2025-2026学年广州荔湾区八年级上学期数学期末试题及答案

广东省广州市荔湾区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥

瑞的载体和象征.下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（）

2.为估计池塘两岸4、8间的距离，如图,小明在池塘一侧选取了一点O,测得=10m,OB=6m,

A.4mB.15mC.16mD.20m

3.若分式由有意义，则x满足的条件是（）

A.xW1B.x=0C.%*0D.x=1

4.将因式分解，应提的公因式是（）

A.x—3yB.x—yC.mD.3m

5.计算4a2.（一。3）的结果是（）

A.一4asB.4a6C.4a5D.-4a6

6.下列分式中，最简分式是（）

27yl-2x

A./B./+/J21xD.2x-l

7.计算。+1）。-5）-/的结果是（）

A.4x+5B.-4x—5C.-4x+5D.x2+4x-5

8.已知％m=3,/=5,则“2m+n的值为（）

A.11B.14C.45D.30

9.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△。力8与△OCC都是等腰三

角形,且它们关于直线1对称,点E,尸分别是底功力&CO的中点.OELOF.下列推断错误的是（）

A.OBLODB.LBOC=Z.AOB

C.OE=OFD.LBOC+Z.AOD=180°

1().如图，在△ABC中，Z.ACB=90°,AC=BC,AB=6,是28力。的角平分线，过点8作||AC,且

BF=CE,连接CF分别交力E,ABTD,G两点，点P,Q分别是线段40和线段4G上的两个动点，连接PG,

PQ,则下列结论：①AE_LCF；②乙F=3乙BCF；③CE+4C=4B；④PG+PQ的最小值为3.其中正确

的个数是().

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

11.清代袁枚的一首诗苔中的诗句‘的日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开“若苔花的花粉直

径约为米0.0000084,则数据0.0000084用科学记数法表示为.

12,分解因式：a?+2。+1=.

.t\.r>tx.a2-9a+3

13.化筒：+=.

14.如图，在三角形纸片ABC中，AB=16,8c=12,AC=10,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C

落在AB边上的点E处，折痕为8。，则△AED的周长为.

C

15.如图，△/8C的两个外角平分线AP和CP相交于点P,连接BP,若乙84。=80。，则NBPC二

初中

D

16.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规

律如图所示：在第一行中间写下数字1;在第二行写下两个1,和第一行的1形成三角形；随后的每一行,

第一个位置和最后一个位置的数都是1,其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之用.若从杨辉

三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作…,Qn，由图可知%=l,a2

=3/3=6厂，则。4=—,、+,+*+…+'=一'

杨辉三角

I

1I

120

13叵］1

14区|41

三、解答题

17.分解因式：

(1)4。2一匕2；

(2)2。2-12。+18.

18.如图，点、E,b在3。上，BE=CF,Z.A=zD,乙B=KC,求证：AB=DC.

BEC

初中

19.先化简，再求值：(1+含)-念，从一2、2、3、4中选择一个合适的数作为％的值求解.

20.如图，在△ABC中，4c=90。，LA=30°.

(1)尺规作图：请作出线段力B的垂直平分线，分别交边力C,ABq点、D,点、E(保留作图痕迹):

(2)若CO=3,求力C的长.

21.“以形样数”是利用数形结合思想证明仅数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法

获我结论，在解决整式运算问题时经常运用.

例1：如图1,可得等式:a(Jb4-c)=ab+ac；

例2：由图2,可得等式：(a+2b)(a+h)=a2+3ab+2b2.

初中

图1图2图3

(1)如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为Q+8+c的正方形.从中你发现的结论

用等式表示为.

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b++=36.求Qb+bc+ac

的值.

22.乡村振兴，交通先行.近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设

施.某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是

原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米.

23.如图，在△ABC与中，AB=AD,AC=AE,^EAC=^DAB=70°,过点A作AFIDE,垂

足为F,AE交BC于点、0,延长C8交于点G,连接AG.

初中

D.A

(1)0求证：△ABCwZiMOE；②求aGE的度数；

(2漪想线段GF,OF,BG之间的数量关系，并说明理由.

24.某小区有一块休闲空地，其形状为直角△A8C,乙C=90。，力C=3米，8c=4米，AB=5米.社区

计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案.已知白色篱笆每米20元，金色篱笆

每米30元.

图1图2

(1)先测算空地的基础数据，点C到88的距离为米；

(2)方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1,分别在BC,4。边上取点E,F,围成△£1/(,使

得的面积为2平方米，且CE边用白色篱笆，。尸边用金色篱笆，E尸边不用篱笆，求该方案所需篱笆

费用的最小值；

参考公式：对任意正实数a,b,有下列式子成立：Va-VK=Vab：a+b\(当且仅当a=b时取等

号).

(3)方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2,分别在力8,BC,AC边上取点。，E,F,围成

△DE凡各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用W(元)的范围.

初中

25.在平面直角坐标系中，点力(2,0),。(2,0),6(0,—2仃)，且46=/4C.

图2

⑴求/0A8的度数:

(2)如图1,点。为BA延长线上一点，AD=AB,E为%轴负半轴上一点，F为线段DE上一点，连接CF交49

于点G,LEFC=120°,求4蜂F—於4/7的值;

(3)如图2,R(-6,0),WRB=30°,点P为线段8R上一动点，以4P为边作等腰△力PQ,PA=PQ,且

LAPQ=120°,连接4Q,求△力BQ的面积.

初中

《广东省广州市荔湾区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷》参考答案

题号12345678910

答案CBACABBCBD

1.C

【难度】0.94

【知识点】轴对称图形的识别

【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折置，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，逐一判断即可得到答案，熟知轴对称

图形的关键是寻找对称轴，图形在宜线两旁的部分折叠后可重合是解题的关键.

【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；

D.图形不是轴对称图形，故木送项不符合题意$

故选：C.

2.B

【难度】0.85

【知识点】确定第三边的取值范围

【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到

4<AB<16,即可求解.

【详解】解：在△ORB中，•••04=10m,OB=6m,

4<AB<16.

故选：B.

3.A

【难度】0.85

【知识点】分式有意义的条件

【分析】直接利用分式有意义的条件得出：工-1,0,解出答案.

【详解】解：•••分式喜有意义，

•■X-1黄0,

解得：XH1.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键.

初中

4.C

【难度】0.85

【知识点】公因式

【分析】本题考查了因式分解.通过观察多项式的各项，找出公因式，即各项都含有的因子.

【详解】解：,•,加》一3my的两项僧工和一3rny都含有因子加，且系数1和3的最大公因数为I,

二公因式为m.

故选：C.

5.A

【难度】0.85

【知识点】计算单项式乘单项式

【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数辕相乘，指数相加即可

求解，熟练掌握运算法则是解题的关键.

232+35

【详解】解：4az.(_/)=4x(-1)xaxa=-4xa=-4a,

故选：A.

6.B

【难度】0.85

【知识点】最简分式

【分析】本题考杳最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式.通过检查每个选项的分子和分

母是否有公因式或可约分判断即可.

【详解】解：A、空=迎抖=?，不是最简分式，不符合题意；

X2xzx

B、吊，是最简分式，符合题意；

入十y

C、祟二M，不是最简分式，不符合题意；

D、片=4三，=一1，不是最简分式，不符合题意；

/X-1乙X—1

故选B.

7.B

【难度】0.94

【知识点】计算多项式乘多项式

【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可.

【详解】解：原式=%2_4%—5--=一4工一5：

故选B

初中

8.C

【难度】0.85

【知识点】同底数累乘法的逆用、哥的乘方的逆用

【分析】首先根据同底数寻乘法利哥的乘方，将所求式子进行转化形式，然后代入即可得解.

【详解】解：由己知，得：

x2m+n=x2m-xn=(”)2.”=32x5=45,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查同底数辕的运算和辕的乘方运算，熟练掌握同底数暴乘法和塞的乘方运算法则，是

解题的关键.

9.B

【难度】0.65

【知识点】根据三线合一证明、根据成轴对称图形的特征进行求解

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.力对称的性质得“OB=4OC,由等腰三角形的性质得乙B0E=34AOB,LDOF=^DOC,即可判断:

B/BOC不一定等于〃OB,即可判断；

C.由对称的性质得△0力8三△ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GM1.OH,可得乙GOD=CBOH,由对称性质得280口=同理可证4AOM=NBOH,即可

判断;

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.vOELOF,

(BOE+Z-BOF=90°,

由对称得〃OB=乙DOC,

•••点E，?分别是底边AB,CD的口点，△04B与△ODC都是等提三角形，

ALBOE=^AOB,LDOF=*KDOC,

.•.乙BOF+4。。尸=90°,

：.0B工OD,结论正确，故不符合题意；

BZ80C不一定等于乙4。氏结论错误，故符合题意；

C.由对称得△OAB^△ODC,

,:点E,尸分别是底边4B,CO的中点,

•••0E=OF,结论止确，故不符合题意；

初中

过。作GM_L。从

LGOD+乙DOH=90°,

•：乙BOH+乙DOH=90°,

乙GOD=乙BOH,由对称得480"=Z.COH,

LGOD=乙COH,

同理可证乙40M=乙BOH,

:.乙AOD+乙BOC=Z.AOD+LAOM+LDOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选:B.

10.D

【难度】0.4

【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合(SAS)、斜边的

中线等于斜边的一半

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证

明三角形全等是解题的关键.

①根据条件证明△BCF=△CAE,利用互余的角即可得出结论；

②根据等边对等角，求出乙。48的度数，角平分线求出NC4E的度数，进而求出乙4EC的度数，全等三角形

的性质，得到乙BC尸的度数，4F的度数，即可得出结论；

③由②推出，BG=BF,AC=AG,再利用等量代换即可得出结论；

④连接P&CQ,过点C作CH_LA8于点H,三线合一结合中垂线的性质，以及垂线段最短进行求解即可.

【详解】解：①•.•BFIIAC,

:.乙CBF=180f"B=90°,

••/.ACE=Z.CBF,

又•:BF=CE,AC=BC,

•••△8"三△G4E(SAS),

­-Z.BCF=Z.CAE,

•:乙BCF+乙ACD=90°,

.-.zCZE+^.ACD=90°,

••.AEJ.CF,故①正确，符合题意；

@-^ACB=90°,AC=BC,

：.Z.CAB=/.ABC=45°,

•••4E平分N8/1C,

：.Z.CAE=Z.GAE=22.5°,

-.Z.AEC=90°—4CAE=67.5,

由①得△86三△CAE,

：.LAEC=ZF=67.5ZBCF=Z-CAE=22.5°,

•••22.5。x3=67.5°,

.-.ZF=3Z5CF：故②止确，符合题意；

®-BF||AC,

：.Z.ABF=ABAC=45°,

:.乙BGF=180°—4AB尸一=67.5°,

，乙BGF=乙F,

••BG=BF,

-CE=BF,

"-BG=CE,

-Z.AGC=乙BGF=67.5°,NC4G=45°,

：.z.ACG=67.5°=AAGC,

•■AC=AG,

­.CE+AC=BG+AG=AB；故③正确，符合题意;

④如图，连接P&CQ,过点C作CH1/IB于点”，

BF

..(?//=|/4Z?=3,

初中

-MC=AG,AE1CF,

垂直平分线段CG,

:.PC=PG,

：.PG4-PQ=PC+PQ>CQ,

・•,Q点是线段4G上的动点，

•••CQ>CH=3,

:.PG十PQN3,

.•.PG+PQ的最小值为3.故④正确，符合题意；

综上，正确选项为：①②③④，

故选：D.

11.8.4x10-6

【难度】0.94

【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为QX10〃的形式，其中14同<10,〃为

整数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同,

当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数：由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：0.0000084=8.4xl0~6,

故答案为：8.4x10-6.

12.(a+1)2/(14-a)2

【难度】0.85

【知识点】完全平方公式分解因式；

【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可.

22

【详解】解：a+2a+l=(a+l),

故答案为：(a+1)2.

13.

a

【难度】0.85

【知识点】分式除法

【分析】本题考查分式的除法，掌握分式的运算法则是关键，杈据分式的除法法则进行计算即可.

【详解】解:原式=(a-3)(a+3)a

a-3a+3

故答案为：a.

14.14

【难度】0.85

【知识点】折叠问题

【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠的性质，得到CO==8C,线段的和差关系求出4E的长,

再根据三角形的周长公式结合等量代换，进行计算即可.

【详解】解：•.•折叠，

:.CD=DE,BE=BC=12,

•••HE=AB-BE=16-12=4,

•••△力OE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=4+10=14；

故答案为：14.

15.40。/40度

【难度】0.65

【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外向的定义及性质

【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，根据题意得U"PCE=XACE=T

(乙4BC+NB4C),z_PBC=\z-ABC,进而根据三角形的外角的性质得出zBPC="CE—zPBC,即可求

解,.

【详解】解：•••△4BC的两个外角平分线4P和CP相交于点P,

"PCE=\LACE=^ABC十Z.BAC),乙PBC=

:ZBPC=乙PCE一乙PBC

11

=-(/.ABC+LBAQ--乙ABC

乙乙

1

=-^BAC

乙

=40°

故答案为:40。.

16.10含

【难度】0.65

【知识点】异分母分式加减法、数字类规律探索

【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知，每行第3个位置的数依次是从1开始的连续的整数的和,

进而得到第n个数为攻罗，得到+=而徐，利用裂项相消法求和即可.

【详解】解：=l,a2=3=1+2,。3=6=14-2+3,…

初中

n(n4-l)

a4=14-2+3+4=10,an=1+24-3H---1-n=-~

2=2(:/，

n(n+l)

+—+—+…+—

1111

=2+孑一1+…+-一

34nn+1

=2

-n+l'

故答案为：10,含.

17.(l)(2a+b)(2a-b)

(2)2(a-3)2

【难度】0.85

【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式

【分析】本题考杳因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键：

(I)利用平方差公式法进行因式分解即可；

(2)先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可.

【详解】⑴解:原式=(2a+b)(2a-b)；

(2)解：原式=2(。2—6a+9)=2(。-3)2.

18.见解析

【难度】0.85

【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.利用全等三角形的判定定理AAS证得a/IB尸三△DCE；然

后由全等三角形的对应边相等证得A8=CD.

【详解】证明:•:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即8尸=CE：

在△48F和△DCE中，

乙4=乙D

Z.B=Z.C

BF=CE'

•••△A8F三△DCE(AAS),

'-AB=CD(全等三角形的对应边相等).

初中

19.士，1.

【难度】0.65

【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值

【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选入

的数，再代入求值即可，熟练掌握分式运算法则，分式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解・：(1+展)+会

》一3+5(%+2)(x-2)

x-3x—2

x+2x—2

—%—3(x+2)(%—2)

vx-3*0且，-4*0,

'.X丰3且xW±2.

•••当x=4时，

原式=737=L

20.⑴见解析

(2)AC=9

【难度】0.65

【知识点】线段垂直平分线的性质、作己知线段的垂直平分线、含30度角的直角三角形

【分析】本题考查垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性

质是解题的关键，

(I)根据垂直平分线的作图步骤作图即可；

(2)根据垂直平分线的性质得到4。=8。，再利用直角三角形的性质得到BO=2CD,从而得到力。的长.

【详解】(1)解：线段A8的垂直平分线，如图所示：

(2)解：连接BD,如图:

初中

"E是48的垂直平分线，

•■AD=BD,

：.Z.DBA=Z.A=30°,

-Z.CBA=90°-Z/l=90°-30°=60°,

WBD=^CBA-^.DBA=30°,

•:CD=3,

:.BD=2CD=6,

•-AD=BD=6»

：.AC=AD+CD=9.

21.(1)(Q+b+c)2=d++c2+2ab+lac+2bc

(2)32

【难度】0.85

【知识点】多项式乘多项式与图形面积

【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值；

(I)由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面枳，二者相等，即可求解.；

(2)将值代入(1)中的等式计算即可求解.

【详解】(1)解：由图得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab4-lac+2bc\

故答案：(Q+b+c)?=Q2+非+c2+2ab+lac+2bc；

(2)解：va+b+c=10,a2+b2+c2=36,

:.102=364-lab+2ac+2bc,

解得：ab+be+ac=32.

22.200米

【难度】0.85

【知识点】分式方程的工程问题

【分析】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意列出分式方程,

解方程即可求解.

【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，

初中

根据题意得：手+笑言=15,

解得：x=200,

经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意.

答：原来每天修建道路200米.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

23.⑴①见解析;②70。

(2)GF=DF+BG,理由见解析

【难度】0.65

【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：

(1)①SAS证明△A8C三即可；②全等三角形的性质，得到乙£二乙。，对顶角相等得到

Z.AOC=Z.EOG,进而得至Ij/CGE=4O1E即可；

(2)作证明△八。尸三得到0F=8H,再证明△/1FG三△4HG,得到HG=FG,即可.

【详解】(I)解：①•.•”＜。=Z-DAB=70%

:/BAC=^DAE=70°+Z-BAE,

又必B=AC=AE,

•••△48。三△AOE(SAS)；

②•••△ABC^△4OE(SAS),

:•乙E=

又；Z7I0C=Z.EOG,

：.£CGE=Z.CAE=70°；

(2)解：GF=DF+BG,理由如下：

作4HleG,则乙4"G=90°,

,：AF1DE,

^AFD=Z-AFG=90°,

：.£AHG=^AFD=乙AFG,

由(1)知：△48。三△AOE(SAS),

初中

••.乙48。=

又必。=曲

.•.△4FDwZk4，B(AAS),

：.AF=AH,DF=BH,

?ERt△ZlFG^IRt△AHG^,AF=AH,AG=AG,

•••Rt△AFG^Rt△AHG(HL),

:.FG=HG,

•：HG=BG+BH,

：.GF=BG+DF.

24.(1)2.4米

(2)40后元

(3)96<W<160

【难度】0.4

【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、线段问题(轴对称综合题)、与三角形的高有关的计算问题

【分析】本题主要考查了等面积法、不等式的应用、轴对称的应用等知识点，灵活运用轴对称的性质求最

值是解题的关键.

(1)直接运用等面枳法求解即可；

(2)由题意可得该方案所需篱笆费用20a+30b,\ab=2,即ab=4,再根据不等式的性质Q+b工

求解即可;

(3)如图：作。关于4c的对称点Di,作。关于BC的对称点。2,连接小凡小£，则△/)川的周长为

DF+EF+DE=DXF+EF+D2E,即当以、F、D2>E共线时，取最小值。1%：进而求得。i4=DR+C

02=2CD,然后求费用的取值范围即可.

【详解】(1)解：设点C到的距离为九

△/GC的面积为%C.BC-^AB-h,

••$x3x4=Tx5/i,解得：h=2.4米.

•••点C到4B的距离为2.4米.

故答案为:2.4.

(2)解:设C)=a,CF=b,

根据题意可得：该方案所需篱笆费用20a+30b,5ab=2,即ab=4,

初中

•a+b>2>/ab,

.•.20a+30b>2V20cz-30b=2V600ab=27600x4=2,2400=4076,

•••该方案所需篱笆费用的最小值40点元.

(3)解：如图：作。关于AC的对称点Di,作。关于BC的对称点。2,连接。1尸刀2心

'-DF=D]F,DE=D2E,

•••△。"的周长为DF+EF+DE=D^F+EF+D2E,

.•.当。1、F、4、E共线时，取最小值。1。2，

-/.D2CD1=2Z,ACB=180°,

点C在D1D2上,即共线,