解法，解答下列问题：

⑴比较-5a与-66的大小；

（2）比较V7+I与V5+V5的大小.

专题五二次根式化简求值的技巧

技法一估值法

1.（2024.济宁邹城市期中）估计后-屈x1的运算结果应在（）

A.I到2之间B.2到3之间

C.3到4之间D.4到5之间

2.（2024德州乐陵市校级月考）如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是

日551

-2-104

技法二公式法

3.（2024.滨州滨城区期末）已知-2/+2,尸2/-2,则『―与叶产、

4.计算：（5+述）x（575—275）.

技法三拆项法

企

5.计算:a+46+3

(x/6+V3)(VJ+V2)

[提示：V6+4V3+3V2=(V6+V3)+3(V3+V2)]

技法四换元法

6.已知片企+1,求：今罕十三源的值.

〃+2-V〃-4〃+2+Vn-4

技法五整体代入法

7•已知尸力片高，求，*的值

技法六因式分解法

信6

8.计算:

2十«十50十

技法七配方法

9.（2024.德州齐河县期末改编）已知叱=逐则a-三.

10若a,b为实数，QvF立+两万+15,试求J+/2-5+,2的值.

技法八辅元法

11已知x:y:z=l:2:3（x>0.y>0,z>0）.求、/'J的值.

技法九先判后算法

12.已知a+b=-8,ab=8,化简楂口m求值.

技法+巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题

13.设等式，“%-4）+，4（3-4）=行小斤子=0成立，且x,y,a互不相等，求:;;二;的值.

7.1-7.4滚动练习二

L下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.口B.V9

C.D.yja-\

2.（2024.济宁）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2X>/5=AA0

C.2-V2=lD.J（_5）2=_5

3.若代数式卷+心有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x*lB.x>0

C.x/）D.xNO且x*

4.若4万是整数，则正整数n的最小值是（）

A.IB.3C.6D.12

5.（2024.济宁梁山县第二中学月考）若xy<OjlJ同t简后的结果是（）

A.xyB.Xy/-y

C.r万D.-x亚

6.已知7^+刀+2口=0,那么（（x+y严5的值为（）

A.IB.-lC.32025D.-32025

7下列计算正确的是（）

A.7（-4）x（-9）=V-4XV-9

B.y/4x2y4=2x）r

c.史

D.V7-A/4=X/3

8.（2024.淄博桓台县期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S=18,

$2=12.重叠部分是一个小正方形，其面积为2,则空白部分的面积为（）

A.6B.8

C.8V6-6D.8行B

9.B/化成最简二次根式为.

10已知y=\^4+JIJy/xy=.

11I新定义I对于任意两个不相等的正实数a,b定义新运算”※工规定：所誓，则2X(x-l)中x的取值范围是

b-a

12.计算下列各题：

(1)2^+3兄一后倔

(2)(3V2-2V3)(3V2+2V3);

(3)VJx(V2-V3)-2V6-□V6-3□;

(4)(V3-1)+(V5+2)-2(x/3-1)(V3+2).

13若最简二次根式工一后干产亏和斤利T是同类二次根式.

⑴求X,y的值;

⑵求尸商的值

14观察下列各式及其验证过程：

出+12岑艇：61=8芹=2*.

内=3』,验证：m*=样=3E

(I技照上述两个等式及其验证过程，猜想心用的变形结果并进行验证；

(2注十对上述各式反映的规律，写出用a(a为任意自然数，且a")表示的等式,并给出验证.

15.（2024.德州乐陵市期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长BC为屈〃“宽AB为

Cm现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阻影部分），长方形花坛的长为（旧+»乩宽为（ET）〃?.

（1）求长方形ABCD的周长；

（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元//的地砖,则购买地砖需要花费

多少元?（结果化为最简二次根式）

16问题解决：

已知x=v§+2,求代数式/_以-7的值.

小敏的做法是根据•卡店+2,

得（厂2声5,

即》2-4.什4=5彳导f—4x=l.

把犬2-4-1作为整体代入，

^x2-4x-7=l-7=-6,

即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.

迁移应用：

已知x=v5-2,求代数式/+41（）的值.

章末员习考点练习

考点一二次根式的概念和性质

1.下列式子中,可能不是二次根式的是（）

A.逐B.6

C.D.V?+T

2.下列各式中，正确的是（）

A.（可=5B.-V3^=-0.6

C.J（-13）2=T3D.V36=±6

3.式子后=等成立的条件是（）

A.x>3B.x<l

C.l<x<3D.l<x<3

4.化简二次根式-后的结果为（）

A.2a\l2aB.-2x/27

C.2ay/-2aD.-2ay/2a

5.已知a,b分别为等腰三角形的两条边长，且