高三数学一轮学案：抛物线

§8.8抛物线

【课标要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握效物线的简单几何性质(范围、对称性、顶

点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点厂和一条定直线/(/不经过点用的距离的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做

抛物线的,直线/叫做抛物线的.

注意：定点/不在定直线/上，否则动点"的轨迹不是抛物线，而是过点尸且垂直于直线/的一条直线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程户2川(〃>0)/=2/zv(/;>0)f=2〃y(p>0)/=2〃必>0)

图形收讲铢

范围GO,),URxWO,yUR/0,ACR)W0,A-CR

隹占

/、、、/、、、

准线方程

对称轴

顶点

离心率e=____

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“Y”或“x”)

(1)平面内与一个定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.()

(2)方程产4/表示焦点在X轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).()

(3)标准方程)2=2px(p>())中的p的几何意义是焦点到准线的距寓.()

(4)焦点在)，轴上的抛物线的标准方程/=±2〃〉。>0),也可以写成产加5彳0),这与以前学习的二次函数的

解析式是一致的.()

2.(多选)关于抛物线/=2x,下列说法正确的是()

A.开口向左

B.焦点坐标为(1,0)

C.准线为x=l

D.对称轴为x轴

3.（2024•驻马店模拟）已知点P（6,闻在焦点为产的抛物线C上2〃q>0）上，若|叩§,则尸等于（）

A.3B.6C.9D.12

4.（2024.宝鸡模拟）抛物线产2Pxs〉0）过点A（2,2）,则点A到抛物线准线的距离为.

日微点提醒

抛物线焦点弦的几个常用结论

设48是过抛物线户2px（p>0）的焦点尸的弦,若4（即，yi）,）力。为坐标原点，则

（1）X1X2=+，y\yi=p2；

,屈|FB|p'

（3）以弦AB为直径的圆与准线相切；

（4）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

题型一抛物线的定义及应用

例I（1）若抛物线F=8y上一点（即，g）到焦点的距离是该点到不轴距离的2倍，则泗等于（）

A.1B.1

C.1D.2

（2）（多选）（2025・八省联考）已知F（2,0）是抛物线C：），2=2/»的焦点，M是C上的点，。为坐标原点.则

（）

A.p=4

B.|MF|冽OF|

C.以M为圆心且过产的圆与。的准线相切

D.当/。/加=120。时，△OEW的面积为28

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的

求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷*圣.

跟踪训练1⑴（2024•贵阳模拟胭物线户以上一点"到焦点的距离是10,则M到x轴的距离是（）

A.4B.6C.7D.9

（2）已知点P为抛物线y2=4x上的动点，设点P到直线/：尸1的距离为小,到直线x+），4=0的距离为4,

则di+d2的最小值是（）

A.|B.号C.2D.V2

题型二抛物线的标准方程

例2(1)若抛物线过点(3,4),则抛物线的标准方程为.

(2)已知抛物线氏)，2=2〃M〃>0)的焦点为凡准线为/，第一象限内的点A在石上，A8垂直/于点8,

8/交)，轴于点C,若|AF|二2|8C|=4,则抛物线的标准方程为.

思维升华求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练2(1)抛物线C的焦点"关于其准线对称的点为(0,9),则抛物线C的方程为()

A.x2=6yB.xB2=12y

C.x2=18yD.xD2=36y

⑵“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线G：/=2/W>0),C2：,2=2〃x(p>0)构造了一个类

似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C,C2的焦点分别为*,3,点。在抛物线G上，过点

尸作“轴的平行线交抛物线Q于点Q,若|PB|二2|PQ|=8,则p等于()

题型三抛物线的几何性质

例3(1)(多选)对于抛物线12=),,下列描述正确的是()

8

A.开口向上，焦点为(0,2)

B.开口向上，焦点为(0,表)

C.焦点到准线的距离为4

D.准线方程为产4

(2)(多选)已知点A(M，凹)，8(X2竺)是抛物线y2=8x过焦点的弦的两个端点，焦点为凡则()

A.焦点户的坐标为(4,0)

B.\AB\=Xi+Xi+4

C.y》=8

Dn.--1卜.—1=-1

\FA\\FB\2

思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对

称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

跟踪训练3(1)(2024・重庆模拟)4,3是抛物线)，2=2px(p>0)上的不同两点，点厂是抛物线的焦点，且△

048(0为坐标原点)的重心恰为「，若|AQ=5,则〃等于()

A.lB.2C.3D.4

(2)(多选)已知抛物线)2=2/»(〃>0)经过点加(1,2),其焦点为凡过点尸的直线/与抛物线交于两个不同

的点A(M,y),8(X2,竺)，0为坐标原点，设直线04,03的斜率分别为心，匕,贝U()

A.p=2B.|/W|24

C.万5砺=4D.kDA54

■微拓展----------------------------------------------------------------------------------------------

阿基米德三角形

1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.

2.阿基米德三角形的常见性质

(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.

(2)若阿基米德三角形的底边即弦人4过抛物线内的定点P,则另一顶点C的轨迹为一条直线.

(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CALCB,CFLAB,阿基米德三角形的面积的

最小值为炉.

(4)若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

(5)底边长为。的阿基米德三角形的面积的最大值为

8P

(6)若A(K,yi),,力)，弦A3为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为(等，中).

推论：阿基米德三角形的顶点。的纵坐标与弦的中点用的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦48与K轴交

点。的横坐标互为相反数.

答案精析

落实主干知识

1.相等焦点准线

2.Q,0)(栏，o)(0,0(0,-0W0

HHx轴轴

(0,0)I

自主诊断

I.⑴X(2)X⑶4(4)4

2.AD3.A腐

探究核心题型

例1(1)D［已知抛物线的方程为f=8)，，可得〃=4,

所以焦点为F(0,2),准线为I:产2.

抛物线上一点A3),/)到焦点厂的距离等于到准线/的距离，

即HF|=)，o+2,

又因为A到x轴的距离为yo,

由已知得yo+2=2yo,解得州=2.］

⑵ABC［由题意得畀2,则p=4,A正确；

设M(x(),yo),则|MF|=xo+，|。尸|莒，又因为刈20,所以|MF|2|0F|,B正确；

由抛物线的定义知M到户的距离与M到C的准线的距离相等，故以M为圆心且过户的圆与C的准线相切，

C正确；

当N。/M=120。时，设M在第一象限，则刈>2,yo>O,

故^n^=^T=tan60°=>/3,

即xo=-^+2,又犬=8xo,

所以百诏8泗16百二。，

解得我=4\/5或yo=¥(舍去)，

所以里0"今。川乂|)，0鸟义2X475=475,D错误」

跟踪训练1(1)B［抛物线)2=4x的准线方程为x=l,由抛物线定义可得x/l=l(),故抬尸101二9,则

即174布=，4x9=6,即M到工轴的距离为6.J

(2)8［直线/：x=l为抛物线V=4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点厂的距离，过焦点厂作直线

X+y4=0的垂线，

如图所示，当点户为所作直线与抛物线的交点时，4+小的值最小，为点尸到直线x+y4=0的距离.

"(1,0),・・・(由+小埼上吗4尊」

V22

例2(1川堂或炉总丫

解析•・•点(3,4)在第四象限，・••抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为)R=2p.或X2=2/7IV(/^I>0).

把点(3,4)的坐标分别代入V=2px和r=2〃|)，中，得(4)2=2p-3,32=2p,-(4),

则2〃号，2“V

・•・所求抛物线的标准方程为

y2=^x或

O1

(2)yMx

解析由题意知C为《尸的中点，

因为HFI二H阴，

所以4C与垂直，

因为HF|二2|8C|=4,

所以/CAF=30。，

所以NZMF=60。，

方法一则△ABf'为等边三角形，设人3交)•轴于点。，如图，

在RtZXBC。中，易得|8。|=1,

即舁1,p=2,

故抛物线的标准方程为）"4尤

方法二A《+2,2V3）,

代入E:户2Pxs>0）可得12=2/郎+2）,

化简得p2+4pl2=0,

由于p>0,所以p=2（p=6舍去）.

故抛物线的标准方程为）2=4工

跟踪训练2（1）B[由题可知，抛物线开口向上，设方程为炉=2〃兴〃>0）,

则抛物线的焦点为（0,9,则准线为）楼，所以哼空，

解得p=6,

所以抛物线C的方程为r二12），.]

•・・|PR|二2|PQ|=8,

：.\OM\=2,则XP=2,又点尸在抛物线G:)2=2网>>0)上.

二信4〃,

贝i"M|=2万，

在RlAPMF,中，耳2,

♦・・|PMF+|MFI|2二|PFI|2,

，(2赤)2+6-2)2=82,

.*./?=12(/?=20舍去).

方法二设尸(松，/)，则Ko〈O,

V|PFi|=2|P2|=8,

，M+：=2(2XO)=8,

.*.Ab=2,p=12.］

例3(1)AC［由抛物线即/二分、，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为

8

4,准线方程为尸2.］

(2)BD［由抛物线.俨=84，可得焦点为FQ,0),故A错误；

由抛物线的性质可得|A州=HQ+|BF|=XI+2+X2+2=M+X2+4,故B正确；

方法一设直线AB的方程为口〃尸2,与抛物线的方程联立，可得y2即36=0,J>0,

则》+》2=8机,了m二16,

\FA\|FB|Xj+2X2+2

=]I]=8।8

・石1+2-*+16无+16

_8*+8xl6+8y£+8xl6

—y那+16y什]6押+©

:8(31+为产-16乃力+16”

222

(yiy2)+16(y1+y2)-32y1y2+16

_8x(8?n)2+i62+162

-162+I6x(8m)2+32X16+162

耳，故C错误，D正确.

方法二因为p=4,

所以.火>2=〃2=16,

向扁含，故C错误，D正确」

跟踪训练3(1)D［设A3,巾)，B(X2,y2),「仁，0),

因为△048的重心恰为F,

Xl+X2+°_P

32

则%+%+0_0

.3p

解得必+%2=万，

(%=一、2，

由y\=yi可知A,8关于x轴对称，即x\=x2,

贝|JK+X2=2*,即不哼，

24

又因为HF|=M+9?=5,

24

解得p=4.]

(2)ABD[因为抛物线产2/次(/»0)经过点M(1,2),所以22=2p,解得/?=2,故A正确；

所以抛物线方程为,

则焦点为尸(1,0),

设直线/：.口〃.y+1,

联立片二牝

lx=my+1,

消去x整理得产4〃?)，4=0,

贝ijJ=16/n2+16>0,

所以yi+>!2=4/?7,yiV2=4,

贝|Jx^X2=m(yi+y2)+2=4rn2+2,

1a2=(〃叨+