二次函数的图象和性质的五大题型（专项训练）-湘教版九年级数学下册【含答案】

微专题01二次函数的图象和性质的五大题型

题型一二次函数的图象和性质

1.二次函数的开口方向、对称轴、顶点

函数y=ax'+bx+c(fl>0)y=ax2+bx+c

图象的开口方向向上向工

直线二直线》=-二

对称轴x-3

2a2a

'b4ac-b2''b4ac-b:

顶点坐标G方依

2/4a}、2a4a

2.二次函数的增减性高新区期

函数y=ax2+bx+c(«>0)y=ax2+bx+c(a<

当时，y随X的增大而减当时，随

2a2a

增减性当X>-二时，J'随X的增大±;当x>-金时，

2a2a

而增大;而减小;

试卷第I页，共10页

3.二次函数的最值

函数y=ax2+bx+c(o>0)y=ax2+bx+c(a<

当工=一2时，y有

当■时，V有最小值

2a2a

最值

艇粗，无最大值；

-------,无最小值

4a4a

（25-26九年级上•安徽淮南•阶段练习）

1.对于二次函数y=3x2-12x+13,下列说法中正确的是（）

A.图象的开口向下B.函数的最大值为1

C.图象的对称轴为直线戈=2D.当x<2时y随x的增大而增大

（25-26九年级上•福建南平•阶段练习）

2.关于抛物线y=-2（x-1『+3,下列说法正确的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线x=-l

C.顶点坐标是（1，3）D.x>l时，y随x增大而增大

（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）

3.关于二次函数J，=2026（X-2）2+1的图象，下列说法正确的是（）

A.图象的开口向下B.函数的最大值为1

C.当x<2时，N随x的增大而增大D.当x>2时，歹随x的增大而增大

（25-26九年级上•浙江金华・期中）

4.对于^=「？-2丫+1,下列说法正确的是（）

A.开口向上B.对称轴为工=-1

C.当时，y随X增大而减小D.顶点坐标为（-1,-2）

（25-26九年级上•浙江•阶段练习）

5.关于二次函数>-3.一一6的图象，下列说法错误的是（）

A.开口向上

B.与坐标轴有三个交点

C.当x>-6时，y随丫的增大而增大

试卷第2页，共10页

D.当x=0时，y有最小值—6

（25-26八年级匕安徽淮南•阶段练习）

6.已知二次函数》=--以-1（6>1）,则下列说法错误的是（）

A.该二次函数的图象与x轴有交点

B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴

C.若点（〃?,〃）在该二次函数的图象上，则〃之-1

D.若点（一3,必），（2,幻都在y二V一队7的图象上，则乂

题型二利用二次函数的性质比较大小

G方4二次函数的增减性

函数y=ax2+bx+c(«>0)y=ax2+bx+c(a<0)

当时，y随x的增大而减当x<-金时，y随x的增大而增

2a2a

增减性小：当》>-金时，J.随工的增大大；当x>-二时，歹随x的增大

2a2a

而增大:而减小;

（25-26九年级上•重庆•阶段练习）

7.已知力（-3,%），8（-2,必）是抛物线y=2（x-l『+l上的两点，则必,%的大小关系是必

力.（用“<”、"”或“二”填空）

（25-26九年级上•四川德阳•阶段练习）

8.已知点4（1,必），川2,为），。（6,必）在二次函数y=gx—3『—〃的图象上，则必，为，

%的大小关系是.

（25-26九年级上•青海西宁•阶段练习）

9.二次函数y=f-6x+c图象经过力（-1,凹）*（4,%）,以3,外）三点，则凹，为，为从小到大依

次排列为

（25-26九年级上•江苏苏州•阶段练习）

试卷第3页，共1（）页

10.已知点/（一2,乂），4（1,力），。（3,必）都在二次函数》="渭—2〃a+〃（加＞0）的图像上,

那么必，必，必的大小关系是（请用“V”连接）.

（25-26九年级上•陕西渭南•阶段练习）

11.己知点力（一4,乂），见—1,8）都在二次函数？=-妨2-43-3（根为常数，且小＞0）的

图象上，则乂，山的大小关系为.（用连接）

（25-26九年级上•江苏南京•阶段练习）

12.已知点力。,乂）,3（一%），。（3,乃），。（4,1+。）都在二次函数丁=0?+云+0（%

h,。为常数，且〃W0）的图象上，若乂＜%＜必，则。的取值范围是.

题型三根据二次函数的增减性求最值

G方注二次函数的最值

函数y=ax2+bx+c（。＞0）y=ax1+bx+c（。＜0）

当工=-3时，V有最小值当*=-£时，V有最大值

2a2a

最值

险心.无最大值：Aac-b1工且,任

-------.无最小值.

4a4a

（25-26九年级上•山东济宁•阶段练习）

13.函数y=当时，函数V的最小值是.

（25-26九年级上•浙江嘉兴•阶段练习）

14.二次函数y=-2/+2x+l,若0WxW2,则）’的取值范围是.

（25-26九年级上•湖北黄冈•阶段练习）

15.函数y=（x-a『-/-2在-iwxw2有最大值6,则实数。的值是.

（25-26九年级上•浙江•阶段练习）

16.已知函数），=，/+（*+l）x+l在34x44上有最大值8,则常数机的值为.

（25-26八年级上•北京•阶段练习）

试卷第4页，共10页

a

17.当〃Wx4a+2时，二次函数y=/+2at-3的最大值与最小值的差为:，则实数a的值

4

为.

(25-26九年级上•黑龙江•阶段练习)

18.已知二次函数y=〃*+2mx+l(mw0),当一2W2时，N有最小值T,则〃?的值

为.

题型四画二次函数y=ax2+bx+c的图象

G方注1.列表取值：先确定二次函数y=ar2+Ax+c(aH0),选取关于对称轴x=-4~

对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的)，值，形成坐标点列表.

2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从

小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象.图象是抛物线，。＞0开口向上，。＜0开口

向下.

(25-26九年级上•广东广州•阶段练习)

19.已知二次函数j，=-/+2x+2.

(1)画出这个二次函数的图象；

(2)根据表格图象可知，当-lvx＜2时，y的取值范围是

(25-26九年级上•广西南宁•阶段练习)

20.已知二次函数y=/-4x+3.

(1)列表如下，请按照从左往右依次填空:

X・..0一2一4•••

y・・・一0一10一・・・

试卷第5页，共1()页

(2)画出二次函数)=/-4x+3的图象;

止

，&・・,▲，•/J，&，/，*/，，・.

-5-4-3-2-10I2345x

…

4»Ii.；

,一3。

-4，

一5「

(3)当l<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.

(25-26九年级上•山东济宁•阶段练习)

21.已知二次函数了=-/+4工-3,与x轴交于4、4两点(力在8的左侧)，与y轴交于C

⑴画出函数的图像(不需要列表，但要在图中标出力、B、。、。)；

(2)当时，y都随x的增大而增大；

(3)当0<x<5时，直接写出函数y的取值范围；

(4)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，则点P的坐标

(25・26九年级上•山西大同•阶段练习)

22.已知二次函数y=-』+2x+2.

(1)请把下面的表格补充完整：

X•••-I0123•••

y=-/+2x+2•■•2-1•••

试卷第6页，共10页

2O

一

7：7

二

-27

（2）根据上表，在下图中画出这个二次函数的图象.

（3）根据图象回答问题：

①当x<l时，尸随x的增大而

②当0<x<3时，V的取值范围是

（25-26九年级上•山东滨州•阶段练习）

23.已知二次函数y=f+6x+5,按以下步骤画图并填空:

⑴将）,=V+6x+5的右边配方，得y=_,故抛物线的对称轴为直线二顶点坐标为」

⑵列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）:

X・・・-5-4-3-2-1,..

y・・・0•.•

（3）描点，连线；

由图象可知，对于二次函数y=f+6x+5,当时，，随x的增大而增大；当时，函

数有最_（填“大”或“小”）值,为

（25-26九年级上•重庆•阶段练习）

试卷第7页，共1（）页

24.二次函数y=*+2x+3的顶点为P.

X・・・-10123・・・

y••・0430•••

(I)补全表格，在所给的平面直角坐标系xQv中，画出它的图象;

(2)抛物线的顶点P的坐标是:

(3)当方时，)随工的增大而减小；

(4)当时，x的取值范围是.

题型五二次函数图象和性质的综合问题

G方注1.二次函数的开口方向、对称轴、顶点

函数y=ax'-\-bx+c(fl>0)y=ax2+bx+c("0)

图象的开口方向向上向上

直线工=一二

对称轴直线x二-二

2a2a

'b4ac-b2''b4ac-bz\

顶点坐标

2。,4a){2a'4a)

2.二次函数的增减性

函数y=ax~+bx+c(^>0)y=ax2+bx+c(a<0)

增减性当时，.，,的增大而减当时，，叱的增大而增

试卷第8页，共10页

疝当X>总时，，’随、的增大大;当x>W时，,随X的增大

而增大;而减小;

3.二次函数的最值

函数y=ax2+bx+c(。>0)y=ax2+bx+c(«<0)

当》=-，时，丁有最小值

当时，歹有最大值

2a2a

最值

£眩，无最大值；强二无最小值.

4a4a

(25-26九年级上•天津西青•阶段练习)

25.已知抛物线经过点火—2,-8).

(I)求此抛物线的函数解析式；

⑵判断点8(-1,-4)是否在此抛物线上；

(3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标.

(25-26九年级上•宁夏吴忠•期中)

26.已知二次函数y=2--4x-6.

(I)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

(2)当x取何值时.y随x的增大而增大？

(25-26九年级上•山东滨州•阶段练习)

27.已知函数”-(〃?+3)--7-2、+1(〃?为常数)是二次函数.

⑴求〃，的值：

(2)点(2,°)在此函数图象上,求a的值；

(3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标.

(25-26九年级上•河南周=1•阶段练习)

28.关于v的二次函数y=x2-2nix+m2+加+1.

(1)若〃?=1,二次函数图像的顶点坐标为；

(2)求出二次函数图像的顶点坐标(用含小的式子表示)，判断顶点是否在直线1上;

试卷第9页，共1()页

(3)在-IKXW2时二次函数的最大值与最小值的差等于15,求小的值.

(25-26九年级上•天津西肯•阶段练习)

29.已知抛物线)，二.炉+4丫-1.

(1)将上述抛物线化成y=“x-力『+左的形式为；

(2)该抛物线的开口向,对称轴是直线,顶点坐标是；

(3)当尤=时，函数有最(填“大域“小”)值为；

(4)该抛物线可由抛物线y=£先向左平移个单位长度，再向平移单位长

度得到.

(25-26九年级上•安徽•阶段练习)

30.已知抛物线y=.d—45x+c.

⑴若点(3,c)在抛物线上.

①求抛物线的对称轴；

②当14XW4时，y的最大值为6,求抛物线的函数表达式；

⑵当owxvi时，y=--4i+c(o<8<i)最大值与最小值的差为;，求方的值.

试卷第10页，共10页

1.c

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数的性质解答.根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说

法是否正确

【详解】解:依题意，^=3X2-12X+I3=3（X2-4X+4）+1=3（X-2）2+1,

va=3,

二该函数图象开口向上，故选项A不符合题意；

当x=2时，函数的最小值为1,故选项B不符合题意；

函数图象的对称轴为直线x=2,故选项C符合题意；

当x<2时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意；

故选：C.

2.C

【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键

由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得

出答案.

【详解】解：抛物线尸-2（》-1『+3中，

A.因为-2<0,所以抛物线开口向下，故A不符合题意；

B.由题意知：抛物线的对称轴为直线x=l,故B不符合题意；

C.由题意知：抛物线的顶点坐标是（1，3）,故C符合题意；

D.x>l时，y随x增大而减小，故D不符合题意；

故选：C.

3.D

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数y=a（x-〃『+%（4工0）的顶点坐标

为（九k）,对称轴为直线x=/i,当。>0时，二次函数有最小值3在对称轴右边V随x增

大而增大，在对称轴左边.歹随x增大而减小；当avO时，二次函数有最大值A,在对称轴

右边y随工增大而减小，在对称轴左边，卜随戈增大而增大.根据二次函数解析式得出二次

函数的开口方向，对称轴和顶点坐标即可得到答案.

【详解】解；•.•二次函数解析式为y=2026（x2）2I1,

答案第1页，共24页

・•・二次函数开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1),

，函数最小值为1，当x>2时，y随x的增大而增大，当工<2时，y随x的增大而减小.

故选：D.

4.B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.

先将原函数化为顶点式，再由函数y=a(x+〃?)2+R的图象与性质判断即可.

【详解】解：^=-x2-2x+l=-(x+l)2+2,

•••对称轴为直线x=-l,顶点坐标为(-1,2),故B正确，符合题意；D不正确，不符合题意;

V6t=-1<0,

.••开口向下，故A不正确，不符合题意；

•••对称轴为直线x=-l,

••・当时，y随％增大而增大，故c不正确，不符合题意，

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了二次函数图象的性质.根据？=/，+%的图象与性质，逐项分析判断即

可即可求解.

【详解】解：二次函数7=3工2一6中，a=3>0,

函数图象开口向上，对称轴为直线x=O,

当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随入•的增大而增大，

当x=0时，y有最小值-6,

由于开口向上，且y有最小值-6,所以抛物线与坐标轴有三个交点，

当-6<x<0时，y随x的增大而减小，故该选项说法错误。

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象

与性质，由4*判断A,由对称轴公式判断B,根据抛物线上点的坐标特征判断C、D.

【详解】解：A、令9=0,则f一87=0,

•••△=(b)24x1x(1)=Z>2I4>0,

答案第2页，共24页

・••图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意；

B、•••抛物线的对称轴=且8>1，

.•.x=1>0,故B正确，不符合题意；

C、・・,点（皿〃）在J-历-1的图象上,

•*-n=nr—bm-1,

若=1,则〃=一方，

•••一b<7,故C不正确，符合题意；

D、•••点（一3,乂）、（2,乃）都在y=/一以_］的图象上，b>l,

...M=9+38-1=8+38,y2=4-26-1=3-2/?,

•••8+3b-（3-2b）=5+5b>0,

二%>为，故D正确，不符合题意.

故选：C.

7.>

【分析［本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数

解析式是解题的关键.将力（-3,乂），〃（-2,乃）两点代入抛物线求出必和为，即可得解.

【详解】解：.「4（—3,必），4（—2,8）是抛物线歹=2（彳-1）2+1上的两点，

22

.-.y,=2x（-3-l）+1=33,y2=2x（-2-l）+1=19,

乂>%，

故答案为：>.

8.乃>必>为

【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可.

【详解】解：—3）2—4,

工抛物线的开口向上，对称轴为直线X=3,

••・抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

答案第3页，共24页

•.•点力（1,必），8（2/2）,。（6,%）在二次函数歹弓（.13）2-〃的图象上,且|6-3|＞卜3＞|2-3|,

•••必＞%＞必；

故答案为：%＞乂＞为

9.y3＜y2＜y\

【分析】本题考查了二次的数图象上点的坐标特点.

根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3,图象开口向上，有最小值；根据二次函数四象

的对称性可判断为＜必；于是必＜为＜乂.

【详解】解：,••二次函数y=/-61+c中a=I＞0,

抛物线开口向上，有最小值.

----------—=3,

2a

二以3,乃）是顶点，以最小，

二必＜必，

二为＜y2V必・

故答案为：必＜必＜必.

10.为Vy3VM

【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质.先求出对称轴，利用对称性求出。（3,%）的

对称点为乃），再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，

即可得出结论.

【详解】解：对称轴

2m

・•.C（3,外）的对称点为C'（・l,乃），

vm＞0,

二二次函数的图象开口向上，

•••当时，产随.丫的增大而减小，

答案第4页，共24页

•••必＜为＜乂，

故答案为：歹2＜为〈必.

H.乂＜必

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是运用数形结合思想，掌握二次函

数的图象和性质.先求出对称轴和开口方向，根据抛物线开口向下时\离对称轴越近，函数

值越大求解即可.

【详解】解：:二次函数y=-〃Y-4〃?x-3,

・••对称轴为直线X=-T=-2,

-2m

,：w＞0,

—m＜0,

••・抛物线的开口向下，

v|-4-(-2)|=2,|-I-(-2)|=l,

•••乂＜乃，

故答案为：y＜为.

12.。＜-4或。＞4

【分析】本题考查了二次函数的图象及性质.由题意得弘=。+6+。，y2=4a+2h+ct

[h＞-3a

%=9a+3b+c,/+。=16。+4〃+。，再根据必＜必＜必，求出3，然后分和。＜0

b＞-c5a

两种情况讨论即可求解.

【详解】解：,•,二次函数『=♦+bx+c过点力(1,%)，8(2,为)，C(3,为)，。(4,/+)

2

.-.y}=a+b+c,y2=4a+2b+c,y3=9a+3h+cta+c=\6a+4b+c,

•••a2=\6a+4b?即有6=--＞

4

"。2＜%，

答案第5页，共24页

.\a+h+c<4a+2b+c<9a+3b+c,

ib>-3a

b>-5a'

当”>0时，b>-3a,

..“Faya,解得：”4,

4

当a<OH寸，b>-5a,

2，/

〃“一164LAT.ZLJ4

------->-5a,解得：a<-4,

4

综上可知：。的取值范围走。<-4或。>4,

故答案为：。<-4或。>4.

13.-5

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与

性质是解题关键.先分别求出x=（）、x=-i和x=2时，y的值，再求出当-iWxWo时，

随X的增大而增大；当O<XW2时，y随X的增大而减小，则当》=2时，函数丁的值最小,

由此即可得.

【详解】解：将x=o代入函数y=rJi得：尸一1,

将工=一1代入函数y=-f-1得：y=-（一-1=-2,

2

将x=2代入函数了=一/一1得：y=-2-l=-5,

•••二次函数y=J*_1的图象的开口向下，对称轴为直线x=o,

.•.在—l«xW2内，当-IWXWO时，V随x的增大而增大；当0<xW2时，V随x的增大而减

小，

.•.当>2时，函数y的值最小，最小值为-5,

故答案为：-5.

3

14.-3<y<-

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据y=-2/+21+1,得开口方向向下，对称轴

为直线x=；,越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大,再把x=:代入y=-2/+2.r+1,

得出y=因为0—；=4<2-；=:,再把x=2代入p=—2/+2x+l,得出尸=一3.即

答案第6页，共24页

可作答.

【详解】解：,.,y=-2x」+2x+l,

21

二开口方向向下，对称轴为直线Xn一订可=5，

1/1\21,!

，把代入y=-2.d+2x+l,得y=-2x-+2x-+l=-,越靠近对称轴的自变量所对

应的函数值越大

vO-l=l<

22

•••把x=2代入y=-2x2+2x+l,^y=-2x22+2x2+1=-3：

・•・在04xW2,则N的取值范围是-3"1,

故答案为：-3<y<|

7

15.—1或1

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称粘远近

确定最值点是解题关键.

由二次函数解析式可知：帼物线的对称轴为x=。，再分(-1)|引。-2|和M-(-1)»心2|

两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得.

【详解】解：因为二次函数夕=(、-。)2-/-2,

二抛物线开口向匕对称轴为工=-半=〃，离抛物线的对称轴越远函数值越大,

(1)当卜一(一1)同”2|时，即时，

则当x=2时，，y取得最大值，最大值为y=(2-4)2-/_2=2-4”，

因此有2-4«=6,解得4=T,符合题设；

(2)当时，

则当工=一1时，y取得最大值,最大值为卜=(一1一。『一/一2=2。-1,

7

因此有2〃-1=6,解得。=5，符合题设；

7

综上，。=-1或。=弓，

乙

答案第7页，共24页

7

故答案为：-1或

16.1##0.125

【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，掌握分类讨论思想是

解题的关键.根据二次函数的性质对进行分类讨论即可解答.

【详解】解：（1）当=o时，函数为y=x+i,

在34xW4上，其最大值为歹=4+1=5=8,不符合题意；

（2）当加工0时，y=mx24-（2m+l）x+l,

二对称轴为：x=-=-1---，

2rn2m

①当〃?>0时，对称轴x=-^=—1—-~<一1,

.•.在3vx44上，y随x的增大而增大，

...当x=4时，函数有最大值8,

.•.mx42+4（2w+l）+l=8,解得/»=］；

（2）当〃?<0时，对称轴x---=—1———>—1»

2ni2m

a.当对称轴一1<一1--!-43时，一1<〃?《一］,

2m8

.•.在3«xK4上，y随x的增大而减小，

・•・当x=3时，函数有最大值8,

2

.­.Wx3+3（2w+l）+l=8,解得小=尚（不符合题意）；

b.当对称轴3<一1一二《4时，

2m810

...当x=-孚1,函数有最大值8,

2m

‘川（一""+1++1+1=8,即4m°+32m+1=0,

（Im）\2m）

解得〃?=—“36（不符合题意）；

2

c.当对称轴时，小〉一-

.•.在34x44上，y随x的增大而增大，

...当x=4时，函数有最大值8,

答案第8页，共24页

.­.wx42+4(2,n+l)+l=8,解得〃7=：(符合题意);

O

综上，〃，的值为］

O

故答案为：:.

X

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.

先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为-。工。，2和。+24-。三

种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断.

【详解】解：y=/+2ox-3=(%+a)?-q2-3,

.•・二次函数对称轴为：直线工=-"，

・•・在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称地左侧，y的值随着x的值增大而减

小；

①当一aKa时，即。20,则最小值为》=42+2/-3=文/一3,最大值为

j，=(a+2『+2a(a+2)-3=3/+8a+l,

O

•.•函数)，=/+2亦-3的最大值与最小值的差为;，

.•.3/+8Q+1-(3/-3)=不

7

解得。=-彳(舍)，

②当+2时，即一iWaWO,

则最小值y=-〃2-3,最大值y=1/+2)~+2a(〃+2)-3=3q2+8〃+1,

9

♦.•函数^=n+%丫-3的最大值与最小值的差为；.

.•.3/+84+1-"-3)=2,

'74

71

解得。二-二(舍)或"-二，

44

-l<a<p则最小值丁=-/-3,最大值y=/+2/-3=3/-3,

O

■:函数y=/+2ax-3的最大值与最小值的差为，

答案第9页，共24页

1

3a_3-(-Q2—3)=—,

解得或4=1(舍)，

44

③当。+2£-。时，即aKT,则最大值为旷=/+2/-3=3/-3,最小值为

y=(〃+2)~+2“4+2)-3=3/+8〃+1,

•.■函数/=/+2以-3的最大值与最小值的差为看，

:.3a"-3-(3白~+8q+1j,

25

解得"-石(舍)，

31

综上所述，a=-;或"-:，

44

故答案为：或-：.

44

18.5或-:

O

【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分情况讨论〃，的正负，根据二次函数

的单调性求出最小值.

先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分〃?>()和〃?<0两种情况，根据二次函数的单调

性，结合给定的x的取值范围，求出y的最小值，进而得到加的值.

1

【详解】解：将二次函数y=〃滔+2〃a+1化为顶点式：y=m(x+\)+\-mt所以其对称轴

为直线x=-l.

机〉0时，二次函数图象开口向上，在对称轴、=-1处取得最小值，

已知当-24x42时，N有最小值-4,所以1-，〃=-4,解得〃?=5,

当〃?<0时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧尸随x的增大而增大，在对称轴右侧N

随》的增大而减小.

所以在-24x42这个区间内，x=2时，V取得最小值.

把x=2代入函数y=2mx+1中，可得»=4〃?+4〃?-1=8加+1.

因为y的最小值为-4,所以8〃?+1=-4,解得小=-£.

O

综上，〃，的值为5或

O

故答案为：5或-。.

0

答案第10页，共24页

19.⑴见解析

⑵-1<”3

【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，掌握相关知识点即可;

(1)列表、描点、连线即可作图；

(2)由图象可知：当-l<x<2时，函数在顶点处取得最大值3,在x=-l时取得最小值

-1;即可求解：

【详解】(1)解：列表：

X0123

y-i232-1

(2)解：由图象可知：当-l<x<2时，函数在顶点处取得最大值3,在x=-l时取得最小

值-1;

.•少的取值范围是T<，43.

故答案为：

20.⑴见解析

(2)见解析

(3)-1<^<3

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键.

(1)根据函数解析式求出相应的函数值或自变量的值即可；

(2)运用描点法即可画出函数图象；

(3)根据函数图象即可解答.

【详解】(I)解：当4=0时,y=3；

当y-。时，x3-4.r+3=0,解得七一1,“2—3；

答案第11页，共24页

2

当x=4时，y=4-4x4+3=3；

・•.填表如下：

X•••0234•••

1

y・..30-103•・•

(2)解：描点并连线，函数图象为:

(3)解：由图象可得，当1<工<4时，-1<^<3.

21.(1)见解析

(2)x<2

(3)-8<J/<1

(4)(2,-1)

【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称轴、与坐标轴

交点的性质是解题的关键.

(1)令y=o,得出关于X的一元二次方程，即可得出点力，8的坐标，再令x=0,得出点

C坐标，根据顶点公式得出点。坐标，再描点作图即可：

(2)根据二次函数的图象得出答案即可；

(3)由函数解析式可知，当x=2时，函数有最大值，此时y=l,当x=0时，y=-3,当x=5

时，y=-52+4x5-3=-8,再结合函数图象即可求解；

(4)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=2,点/与点关于直线x=2对称，得

答案第12页，共24页

PA=PB,则P/+PC=FC+PB,由两点之间线段最短可知，连接8c交直线x=2于点P,

此时P8+PC最小，即P/1+PC最小，再求得直线8c的解析式为y=x-3,代入横坐标即

可求解.

【详解】（1）解：当尸0时，_/+4》一3=0,得再=1,9=3,即4（1,0）,5（3,0）,

当x=0时，y=-3,即C（0,—3）,

二次函数》=--+4%一3=-（》-2）2+1,即顶点。（2,1）,

画出函数图象，如图所示，

（2）由图象可知，当x<2时，V都随工的增大而增大；

故答案为：x<2：

（3）二次函数y=3+4工-3=-（工-2）2+1,

当x=2时，函数有最大值，此时y=i,

当x=0时，y=-3,当工=5时，+4x5—3=—8,

当0<x<5时，函数V的取值范围为-8<”1,

故答案为：

（4）二次函数尸*+以-3=-（工-2『+1,

则抛物线的对称轴为直线人=2,点/与点3关丁直线人=2对称，

PA=PB,则尸力+PC=PC+P8,

由两点之间线段最短可知，连接8C交直线工=2于点尸，此时P8+PC最小，即21+PC最

小，

设直线6c的解析式为y=h+b,代入5（3,0）,C（0,-3）,

答案第13页，共24页

3出+方=()k=\

得八,，解得：

b=-3b=—3’

•••直线〃。的解析式为V=x-3,

当。=2时,歹=7,此时点尸的坐标为(2,-1),

故答案为：(2,-1).

22.⑴见解析

(2)见解析

(3)①增大；②-1</3

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数图象，正确而出函数图象是解题的

关键.

(1)分别求出当x=-l,x=\,x=2时对应V的值，即可补全表格；

(2)利用描点法画出二次函数图象即可；

(3)①观察二次函数的图象即可解答；②观察二次函数的图象即可解答.

【详解】(1)解：当工=-1时，y=-(-l)2+2x(-l)+2=-l；

当x=l时，j=-l2+2xl+2=3；

当x=2时，）,=-22+2x2+2=2；

补仝表格如下：

X・.,-10123•••

2

y=-x+2.v+2•・・-1232-1•・•

答案第14页，共24页

(3)解:①观察图象可知，当x＜i时，y随x的增大而增大；

故答案为：增大：

②观察图象可知，当0。＜3时，y的取值范围是-1＜贮3

故答案为：

23.(1)(X+3)2-4,X=-3,(-3,-4)

(2)见解析

(3)图见解析，＞一3,-3,小，-4

【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

(1)先化为顶点式，再利用二次函数的性质可得结论；

(2)将对应的x值代入函数表达式中求函数值，进而可完成表格：

(3)描点、连线可得函数图象，再根据函数图象可得相关结论.

2

【详解】(1)解：y=x+6X+5=(X+3)2-4,

则该抛物线的对称轴为直线

x=-3,顶点坐标为(-3,-4),

故答案为：(x+3『-4,x=-3,(-3,-4)；

(2)解：因为抛物线的对称轴为直线x=-3,

.•.当x=-5和4=-1时，y=0；

当x=-4和x=-2时，丁=一3,

当工=-3时，y=-4,

完成表格如下：

X•••-5-4-3-2-1・・・

y•••0-3-4-30•••

(3)解：函数图象如图所示:

答案第15页，共24页

由图象可知，对于二次函数y=/+6x+5,当x>-3时，V随x的增大而增大；当x=-3时,

函数有最小值，为-4,

故答案为：>-3♦—3,小，-4

24.⑴见解析

⑵。,4）

（3）之1

（4）-iWxWO或24xW3

【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量

范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、

对称轴）及数形结合思想的应用.

<i）补全表格需将x-o代入函数表达式求y值；画图需先确定顶点、与小标轴交点等关键

点，再用平滑曲线连接.

（2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解.

（3）先判断抛物线开口方向（由。的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性

区间.

（4）先求出尸=0和y=3对应的自变量x的值，再结合函数图像确定满足的x取值

范围.

【详解】（1）解：补全表格：将x=O代入y=+2x+3,得y=-0?+2x0+3=3,故表格

中x=O对应的歹值为3：

X・・・-10123

y・・・03430••・

答案第16页，共24页

画图步骤：先确定关键点(顶点(1,4)、与x轴交点和(3,0)、与V轴交点(0,3)及

(23),再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像.

(2)解：用配方法变形函数表达式：

y=—x"+2x+3="(x"—2x)+3=—(x2—2x+1—I)+3=—(A-1)"+4,

二次函数顶点式y=十R的顶点为(〃/)，故顶点F的坐标为OX),

故答案为：(L4).

(3)解：由"*+2x+3可知。=-1<0,抛物线开口向下；

由顶点式可知对称轴为直线x=l,开口向下时，对称轴右侧V随x的增大而减小，即1之1,

故答案为：>1.

(4)解：当y=0时，一x：+2x+3=0,解得玉二-1,X2=3；

当尸=3时，—X2+2x+3=3»化简得x*—2x=0,解得*=。，々=2；

结合抛物线图像(开口向下，顶点。，4)),可知当04y43时，x的取值范围是-iWxWO

«K2<x<3,

故答案为：-IWXWO或2KxK3.

25.⑴y=-2x,

(2)点8不在此抛物线中：

(3)(3,-18)或(一3,-18)

【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的

性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大.

⑴把点力(-2,-8)代入抛物线中求得。的值，即可求得此抛物线的解析式；

答案第17页，共24页

(2)把x=-l代入此