勾股定理的应用（4大题型4难点题型清单）原卷版-2026年中考数学一轮复习

专题1。勾股定理的应用（4大题型4难点，题型清单）

01题型盘点•中考全景扫描

题型一：利用勾股定理求线段长题型四：勾股定理的实际应用

难点01：结合折叠形成的边列方程求解求梯子滑落高度

难点02：利用网格判断直角三角形求旗杆高度

难点03；折叠与分类讨论解决水杯中筷子问题

题型二：勾股数相关面积问题解决航海问题

题型三：利用勾股定理求最短路径判断是否受台风影响

难点04：将军饮马问题

02题型突破•解题技巧攻坚

题型一：利用勾股定理求线段长

第一步找直角三角形卜

第二步，在直角三角形中标注各线段长，一般已知两边长，求第三边Q\

第三步利用勾股定理/+/=/求解6^

【中考母题溯源-学方法】

【典例1】难点01：结合折叠形成的边列方程求解

（2024•江苏常州•中考真题）如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是边AC的中点,

E是边BC上一点、,连接3D、DE,将△CDE沿OE翻折，点C落在上的点尸处，则CE=.

【典例1-2】难点02：利用网格判断直角三角形

（2025・安徽亳州•一模）如图，在7x4网格中，点4,B,C,D是格点（网格线的交点），连接AB,BC,

过点。作。P〃8c交A8于点P,贝（）

46

,丁

【典例1-3】难点03：折叠与分类讨论

（2023・辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形4BCD是矩形，AB=C，BC=6.点E为边BC的中点、，点F

为边4。上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点点B的对应点为点方,过点8'作

B'H_L3C于点儿若877=2五，则尸。的长是.

BEHC

【变式1-1］（2025•广东汕头一模）如图，在三角形纸片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,BC=^,沿过点A

的直线将纸片折叠，使点8落在边8c上的点。处；再折登纸片，使点C与点。重合，若第二次的折痕与AC

的交点为E，则的长是（）

【变式1-2］（2025•河北唐山・三模）如图，点A、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，AO与3c相交于

点。，小正方形的边长为1,则OC的长等于（）

2府

A.1.53M

—

【变式1-3］（2025•河南•模拟预测）如图,在RtZXABC中，"=90。"=4,8。=3,点。是AC边上的动

点、,过点。作DE/Aff,垂足为E,将V4DE沿直线。石折叠得到Va）E,点G,H分别是和跖上的

点，连接G”,将V8G“沿直线G”折叠使得点B和尸重合，连接。G,当ADFG和VA8C相似时，AE的

长为

【中考模拟闯关•练提分】

1.（2025•河北邯郸•二模）如图，在矩形A3CO中，AB=3,AD=5,E是边BC上的点，将矩形沿OE所在

的直线折叠，得到点A的对应点力，点8的对应点若点4在边8C的延长线上，则比■的长为（）

R'

1224

A.—B.3C.4D.—

55

2.（2026•全国•模拟预测）如图，正方形A8CO的边长为9,将正方形折叠，使顶点。落在8c边上的点E

处，折痕为GH.若4£=2£C,则AG的长是（）

3

A.1B.2C.4D.

2

3.（2025•江苏泰州•一模）如图，在3x4的正方形网格中，A、〃、C为格点，连接C。，交过点A的水平

格线于点E.若小正方形边长为1,则CE=

C

4.（2025•广东东莞•二模）如图，在矩形A8CQ中，45=4,改=5,点E在CD边上，将四边形48CE沿

直线4E翻折，得到四边形AfGE,点&C的对应点分别为点扛G.当点。恰好在线段FG上时，线段CE

的长为.

5.（2025•上海杨浦•模拟预测）已知在RtaABC中，NC=90。,力。=3点,BC=8,点。是BC边上一点，将

△ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结的，如果NC4E=2NE8C,那么点E到直线BC的距离

是.

G.（2025・浙江绍兴•二模）如图，VAO3中，乙4。。一90。，04-5,O/）一8,点M为AB的中点,C为边013

上一点，把△AOC沿直线AC翻折得到△AS.

（1）当点。恰好落在AB边上时，DW的长为；

（2）当MD与VAO8的边平行时，OC的长为.

7.（2025•山东聊城•三模）如图1,点48在x轴上，以48为边的正方形A88在x轴上方，点C的坐标

为（1,4）,反比例函数的图象经过C。的中点E,尸是A。上的一个动点，将△/）所沿所在更

X

线折叠得到△GM.

⑵如图2,若点G落在），轴上，过点尸作FNJ.），轴于点N,求线段GN的长.

8.（2025•河北石家庄•三模）（1）如图，将一张长方形纸片A8CD沿线段所折叠.C点对应点落在C'处,

。点对应点落在以处，交AO于G点.

①求证：△£FG为等腰三角形；

②若£^=4cm,/G=5cm,求重叠部分的面积.

（2）另取一张长方形纸片人BC7Z在边C。上找一点E并沿着直线跖折叠，使点C的对应点尸落在边A。

上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点石的位置（不写作法，保留作图痕迹）.

（3）长方形纸片/历CD"=5cm,BC=8cm时，若点M为射线4c上一点，将”所沿着直线AM折叠,

折叠后点8的对应点为8',当点出恰好落在线段8c的垂直平分线上时，请直接写出8W的长.

9.（2025•贵州黔东南•二模）在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长为8cm,宽为6cm的长方

形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动.

⑴如图①，连接对角线AC,沿着。E折叠，使得点4落在对角线AC上，点4的对应点记为A,AC与DE

的交点记为O.求证：AAA.DE-,

⑵如图②，将长方形纸片43co对折，使得边A。与8c重合，边48与OC重合.展开后再沿直线所折

叠，使得点4落在对折线的交点处，点A的对应点记为A,连接A/V,求折痕所的长度:

⑶如图③，折叠长方形纸片A8CD,点A的对应点记为A,当△A'8C是以BC为斜边的等腰直角三角形时,

直接写出折痕的长度.

【中考母题溯源•学方法】

【典例2］（2025•吉林长春•一模）如图，分别以VA8C的三边为边向外作三个正方形ACEABCMN、ABDT,

过C作AB的垂线，垂足为G,分别交EM、77）于点〃和点。，记正方形八8。7的面枳为S1正方形ACEF

的面积为S2,正方形BCMN的面积为邑，下列结论：①当ZACB=900时，5；=S?+S3；②当工＜S?+S3时,

NAC3为钝角：③④当NECM=90。时，CH=^EM.其中正确的是

【变式2】（25-26九年级上•广东揭阳•月考）如图所示，正方形4BC。的边长为2,其面积标记为M，以C。

为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为52,…按照

)

C.(If2022

D.

2>

【中考模拟闯关•练提分】

1.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、

B、C、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

A.10B.13C.15D.26

2.下图是“毕达哥拉斯树〃的“生长〃过程：如图①，一个边长为“的正方形，经过第一次“生长”后在它的上

侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长〃后变成了图②：如

此继续“生长”下去，则第2015次性长"后，这棵〃毕达哥拉斯树〃上所有正方形的面积和为.

（22-1）2+42=（22+1）2

第1个等式

（32-1）2+62=（32+1）2

第2个等式

第3个等式-------）2

（52-1）2+102=（52+1）2

第4个等式

...

（1）补充上述表格.

发现：

（2）请用含〃（〃为正整数，且〃>1）的等式表示上述规律：_=（〃2+4；

应用：

（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3,4,5）.现有一个直角边

为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积.

4.如图1,四边形4CDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是和RtZXAE。边长，易知

AE=向,这时我们把关于x的形如av2+6cx+b=O的一元二次方程称为“勾系一元二次方程

请解决下列问题:

⑴写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于工的“勾系一元二次方程"o?+&cx+〃=O必有实数根；

⑶如图1,若尸-1是“勾系一元二次方程”加+五大+8=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6夜，求

V48C面积;

⑷如图2,VA。。的二边分别为mb,c,NUC4—60。，且功〉。.求证：关于k的一元二次方程

乖）展+2>f2cx+2〃-。=0必有实数根.

题型三：利用勾股定理求最短路径

【中考母题溯源"学方法】

【典例2-11将军饮马问题

（2024・四川成都•中考真题）如图，在平面直角坐标系“/中，已知A（3,0）,8（0,2）,过点8作>轴的垂线

1,。为直线/上一动点，连接尸O,PA,则PO+PA的最小值为.

【典例2-2[（2025•青海西宁•三模）参照例题解决问题

例题：求历3+“77『+16的最小值

求解：如图所示在RtZXABC中曲3可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边AC的长度，延长3c

到D，使得3。=7,则CO为7-.丫，以点。为直角构造RtV£）CE,使得。匹=4,可得CE=而-4+16,

过点E作防_LA8交A8的延长线于点入此时A4/话为直角三角形，四边形尸为矩形，连结AE交80

于点C,当X等于8G时，\]x2+9+^（7-x）2+16最小，此时最小值AE=V72+72=7夜

⑴直接写出占2+4+，（8-力2+16的最小值为

（2涌求出+4+J（8-x）2+16的值最小时x的值.

【变式2-1】将军饮马问题

（2025・四川遂宁•一模）如图，点E在等边VABC的边上，BE=4,射线CQJ.BC,垂足为点C,点〜是

射线CD上一动点，点厂是线段48上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5.则EP+FP这个最小值是

A.9B.10C.56D.3&

【变式2-2］（2025•山东淄博•二模）如图，护城河在CG处直角转弯，宽度保持4米，从A往8处，经过两

座桥：D»,E耳.设护城河是东西一南北方向，A,8在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当

地架桥可使人。，D罔,所的路程最短.则这个最短距离是一米.

【变式2-3］（2025•广东•三模）如1图，圆柱形容器的高为8cm,底面周长为12cm,有一只蚂蚁想从3处沿

圆柱表面爬到对角C处搜集食物.

⑴实践与操作：如2图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点。的位置；（保留作图痕迹，不要求

写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接3C,求出蚂蚁爬行的最短矩离8c的长.

【中考模拟闯关•练提分】

1.（2025•广东广州•二模）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视

图（主视图）上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为则在此圆柱侧面上，从M到N

的路径中，最短路径的长度为（）

A.2后B.2C.2而D.2石

2.（2025・广东•二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，AD=2,OC=4,洞口M

位于八。的中点处，圆柱形通道所=1,一个小球从洞口加出发，经过通道£尸后，到达洞口匚若通道£尸

可以在线段A5上水平移动，则小球经过的路径ME+EF+/C的最小值为.

AEFB

3.（2025・湖南永州•三模）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了

一张长方形纸片A8C。，如图：入5=12,8c=10,他在边上取中点N,又在边上任取一点M,再

将"MN沿MN折叠得到MN,连结A9达到最小值时，求8W=.

AMB

4.（2025•广东清远•二模）综合与实践

【主题】自制环保笔筒

【素材】如I图，一个直径为8cm,高14cm的纸筒卷，一张长30cm,宽20cm的包装纸，一张边长为10cm

的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶.

纸筒卷包装纸纸板绳子

1图

【实践操作】

步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；

步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；

步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；

步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒.

【实践探索】

⑴求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留兀）

（2）如3图，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的3点，求所需绳子的最短长度.（结果保

留兀和根号）

3图

5.（2025•山东枣庄•三模）综合与实践

【问题情境】

在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.如图，在VABC中，点M,

N分别为44,4c上的动点（不含端点），且4V=8M.

【仞步尝试】

⑴如图1,当VA3c为等边三角形时，小颜发现：将M4绕点历逆时针旋转120。得到MZ）,连接8。，请写

出与的数量关系，请思考并证明；

【类比探究】

⑵小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在VA3C中，AB=AC,ZBAC=90°,AE工MN于

点、E,交BC于点、F,将例4绕点M逆时针旋转90。得到何。，连接。A,DB.试猜想四边形AF8Z）的形状,

并说明理由：

【拓展延伸】

⑶孙老师提出新的探究方向：如图3,在VABC中，AB=AC=4tNR4C=90。，连接BN,CM,请直接

写出用V+CM的最小值.

图1图2图3

6.（2025•陕西渭南•二模）【问题提出】

（1）如图1,在VABC中，点。是A8的中点，点石是AC边的中点，连接OE,若NABC=90。，则NAT应

的度数为。:

【问题探究】

（2）如图2,在V/4BC中，ZB/AC=90°,AC=2AB=4,点。是AC上方一动点，连接A。、BD、CD,

若NAZX?=90。，求3。的最大值；

【问题解决】

（3）如图3,菱形A8CO是某公园的一片油菜花海，对角线8。是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全

景，现要在花海外（4。右侧）修建一座观景塔E（看作点E）,再沿比和OE分别铺设两条小路（宽度忽

略不计），要求N8EO=9（）。，点F是力E的中点，连接。/，沿CF•开设美食一条街，为了使游客有更多美

食进行选择，要求美食一条街CT尽可能的长.已知菱形48CO的边长为30j6m,BO=18（）m,求美食一

条街。〃长度的最大值.

7.（2025•贵州铜仁•三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动

的几何问题，如图，在VA8C中，点M、N分别为AB、AC上的动点（不含端点），且AM=CN.

【初步尝试】（1）如图1,当VA8C为等边三角形时，小李发现：将N4绕点N顺时针旋转120。得到N。，

连接C。，则MN=CQ,请思考并证明；

【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在V/WC中，AB=AC,NB4c=90。，

AF1MN于点E,交3c于点F,将附绕点N顺时针旋转90。得到NO,连接D4、DC.求证：AF=CD：

【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3,在V/WC中，AB=AC=5,N84C=90。，连接BN、

CM,求8N+CM的最小值.

图3

8.（2025・陕西榆林•三模）问题探究

⑴如图1,在四边形A3CO中，AB=CD,AB//CD,若4c=4,则AO的长为:

⑵如图2,在等腰VA3c中，AB=ACfNR4C=45。，点。是〃。的中点，点七、尸分别为边AB、AC上

的动点，连接A。、DE、DF、EF,若A£）=2,求△£）£「周长的最小值；

问题解决

⑶2025年全国两会期间，"体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的

"体重管理年〃行动，各地积极探索为居民健康减"负为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形

ABCFO的健身中心，如图3,AD//BC,ZABC=ZF=90°,AD=3C=500米，CF=300米，。产=400

米，人C是一条走廊，将四边形AC/7）规划为力量训练区，VABC区域规划为有氧器械区，在AC上确定点

P、Q（点尸在点。左侧），且满足PQ=100人米，沿线段3。、PQ、OP摆放某种小型健身器材，请计算

3Q+PQ+DP的最小值.

题型四：勾股定理的实际应用

【中考母题溯源"学方法】

【典例4】解决水杯中筷子问题

（2024•四川巴中•中考真题）”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几

何？"这是我国数学史上的“葭生池中〃问题.即AC=5,DC=\,BD=明，则8C=（）

A.8B.10C.12D.13

【变式4-1】求梯子滑落高度

（2025・四川成都•二模）如图，NMCW=9O。，直角V43C的斜边AC的一端点A在边。W上滑动，另一-端

点C在边QN上滑动，点。与点3在直线AC的异侧，其中49=3,BC=4.当OA=OC时，OB长为：

若点C从点。处开始滑动，到点八滑动到点O处时结束，则在此过程中，点3经过的路径长为.

【变式4-2】解决航海问题

（2025•江苏南京•中考真题）如图，码头8位于码头A的南偏东30。方向，A,8之间的距离为40km,灯塔

户在人4的中点处.轮船甲从4出发，沿正南方向航行，轮船乙从8出发，沿正东方向航行.当甲航行到C

处时，乙航行了相同的距离到达Q处，此时，C,AQ三点恰好在一条直线上.求甲航行的距禽4C.（参

考数据：6丈1.73）

BD

【变式4-3】求旗杆高度

（2024・四川乐山•中考真题）我国明朝数学家程大位写过•本数学著作《直指算法统宗》，其中有•道与荡

秋千有关的数学问题是使用《西匚月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地.

送行二步与人齐，五尺人高曾记.

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.

良工高土素好奇，算出索长有儿？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺

（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设秋千的绳索拉的很直）

图1图2

⑴如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；

⑵如图2,将秋千从与竖直方向夹角为0的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为0的地方QA",

两次位置的高度差PQ=〃.根据上述条件能否求出秋千绳索。4的长度？如果能，请用含夕、成和人的式子

表示；如果不能，请说明理由.

【变式4-4】判断是否受台风影响

（2026・重庆大渡口••模）如图，•艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报,

某台风中心正以IOkm/h的速度由东向西移动，距台风中心300km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区,

当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400km,此时台风中心与轮船既定航线的

最近距离也是400km.

北

⑴如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？

⑵假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航

行多少小时？

【中考模拟闯关•练提分】

1.（2025•四川绵阳•一模）如图，在平面直角坐标系中放置了一个正方体纸盒的表面展开图.已知

8（2,〃?），则该正方体纸盒能装进的小木棒（粗细忽略不计）的最大长度是（）

2

AB

O

A.2B.2&C,3&D.2yf3

2.（2025・山东济宁•一模）在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价。元，铺完整个楼梯总

3.（2025•浙江•模拟预测）数学经她著作《九章算术》中有一道著名的“引葭仍用赴岸"题：”今有池方一丈,

葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.向水深、葭长各几何？〃意思为：如图，有一池塘，底面是

边长为i丈（一丈等于十尺）的正方形,池的中央生有i棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处,

正好与岸边齐平，则水深为一尺.

4.（2025•江西南昌•一模）《九章算术》“勾股〃章节中记载了一个“折竹抵地〃的问题：“今有竹高1丈8尺，

末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹

梢触地、触地点离根部6尺，间折断处的高是尺.（1丈=10尺）

5.（2025•吉林四平•一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作.书中有个关于门和竹竿的问题：今

有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高几何？译文：现有一扇

门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有•一支竹竿，不知竹竿的长短是多少.横着放竹竿二匕门宽多出4

尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图.设门的对角线长为x尺，可列方

程为.

竹竿

6.（2025•宁夏•中考真题）如图，在单位长度均为1cm的平面直角竺标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图.其

中，侧面展开图。的边。AOC在坐标轴上，点8坐标为（24,-10）.将一-根长度为14.6cm的铅笔放入笔

筒内，露出笔筒部分的最小长度是cm（结果保留整数，九取3,壁厚忽略不计）.

7.（2025・湖南岳阳•二模）某校“综合与实践〃小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方

案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）.

课题测量学校旗杆的高度

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

工具皮尺等

说明：线段A8表示学校旗杆，AB垂直地面于点8.

A4

K第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，

测量示意图绳子多出的一段在地面拉直后记作8C,用皮尺测出3C的长

~__度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的

BCBD

图①图②点。处，用皮尺测出的长度.

测量项目数值（单位：米）

测量数据图①中8c的长度1

图②中的长度5

.....•・・

图③

⑴根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆4