2026年高考数学复习（全国）幂函数与指、对数函数（讲义）试题版

专题2.5幕函数与指、对数函数（举一反三复习讲义）

【全国通用】

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考情分析

思维导图

夯基•核心知识梳理

「题型1指数的运算

一题型2对数的运算

L题型3幕函数的图象与性质

鬲函数与指、对数函数

一题型4指数、对数函数的定义域与值域问题

提升•必考题型归纳--题型5指数、对数函数的图象问题

一题型6指数、对数函数的单调性问题

、题型7指对幕数比较大小

一题型8解不等式问题

I题型9指数函数与对数函数的综合应用

J高考真题练

1、嘉函数与指、对数函数

累函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高

考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考

命题规律情况来看，对基函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质

为依托，结合指、对数的运算性质，运用基函数与指、对数函数的图象与性

分析

质解决具体的问题，包括比较指对幕数的大小、指数与对数的应用、解不等

式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对

数型函数进行灵活处理.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计塞函数与I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第8题，5

指、对数函全国甲卷（文数）：第分分

数11题，5分天津卷:第2题，5分北京卷：第4题，4分

北京卷：第4题，4分天津卷:第5题，5分北京卷：第9题，4分

北京卷:第7题,4分天津卷：第7题，5分

上海卷：第14题，4分

预测在年全国卷高考数学中，对暴函数与指、对数函数的考查仍

年2026

2026为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分值

占比固定。命题形式主要以指对累数比较大小、指数与对数的应用、指数函

命题预测数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。

幕函数的解析式

幕的数的图象与性质

幕函数—幕函数

比较幕值的大小

分数指数幕：规定：0的正分数指数嘉等于0；0的负

分数指数幕没有意义

有理数指数幕的运算：(1)有理数指数幕的运算性

质；(2)指数高的几个常用结论

无理数指数幕及实数指数幕

数

指数基运算的一般原则

与

指数函数的概念

指

指数函数的解析式的结构特征：①系数为1；②底数，是大于。且

「概念

•不等于1的常数.

对

指数函数-图象：分0＜仁1和。〉1两种

数

一指数函数的性质：(1)定义域为R；⑵值域为(0,+8)；(3)图象过

图象与性质定点(0,1),即当\=0时，v=l；(4)O〈K1时,单调递

减；时，单调递增

对数的运算啊积的对数二商的对数二嘉的对数

对数一对数的运算｛对数的换底公式及其推论、对数运算的常用技巧

对数函数的对数函数的概念

概念

对数函数图象：分0＜内1和两种

对数函数的性质：⑴定义域为(0,+8)；⑵值域为R；(3)过定点

图象与性质(0.1)；时，单调递减；时，单调递增

知识梳理

知识点1鬲函数及其解题策略

1.嘉函数的解析式

事函数的形式是)，=廿(a£R),其中只有一个参数a,因此只需二个条件即可确定其解析式.

2.幕函数的图象与性质

在区间(0.1)上，第函数中指数越大，函数图象越靠近X轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+8)上，幕函数

中指数越大，函数图象越远配轴.

3.比较幕值的大小

在比较哥值的大小时，必须结合累值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较,准确掌握各个暴

函数的图象和性质是解题的关键.

知识点2指数、对数运算的解题策略

1.指数箱运算的一般原则

⑴有数累的运算首先将根式、分数指数事统一为分教指数幕，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底

数基相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数骞的形式,使寤的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、哥再运算.

⑶指对互化:/=NQ〃=loguN(a>0,且时1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路

1.比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数事，再利用单调性比较大小:

⑵不能化成同底数的.一般引入“0或1”等中间量:比较大小.

2.指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单

调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

4.对数函数图象的识别及应用

（1）在退别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低

点等）排除不符合要求的选项.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

5.对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：

一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系:三是复合函数的构成,即它是

由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

举一后二

【题型1指数的运算】

【例1】（2025.河南新乡.二模）（为""=（）

A.16B.872C.32D.1672

【变式1-1]（2025•黑龙江佳木斯•三模）已知正数%,y满足2工・。=4个，则2x+y的最小值是（）

A.2^2B.9C.-D.13

2

【变式1-2】（2025•辽宁葫芦岛•一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录

方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的盘，若视力

4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为（）

标日时我远程力表

E

WEm

3EUJ

m3IDE

m3EID

3mEUIB

A.WB."VlO1Q1d

%-卷

【变式1-3】（2025•浙江嘉兴•二模）若实数a,b满足eae2b-】=i,则必的最大值为（）

A.—B.-C.-D.-

16248

【题型2对数的运算】

【例2】（2025•浙江金华♦一模）已知；+4—=三则。=（）

log9alog27a3

A.3B.9C.27D.81

【变式2-1］（2025•北京海淀•三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录.例如：2006年5月27日，印

尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现,

地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+l.5M.印尼爪哇地震

所释放出来的能量约是四川木里地震的（）倍.（精确到I.参考数据：lg87.5«1.942,Ig88.5«

1.947,lg89.5«1.952,lg90.5«1.957）

A.87B.88C.89D.90

【变式2-2］（2025•天津河北•模拟预测）已知Q=lg2,b=lg3,则lgl2可以表示为（）

A.a2bB.2abC.a+2bD.2a+b

【变式2-3］（25-26高一上•新疆•期中）荀子《劝学》中说：“不积珪步，无以至千里；不积小流，无以成江

海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%）36$看作是每天

的“进步”率都是1%,一年后是1.0136s=37.7834：而把（1-1%产5看作是每天“退步，，率都是1%,一年后是

099365x0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值W偌募-1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值

的2倍，大约经过（）天.

（参考数据：IglOla2.0043,lg99aL9956,lg2*0.3010）

A.9B.15C.25D.35

【题型3幕函数的图象与性质】

【例3】（2025•湖南•一模）已知希函数/（%）=（血2+2m-2）%6+2在（0,+8）上单调递增，则/〃的值为（）

A.1B.-3C.-4D.I或-3

【变式3-1］（2025•河南驻马店•模拟预测）己知幕函数/'（%）=（nt?+血_l）、m的图象与坐标轴无公共点，

则n=（）

A.-2B.1C.-2或1D.-1或2

【变式3-2］（2025・江苏盐城・三模）F=2”是“f（x）=（W-m-1）/2+2时3为辕函数,，的（）条件.

A.充要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分不必要

【变式3-3]（2025・四川绵阳•模拟预测）关于函数/•（%）=%-2,下列说法错误的是（）

A.函数的定义域为（-8,0）U（0,+8）

B.函数的值域为（0,+8）

C.函数在（一8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增

D.函数是偶函数

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】

【例4】（2025•云南昆明•模拟预测）函数/•（%）=『；一：，”：一:的值域为（）

（xz-l,x>-2

A.[-l,+oo）B.（-1,-^）C.RD.

【变式4-1]（2025・陕西西安・模拟预测）关于函数/（幻=lg（£-l）,下列说法不正确的是（）

A./（X）的定义域为（一1,1）B./•（%）在区间（0,1）上单调递增

C.f（%）的值域为岛,10）D./（%）的图象关于原点对称

【变式4-2]（2025•海南•一模）若函数/Xx）=/一1（。>0且Q工1）在区间[0,4]上的值域为[0,4],则a=（）

A.V3B.遍C.3D.5

【变式4-3]（2025•河北•模拟预测）已知函数/（幻=[1/；5'：忘：、[，若/（%）的值域为2+8）,则

实数a的取值范围是（）

A.（1,网B.（V2,2]C.（1,V2]D.（遮,2]

【题型5指数、对数函数的图象问题】

【例5】（2025•河南•三模）函数/（幻=（2--2、）手的大致图象是（）

【变式5-3】(2025•安徽合肥•模拟预测)函数/(%)=(|4--|-4)ln(4-/)的图象大致为()

【题型6指数、对数函数的单调性问题】

【例6】（2025•新疆喀什•模拟预测）己知InM-EQ=1,则函数/"（x）=的单调递增区间为（）

A.（-oo,0]B.C.。+8）D.[l,+oo）

【变式6-1]（2025•山东泰安・模拟预测）已知函数/0）=用（％2一。%一5）在（5,+8）上单调递增，则（1的取值

范围是（）

A.（—co,4）B.（—co,4]

C.（4,4-00）D.[4,4-co）

2

/lXx-ax

【变式6-2]（2025・山东济宁二模）若函数/。）=©在[1,+8）上单调递减，则实数Q的取值范围是（）

A.a<2B.a>2C.a<1D.a>1

【变式6-3】（2025•黑龙江哈尔滨•二模）函数/（幻=log2a2-2外的单调递增区间为（）

A.（2,+8）B.（1,+8）C.（-oo,1）D.（-co,0）

【题型7指对幕数比较大小】

【例7】（2025•湖南•一模）若a=Iog7]b=7。,，c=停）»则a、b、c的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<h<a

【变式7-1]（2025・四川绵阳•一模）已知a=ab=k）g34,c=£,则（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.a<c<b

1

【变式7-2]（2025•河南.模拟预测）设a=Gy,b=logJ,c=3、，贝的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

s4

【变式7-3］（2025・天津・二模）已知a=4.545,b=5.4-,c=log4_55.4,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【题型8解不等式问题】

【例8】(2025•广东肇庆•一模)已知/(x)=e'-er,若/(x+1)+/(%-1)>U成立，则x的取值范围是

()

A.(0,4-00)B.(1,4-co)C.(-1,+co)D.(-oo,0)U(0,4-oo)

【变式8-1](2025•山西临汾•三模)已知fO)=log2(l+4-”)+》,则满足f(2m-3)Vf(m)的实数zn的取

值范围为()

A.(1,3)B.(|,3)C.(-00,3)D.(3,+8)

【变式8-2】(2025・湖南•模拟预测)设函数f(%)=elxTl+1,则使得-1)Vf(T)成立的x的取值范围

是()

A.(0,1)B,8+8)C.(-00.1)D.

【变式8-3](2025・四川绵阳•二模)已知定义在R上的函数g(x)=ex-er+/(%),其中g(%)是奇函数且在R

上单调递减，/-(log2x)+/(2)>0的解集为()

A.(-8,?B.(0,；)C.(：,+8)D.(4,+8)

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

【例9】(2025・河北•模拟预测)若函数/a)=小82(-/+2*+3)(。>。月000的最大值为3,则a=()

A.；B.V3C.2D.3

【变式9-1](2025•河北石家庄•一模)已知函数/(%)=/+历(眇+。-*)-2,则不等式f(x+2)4/(2工一3)

的解集为()

A.[-5,一mB.(-8,-5]可三,+8)

C.[p5]D.(一8曰“5,+8)

X

【变式9・2】（2025•四川资阳•一模）已知函数/（%）=2工•log2（2%-2）-1,g（x）=3-log3（3x-3）-1,

hQ）=]og5（5x-5）-5r的零点分别为Q,b,c,则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>cD.c>b>a

7TT，“V°

【变式9-3]（2025•内蒙古呼和浩特二模）已知函数/（x）=22a（Q工。）在R上单调，且f（logaX）工8

在[2,4]上恒成立，则a的取值范围是（）

A.0<a<1B.0<a<!C.0<a<^D.^<a<l

高题练

考点一事函数与指、对数函

一、单选题

1.（2025.北京・高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间7=

kl*（单位：h）,其中％为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024x109个单

位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024X10<）个单位增加到4.096K10。个单位时，训练时间增

加（）

A.2hB.4hC.20hD.40h

2.（2025・天津・高考真题）函数/•（%）=0.3%-4的零点所在区间是（）

A.（0,0.3）B.（0.3,0.5）C.（0.5,1）D.（1,2）

3.（2025・上海・高考真题）设a>0,sWR.下列各项中，能推出>a的一项是（）

A.a>1,且s>0B.a>1,且sV0

C.OVaVl,且s>0D.0Va<l,且sVO

4.（2025•全国一卷•高考真题）已知2+log2x=34-log3y=5+log5z»则x,y,z的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z